ВАРИАНТ 4

Задача 1

 

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация (табл.1), характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.).

                                                                                                            

     Таблица 1

X	36	28	43	52	51	54	25	37	51	29
Y	104	77	117	137	143	144	82	101	132	77

Требуется:

1.     Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2.      Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3.     Проверить выполнение предпосылок МНК.

4.     Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (a = 0,05).

5.     Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (a = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6.     Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости a =0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7.     Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8.     Составить уравнение нелинейной регрессии:

·        гиперболической;

·        степенной;

·        показательной.

   Привести графики построенных уравнений регрессии.

9.     Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение.

1. Уравнение линейной регрессии имеет вид: .

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 2.

Таблица 2

№ п/п	x	y	y*x	x*x	yi - yср	(yi - yср)2	xi - xср	(xi - xср)2	ŷ=а+b*xi
1	36	104	3744	1296	-7,40	54,76	-4,6	21,16	100,36
2	28	77	2156	784	-34,40	1183,36	-12,6	158,76	81,16
3	43	117	5031	1849	5,60	31,36	2,4	5,76	117,16
4	52	137	7124	2704	25,60	655,36	11,4	129,96	138,76
5	51	143	7293	2601	31,60	998,56	10,4	108,16	136,36
6	54	144	7776	2916	32,60	1062,76	13,4	179,56	143,56
7	25	82	2050	625	-29,40	864,36	-15,6	243,36	73,96
8	37	101	3737	1369	-10,40	108,16	-3,6	12,96	102,76
9	51	132	6732	2601	20,60	424,36	10,4	108,16	136,36
10	29	77	2233	841	-34,40	1183,36	-11,6	134,56	83,56
Сумма	406	1114	47876	17586	0,00	6566,40	0,00	1102,40
Среднее	40,6	111,4	4787,6	1758,6

Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ = 13,96 + 2,4´ х

Интерпретировать можно лишь знак при параметре а. В этой задаче, а>0, следовательно, относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Иными словами, вариация результата меньше вариации фактора – коэффициент вариации по фактору х выше коэффициента вариации для результата у: Vx >Vy.

2. Значения остатков е_i рассчитаны в таблице 3. Остаток е_i – расхождение между фактическим и спрогнозированным значениями величины у. Квадратный корень из этой величины называется стандартной ошибкой оценки.

                                                                                                                     Таблица 3

ei = yi - ŷ	|ei/yi|*100%	ei2	ei-ei-1	(ei-ei-1)2	ei*ei-1
3,64	3,50	13,25	-	-	-
-4,16	5,40	17,31	-7,8	60,84	-15,1424
-0,16	0,14	0,03	4	16	0,6656
-1,76	1,28	3,10	-1,6	2,56	0,2816
6,64	4,64	44,09	8,4	70,56	-11,6864
0,44	0,31	0,19	-6,2	38,44	2,9216
8,04	9,80	64,64	7,6	57,76	3,5376
-1,76	1,74	3,10	-9,8	96,04	-14,1504
-4,36	3,30	19,01	-2,6	6,76	7,6736
-6,56	8,52	43,03	-2,2	4,84	28,6016
0,00	38,64	207,74		353,80	2,70
	3,86

 

Остаточная сумма квадратов отклонений   

Стандартная ошибка оценки  S_e = 5,1

Рис.1. График остатков

3. Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона.

Автокорреляция случайной составляющей нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.

Значение статистики dw  найдено по промежуточным данным в таблице 3. Оценки, полученные по критерию, являются не точными, а интервальными. Верхние (d₂) и нижние (d₁) критические значения для уровня значимости a=0,05, k = 1, n=10 берем из таблицы d₁=1,08 и d₂=1,36. Перед сравнением с табличными значениями dw критерий следует преобразовать по формуле     dw'= 4 – dw = 4- 1,703= 2,3. Таким образом, получается, что dw>2, что свидетельствует о наличии отрицательной корреляции.

Установив наличие автокорреляции остатков, переходят к улучшению модели. В частности, можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции.

Для принятия решения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции r(1) сопоставляется с табличным значением для 5%-ного уровня значимости. r(1)_табл. =0,36> 0,013, следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции может быть принята.

 

4. Значимость коэффициентов уравнения регрессии оценим с использованием t-критерия Стьюдента.

Значения t-критерия вычислим по формулам для соответствующих коэффициентов регрессии.

           

Коэффициент Стьюдента t для m = n- 2 = 8 степеней свободы и уровня значимости a=0,05 равен 2,3060.

Так как t – расчетное с (n – 2) степенями свободы в обоих случаях превышает t – табличное при заданном уровне значимости, то оба коэффициента регрессии считаются значимыми.

5. Рассчитаем коэффициент детерминации:

.

Он показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т.е. определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

Чем ближе R² к 1, тем лучше качество модели.

Таким образом, вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 96,84% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений). Качество модели очень хорошее, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные, и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака.

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера:

F>F_табл= 5,32 для a=0,05, k₁ =m =1, k₂ = n-m-1 = n-2 =8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F>F_табл..

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

В среднем значение ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 3,864%. Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Так как ошибка аппроксимации данной модели меньше 7%, то это свидетельствует о хорошем качестве модели.

6. Пусть х_прогн= 0,8*х_max = 0,8*54= 43,2, сделаем прогноз для среднего значения показателя Y при уровни значимости a=0,1.

Стандартную ошибку предсказываемого по линии регрессии значения найдем по формуле:

;

.

Дана формула характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении х_прогн  достигает минимума при х_прогн = х, и возрастает по мере того, как «удаляется» от х в любом направлении.

Для прогнозируемого значения ŷ_х  95%-ные доверительные интервалы при заданном х_прогн определяются выражением , т.е.  или  ±43,11, при значении коэффициента Стьюдента t_a=25,968 для m=8 степеней свободы и уровня значимости 0,1.

Прогнозное значение составит у_прогн = 13,96 +2,4 ∙ 43,2 = 117,64, которое представляет собой точечный прогноз.

Прогноз линии регрессии в интервале составит:

117,64 - 43,11 £ £ 117,64+43,11 т.е.

74,53 £ £ 160,75.

7. Построим график фактических, модельных значений Y, точек прогноза.

Для линейной модели регрессии доверительный интервал рассчитывается следующим образом. Оценивается величина отклонения от линии регрессии (обозначим ее U):

Коэффициент Стьюдента t_a для m=8 степеней свободы (m=n-1) и уровня значимости 0,1 равен 1,8595. Тогда:

Таким образом, прогнозное значение = 117,64 будет находиться между верхней границей, равной 117,64+9,974 = 127,6, и нижней границей, равной 117,64-9,974 = 107,7. График исходных данных и результаты моделирования приведены на рис. 2.

Рис.2. График модели парной регрессии зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложения.

 

8. Составим уравнение нелинейной регрессии:

 

а)Построение гиперболической функции.

Уравнение гиперболической функции: ŷ = a+b/x

Произведем линеаризацию модели путем замены   Х = 1/х.

В результате получим линейное уравнение: ŷ = a+b ∙Х

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 4:

Таблица 4

№ п/п	x	y	Х	уХ	Х2	у-уср	(у-уср)2	ŷ=a+b*Xi	ei = yi - ŷ	(y-ŷ)2	|ei/yi|*100%
1	36	104	0,0278	2,8889	0,0008	-7,4	54,76	107,26	-3,2645	10,6567	3,1389
2	28	77	0,0357	2,7500	0,0013	-34,4	1183,36	81,12	-4,1224	16,9945	5,3538
3	43	117	0,0233	2,7209	0,0005	5,6	31,36	122,16	-5,1593	26,6188	4,4097
4	52	137	0,0192	2,6346	0,0004	25,6	655,36	135,42	1,5826	2,5046	1,1552
5	51	143	0,0196	2,8039	0,0004	31,6	998,56	134,18	8,8246	77,8739	6,1711
6	54	144	0,0185	2,6667	0,0003	32,6	1062,76	137,76	6,2365	38,8939	4,3309
7	25	82	0,0400	3,2800	0,0016	-29,4	864,36	67,01	14,9943	224,8277	18,2857
8	37	101	0,0270	2,7297	0,0007	-10,4	108,16	109,74	-8,7374	76,3415	8,6509
9	51	132	0,0196	2,5882	0,0004	20,6	424,36	134,18	-2,1754	4,7323	1,6480
10	29	77	0,0345	2,6552	0,0012	-34,4	1183,36	85,18	-8,1790	66,8954	10,6220
Сумма	406	1114	0,2652	27,7182	0,0076		6566,4	1114	0,0000	546,3394	63,7661
Среднее	40,6	111,4	0,0265	2,7718	0,0008						6,3766

 

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

ŷ= 198,76-3293,9/х.

На рис. 3 представлен график гиперболической функции.

Рис.3. График гиперболической функции

б)Построение степенной функции.

Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a+x^b.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lg ŷ = lg a +b lg x.

                                                                                                    Таблица 5

№ п/п	Факт Y(t)	lg (Y)	Переменная Х(t)	lg(x)
1	104	2,0170	36	1,5563
2	77	1,8865	28	1,4472
3	117	2,0682	43	1,6335
4	137	2,1367	52	1,7160
5	143	2,1553	51	1,7076
6	144	2,1584	54	1,7324
7	82	1,9138	25	1,3979
8	101	2,0043	37	1,5682
9	132	2,1206	51	1,7076
10	77	1,8865	29	1,4624
Сумма	1114	20,3473	406	15,9290
Среднее	111,4	2,0347	40,6	1,5929

Обозначим Y= lg ŷ, X= lg x, А= lg а. Тогда уравнение примет вид          Y= A+ bX – линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 6.

Таблица 6

№ п/п	y	Y	x	X	YX	X2	ŷ=10A ´ xb= =4,661´ x 0,8577	ei = yi - ŷ	|ei/yi|*100%	ei2
1	104	2,0170	36	1,5563	3,1391	2,4221	100,773	3,23	3,10	10,41
2	77	1,8865	28	1,4472	2,7301	2,0943	81,233	-4,23	5,50	17,92
3	117	2,0682	43	1,6335	3,3783	2,6682	117,363	-0,36	0,31	0,13
4	137	2,1367	52	1,7160	3,6666	2,9447	138,141	-1,14	0,83	1,30
5	143	2,1553	51	1,7076	3,6804	2,9158	135,859	7,14	4,99	50,99
6	144	2,1584	54	1,7324	3,7391	3,0012	142,686	1,31	0,91	1,73
7	82	1,9138	25	1,3979	2,6754	1,9542	73,708	8,29	10,11	68,75
8	101	2,0043	37	1,5682	3,1432	2,4593	103,170	-2,17	2,15	4,71
9	132	2,1206	51	1,7076	3,6210	2,9158	135,859	-3,86	2,92	14,89
10	77	1,8865	29	1,4624	2,7588	2,1386	83,715	-6,71	8,72	45,09
Сумма	1114	20,3473	406	15,9290	32,5320	25,5141		1,49	39,55	215,92
Среднее	111,4	2,0347	40,6	1,5929	3,2532	2,5514			3,96	21,59

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y= 0,6685+0,8577 ´ Х.

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ = 10^0,6685 ´ х^0,8577.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

ŷ = 4,6611´ х^0,8577.

На рис. 4 представлен график степенной функции.

       

Рис.4. график степенной функции

 

в)Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой: ŷ =а ∙ b^х.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lg ŷ = lg a + lg x ∙ b.

Обозначим Y= lg ŷ, B= lg b, A= lg a.

Получим линейное уравнение регрессии: Y = A+B∙x.

Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 7.

Уравнение будет иметь вид: Y= 1,6402 – 0,0097х

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ =10^1,6402´(10^0,0097)^х = 43,68´ 1,023^х.

       

Таблица 7

№ п/п	y	Y	x	Yx	x2	Y-Yср	(Y-Yср)2	x-xср	(x-xср)2	ŷ=10A´(10B)x= =43,68´1,023x	ei = yi - ŷ	ei2	|ei/yi|*100%
1	104	2,017	36	72,613	1296	-0,018	0,0003	-4,6	21,16	99,039	4,961	24,6133	4,7704
2	77	1,886	28	52,822	784	-0,148	0,0220	-12,6	158,76	82,566	-5,566	30,9785	7,2284
3	117	2,068	43	88,932	1849	0,033	0,0011	2,4	5,76	116,127	0,873	0,7613	0,7458
4	137	2,137	52	111,109	2704	0,102	0,0104	11,4	129,96	142,500	-5,500	30,2526	4,0148
5	143	2,155	51	109,922	2601	0,121	0,0145	10,4	108,16	139,296	3,704	13,7165	2,5899
6	144	2,158	54	116,552	2916	0,124	0,0153	13,4	179,56	149,131	-5,131	26,3234	3,5629
7	82	1,914	25	47,845	625	-0,121	0,0146	-15,6	243,36	77,121	4,879	23,8032	5,9498
8	101	2,004	37	74,160	1369	-0,030	0,0009	-3,6	12,96	101,317	-0,317	0,1003	0,3136
9	132	2,121	51	108,149	2601	0,086	0,0074	10,4	108,16	139,296	-7,296	53,2377	5,5276
10	77	1,886	29	54,708	841	-0,148	0,0220	-11,6	134,56	84,465	-7,465	55,7240	9,6946
Сумма	1114	20,347	406	836,813	17586		0,1085		1102,4		-16,859	259,5109	44,3977
Среднее	111,4	2,035	40,6	83,681	1758,6				110,24				4,4398

Рис.5. График показательной функции

9.  Значения коэффициента детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации для рассмотренных моделей находим из расчетных значений таблиц 4, 6, 7. Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Модель	параметры
Коэффициент детерминации	Средняя относительная ошибка
Гиперболическая	0,917	6,38
Степенная	0,967	3,96
Показательная	0,961	4,44

Коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов. Чем ближе R к 1, тем лучше качество модели. Значит, по этому параметру лучшей моделью является степенная (R² = 0,967).

Средняя относительная ошибка аппроксимации показывает, на сколько в среднем расчетные значения ŷ для модели отличаются от фактических значений. Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Значит, по этому параметру лучшей моделью является степенная (Ē_отн = 3,96).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Афанасьев В.Н. Эконометрика: Учебник / В. Н. Афанасьев, М. М. Юзбашев, Т. И. Гуляева; Под ред. В.Н.Афанасьева. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 256с.

2. Балдин К.В. Эконометрика: Учебное пособие / К. В. Балдин, О. Ф. Быстров, М. М. Соколов. - 2-е изд.; перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 2004. - 254с.

3. Кремер Н.Ш. Эконометрика: Учебник / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко; [ВЗФЭИ]; Под ред. Н.Ш.Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 311с.

4. Магнус Я.Р. Эконометрика. Начальный курс: Учебник / Я. Р. Магнус, П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. - 6-е изд.; перераб. и доп. - М.: Дело, 2004. - 576с.

5. Тихомиров Н.П. Эконометрика: Учебник / Н. П. Тихомиров, Е. Ю. Дорохина. - М.: Экзамен, 2003. - 512с.

6. Эконометрика: Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 344с.