Содержание

Задание 1. 3

Задание 2. 6

Задание 3. 8

Задание 4. 10

Задание 5. 13

Список литературы.. 16

Задание 1

1. Определите, на какой диаграмме показаны временные данные, а на какой пространственные (рис.1 и рис. 2).

Рисунок 1 – Структура использования денежных доходов за 2001 г

Рисунок 2 – Структура использования денежных доходов за 2001 г

Ответ:

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.[5] Эти данные представлены на рис. 1. На рис. 2 представлены пространственные данные, т.е. совокупность каких-либо параметров (в данном случае структуры денежных расходов) за один временной период (за декабрь).

2. Дайте определение регрессии.

Аппроксимация данных с учетом их статистических параметров относится к задачам регрессии. Они обычно возникают при обработке экспериментальных данных, полученных в результате измерений процессов или физических явлений, статистических по своей природе (как, например, измерения в радиометрии и ядерной геофизике), или на высоком уровне помех (шумов). Задачей регрессионного анализа является подбор математических формул, наилучшим образом описывающих экспериментальные данные.

Математическая постановка задачи регрессии заключается в следующем. Зависимость величины (числового значения) определенного свойства случайного процесса или физического явления Y от другого переменного свойства или параметра Х, которое в общем случае также может относиться к случайной величине, зарегистрирована на множестве точек xk множеством значений yk, при этом в каждой точке зарегистрированные значения yk и xk отображают действительные значения Y(хk) со случайной погрешностью sk, распределенной, как правило, по нормальному закону. По совокупности значений yk требуется подобрать такую функцию f(xk, a0, a1, … , an), которой зависимость Y(x) отображалась бы с минимальной погрешностью. Отсюда следует условие приближения:

yk = f(xk, a0, a1, … , an) + sk.

Функцию f(xk, a0, a1, … , an) называют регрессией величины y на величину х. Регрессионный анализ предусматривает задание вида функции f(xk, a0, a1, … , an) и определение численных значений ее параметров a0, a1, … , an, обеспечивающих наименьшую погрешность приближения к множеству значений yk. Как правило, при регрессионном анализе погрешность приближения вычисляется методом наименьших квадратов (МНК). Для этого выполняется минимизация функции квадратов остаточных ошибок:

s(a0, a1, … , an) =[f(xk, a0, a1, … , an) - yk]2.

Для определения параметров a0, a1, … , an функция остаточных ошибок дифференцируется по всем параметрам, полученные уравнения частных производных приравниваются нулю и решаются в совокупности относительно всех значений параметров. [3]

Таким образом, регрессия – это односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами: y = f(x)

3. Определите виды регрессий:

y = 12,5 – 1,44 x1 + 5 x2 – 2.27 x3 + e

y = 1/ (11+10,.45x1 – 9,44 x2 + 3.33 x3 – 1.37x4 + e)

y = e45.45+100x + e

Покажите, где здесь результирующая, а где объясняющие переменные. Что обозначает е в уравнениях регрессии?

Виды регрессии обычно называются по типу аппроксимирующих функций: полиномиальная, экспоненциальная, логарифмическая и т.п.

Таким образом, можно говорить о том, что

y = 12,5 – 1,44 x1 + 5 x2 – 2.27 x3 + e – это полиномиальная регрессия

y – результирующая переменная

x1, x2, x3 - объясняющие переменные

e – ошибка регрессии

y = 1/ (11+10,.45x1 – 9,44 x2 + 3.33 x3 – 1.37x4 + e) - это гипербола

y – результирующая переменная

x1, x2, x3, х4 - объясняющие переменные

e – ошибка регрессии

y = e45.45+100x + e – это экспоненциальная регрессия

y – результирующая переменная

x - объясняющая переменные

e – ошибка регрессии

Задание 2

1. Дайте определение парной регрессии.

Аналитическое выражение связей между признаками может быть представлена виде уравнений регрессии:

yx = a0+a1x

где х – значение факторного признака

у – значение результативного признака (эмпирические)

ух – теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии.

а0 и а1 – это коэффициенты регрессии, которые определяются путем решения следующей системы уравнений:

na0+a1∑x = ∑y

a0∑x+a1∑x = ∑xy2

В основе решения данной системы уравнений лежит метод наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений эмпирических значений признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии:

∑(yi-yx)2 → min

а0 - показывает влияние неучтенных в модели факторов и четкой интерпретации не имеет

а1 – показывает на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при изменении факторного признака на единицу собственного измерения [5]

 

2. По Российской Федерации за 2001 год известны значения двух признаков (табл. 1):

Таблица 1

Месяц

Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % (y)

Средний денежный доход на душу населения, руб. (x)

Январь

69

1954,7

Февраль

65,6

2292,0

Март

60,7

2545,8

Апрель

Май

Июнь

Июль

Август

Сентябрь

Октябрь

53,3

3042,8

Ноябрь

50,9

3107,2

Декабрь

47,5

4024,7

Для оценки зависимости y от x построена парная линейная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:

y  =  a + bx + e, где а = 241/4, b = 1/214

Парный коэффициент корреляции rxy = 1/ (-214) * 78

Средняя ошибка аппроксимации: А = 214/46 + 4,6

Известно, что Fтабл. = 4,96, а Fфакт = 214/2 + 5

Определите коэффициент детерминации. Определите линейную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Решение:

Найдем коэффициенты парной линейной регрессионной модели:

а = 241/4 = 60,25

b = 1/214 = 0,0047

Получим уравнение регрессии:

y = 60,25 + 0,0047x + e,

Значит, с увеличением среднего денежного дохода на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,0047 %.

Линейный коэффициент парной корреляции

rxy = 1/ (-214) * 78 = -0,36

(связь умеренная, обратная)

Найдем коэффициент детерминации

rxy2 = (-0,36)2 = 0,1296. Вариация результата на 12,96 % объясняется вариацией фактора x.

Средняя ошибка аппроксимации А = 214/46 + 4,6 = 9,25, что говорит о высокой ошибке аппроксимации (недопустимые пределы). В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 9,25 %.

Проверяем F-критерий Фишера. Для этого сравним Fтабл. и Fфакт.

Fтабл. = 4,96

Fфакт.= 112

Fтабл. < Fфакт. (4,96<112), значит гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 0,95.

Вывод: линейная парная модель плохо описывает изучаемую закономерность.

Задание 3

В табл. 2 приведены данные, формирующие цену на строящиеся квартиры в двух различных районах.

Таблица 2

Район, а/б

Жилая площадь, м2

Площадь кухни, м2

Этаж, средние/крайние

Дом, кирпич/панель

Срок сдачи, через сколько мес.

Стоимость квартиры, тыс. долл

1

17,5

8

1

1

6

17,7

1

20

8,2

1

2

1

31,2

2

23,5

11,5

2

2

9

13,6

1

77

17

2

1

1

56,6

2

150,5

30

2

2

2

139,2

2

167

31

2

1

5

141,5

Имеется шесть факторов, которые могут оказывать влияние на цену строящегося жилья:

1)    район, где расположена строящаяся квартира (а или б);

2)    жилая площадь квартиры;

3)    площадь кухни;

4)    этаж (средний или крайний);

5)    тип дома (панельный или кирпичный);

6)    срок сдачи квартиры (через сколько месяцев).

Определите минимальный объем выборки Nmin. Для оценки зависимости y от х построена линейная множественная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x3 + e

где a0 = -214/11,5

a1 = -214/8-10

a2 = 1/214+0,79

a3 = 0,1-1/214

a4 = 214/5 - 16

a5 = 0,12*214

a6 = 1/214-0,4

Какие фиктивные переменные были использованы в модели? Дайте экономическую интерпретацию полученной модели.

Решение:

Найдем минимальный объем выборки Nmin. Число факторов, включаемых в модель, m = 6, а число свободных членов в уравнении n = 1.

Nmin. = 5 (6+1) = 35

Найдем коэффициенты линейной множественной модели:

a1 = -214/8-10 = -36,75

a2 = 1/214+0,79 = 0,79

a3 = 0,1-1/214 = 0,095

a4 = 214/5 – 16 = 26,8

a5 = 0,12*214 = 25,68

a6 = 1/214-0,4 = -0,39

Получили уравнение регрессии:

y = a0 – 36,75x1 + 0,79x2 + 0,095x3 + 26,8x4 + 25,68x5 -0,39x3 + e

Экономическая интерпретация полученной модели: квартиры в районе а стоят на 36,75 % дешевле, чем в районе b. При увеличении жилой площади на 0,79 % стоимость квартиры возрастает на 0,095 %. Квартиры на средних этажах стоят на 0,095 % дороже, чем на крайних. Квартиры в кирпичных домах стоят на 25,68 % дороже, чем в панельных. При увеличении срока сдачи дома на 1 % стоимость квартиры уменьшается на 0,39%.

Фиктивные переменные – это район (принимает значения а или б), этаж (средний или крайний); тип дома (панельный или кирпичный).

Задание 4

Постройте модель сезонных колебаний дохода торгового предприятия, используя первую гармонику ряда Фурье, по данным, приведенным в табл. 2, изобразите графически.

Таблица 2

Месяц

Доход, тыс. руб.

Январь

58,33+112* (1/214) = 58,85

Февраль

52+112* (1/214) = 52,52

Март

43,67+112* (1/214) = 44,19

Апрель

41,02+112* (1/214) = 41,54

Май

42,77+112* (1/214) = 43,29

Июнь

50,01+112* (1/214) = 50,53

Июль

56,6+112* (1/214) = 57,12

Август

64,74 + 112* (1/214) = 65,26

Сентябрь

71,04+112* (1/214) = 71,56

Октябрь

73,54+112* (1/214) = 74,06

Ноябрь

72,16+112* (1/214) = 72,68

Декабрь

66,3+112* (1/214) = 66,82

Воспользуйтесь вспомогательной таблицей 3.

Таблица 3

t

соs t

sin t

0

1,00

0,00

0,523599

0,87

0,50

1,047198

0,50

0,87

1,570796

0,00

1,00

2,0944395

-0,50

0,87

2,617994

-0,87

0,50

3,141593

-1,00

0,00

3,665191

-0,87

-0,50

4,18879

-0,50

-0,87

4,712389

0,00

-1,00

5,235988

0,50

-0,87

5,759587

0,87

-0,50

Решение:

Если мы рассматриваем год как цикл, то n = 12. Параметры уравнения могут быть найдены по формулам:

a0 = ∑y/n

a1 =2/n ∑y соs t

b1 =2/n ∑y sin t

Составим вспомогательную табл. 4.

Таблица 4

Доход, тыс. руб.

соs t

y соs t

sin t

y sin t

58,85

1,00

58,85

0,00

0,00

52,52

0,87

45,69

0,50

26,26

44,19

0,50

22,09

0,87

38,44

41,54

0,00

0,00

1,00

41,54

43,29

-0,50

-21,64

0,87

37,66

50,53

-0,87

-43,96

0,50

25,56

57,12

-1,00

-57,12

0,00

0,00

65,26

-0,87

-56,77

-0,50

-32,63

71,56

-0,50

-35,78

-0,87

-62,26

74,06

0,00

0,00

-1,00

-74,06

72,68

0,50

36,34

-0,87

-63,23

66,82

0,87

58,13

-0,50

-33,41

∑= 698,42

5,83

96,13

Получили:

a0 = 698,42/12 = 58,2

a1 =2/12 *5,83 = 0,97

b1 =2/12 *96,13 = 16,02

Получили yt = 58,2+0,97 соs t + 16,02 sin t

Подставим фактические значения t в полученную первую гармонику ряда Фурье (табл. 5).

Таблица 5

Месяц

t

yt

Январь

0

58,2+0,97*1 +16,02 *0 = 59,17

Февраль

0,523599

58,2+0,97*0,87 +16,02 *0,5 = 67,05

Март

1,047198

58,2+0,97*0,5 +16,02 *0,87 = 72,62

Апрель

1,570796

58,2+0,97*0 +16,02 *1 = 74,22

Май

2,0944395

58,2+0,97*(-0,5) +16,02 *0,87 = 71,65

Июнь

2,617994

58,2+0,97*(-0,87) +16,02 *0,5 = 65,36

Июль

3,141593

58,2+0,97*(-1) +16,02 *0 = 57,23

Август

3,665191

58,2+0,97*(-0,87) +16,02 *(-0,5) = 49,35

Сентябрь

4,18879

58,2+0,97*(-0,5) +16,02 *(-0,87) = 43,77

Октябрь

4,712389

58,2+0,97*(0) +16,02 *(-1) = 42,18

Ноябрь

5,235988

58,2+0,97*(0,5) +16,02 *(-0,87) = 44,74

Декабрь

5,759587

58,2+0,97*(0,87) +16,02 *(-0,5) = 51,03

Строим график исходных данных и первой гармоники ряда Фурье (рис. 3)

Рисунок 3 – Первая гармоника ряда Фурье

Задание 5

В торгово-розничную сеть поступило 3 вида взаимозаменяемой продукции разных производителей: А1, А2, А3. Предположим, что покупатели приобретают продукцию только одного из них. Пусть в среднем они стремятся поменять ее не более одного раза в год, и вероятности таких изменений постоянны.

Результаты маркетинговых исследований покупательского спроса на продукцию дали следующее процентное соотношение:

Х1 % покупателей продукции А1 переходит на продукцию А2,

Х2 % покупателей продукции А2 -  на продукцию А3,

Х3 % покупателей продукции А3 – на продукцию А1,

Где Х1 = (214 – 90)/3

Х2 = (315-214)/5

Х3 = (214 – 90)/4

Требуется:

1.     Построить граф состояний

2.     Составить матрицу переходных вероятностей для средних годовых изменений

3.     Предположить, что общее число покупателей постоянно, и определить, какая доля из их числа будет покупать продукцию А1, А2 и А3 через 2 года

4.     Определить, какая продукция будет пользоваться наибольшим спросом

Решение:

Найдем значения Х1, Х2 и Х3.

Х1 = (214 – 90)/3 = 41,33

Х2 = (315-214)/5 = 20,2

Х3 = (214 – 90)/4 = 31

Построим граф состояний (рис. 4):

Рисунок 4 – Граф состояний системы

Составим матрицу переходных вероятностей:

||Pij|| =  =

Зададим вектор начальных вероятностей

Р(0) =

Т.е. Р1 (0) = 1

Р2 (0) = 1

Р3(0) = 1

Определим вероятности состояния Рi (k) после первого шага (после первого года):

Р1(1) = Р1(0)Р11 + Р2(0)Р21 + Р3(0)Р31 = 1*0,587 + 1*0 + 1*0,31 = 0,897

Р2(1) = Р1(0)Р12 + Р2(0)Р22 + Р3(0)Р32 = 1*0,413 + 1*0,798 + 1*0 = 1,211

Р3(1) = Р1(0)Р13 + Р2(0)Р23 + Р3(0)Р33 = 1*0+ 1*0,202 + 1*0,69 = 0,892

Определим вероятности состояний после второго шага (после второго года):

Р1(2) = Р1(1)Р11 + Р2(1)Р21 + Р3(1)Р31 = 0,897*0,587 + 1,211*0 + 0,892*0,31 = 0,803

Р2(2) = Р1(1)Р12 + Р2(1)Р22 + Р3(1)Р32 = 0,897*0,413 + 1,211*0,798 + 0,892*0 = 1,337

Р3(1) = Р1(1)Р13 + Р2(1)Р23 + Р3(1)Р33 = 0,897*0+ 1,211*0,202 + 0,892*0,69 = 0,86

Вывод: через два года 80,3% покупателей будут приобретать продукцию А1, около86 % покупателей – А3, число покупателей продукции А2 увеличится в 1,3 раза.

Продукция А2 будет пользоваться наибольшим спросом.

Список литературы

1)               Бахтин А.Е. Математическое моделирование в экономике. Часть 1,2. – Новосибирск, 1995

2)               Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономи­ческая теория. – М., Прогресс,1975.

3)               Кубонива Р. Математическая экономика на персональном компьюте­ре. – М., Финансы и статистика,1991.

4)               Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М., Нау­ка,1987.

5)               Рональд У. Ларсен. Инженерные расчеты в Excel :  Научно-популярное издание. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2002. – 544 с.

6)               Справочник по математике для экономистов. – М., Высшая шко­ла,1987.

7)               Эконометрика: Методические указания и задания контрольной работы/ Сост. канд.. тех.наук, доцент А.А. Алетдинова. – Новосибирск: СибУПК, 2003.