МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА СТАТИСТИКИ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«СТАТИСТИКА»

Вариант № 13

Выполнила:

Факультет: Финансово-кредитный

Специальность: Финансовый менеджмент

II высшее образование, 3 курс

Группа

Личное дело

Проверил:

МОСКВА 2008

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности в отчетном году (выборка 5%-ная механическая):

Таблица 1

Исходные данные

№ пред-приятия п/п

Фонд за-работной платы, млн. руб.

Среднесписочная численность работников, чел.

№ пред-приятия п/п

Фонд за-работной платы, млн. руб.

Среднесписочная численность работников, чел.

1

11,340

162

16

11,502

162

2

8,112

156

17

16,356

188

3

15,036

179

18

12,792

164

4

19,012

194

19

17,472

192

5

13,035

165

20

5,850

130

6

8,532

158

21

9,858

159

7

26,400

220

22

11,826

162

8

17,100

190

23

18,142

193

9

12,062

163

24

8,848

158

10

9,540

159

25

13,944

168

11

13,694

167

26

23,920

208

12

21,320

205

27

13,280

166

13

16,082

187

28

22,356

207

14

10,465

161

29

10,948

161

15

4,320

120

30

15,810

186

Задание 1

Признак – среднесписочная численность работников.

Число групп – пять.

По исходным данным (табл.1) необходимо выполнить следующее:

1.      Построить статистический ряд распределения предприятий по Среднесписочной численности работников, образовав пять групп с равными интервалами.

2.      Графическим методом и путем расчётов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.

3.      Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4.      Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

Выполнение Задания 1

Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения предприятий  по признаку Среднесписочная численность работников.

1.        Построение интервального ряда распределения предприятий по среднесписочной численности работников

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение банков по объему кредитных вложений, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле:

,                                             (1)

где  – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности,  k- число групп интервального ряда.

Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса:

k=1+3,322 lg n,                                                (2)

где  n - число единиц совокупности.

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k = 5, xmax = 220 чел., xmin = 120 чел.:

 чел.

При h = 120 чел. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Номер группы

Нижняя граница, чел.

Верхняя граница, чел.

1

120

140

2

140

160

3

160

180

4

180

200

5

200

220

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп). При  этом используется принцип полуоткрытого интервала [ ), согласно которому верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, а соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую.

Процесс группировки единиц совокупности по признаку среднесписочная численность работников представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).

Таблица 3

Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.

№ пред-приятия

Среднесписочная численность работников, чел.

Фонд заработной платы, млн. руб.

1

2

3

4

120 - 140

15

120

4,320

20

130

5,850

Всего

2

250

10,170

140- - 160

2

156

8,112

6

158

8,532

24

158

8,848

10

159

9,540

21

159

9,858

Всего

5

790

44,890

160 - 180

14

161

10,465

29

161

10,948

1

162

11,340

16

162

11,502

22

162

11,826

9

163

12,062

18

164

12,792

5

165

13,035

27

166

13,280

11

167

13,694

25

168

13,944

3

179

15,036

Всего

12

1980

149,924

180 - 200

30

186

15,810

13

187

16,082

17

188

16,356

8

190

17,100

19

192

17,472

23

193

18,142

4

194

19,012

Всего

7

1330

119,974

200 - 220

12

205

21,320

28

207

22,356

26

208

23,920

7

220

26,400

4

840

93,996

Итого

30

5190

418,954

На основе групповых итоговых строк «Всего» таблицы 3 формируется итоговая таблица 4, представляющая интервальный ряд распределения предприятий по среднесписочной численности работников.

Таблица 4

Распределение предприятий по среднесписочной численности работников

Номер группы

Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.,

х

Число предприятий,

f.

 

1

120 – 140

2

2

140 - 160

5

3

160 - 180

12

4

180 - 200

7

5

200 - 220

4

Итого

30

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда распределения - частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Таблица 5

Структура предприятий по среднесписочной численности работников

Номер группы

Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.

Число предприятий, 

Накопленная частота,

Sj

Накопленная частоcть, %

в абсолют-ном выра-жении

в % к итогу

1

2

3

4

5

6

1

120 – 140

2

6,7

2

6,7

2

140 - 160

5

16,7

7

23,3

3

160 - 180

12

40

19

63,3

4

180 - 200

7

23,3

26

86,7

5

200 - 220

4

13,3

30

100,0

Итого

30

100,0

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по среднесписочной численности работников не является равномерным: преобладают предприятия со среднесписочной численностью от 160 чел. до 180 чел. (это 12 предприятий, доля которых составляет 40%); 23,3% предприятий имеют  среднесписочную численность менее 140 млн. руб., а 63,3% - менее 180 чел.

1.2.  Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и  путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Моду Мо можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис. 1 Определение моды графическим методом

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

                       (3)

где   хМo – нижняя граница модального интервала,

h –величина модального интервала,

fMo – частота модального интервала,

fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно таблице 3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 160 – 180 чел., так как его частота максимальна (f3 = 12).

Расчет моды по формуле (3):

 чел.

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная среднесписочная численность работников характеризуется средней величиной 172 чел.

Медиану Ме можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Рис. 2. Определение медианы графическим методом

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

,                                       (4)

где   хМе– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

fМе – частота медианного интервала,

SMе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному;

 - сумма всех частот.

Определим медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из таблицы 5 (графа 5). Медианным интервалом является интервал 160 – 180 чел., так как именно в этом интервале накопленная частота Sj = 19 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ().

Расчет значения медианы по формуле (4):

 чел.

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют в среднем списочную численность работников не более 173 чел., а другая половина – не менее 173 чел.

3.   Расчет характеристик ряда распределения.

Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ2, Vσ на основе табл. 5 строится вспомогательная таблица 6 ( – середина j-го интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.

Середина интервала,

Число предпри-яитий,

fj

1

2

3

4

5

6

7

120 – 140

130

2

260

-44

1936

3872

140 - 160

150

5

750

-24

576

2880

160 - 180

170

12

2040

-4

16

192

180 - 200

190

7

1330

16

256

1792

200 - 220

210

4

840

36

1296

5184

Итого

30

5220

13920

Расчет средней арифметической взвешенной:

                                 (5)

Расчет среднего квадратического отклонения:

                                (6)

Расчет дисперсии:

2 =464

Расчет коэффициента вариации:

                                       (7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей  и  говорит о том, что средняя величина среднесписочной численности работников предприятий составляет 173 чел., отклонение от средней величины в ту или иную сторону составляет в среднем 22 чел. (или 12,6%), наиболее характерные значения среднесписочной численности работников находятся в пределах от 152 чел. до 196 чел. (диапазон ).

Значение Vσ = 12,6% не превышает 33%, следовательно, вариация среднесписочной численности работников в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=174 чел., Мо=172 чел., Ме=173 чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение списочной численности работников предприятий (174 чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4.      Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

                                     (8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти предприятий, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов  и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание 2

По исходным данным (табл. 1) с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо:

1.      Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Среднесписочная численность работников и Фонд заработной платы, образовав по каждому признаку пять групп с равными интервалами, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2.      Оценить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

Выполнение Задания 2

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи и оценка ее тесноты.

По условию Задания 2 факторным является признак Среднесписочная численность работников (X), результативным – признак Фонд заработной платы (Y).

1. Установление наличия и характера связи между признаками Среднесписочная численность работников и Фонд заработной платы методами аналитической группировки и корреляционной таблицы

1а. Применение метода аналитической группировки.

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение  результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения  систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Хсреднесписочная численность работников и результативным признаком Y фонд заработной платы. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 7

Зависимость фонда заработной платы от среднесписочной численности работников.

Номер группы

Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.

Число предпри-ятий

Фонд заработной платы, млн. руб.

всего

в среднем на одно предприятие

1

2

3

4

5

 Итого

Групповые средние значения  получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 8

Зависимость фонда заработной платы от среднесписочной численности работников.

Номер группы

Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.

Число предпри-ятий

Фонд заработной платы, млн. руб.

всего

в среднем на одно предприятие

1

2

3

4

5 = 4 / 3

1

120 – 140

2

10.170

5.085

2

140 - 160

5

44.890

8.978

3

160 - 180

12

149.924

12.494

4

180 - 200

7

119.974

17.139

5

200 - 220

4

93.996

23.499

 Итого

30

418.954

13.965

Вывод. Анализ данных таблицы 8 показывает, что с увеличением среднесписочной численности работников от группы к группе систематически возрастает и средний фонд заработной платы по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1б. Применение метода корреляционной таблицы.

Корреляционная таблица представляет собой комбинацию двух рядов распределения. Строки таблицы соответствуют группировке единиц совокупности по факторному признаку Х, а графы – группировке единиц по результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по факторному признаку и в k-ый интервал по результативному признаку.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Величина интервала и границы интервалов  для  факторного  признака  ХСреднесписочная численность работников известны из табл. 8. Для результативного признака YФонд заработной платы величина интервала определяется по формуле (1) при k = 5,  уmax = 26,4 млн. руб., уmin = 4,32 млн. руб.:

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют следующий вид (табл. 9):

Таблица 9

Номер группы

Нижняя граница,

млн. руб.

Верхняя граница,

млн. руб.

1

4,320

8,736

2

8,736

13,152

3

13,152

17,568

4

17,568

21,984

5

21,984

26,400

Подсчитывая с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ) число предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10).

Таблица 10

Распределение предприятий по фонду заработной платы

Группы предприятий по фонду заработной платы, млн.руб.,

х

Число предприятий,

fj

4,320 – 8,736

4

8,736 – 13,152

11

13,152 – 17,568

9

17,568 – 21,984

3

21,984 – 26,400

3

Итого

30

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).

Таблица 11

Корреляционная таблица зависимости фонда заработной платы от среднесписочной численности работников.

Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.

Группы предприятий по фонду заработной платы, млн.руб.,

4,320 – 8,736

8,736 – 13,152

13,152 – 17,568

17,568 – 21,984

21,984 – 26,400

Итого

120 – 140

2

2

140 - 160

2

3

5

160 - 180

8

4

12

180 - 200

5

2

7

200 - 220

1

3

4

Итого

4

11

9

3

3

30

Вывод. Анализ данных таблицы 11 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между фондом заработной платы и среднесписочной численностью работников.

2.        Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Эмпирический коэффициент детерминации  оценивает, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель  рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле:

,                                                           (9)

где    – общая дисперсия признака Y,

 – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,                                                (10)

где   yi – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

                                                     (11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

                                              (12)

Для вычисления  удобно использовать формулу (11), так как в таблице 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет  по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии.

№ пред-приятия п/п

Фонд зара-ботной платы, млн. руб.

1

2

3

4

5

1

11.340

-2.625

6.891

128.596

2

8.112

-5.853

34.258

65.805

3

15.036

1.071

1.147

226.081

4

19.012

5.047

25.472

361.456

5

13.035

-0.930

0.865

169.911

6

8.532

-5.433

29.517

72.795

7

26.400

12.435

154.629

696.960

8

17.100

3.135

9.828

292.410

9

12.062

-1.903

3.621

145.492

10

9.540

-4.425

19.581

91.012

11

13.694

-0.271

0.073

187.526

12

21.320

7.355

54.096

454.542

13

16.082

2.117

4.482

258.631

14

10.465

-3.500

12.250

109.516

15

4.320

-9.645

93.026

18.662

16

11.502

-2.463

6.066

132.296

17

16.356

2.391

5.717

267.519

18

12.792

-1.173

1.376

163.635

19

17.472

3.507

12.299

305.271

20

5.850

-8.115

65.853

34.223

21

9.858

-4.107

16.867

97.180

22

11.826

-2.139

4.575

139.854

23

18.142

4.177

17.447

329.132

24

8.848

-5.117

26.184

78.287

25

13.944

-0.021

0.000

194.435

26

23.920

9.955

99.102

572.166

27

13.280

-0.685

0.469

176.358

28

22.356

8.391

70.409

499.791

29

10.948

-3.017

9.102

119.859

30

15.810

1.845

3.404

249.956

Итого

418.954

0.004

788.609

6639.357

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где  – средняя из квадратов значений результативного признака,

 – квадрат средней величины значений результативного признака.

Межгрупповая дисперсия  измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних  от общей средней . Показатель  вычисляется по формуле

,                                               (13)

где    –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 13. При этом используются групповые средние значения  из таблицы 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.

Число пред-приятий,

Среднее значение  в группе

1

2

3

4

5

120 – 140

2

5.085

-8.880

157.709

140 - 160

5

8.978

-4.987

124.351

160 - 180

12

12.494

-1.471

25.978

180 - 200

7

17.139

3.174

70.526

200 - 220

4

23.499

9.534

363.589

Итого

30

742.152

Расчет межгрупповой дисперсии  по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации  по формуле (9):

 или 94,1%

Вывод. 94,1% вариации фонда заработной платы предприятий обусловлено вариацией среднесписочной численности работников, а 5,9% –  влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение  оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле:

                                             (14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение  к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе  служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14

Шкала Чэддока

h

0,1 – 0,3

0,3 – 0,5

0,5 – 0,7

0,7 – 0,9

0,9 – 0,99

Характеристика

силы связи

Слабая

Умеренная

Заметная

Тесная

Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения  по формуле (14):

  или 97%

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между фондом заработной платы и среднесписочной численностью работников предприятий является весьма тесной.

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:

1.      Ошибку выборки средней списочной численности работников и границы, в которых будет находиться средняя в генеральной совокупности.

2.      Ошибку выборки доли организаций со средней списочной численностью работников 180 чел. и выше, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности предприятий границ, в которых будут находиться величина средней списочной численности работников предприятия и доля предприятий со среднесписочной численностью работников не менее 180 чел.

1.   Определение ошибки выборки для средней списочной численности работников и границ, в которых будет находиться средняя в генеральной совокупности.

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно  представлены в выборке статистические свойства  генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю  и предельную .

Средняя ошибка выборки  - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка  выборочной средней  определяется по формуле:

,                                                 (15)

где    – общая дисперсия выборочных значений признаков,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

,                                       (16)

где   – выборочная средняя,

 – генеральная средняя.

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

Предельная ошибка выборки Δ кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней  это теоретическое положение выражается формулой:

                                            (17)

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):

Таблица 15

Доверительная вероятность P

0,683

0,866

0,954

0,988

0,997

0,999

Значение t

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

По условию выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 5%-ная механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 600 предприятий. Выборочная средняя  и  дисперсия  определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в таблице 16:

Таблица 16

Р

t

n

N

0,954

2

30

600

174

464

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):

Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

174- 8174+8,

166 чел. 182 чел.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования предприятий региона с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий величина средней списочная численность работников предприятий находится в пределах от 166 чел. до 182 чел.

2.   Определение ошибки выборки для доли организаций со средней списочной численностью работников 180 чел. и выше, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля.

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой:

,                                                      (18)

где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки  доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

,                                 (19)

где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

                                         (20)

По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение среднесписочной численности работников предприятия величины 180 чел.

Число предприятий с заданным свойством определяется из таблицы 3 (графа 3): m=11.

Расчет выборочной доли по формуле (18):

Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:

Определение по формуле (20) доверительного интервала генеральной доли:

0,195  0,539

или

19,5%  53,9%

Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности предприятий доля предприятий со средней списочной численностью работников 180 чел. и выше будет находиться в пределах от 19,5% до 53,9%.

Задание 4.

Имеются следующие данные по двум организациям (табл. 17):

Таблица 17

Исходные данные

№ организации п/п

Базисный период

Отчетный период

Средняя заработная плата, руб.

Среднесписочная численность работников, чел.

Средняя заработная плата, руб.

Фонд заработной платы, тыс. руб..

1

5000

100

6500

682,5

2

5600

100

8000

760,0

Определите:

1.                       Индексы динамики средней заработной платы по каждой организации.

Результаты расчетов представьте в таблице.

2.                       По двум организациям вместе:

-     индекс средней заработной платы переменного, постоянного состава, структурных сдвигов;

-     абсолютное изменение средней заработной платы в целом и за счет отдельных факторов;

Абсолютное изменение фонда заработной платы вследствие изменения среднесписочной численности работников, средней заработной платы и двух факторов вместе.

Сделайте выводы.

1.     Определение индексов динамики средней заработной платы по каждой организации

Средняя заработная плата Зср рассчитывается как отношение фонда заработной платы Фз, начисленного за месяц, к среднесписочной численности работников Чср :

,                                                  (21)

Для расчета индексов динамики средней заработной платы по каждой организации используются индивидуальные индексы средней заработной платы:

,                                         (22)

где З1 и З0– средняя заработная плата j-ой организации в отчетном и базовом периоде соответственно.

Индексы динамики средней заработной платы по каждой организации представлены в таблице 18.

Таблица 18

Динамика средней заработной платы

№ организа-ции п/п

Средняя заработная плата, руб.

Абсолютное изменение средней заработной платы, руб.

Индекс динамики средней заработной платы ( iЗ)

Базисный период

Отчетный период.

1

2

3

4 = 3 - 2

5 = 3 / 2

1

5000

6500

1500

1,300

2

5600

8000

2400

1,428

Вывод. Средняя заработная плата в отчетном периоде по сравнению с базисным в 1-ой организации она увеличилась на 30% (или на 1500 руб.), а во 2-ой – на 43% (или на 2400 руб.).

2.1    Определение индексов средней заработной платы переменного, постоянного состава, структурных сдвигов по двум организациям вместе

Динамика уровней средней заработной платы по всей совокупности организаций (в данном случае по двум организациям) анализируется с помощью индексов переменного состава, постоянного состава и индекса структурных сдвигов.

Индекс переменного состава заработной платы  характеризует изменение среднего уровня заработной платы в отчетном периоде по сравнению с базисным, в зависимости от изменения средней заработной платы в каждой из организаций и удельного веса доли предприятий с различным уровнем оплаты труда. Для его исчисления берутся значения фондов начисленной заработной платы отдельных категорий работников или всего персонала за отчетный и базовый периоды (Ф1 и Ф0 ), среднесписочная численность отдельных категорий работников или всего персонала в отчетном и базовом периодах (Ч1 и Ч0 ) и средняя заработная плата по группам персонала или по предприятиям и отраслям (З1 и З0 ). Индекс рассчитывается следующим образом:

,                   (23)

Индекс постоянного состава заработной платы  рассчитывается в том случае, если необходимо отразить только изменение среднего уровня заработной платы в отчетном периоде по сравнению с базовым без учета структурного фактора (изменения доли организаций с различным уровнем заработной платы в общем фонде заработной платы):

,                            (24)

Если необходимо зафиксировать влияние структурного фактора на изменение среднего уровня заработной платы, то рассчитывается индекс структурных сдвигов :

,                                           (25)

Между индексами постоянного, переменного состава и структурных сдвигов существует взаимосвязь:

,                                                  (26)

Для расчета общей индексов  средней заработной платы по двум организациям применяется вспомогательная таблица 19.

Таблица 19

Вспомогательная таблица для расчета индексов средней заработной платы

№ орга-низа-ции п/п

Базисный период

Отчетный период

Фонд заработной платы, тыс. руб.

Средняя зара-ботная плата, руб

Средняя числен-ность работ-ников, чел.

Средняя зара-ботная плата, руб

Средняя числен-ность работ-ников, чел.

Базисный период

Отчетный период

Отчетный по срав-нению с базисным

З0

Ч0

З1

Ч1

З0 Ч0

З1 Ч1

З0 Ч1

1

2

3

4

5=7÷4

6=2*3

7

8=2*5

1

5000

100

6500

105

500

682,5

525

2

5600

100

8000

95

560

760,0

532

Итого

=5300

200

=7212,5

200

1060

1442,5

1057

Величина фонда заработной платы в отчетном периоде (графа 7 табл. 19) дана в условии задания 4 (табл. 17). Среднесписочная численность работников в отчетном периоде (графа 5) и фонд заработной платы в базисном периоде (графа 6) вычисляются, исходя из формулы (21).

Используя полученные данные (табл. 19), вычисляем индекс средней заработной платы переменного состава по формуле (23):

;

индекс средней заработной платы постоянного состава по формуле (24):

;

индекс средней заработной платы структурных сдвигов по формуле (25):

.

Проверка полученных результатов осуществляется по формуле (26):

1,361 = 1,365 · 0,997

1,361 = 1,361 (верное равенство).

Изменением доли каждой организации с разным уровнем средней заработной платы в общем фонде заработной платы проиллюстрировано в таблице 20.

Таблица 20

Доля организаций с разным уровнем средней заработной платы в общем фонде заработной платы.

№ орга-низа-ции п/п

Средняя численность работников, чел

Доля организаций

Базисный период

Отчетный период

Базисный период

Отчетный период

Ч0

Ч1

d0

d1

1

2

3

4

5

1

100

105

0.5

0.525

2

100

95

0.5

0.475

Итого

200

200

1

1

Вывод: Средняя заработная плата по двум организациям вместе в отчетном периоде по сравнению с базисным выросла на 36,1 % (в то время как по данным таблицы 18 в 1-ой организации она увеличилась на 30%, а во 2-ой – на 43%). Такое изменение средней заработной платы по двум организациям вместе объясняется изменением средней заработной платы в каждой организации и изменением доли организации с разным уровнем средней заработной платы в общем фонде заработной платы. Так, в результате изменения средней заработной платы в каждой из организаций (без учета структурных сдвигов) средняя заработная плата по двум организациям вместе выросла на 36,5 %. В результате же того, что в общем фонде заработной платы увеличилась доля 1-ой организации с более низким уровнем средней заработной платы (табл. 20), средняя заработная плата по двум организациям вместе, наоборот, снизилась на 0,3 %. Следует отметить, что столь небольшое изменение средней заработной платы по двум организациям в результате структурных сдвигов объясняется лишь незначительным изменением доля организаций с разным уровнем средней заработной платы в общем фонде заработной платы изменилась (на 2,5%).

2.2         Определение абсолютного изменения средней заработной платы в целом и за счет отдельных факторов

Абсолютное изменение средней заработной платы в целом, под влиянием двух факторов (изменением средней заработной платы в каждой организации и изменением доли организаций с различной среднесписочной численностью работников) определяется по формуле:

.                                            (27)

Абсолютное изменение средней заработной платы в результате изменения средней заработной платы в каждой организации рассчитывается по формуле:

.                                           (28)

Абсолютное изменение средней заработной платы в результате изменения среднесписочной численности работников в каждой организации определяется по формуле:

.                                       (29)

Между абсолютными значениями средней заработной платы в целом и за счет отдельных факторов существует взаимосвязь:

.                                               (30)

Используя данные, полученные ранее (табл. 19), можно определить абсолютные изменение средней заработной платы в целом и за счет отдельных факторов:

 тыс. руб. = 1912,5 руб.,

тыс. руб. = 1927,5 руб.,

 тыс. руб. = - 15 руб.

Проверка полученных результатов осуществляется по формуле (30):

1912,5 = 1927,5 - 15,

1912,5 = 1912,5 (верное равенство).

Вывод. Средняя заработная плата по двум организациям вместе в отчетном периоде по сравнению с базисным выросла на 1912,5 руб. (в то время как по данным таблицы 18 в 1-ой организации она увеличилась на 1500 руб., а во 2-ой – на 2400 руб. Причем, за счет изменения средней заработной платы в каждой из организаций (без учета структурных сдвигов) средняя заработная плата по двум организациям вместе выросла на 1927,5 руб. А в результате того, что в общем фонде заработной платы увеличилась доля 1-ой организации (на 2,5%) с более низким уровнем средней заработной платы, средняя заработная плата по двум организациям вместе, наоборот, снизилась на 15 руб.

2.2         Определение абсолютного изменения фонда заработной платы вследствие изменения среднесписочной численности работников, средней заработной платы и двух факторов вместе

Абсолютное изменение фонда заработной платы в целом, под влиянием двух факторов (изменением средней заработной платы и среднесписочной численности работников) определяется по формуле:

.                                      (31)

Абсолютное изменение фонда заработной платы в результате изменения средней заработной платы в каждой организации рассчитывается по формуле:

.                                     (32)

Абсолютное изменение средней заработной платы в результате изменения среднесписочной численности работников в каждой организации определяется по формуле:

.                                    (33)

Между абсолютными значениями средней заработной платы в целом и за счет отдельных факторов существует взаимосвязь:

.                                            (34)

Расчет абсолютных изменений фонда заработной платы в целом и за счет отдельных факторов по формулам (31) – (33):

 тыс. руб.,

 тыс. руб.,

 тыс. руб.

Проверка полученных результатов осуществляется по формуле (30):

382,5 = 385,5 - 3,

382,5 = 382,5 (верное равенство).

Вывод. Общий фонд заработной платы (для двух организаций вместе) увеличился на 382,5 тыс. руб., что является следствием действия двух факторов – увеличения средней заработной платы (что привело к росту фонда заработной платы на 385,2 тыс. руб.) и увеличения среднесписочной численности работников (что привело к снижению фонда заработной платы на 3 тыс. руб.).

Литература

1.      Громыко Г.Л. Теория статистики: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 2006.

2.      Громыко Г.Л. Теория статистики: Практикум. - М.: ИНФРА-М, 2003.

3.      Гусаров В.М. Статистика: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001.

4.      Гусаров В.М. Статистика: Учеб пособие/ В.М. Гусаров, Е.И. Кузнецова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

5.      Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник / Под. ред. Башиной О.Э., Спирина А.А. – М.: Финансы и статисика, 2005.

6.      Практикум по статистике: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. В.М. Симчеры. - М.: Финстатинформ, 1999.

7.      Практикум по теории статистики: Учебное пособие/Под. ред. Шмойловой Р.А. – М.: Финансы и статистика, 2004.

8.      Сироткина Т.С., Каманина А.М. Основы теории статистики: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. проф. В.М. Симчеры. - М.: Финстатинформ, 1995, 1996.

9.      Статистика: Учеб. пособие/А.В. Багат, М.М. Конкина, В.М. Симчера и др.; Под ред. В.М. Симчеры.- М.: Финансы и статистика, 2005.

10. Теория статистики: Учебник/Под. ред. Шмойловой Р.А. – М.: Финансы и статистика, 2001; 2003; 2006.