Вариант 9

В нашем случае К=3, М=9. Значит (К+М)(mod6) = 12(mod6) = 0,

                                                            (К+М)(mod4) = 12(mod4) = 0.

Задание 1

Студент знает 15+(К+М)(mod6) вопросов по теории вероятностей и математической статистике из 25+(К+М)(mod6). На зачете ему предлагается три наудачу выбранных из программы вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит:

а) только на один вопрос;

b) на два вопроса;

c) не менее, чем на два вопроса;

d) хотя бы на один вопрос;

e) либо на все вопросы, либо ни на один.

Решение:

В нашем случае К=3, М=9. Значит (К+М)(mod6) = 12(mod6) = 0.

Следовательно, всего вопросов 25, а студент знает только 15.

Обозначим:

событие А – студент ответит на первый вопрос,

событие В – студент ответит на второй вопрос,

событие С – студент ответит на третий вопрос.

Р (студент ответит только на один вопрос) = Р (ии или ии или ии) =  +  +  = 15/25 * 10/24 * 9/23 + 10/25 * 15/24 * 9/23 + 10/25 * 9/24 * 15/23 = 3*(9*10*15)/(25*24*23) = 27/92.

Р (студент ответит на два вопроса) = Р (ии или ии или ии) = 15/25 * 14/24 * 10/23 + 15/25 * 10/24 * 14/23 + 10/25 * 15/24 * 14/23 = 3*(10*14*15)/(25*24*23) = 21/46.

Р (студент ответит не менее, чем на два вопроса) = Р (студент ответит 1-й и 2-й вопрос) = 15/25 * 14/24 = 21/110.

Р (студент ответит хотя бы на один  вопрос) = 1 – Р (студент не ответит ни на один вопрос) = 1 – 10/25 * 9/24 * 8/23 = 1 – 15/115 = 100/115 =20/23.

Р (студент ответит либо на все вопросы, либо ни на один) = 15/25 * 14/24 * 13/23 + 10/25 * 9/24 * 8/23 = 1426/273 + 10/115 = 0,192 + 0,087 = 0,279.

Задание 2

На складе находятся одинаковые изделия, изготовленные тремя заводами: первым заводом произведено 30% всех изделий, вторым 35%, а остальные изделия (35%) с третьего завода. Известно, что из каждой сотни изделий удовлетворяют стандарту в среднем 90% изделий, изготовленных на первом заводе, 95% - на втором, 85% - на третьем. Для контроля качества со склада наудачу берут два изделия.

1. Определить вероятность того, что по крайней мере одно из проверяемых изделий будет нестандартным.

2. Оба проверенных изделия окажутся стандартными. На каких заводах вероятнее всего они изготовлены?

Решение:

Обозначим:

событие А – взятое изделие стандартное,

событие Н₁ – изделие изготовлено на первом заводе,

событие Н₂ – изделие изготовлено на втором заводе,

событие Н₃ – изделие изготовлено на третьем заводе.

Р(Н₁) = 30/100 = 3/10; 

Р(Н₂) = 35/100 = 7/20;  

Р(Н₃) = 35/100 = 7/20.

Р_Н1(А) = 90/100 = 9/10;

Р_Н2(А) = 92/100 = 19/20;

Р_Н3(А) = 85/100 = 17/20.

Р (по крайней мере (хотя бы) одно из проверяемых изделий будет нестандартным) = 1 – Р (оба изделия стандартны) = 1- 0,542 = 0,458.

Р (оба изделия стандартны) = 3/10 * 9/10  * 3/10 * 9/10  + 7/20 * 19/20 * 7/20 * 19/20 + 7/20 * 17/20 * 7/20 * 17/20 + 3/10 * 9/10 * 7/20 * 19/20 + 3/10 * 9/10 * 7/20 * 17/20 = 7/20 * 19/20 * 7/20 * 17/20 = 0,0729 + 0,111 + 0,089 + 0,0898 + 0,0803 + 0,099 = 0,542.

Вероятность того, что

оба изделия изготовлены на первом заводе 0,0729 / 0,542 = 0,135;

на втором 0,111 / 0,542 = 0,205;

на третьем 0,089 / 0,542 = 0,164;

одно изделие на первом заводе, а другое на втором 0,0898 / 0,542 = 0,166;

одно изделие на первом заводе, а другое на третьем 0,0803 / 0,542 = 0,148;

одно изделие на первом заводе, а другое на втором 0,099 / 0,542 = 0,183.

Следовательно, вероятнее всего эти изделия изготовлены либо оба на втором заводе, либо одно на втором, а другое на третьем.

Задание 3

При опускании одной монеты автомат срабатывает неправильно в одном случае из ста.

1. Какова вероятность того, что при опускании 5 монет автомат сработает правильно:

а) 3 раза;

b) не менее 3 раз;

c) не более 3 раз;

d) хотя бы один раз?

2. В течение суток в автомат было опущено сто монет. Вычислить вероятность того, что автомат при этом сработал неправильно:

а) 1 раза;

b) более 1 раза;

c) менее 1 раза;

d) хотя бы один раз?

Решение:

По условию задачи  Р (автомат сработает неправильно) = 0,01,

                                   Р (автомат сработает правильно) = 0,99.

В первом случае т.к. n < 10 будем пользоваться формулой Бернулли, а во втором (n > 10) Лапласа.

* 0,99³ * 0,01² = 10 * 0,99³ * 0,01² =  0,001.

Р₅(не менее 3 раз) = Р₅(3) + Р₅(4) + Р₅(5) = 0,001 + 0,04805 + 0,0951 = 0,059.

Р₅(не более 3 раз) = Р₅(0) + Р₅(1) + Р₅(2) + Р₅(3) = (0!) / (5!*5!)*0,99⁰*0,01⁵ + (1!) / (5!*4!)*0,99¹*0,01⁴  + (2!) / (5!*3!)*0,99²*0,01³ + (3!) / (5!*2!)*0,99³*0,01² = 0,0012.

Р₅(хотя бы один раз) = 1 - Р₅(ни одного раза) = 1 - Р₅(0) – 1 – 0,01⁵ = 0,999.

Задание 4

Произведено три независимых выстрела по удаляющейся цели. Вероятность попадания при i-ом выстреле 1 – i/10, i=1,2,3. Рассматривается случайная величина (с.в.) ξ – число попаданий в цель.

1. Составить ряд распределения с.в.ξ и построить ее график.

2. Найти функцию распределения с.в. ξ и представить ее графически.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значений) Мξ, дисперсию Dξ  и среднее квадратичное (стандартное) отклонение σ(ξ).

4. Определить вероятности:

а) Р{ξ < Мξ};

b) Р{ ξ > Мξ +1};

с) Р{| ξ - Мξ | ≤ σ(ξ)}.

Решение:

Р(попадание в 1-й выстрел) = 9/10;

Р(попадание во 2-й выстрел) = 8/10;

Р(попадание в 3-й выстрел) = 7/10.

 ξ = {0,1,2,3} – число попаданий в цель.

Р(ξ = 0) = Р(промах все 3 раза) = 1/10 * 2/10 * 3/10 = 3/500

Р(ξ = 1) = Р(попадание только или в 1-й или во 2-й или в 3-й раз) = 9/10 * 2/10 * 3/10 + 1/10 * 8/10 * 3/10 + 1/10 * 2/10 * 7/10 = (27+12+7)/500 = 46/500

Р(ξ = 2) = Р(попадание в 1-й и 2-й раз или в 1-й и 3-й или во 2-й и 3-й раз) = 9/10 * 8/10 * 3/10 + 9/10 * 2/10 * 7/10 + 1/10 * 8/10 * 7/10 = (108+63+28)/500 = 199/500

Р(ξ = 3) = Р(попадание и в 1-й и во 2-й и в 3-й раз) = 9/10 * 8/10 * 7/10 = 252/500

Проверим т.к. это полная группа событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1.

3/500 + 46/500 + 199/500 + 252/500 = 500/500 = 1.

Мξ = ξ₁р₁ + ξ₂р₂ + ξ₃р₃ + ξ₄р₄ = 46/500 + 398/500 + 756/500 = 12/5

Мξ² = 46/500 + 796/500  + 2268/500 = 311/50

Dξ = Мξ² - М²ξ² = 311/50 + 144/25  =(311-288)/50 = 23/50

σ(ξ) =  = 0,678

Р{ξ < Мξ} = Ф(0) + 0,5 = 0,5

Р{ ξ > Мξ +1} = 0,5 – Ф(1/0,678) = 0,5-Ф(1,475)=0,5-0,43=0,07

 Р{| ξ - Мξ | ≤ σ(ξ)} = 2Ф(1) = 0,6826

Задание 6

Для определения нормы времени на выполнение операции на конвейере часов проедено 25 экспериментов. Получены следующие результаты (в часах):

0.828, 0.542, 0.890, 0.705, 0.491, 1.384, 0.379, 0.242, 0.866, 0.321, 1.012, 0.579, 0.477, 0.490, 1.079, 0.443, 0.374, 0.937, 0.529, 0.912, 0.949, 0.906, 0.794, 0.735.

Для получения наших данных все значения выборки умножаем на число С = 1+12/100 = 1,12. Получаем

Решение.

Непрерывная случайная величина

Число интервалов 5.

Границы интервалов и число попавших в них значений.

1-й интервал: (0.270;0.526) – 5

2-й интервал: (0.526;0.782) – 7

3-й интервал: (0.782;1.038) – 8

4-й интервал: (1.038;1.294) – 4

5-й интервал: (1.294;1.550) – 1

Время необходимое для выполнения операции вероятно заключено в 3-ем интервале.

 = (0.398*5+0.654*7+0.910*8+1.166*4+1.422*1) / 25 =

         (1.99+4.578+7.28+4.664+1.422) / 25 = 0.797 – выборочное среднее

D_в = ((0,398-0,797)²*5 + (0,654-0,797)²*7 +(0,910-0,797)²*8

             +(1,166-0,797)²*4 +(1,422-0,797)²*1) / 25 =

         0,796+0,143+0,102+0,545+0,391 = 1,977 – выборочная дисперсия

σ_в =  = 1,406 – выборочное среднее квадратичное отклонение

Границы доверительного интервала для выборочного среднего

, где

2·Ф(t)=0.95

Ф(t)=0.475

t=1.96

(0,246 ; 1,348)