По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции ( , млн. руб.) от объема капиталовложений ( , млн. руб.)

Требуется:

1.       Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2.       Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3.       Проверить выполнение предпосылок МНК.

4.       Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

5.       Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6.       Осуществить прогнозирование среднего значения показателя  при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7.       Представить графически: фактические и модельные значения  точки прогноза.

8.       Составить уравнения нелинейной регрессии:

·          гиперболической;

·          степенной;

·          показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9.       Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

Вариант 7

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

1.     Составим линейную модель:  = a + b ∙ x

Составим таблицу исходных и расчетных данных:

Таблица 1

1.1.Найдем параметры уравнения линейной регрессии:

b = 2,314

a =  = 92,90 – 2,314 ∙ 40,60 = -1,048.

Итак, получаем уравнение линейной модели:

Коэффициент регрессии b показывает, что с ростом объема капиталовложений (x) на 1 млн. руб. выпуск продукции (y) вырастает на 2,31 млн. руб.

2. Найдем остаточную сумму квадратов:

Дисперсия остатков:   

Среднеквадратическая величина остатков:

График остатков:

Рис. 1. График остатков.

3. Проверка предпосылок МНК.

Составим таблицу на основе остатков уровней ряда:         Таблица 2

а) случайность уровней ряда  проверим по критерию поворотных точек  p:

p > (2 ∙ );   2,

у нас, p= 7 > 2. Т.к. p > 2, то свойство случайности выполняется.

б) Независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда  проверим по критерию Дарбина-Уотсона:

d = 2,89

нижнее критическое значение d(1)=1,08

нижнее критическое значение d(2)=1,36

Т.к. d >2, то используем =4 – d = 4 – 2,89 = 1,11;

Т.к. > d(1), но < d(2), то d-критерий не используется.

Независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда  проверим по первому коэффициенту корреляции:

|r(1)| =   |- 0,59| = 0,59

Т.к. по модулю r(1) >0,36, то свойство независимости не выполняется.

в) Соответствие нормальному закону распределения (НЗР) проверим по RS-критерию:

Т.к. R/S = 2,89 находится в интервале [RSmin; RSmax], (RSmin=2,7; RSmax=3,7 – таблицы), то гипотеза о НЗР уровней ряда  подтверждается, что позволяет сделать прогноз.

г) Проверка гипотезы о M(

t =

;ν = n-1) =  = 2,26

гипотеза о M(  принимается.

д) Обнаружение гетероскедостичности (тест Голдфельда- Квандта):

Таблица 3

Т.к. , то с вероятностью 95 % гипотеза о гетероскедастичности отклоняется.

4.  Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента:

4.1. Найдем стандартную ошибку параметров.

стандартная ошибка параметра ;   стандартная ошибка параметра .

(для

Т.к. , то с вероятностью 95% параметр a данного уравнения регрессии не значим.

А т.к. , то с вероятностью 95% параметр b данного уравнения регрессии значим.

4.2. Рассчитаем коэффициент линейной корреляции:

Можно считать, что связь между y и x весьма тесная.

5. Рассчитаем коэффициент детерминации:

Можно сказать, что вариация признака у на 99,4% объясняется вариацией признака х.

5.1. Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Т.к. , то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

5.2. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения (  отличаются от фактических значений (y)  на 2,11%.

5.3. Вычислим коэффициент эластичности для линейной модели:

Дадим оценку качества модели:

Вывод: модель качественная.

6.  Прогнозирование среднего значения У.

6.1. Пусть прогнозное значение x составляет 80 % относительно максимального значения ( ):

6.2. Границы доверительного интервала прогноза:

6.3. Интервальный прогноз:

Нижняя граница прогноза

Верхняя граница прогноза

94,56

8. Составление уравнений нелинейной регрессии.

2. Степенная модель:  = a ∙

Произведем логарифмирование данного уравнения:

Обозначим:

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (табл.4.)

Таблица 4

Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:

Вернемся к исходному уравнению через потенцирование:

Итак, составим уравнение степенной модели:

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между у и х весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Можно сказать, что вариация признака у на 99,2% объясняется вариацией признака х.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Т.к. , то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения (  отличаются от фактических значений (y)  на 2,11%.

Вычислим коэффициент эластичности для степенной модели:

3. Показательная модель:

Произведем логарифмирование данного уравнения:

Обозначим:

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализ модели (табл. 5).

Таблица 5

Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:

Составим уравнение показательной модели:

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между у и х весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Можно сказать, что вариация признака у на 97,8% объясняется вариацией признака х.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Т.к. , то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения (  отличаются от фактических значений (y)  на 3,97%.

Вычислим коэффициент эластичности для показательной модели:

4. Гиперболическая модель:  

Обозначим: Х =  

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения:

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (табл.6).

Таблица 6

Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:

Составим уравнение гиперболической модели:

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между у и х весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Можно сказать, что вариация признака у на 97,2% объясняется вариацией признака х.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Т.к. , то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения (  отличаются от фактических значений (y)  на 4,15%.

Вычислим коэффициент эластичности для показательной модели:

7. Построим графики