1. Определите, на какой диаграмме показаны временные данные, а на какой пространственные (рис.1 и рис. 2).

Рисунок 1 – Структура использования денежных доходов за 2001 г

Рисунок 2 – Структура использования денежных доходов за 2001 г

Ответ:

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.[5] Эти данные представлены на рис. 1. На рис. 2 представлены пространственные данные, т.е. совокупность каких-либо параметров (в данном случае структуры денежных расходов) за один временной период (за декабрь).

2. Дайте определение регрессии.

Аппроксимация данных с учетом их статистических параметров относится к задачам регрессии. Они обычно возникают при обработке экспериментальных данных, полученных в результате измерений процессов или физических явлений, статистических по своей природе (как, например, измерения в радиометрии и ядерной геофизике), или на высоком уровне помех (шумов). Задачей регрессионного анализа является подбор математических формул, наилучшим образом описывающих экспериментальные данные.

Математическая постановка задачи регрессии заключается в следующем. Зависимость величины (числового значения) определенного свойства случайного процесса или физического явления Y от другого переменного свойства или параметра Х, которое в общем случае также может относиться к случайной величине, зарегистрирована на множестве точек x_k множеством значений y_k, при этом в каждой точке зарегистрированные значения y_k и x_k отображают действительные значения Y(х_k) со случайной погрешностью s_k, распределенной, как правило, по нормальному закону. По совокупности значений y_k требуется подобрать такую функцию f(x_k, a0, a1, … , an), которой зависимость Y(x) отображалась бы с минимальной погрешностью. Отсюда следует условие приближения:

y_k = f(x_k, a0, a1, … , an) + s_k.

Функцию f(x_k, a0, a1, … , an) называют регрессией величины y на величину х. Регрессионный анализ предусматривает задание вида функции f(x_k, a0, a1, … , an) и определение численных значений ее параметров a0, a1, … , an, обеспечивающих наименьшую погрешность приближения к множеству значений y_k. Как правило, при регрессионном анализе погрешность приближения вычисляется методом наименьших квадратов (МНК). Для этого выполняется минимизация функции квадратов остаточных ошибок:

s(a0, a1, … , an) =[f(x_k, a0, a1, … , an) - y_k]².

Для определения параметров a0, a1, … , an функция остаточных ошибок дифференцируется по всем параметрам, полученные уравнения частных производных приравниваются нулю и решаются в совокупности относительно всех значений параметров. [3]

Таким образом, регрессия – это односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами: y = f(x)

3. Определите виды регрессий:

y = 12,5 – 1,44 x₁ + 5 x₂ – 2.27 x₃ + e

y = 1/ (11+10,.45x₁ – 9,44 x₂ + 3.33 x₃ – 1.37x₄ + e)

y = e^{45.45+100x + e}

Покажите, где здесь результирующая, а где объясняющие переменные. Что обозначает е в уравнениях регрессии?

Виды регрессии обычно называются по типу аппроксимирующих функций: полиномиальная, экспоненциальная, логарифмическая и т.п.

Таким образом, можно говорить о том, что

y = 12,5 – 1,44 x₁ + 5 x₂ – 2.27 x₃ + e – это полиномиальная регрессия

y – результирующая переменная

x₁, x₂, x₃ - объясняющие переменные

e – ошибка регрессии

y = 1/ (11+10,.45x₁ – 9,44 x₂ + 3.33 x₃ – 1.37x₄ + e) - это гипербола

y – результирующая переменная

x₁, x₂, x₃, х₄ - объясняющие переменные

e – ошибка регрессии

y = e^{45.45+100x + e} – это экспоненциальная регрессия

y – результирующая переменная

x - объясняющая переменные

e – ошибка регрессии

Задание 2

1. Дайте определение парной регрессии.

Аналитическое выражение связей между признаками может быть представлена виде уравнений регрессии:

yx = a₀+a₁x

где х – значение факторного признака

у – значение результативного признака (эмпирические)

ух – теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии.

а0 и а1 – это коэффициенты регрессии, которые определяются путем решения следующей системы уравнений:

na₀+a₁∑x = ∑y

a₀∑x+a₁∑x = ∑xy²

В основе решения данной системы уравнений лежит метод наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений эмпирических значений признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии:

∑(y_i-yx)² → min

а₀ - показывает влияние неучтенных в модели факторов и четкой интерпретации не имеет

а₁ – показывает на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при изменении факторного признака на единицу собственного измерения [5]

2. По Российской Федерации за 2001 год известны значения двух признаков (табл. 1):

Таблица 1

Для оценки зависимости y от x построена парная линейная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:

y  =  a + bx + e, где а = 241/4, b = 1/214

Парный коэффициент корреляции r_xy = 1/ (-214) * 78

Средняя ошибка аппроксимации: А = 214/46 + 4,6

Известно, что F_табл. = 4,96, а F_факт = 214/2 + 5

Определите коэффициент детерминации. Определите линейную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Решение:

Найдем коэффициенты парной линейной регрессионной модели:

а = 241/4 = 60,25

b = 1/214 = 0,0047

Получим уравнение регрессии:

y = 60,25 + 0,0047x + e,

Значит, с увеличением среднего денежного дохода на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,0047 %.

Линейный коэффициент парной корреляции

r_xy = 1/ (-214) * 78 = -0,36

(связь умеренная, обратная)

Найдем коэффициент детерминации

r_xy² = (-0,36)² = 0,1296. Вариация результата на 12,96 % объясняется вариацией фактора x.

Средняя ошибка аппроксимации А = 214/46 + 4,6 = 9,25, что говорит о высокой ошибке аппроксимации (недопустимые пределы). В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 9,25 %.

Проверяем F-критерий Фишера. Для этого сравним F_табл. и F_факт.

F_табл. = 4,96

F_факт.= 112

F_табл. < F_факт. (4,96<112), значит гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 0,95.

Вывод: линейная парная модель плохо описывает изучаемую закономерность.

Задание 3

В табл. 2 приведены данные, формирующие цену на строящиеся квартиры в двух различных районах.

Таблица 2

Имеется шесть факторов, которые могут оказывать влияние на цену строящегося жилья:

1)    район, где расположена строящаяся квартира (а или б);

2)    жилая площадь квартиры;

3)    площадь кухни;

4)    этаж (средний или крайний);

5)    тип дома (панельный или кирпичный);

6)    срок сдачи квартиры (через сколько месяцев).

Определите минимальный объем выборки N_min. Для оценки зависимости y от х построена линейная множественная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + a₄x₄ + a₅x₅ + a₆x₃ + e

где a₀ = -214/11,5

a₁ = -214/8-10

a₂ = 1/214+0,79

a₃ = 0,1-1/214

a₄ = 214/5 - 16

a₅ = 0,12*214

a₆ = 1/214-0,4

Какие фиктивные переменные были использованы в модели? Дайте экономическую интерпретацию полученной модели.

Решение:

Найдем минимальный объем выборки N_min. Число факторов, включаемых в модель, m = 6, а число свободных членов в уравнении n = 1.

N_min. = 5 (6+1) = 35

Найдем коэффициенты линейной множественной модели:

a₁ = -214/8-10 = -36,75

a₂ = 1/214+0,79 = 0,79

a₃ = 0,1-1/214 = 0,095

a₄ = 214/5 – 16 = 26,8

a₅ = 0,12*214 = 25,68

a₆ = 1/214-0,4 = -0,39

Получили уравнение регрессии:

y = a₀ – 36,75x₁ + 0,79x₂ + 0,095x₃ + 26,8x₄ + 25,68x₅ -0,39x₃ + e

Экономическая интерпретация полученной модели: квартиры в районе а стоят на 36,75 % дешевле, чем в районе b. При увеличении жилой площади на 0,79 % стоимость квартиры возрастает на 0,095 %. Квартиры на средних этажах стоят на 0,095 % дороже, чем на крайних. Квартиры в кирпичных домах стоят на 25,68 % дороже, чем в панельных. При увеличении срока сдачи дома на 1 % стоимость квартиры уменьшается на 0,39%.

Фиктивные переменные – это район (принимает значения а или б), этаж (средний или крайний); тип дома (панельный или кирпичный).

Задание 4

Постройте модель сезонных колебаний дохода торгового предприятия, используя первую гармонику ряда Фурье, по данным, приведенным в табл. 2, изобразите графически.

Таблица 2

Воспользуйтесь вспомогательной таблицей 3.

Таблица 3

Решение:

Если мы рассматриваем год как цикл, то n = 12. Параметры уравнения могут быть найдены по формулам:

a₀ = ∑y/n

a₁ =2/n ∑y соs t

b₁ =2/n ∑y sin t

Составим вспомогательную табл. 4.

Таблица 4

Получили:

a₀ = 698,42/12 = 58,2

a₁ =2/12 *5,83 = 0,97

b₁ =2/12 *96,13 = 16,02

Получили y_t = 58,2+0,97 соs t + 16,02 sin t

Подставим фактические значения t в полученную первую гармонику ряда Фурье (табл. 5).

Таблица 5

Строим график исходных данных и первой гармоники ряда Фурье (рис. 3)

Рисунок 3 – Первая гармоника ряда Фурье

Задание 5

В торгово-розничную сеть поступило 3 вида взаимозаменяемой продукции разных производителей: А1, А2, А3. Предположим, что покупатели приобретают продукцию только одного из них. Пусть в среднем они стремятся поменять ее не более одного раза в год, и вероятности таких изменений постоянны.

Результаты маркетинговых исследований покупательского спроса на продукцию дали следующее процентное соотношение:

Х1 % покупателей продукции А1 переходит на продукцию А2,

Х2 % покупателей продукции А2 -  на продукцию А3,

Х3 % покупателей продукции А3 – на продукцию А1,

Где Х1 = (214 – 90)/3

Х2 = (315-214)/5

Х3 = (214 – 90)/4

Требуется:

1.     Построить граф состояний

2.     Составить матрицу переходных вероятностей для средних годовых изменений

3.     Предположить, что общее число покупателей постоянно, и определить, какая доля из их числа будет покупать продукцию А1, А2 и А3 через 2 года

4.     Определить, какая продукция будет пользоваться наибольшим спросом

Решение:

Найдем значения Х1, Х2 и Х3.

Х1 = (214 – 90)/3 = 41,33

Х2 = (315-214)/5 = 20,2

Х3 = (214 – 90)/4 = 31

Построим граф состояний (рис. 4):

Рисунок 4 – Граф состояний системы

Составим матрицу переходных вероятностей:

||P_ij|| =  =

Зададим вектор начальных вероятностей

Р(0) =

Т.е. Р₁ (0) = 1

Р₂ (0) = 1

Р₃(0) = 1

Определим вероятности состояния Р_i (k) после первого шага (после первого года):

Р₁(1) = Р₁(0)Р₁₁ + Р₂(0)Р₂₁ + Р₃(0)Р₃₁ = 1*0,587 + 1*0 + 1*0,31 = 0,897

Р₂(1) = Р₁(0)Р₁₂ + Р₂(0)Р₂₂ + Р₃(0)Р₃₂ = 1*0,413 + 1*0,798 + 1*0 = 1,211

Р₃(1) = Р₁(0)Р₁₃ + Р₂(0)Р₂₃ + Р₃(0)Р₃₃ = 1*0+ 1*0,202 + 1*0,69 = 0,892

Определим вероятности состояний после второго шага (после второго года):

Р₁(2) = Р₁(1)Р₁₁ + Р₂(1)Р₂₁ + Р₃(1)Р₃₁ = 0,897*0,587 + 1,211*0 + 0,892*0,31 = 0,803

Р₂(2) = Р₁(1)Р₁₂ + Р₂(1)Р₂₂ + Р₃(1)Р₃₂ = 0,897*0,413 + 1,211*0,798 + 0,892*0 = 1,337

Р₃(1) = Р₁(1)Р₁₃ + Р₂(1)Р₂₃ + Р₃(1)Р₃₃ = 0,897*0+ 1,211*0,202 + 0,892*0,69 = 0,86

Вывод: через два года 80,3% покупателей будут приобретать продукцию А1, около86 % покупателей – А3, число покупателей продукции А2 увеличится в 1,3 раза.

Продукция А2 будет пользоваться наибольшим спросом.

Список литературы

1)               Бахтин А.Е. Математическое моделирование в экономике. Часть 1,2. – Новосибирск, 1995

2)               Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономи­ческая теория. – М., Прогресс,1975.

3)               Кубонива Р. Математическая экономика на персональном компьюте­ре. – М., Финансы и статистика,1991.

4)               Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М., Нау­ка,1987.

5)               Рональд У. Ларсен. Инженерные расчеты в Excel :  Научно-популярное издание. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2002. – 544 с.

6)               Справочник по математике для экономистов. – М., Высшая шко­ла,1987.

7)               Эконометрика: Методические указания и задания контрольной работы/ Сост. канд.. тех.наук, доцент А.А. Алетдинова. – Новосибирск: СибУПК, 2003.