Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений с одной переменной.

Уравнение f(x) = 0 имеет вид

Исследовать интервалы изоляции корней данного уравнения, найти тремя методами:

1.     Метод деления отрезка пополам.

2.     Метод простой итерации.

3.     Метод Ньютона.

Приблизительное значение корня в интервале [α;b] и сравнить результаты. а₀ = 1, а₁ = -8, а₂ = 0, а₃ = 6, α = 0,2, b = 1,2

Решение

Учитывая приведенные в условии значения коэффициентов уравнение примет вид:

Проверка: 0,3414715633 – 8* 0,3414715632 + 0,2 = -0,693159019.

Ответ искомое значение корня уравнения в интервале [0,2; 1,2], полученное методом деления отрезка пополам, после выполнения шестнадцати итераций хⁿ = 0,3414715633.

Для применения метода простой итерации приведем уравнение  к виду так, чтобы на всем отрезке [x₀, x₀+d] = [0,1] выполнилось равенство . Разрешим уравнение относительно х следующим образом: , положим .

Проверим условие сходимости:

,

так как х₀=0,2 и d=1, то справедливость неравенств  очевидна:

За начальное приближение возьмем х₀=0,25. Все остальные приближения будем определять из итерационной формулы

Результаты вычисления представлены в таблице

Ответ: искомое значение корня уравнения  в интервале, полученного методом простой итерации, после исполнения четырех итераций хⁿ = 0,159716.

Результаты нахождения корня уравнения в интервале [0,2; 1,2] методом Ньютона сведены в таблице:

Ответ: искомое значение корня уравнения  в интервале[0,2; 1,2], полученного методом Ньютона после исполнения четырех итераций хⁿ = 0,159853.

Задача 2

Методом Гаусса – Зейделя решить с точностью Е = 0,001 систему линейных уравнений:

Решение:

1. Приведем систему с диагональным  преобладанием. Прибавив к первому уравнению системы удвоенное второе уравнение, получим систему эквивалентную исходной:

Проверим достаточное условие сходимости:

11,9 > 12,1 - 5,6= 6,5

4,5 > 4,1 - 4,8= -0,7

1,8 > 2,1 - 3,7= -1,6

Вывод итерационных формул. Для получения итерационных формул каждое уравнение системы разрешаем относительно диагонального неизвестного, получим эквивалентную систему:

Следовательно система рекуррентных соотношений для решения методом Гаусса-Зейделя рассматриваемой системы имеет вид:

Нахождение приближенного решения. За начальное (нулевое) приближение можно взять любой набор чисел, и, несмотря на это, диагональное преобладание  обеспечит сходимость к точному решению. Положим

Вычислим:

Продолжаем вычисления:

Аналогично провели четыре итерации.

Ответ: приближенным решением системы является вектор (10,0352; 6,9996; 5,6376).