Контрольная работа

По курсу:

«Эконометрика»

Вариант №_6__

Уфа 2008 г

Задача  1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.)

Требуется:

1.     Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую  интерпретацию коэффициента регрессии.

2.     Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3.     Проверить выполнение предпосылок МНК.

4.     Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5.     Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве.

6.     Осуществить прогнозирование  среднего значения  показателя Y  при уровне значимости α=0,01 при Х=80% от его максимального значения.

7.     Представить графически фактических и модельных значений Y, точки прогноза.

8.     Составить уравнения нелинейной регрессии:

·        Гиперболической;

·        Степенной;

·        Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти  коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам. Сделать вывод.

            Решение

1. Параметры  уравнения линейной регрессии.

Уравнение  линейной регрессии имеет вид:  =a+b x.

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.

 =  =      

 = = 33,6-0,91*23,5=12,24.           =12,24+0,91* x.                   

Таким образом, с увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпуска продукции увеличится на 910 тыс.руб.

2. Вычисление остатков, остаточной суммы квадратов, оценка дисперсии остатков, построение графика остатков.

          Расчеты представим в таблице 1

Остаточная дисперсия, показатель адекватности модели, для однофакторного уравнения рассчитывается по формуле:    .                           

 Используем данные табл. 1 получим: 12,24/8=1,5.

Чем меньше значение остаточной дисперсии, тем лучше регрессионное уравнение. 

График остатков построим с помощью инструмента Excel Регрессия.

Рис.1 График остатков

3. Проверка выполнения предпосылок  МНК.

Основными предположениями классической модели линейной регрессии являются следующие:

1)    М(ε_i)=0,

2)    M(ε_i²)=δ² – дисперсия случайной компоненты – константа,

3)    COV(ε_i, ε_j)=0.

Нарушение тех  или иных предпосылок проверяется на основе выдвижения соответствующих гипотез относительно ε. Оценочными значениями ε_i являются величины y_i-_i=_i. Все критерии относительно ε основываются на этих оценочных значениях.

            Для проверки второго условия МНК,  то есть условия постоянства дисперсии случайно компоненты ε используем F-статистику, основанную на том, что величина F

          ( ₁²+₂²⁺ …     .+_n/2²)

F=   ______________________

         ( _n/2+1²+_n/2+2²+…+_n²) 

подчиняется F-распределению со степенями свободы n/2-1 и n/2-1. Если проверяется гипотеза о росте дисперсии F^расч. должно быть меньше  F^табл., если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, F^расч. должно быть больше  F^табл.. Выполнение второго условия   называется гомоскедастичностью, а нарушение его – гетероскедастичностью.

F    =  .

Табличное значение F- распределения при заданной вероятности 0,95 и степенях свободы (n/2-1) равно F_{(0,05; 4;4)} =6,39. Fрасч.< Fтабл. Второе условие  МНК (гомоскедастичность) с вероятностью 95%   нарушено, принимается гипотеза о росте дисперсии .

Наиболее часто нарушаемым является третье условие. Показатель ковариации (cov)  устанавливает наличие зависимости между случайными переменными. Поэтому нарушение третьего условия МНК свидетельствует о зависимости случайных компонент для наблюдений с различными номерами (i и j). Выполнение этого условия, как правило, проверяется на основе критерия Дарбина-Уотсона:

D-W=      (_i-_i-1)²  /  _i²               где

_i²  — остатки, получаемые при оценивании линейной модели наблюдений,

  и подчиняется распределению Дарбина-Уотсона, для которого имеются таблицы квантилей. Сравнивая значения D-W^расч. и D-W^табл. можно проверить гипотезу о нарушении условия 3). Нарушение условия 3) называется автокорреляцией. При проверке наличия автокорреляции используются табличные данные. При количестве наблюдений более 10 d₁=0,95;  d₂=1,23.

1)          D-W≤d_{1 –} гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;

2)          d₂≤ D-W≤4-d₂ – гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;

3)          D-W≥4-d₁ – принимается гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.

Случаи, когда d₁≤D-W≤d₂ и 4-d₂≤D-W≤4-d₁, являются неопределенными, когда гипотеза не принимается и не отвергается.

Расчет статистики Дарбина-Уотсона  проведем, используя данные табл.1

     D-W = 37,33 / 12,02=0,99.

Критические значения по таблице распределения статистики Дарбина-Уотсона при n=10 составили  d ₁ = 0,95 и d₂=1,23.

Расчетный показатель попал в область d₁≤D-W≤d₂,   гипотеза не принимается и не отвергается.  

4. Проверка значимости  параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением  расчетных значений критерия Стьюдента для соответствующих коэффициентов регрессии : t_расч = b/ m_b и   t_расч = а/ m_а.                                  

m _b – стандартная ошибка коэффициента b

m_a – стандартная ошибка коэффициента а

m _b =     =               m_a= 

  S² – остаточная дисперсия на одну степень свободы.  

Затем расчетные значения сравниваются с табличными. Критические значения t-статистики определяется при (n-2) степенях свободы и соответствующем уровне значимости.

           Если t_расч  не входит в заданный интервал, то выдвинутая гипотеза о том, что х не влияет на у, не принимается, т.е.   если | t_расч| > t _табл коэффициент регрессии считается значимым.

m _b == = 0,04

t_b = 0,91/0,04=21,34. Расчетный показатель больше  t _табл.=2,306 с заданной вероятностью 95% и не входит в заданный интервал .    

 m _а = ==1,07

t_а = 12,24/1,07=11,41 . Расчетный показатель больше t _табл. с заданной вероятностью 95% и степенями свободы (n-2) = 2,3.    

Гипотеза о том, что х влияет на у не существенно отклоняется, коэффициенты уравнения регрессии значимые.

5. Вычисление коэффициента детерминации, проверка значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), относительная ошибка аппроксимации. Вывод о качестве модели.

Величина  R_XY² называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака.   Чем ближе его значение к единице, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем лучше регрессия описывает значимость переменных.

                             =

 Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 99,1% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).

F-критерий Фишера     .

 Если расчетное значение этого критерия со степенями свободы (m) и (n-m-1), где n- количество наблюдений, m – число включенных в модель факторов, больше табличного значения критерия Фишера при заданном уровне значимости (достаточно большой вероятности), то модель признается значимой.

F_расч    

F_расч больше табличного значения F_0,05;1;8 =  5,32, т.е. не входит в правдоподобную область с плотностью распределения р=0,95 (рис.1.5) – гипотеза о несущественности уравнения отклоняется.    Модель значима с вероятностью 95%.

6. Прогнозирование  среднего значения  показателя Y  при уровне значимости α=0,01 при Х=80% от его максимального значения.

Для прогнозирования результативного показателя   подставим в уравнение 

=12,71+0,72* x                   значение факторного показателя, равного 80% от его максимального значения

= 0,8*39=31,2.

Тогда точечный прогноз  составит:  = 12,24+0,91*31,2=40,6.

7. График фактических и модельных значений Y, точки прогноза.

График прогноза  представим на рисунке 1.7.

  Рис. 2.  График по  модели

8. Уравнения нелинейной регрессии:

8.1 Гиперболическая модель

Уравнение гиперболической функции: = a + b/x.

Произведем линенеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение = a + bX.

Рассчитаем  параметры уравнения по данным таблицы 2.

b =       =

а =              =33,6+415,75*0,05=54,18.

Получим  следующее уравнение гиперболической модели:

 = 54,18-415,75/х.

8.2 Степенная модель 

Уравнение степенной модели имеет вид: =аx^b  

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения : lg = lg a + b lg x.

Обозначим  через Y=lg , X=lg x, A=lg a.

Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.

b =                   =

A =                          = 1,51-0,63*1,34=0,68

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,68+0,63* Х.

Перейдем к исходным переменным x и  y, выполнив потенцирование данного уравнения.

= 10^0,68* х^0,63.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

= 4,75* х^0,63.

8.3 Показательная модель

Уравнение показательной кривой: =ab^x.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:   lg  = lg a + x lg b. Обозначим: Y = lg , B = lg b, A = lg a.

Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B x.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 4.

В =            =

А =                   =  1,51-0,01*33,6=1,24

Уравнение будет иметь вид: Y = 1,24+0,01х.

Перейдем к исходным переменным x и  y, выполнив потенцирование данного уравнения:

=10^1,24* ( 10^0,01)^х = 17,38*1,03^х.

Графики  построенных моделей:

Рис.3.  Гиперболическая                                                                   

Рис.4.  Степенная

Рис.5.  Показательная

9. Сравнение моделей по характеристикам: коэффициенты детерминации,  коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Вывод.

9.1 Гиперболическая  модель

Коэффициент детерминации:          =

Вариация результата Y на 89,5% объясняется вариацией фактора Х.

Коэффициент эластичности:

 = = 0,08.

Это означает, что при увеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель изменится на 0,08 %.

Бета-коэффициент :

S_x==0,02            S_y==8,35      54,18*0,02/8,35=0,12.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции  на 0,12 среднеквадратического отклонения этого показателя.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

_отн = 72,6/ 10= 7,26 %.

В среднем расчетные значения  для гиперболической модели отличаются от фактических  значений на  7,26%.

9.2 Степенная модель

Коэффициент детерминации:          =

 Вариация результата Y на 97,3% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:

 = = 0,60.

Это означает, что при увеличении факторного признака на 1 % результирующий показатель увеличится на 0,6%.

Бета-коэффициент:

, S_y= и S_x=.

S_x==0,17            S_y==0,11     0,68*0,17/0,11=1,07.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 1,07 среднеквадратического отклонения этого показателя.

_отн=           = 34,0/10 = 3,4%.

В среднем расчетные значения  для степенной модели отличаются от фактических  значений на  3,4%.

9.3 Показательная модель

Коэффициент детерминации:          =

Вариация результата Y на 97,9% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:

  = 19,26.

Это означает, что при росте фактора Х на 1 % результирующий показатель Y изменится на 19,26 %.

Бета-коэффициент :

S_x==9,1             S_y==0,11            1,24*9,1/0,11=104,57.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции  на 104,57 среднеквадратического отклонения этого показателя.

_отн= 38,23/ 10 = 3,82%.

В среднем расчетные значения  для показательной модели отличаются от фактических  значений на  3,82%.

Вывод.

Лучшей из уравнений нелинейной регрессии является степенная:

 выше коэффициент детерминации, наименьшая относительная ошибка. Модель можно использовать для прогнозирования.

Таблица 1

            Таблица 2

Таблица 3.

Таблица 4.