Контрольная работа  по Эконометрике

Вариант 5

  Барнаул 2008

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

1.     Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2.     Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3.     Проверить выполнение предпосылок МНК.

4.     Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5.     Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F- критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6.     Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1 если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

7.     Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8.     Составить уравнения нелинейной регрессии:

-       гиперболической;

-       степенной;

-       показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9.     Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение:

1.     Уравнение линейной регрессии имеет вид: = а₀ + а₁x.

Построим линейную модель.

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастанию факторной переменной Х (Данные => Сортировка).  ( рис. 1).

Рис. 1. Сортировка данных.

Используем программу РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели.

 Результаты вычислений представлены в таблицах 2-5.  

Таблица 2.

Таблица 3.

Таблица 4.

Таблица 5.

Коэффициенты модели содержатся в таблице 4 (столбец Коэффициенты). Таким образом, модель построена и ее уравнение  имеет вид             Yт = 2,70755+0,721698Х.

Коэффициент регрессии b=0,721698, следовательно, при увеличении времени разговора с продавцом (Х) на 1 минуту сумма покупки (Y) увеличивается в среднем на 0,721698 ден. ед.

Свободный член а=12,70755, в данном уравнении не имеет реального смысла.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S²e; построить график остатков.

Остатки модели Ei=уi-уti  содержатся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 5).

Программой РЕГРЕССИЯ найдены также остаточная сумма квадратов SSост=148,217 и дисперсия остатков MS=18,52712 (таблица 3).

Для построения графика остатков нужно выполнить следующие действия:

·        Вызвать Матер Диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками).

·        Для указания данных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд, нажать кнопку Добавить; в качестве значений Х указать исходные данные Х (таблица 1);значения Y - остатки ( таблица 5).

В результате получим график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

·        В уравнении линейной модели Y=a+b*X+ε  слагаемое ε - случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.

·        Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.

·        Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).

·        Распределение случайного члена является нормальными.

1) Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию повторных точек.

Количество повторных точек определим по графику остатков: p=5

Вычислим критическое значение по формуле:

. При  найдем

Схема критерия:

Сравним , следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

1.              Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по МНК, выполняется автоматически. С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: .

Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Гольдфельда–Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной X исходных данных () выделим первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не рассматриваем.

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым четырем наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов .

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов .

Рассчитаем статистику критерия: .

Критическое значение при уровне значимости и числах степеней свободы  составляет .

Схема критерия:

Сравним , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

2.                Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина–Уотсона

.

Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим ; используем найденную программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты .

Таким образом,

Схема критерия:

Полученное значение d=2,375, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d’=4-d=1,62 и сравним ее с двумя критическими уровнями d1=0,88 и d2=1,32.

D’=1,62 лежит в интервале от d2=1,32 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняются.

 . С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков , следовательно r(1)=2,4869Е-14/148,217=1,67788Е-16.

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение Ön и составляет для данной задачи

Сравнения показывает, что çr(1)= 1,67788Е-16<0,62, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью критерия:

.

С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим , . Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет . Тогда:

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения  и при  составляет (2,67; 3,57).

Схема критерия:

2,995  (2,67; 3,57), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса–Маркова.

4.  Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t–критерия Стьюдента ().

 t–статистика для коэффициентов уравнения приведены в таблице 4.

Для свободного коэффициента  определена статистика .

Для коэффициента регрессии  определена статистика .

Критическое значение  найдено для уравнения значимости  и числа степеней свободы   с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.

Схема критерия:

Сравнение показывает:

, следовательно, свободный коэффициент a является значимым.

, значит, коэффициент регрессии b является значимым.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F–критерия Фишера (), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R–квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ и составляет .

Таким образом, вариация объема выпуска продукции Y на 79,5% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F–критерия Фишера.

F–статистика определена  программой   РЕГРЕССИЯ (таблица  3)  и  составляет .

Критическое  значение  найдено  для  уровня  значимости   и  чисел степеней свободы , .

Схема критерия:

Сравнение показывает: ; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле  с помощью функции ABS (таблица 6).

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение  (функция СРЗНАЧ).

Схема проверки:

Сравним: 9,31% < 15%, следовательно, модель является точной.

Вывод:  на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 49, следовательно, . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:

.

Таким образом, если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 48 млн. руб.

Зададим доверительную вероятность  и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:

Предварительно подготовим:

-   стандартную ошибку модели   (Таблица 2);

-  по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение  (функция СРЗНАЧ) и определим   (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно,  стандартная  ошибка  прогнозирования  для  среднего  значения  составляет:

При  размах доверительного интервала для среднего значения

Границами прогнозного интервала будут

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 45,3 млн. руб. до 50,67 млн. руб.

7.   Представить графически фактические и модальные значения Y точки прогноза.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью опции  Добавить линию тренда… построим линию модели: 

тип → линейная;  параметры → показывать уравнение на диаграмме. 

Покажем  на  графике  результаты  прогнозирования.  Для  этого  в  опции  Исходные данные добавим ряды:

Имя → прогноз; значения ;  значения ;

Имя → нижняя граница; значения ;  значения ;

Имя → верхняя граница; значения ; значения

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной; показательной.

Гиперболическая модель  не является стандартной. 

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим  и получим вспомогательную модель . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец  значений (остается без изменений) и столбец преобразованных  значений  (таблица 7).        

Таблица 7

С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим: