ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

Контрольная работа

по дисциплине

«ЭКОНОМЕТРИКА»

Вариант № 2

Выполнила:

Студентка 3 курса:

Факультет: финансово-кредитный

Специальность: финансы и кредит

Форма обучения: вечер

Номер личного дела: Проверил:

Калуга 2008

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

	72	52	73	74	76	79	54	68	73	64
	121	84	119	117	129	128	102	111	112	98

РЕШЕНИЕ:

1). Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Таблица 1

Наблюдение	Объем капиталовложений, млн. руб.(X)	Объем выпуска продукции, млн. руб. (Y)
1	72	121	8,9	3,5	12,25	31,15	8712	5184
2	52	84	-28,1	-16,5	272,25	463,65	4368	2704
3	73	119	6,9	4,5	20,25	31,05	8687	5329
4	74	117	4,9	5,5	30,25	26,95	8658	5476
5	76	129	16,9	7,5	56,25	126,75	9804	5776
6	79	128	15,9	10,5	110,25	166,95	10112	6241
7	54	102	-10,1	-14,5	210,25	146,45	5508	2916
8	68	111	-1,1	-0,5	0,25	0,55	7548	4624
9	73	112	-0,1	4,5	20,25	-0,45	8176	5329
10	64	98	-14,1	-4,5	20,25	63,45	6272	4096
Сумма	685	1121	0,0	0,0	752,5	1 056,5	77845,0	47675,0
Среднее	68,5	112,1					7 784,5	4 767,5

Для вычисления параметров модели следует воспользоваться формулами и расчетными данными из таблицы 1.

Модель зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений имеет вид

Рис. 1

С увеличением объемов капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 1,404 млн. руб.

2). Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

                                                                   и т.д.

Таблица 2

ВЫВОД ОСТАТКОВ

Наблюдение

Предсказанное,

Остатки,

1

72

121

117,01

3,99

15,92

2

52

84

88,93

-4,93

24,30

3

73

119

118,42

0,58

0,34

4

74

117

119,82

-2,82

7,95

5

76

129

122,63

6,37

40,58

6

79

128

126,84

1,16

1,35

7

54

102

91,74

10,26

105,27

8

68

111

111,40

-0,40

0,16

9

73

112

118,42

-6,42

41,22

10

64

98

105,78

-7,78

60,53

ИТОГО

685

1121

1120,99

0

297,61

Дисперсия остатков равна

Рис. 2

3). Проверить выполнение предпосылок МНК.

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.

Оценим адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.[1]

3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:

Используем данные табл. 3

Таблица 3

Наблюдение

1

3,99

15,92

-

-

2

-4,93

24,30

-8,92

79,57

3

0,58

0,34

5,51

30,36

4

-2,82

7,95

-3,4

11,56

5

6,37

40,58

9,19

84,46

6

1,16

1,35

-5,21

27,14

7

10,26

105,27

9,1

82,81

8

-0,40

0,16

-10,66

113,64

9

-6,42

41,22

-6,02

36,24

10

-7,78

60,53

-1,36

1,85

Сумма

0

297,61

467,62

,

Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от d₂ до 2 (рис. 4.7). Свойство независимости выполняется. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Анализ независимости с помощью критерия Дарбина – Уотсона    Рис. 3

1)

2)

3)

4)

d1

d2

2

4

свойство не выполняется

применять другой

критерий

свойство выполняется

преобразовать dn=4-d

0

d1

d2

2

4

1,08

1,36

1,5712

|r(1)|<0,36

3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 – (16n-29)/90]

Количество поворотных точек равно 6 (рис. 4).

Рис. 4

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:

, где

- максимальный уровень ряда остатков,

- минимальный уровень ряда остатков,

     - среднеквадратическое отклонение,

,

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.

В нашем случае , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

3.5. Обнаружение гетероскедастичности.

Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Гольфельда-Квандта, необходимо упорядочить имеющиеся наблюдения по мере возрастания, разделить совокупности на две группы, определить уравнения регрессии (с помощью Excel), определить остаточные суммы квадратов для регрессии, вычислить отношение между ними и сравнить с F- критерием.

х1

У1

ŷ1

ε²1

х2

У2

ŷ2

ε²2

52

84

95,71

137,11

73

119

116,23

7,67

54

102

97,68

18,70

73

112

116,23

17,90

64

98

107,51

90,41

74

117

118,62

2,61

68

111

111,44

0,19

76

129

123,38

31,53

72

121

115,37

31,65

79

128

130,54

6,44

сумма

278,06

сумма

66,15

Используя надстройки Excel, найдем F – критерий равный 6,389.

Наблюдаемое F = 4,203 меньше критического, что означает, что модель гомоскедастична.

В таблице 4 собраны данные анализа ряда остатков.

Анализ ряда остатков                                     Таблица 4

Проверяемое свойство

Используемые статистики

Граница

Вывод

наименование

значение

нижняя

верхняя

Независимость

d – критерий Дарбина-Уотсона

1,36

2

адекватна

Случайность

Критерий пиков (поворотных точек)

6 > 2

2

адекватна

Нормальность

RS – критерий

2,96

2,7

3,7

адекватна

Среднее = 0 ?

t – статистика

Стьюдента

0,000

-2,179

2,179

адекватна

Вывод: модель статистически адекватна

4). Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t – критерия (t – статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:



Где

Расчетная таблица

Таблица 5

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Y-пересечение

а₀

15,927

15,352

1,037

Объем капиталовложений,

млн. руб.(X)

а₁

1,404

0,222

6,315

Сравнивая расчетное значение с табличным значением (при n-2 и степеней свободы 0,05 табличное равно 2,306004). Делаем вывод о том, что фактор а₀следует исключить из модели, так как расчетное значение t меньше табличного (при этом качество модели не ухудшится).

5). Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в квадрат (R²), называется коэффициентом детерминации.

Таблица 6

Расчет коэффициента детерминации

Наблюдение

1

15,92

8,9

79,21

2

24,30

-28,1

789,61

3

0,34

6,9

47,61

4

7,95

4,9

24,01

5

40,58

16,9

285,61

6

1,35

15,9

252,81

7

105,27

-10,1

102,01

8

0,16

-1,1

1,21

9

41,22

-0,1

0,01

10

60,53

-14,1

198,81

Сумма

297,61

0,0

1780,9

Чем ближе R² к 1, тем качество модели лучше.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,29 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Для проверки значимости модели регрессии используется F – критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

                                                                               , где k – количество факторов, включенных в модель.

F > F_таб. =5, 32 для a = 0, 05; k₁= 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:

, где

Таблица 7

Расчет относительной ошибки аппроксимации

Наблюдение

Y

Предсказанное Y

1

121

117,01

3,99

0,03

2

84

88,93

-4,93

0,06

3

119

118,42

0,58

0,005

4

117

119,82

-2,82

0,02

5

129

122,63

6,37

0,05

6

128

126,84

1,16

0,01

7

102

91,74

10,26

0,10

8

111

111,40

-0,40

0,00

9

112

118,42

-6,42

0,06

10

98

105,78

-7,78

0,08

Сумма

1121

1120,99

0

0,41

В среднем расчетные значения предсказанного у для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,13 %.

Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.

6). Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение Х = 79*80 % = 63,2

Прогнозируемое значение переменной у получается при подстановке в уравнение регрессии

ожидаемой величины фактора х.

Используя данные таблицы 2, найдем величину отклонения от линии регрессии.

Коэффициент Стьюдента         для m = 8 степеней свободы (m = n-2) и уровня значимости равен 3,3554.

Таким образом, прогнозное значение                            будет находиться между верхней границей, равной 104,6588 + 21,8246 = 126,4834 и нижней границей, равной 104,6588 - 21,8246 = 82,8342.

Эластичность линейной модели равна

На 85,79% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.

Преобразуем график подбора (рис. 1), дополнив его данными прогноза.

Рис. 5

8). Составить уравнения нелинейной регрессии:

·                   гиперболической;

·                   степенной;

·                   показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

8.1. Составить уравнения нелинейной регрессии гиперболической.

Уравнение гиперболической функции

Произведем линеаризацию модели путем замены                В результате получим линейное уравнение

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 8.

Таблица 8

Гиперболическая модель

Наблюдение

x

y

X

yX

X^2

|ε/y|*100%

1

72

121

0,0139

1,6806

0,0001929

8,9

79,21

117,551

3,449

11,899

2,851

2

52

84

0,0192

1,6154

0,0003698

-28,1

789,61

87,861

-3,861

14,911

4,597

3

73

119

0,0137

1,6301

0,0001877

6,9

47,61

118,608

0,392

0,154

0,329

4

74

117

0,0135

1,5811

0,0001826

4,9

24,01

119,637

-2,637

6,953

2,254

5

76

129

0,0132

1,6974

0,0001731

16,9

285,61

121,613

7,387

54,564

5,726

6

79

128

0,0127

1,6203

0,0001602

15,9

252,81

124,390

3,610

13,030

2,820

7

54

102

0,0185

1,8889

0,0003429

-10,1

102,01

91,820

10,180

103,632

9,980

8

68

111

0,0147

1,6324

0,0002163

-1,1

1,21

113,010

-2,010

4,040

1,811

9

73

112

0,0137

1,5342

0,0001877

-0,1

0,01

118,608

-6,608

43,665

5,900

10

64

98

0,0156

1,5313

0,0002441

-14,1

198,81

107,902

-9,902

98,042

10,104

Сумма

685

1121

0,1487

16,412

0,0022573

1 780,9

1121,0

0,00

350,888

46,373

Среднее

68,5

112,1

0,01487

1,6412

0,0002257

4,637

                                                                                                                          Получим следующее уравнение                                                         гиперболической модели:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 80,30% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

F > F_таб_. =5, 32 для a = 0, 05; k₁= 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Средняя относительная ошибка



В среднем расчетные значения       для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 4,64%.

Эластичность гиперболической модели равна

На 71,42% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.

Рис. 6

Гиперболическая модель

8.2. Составить уравнения нелинейной регрессии степенной.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Таблица 9

Логарифмирование

Наблюдение

y

lg(y)

x

lg(x)

1

121

2,0828

72

1,8573

2

84

1,9243

52

1,7160

3

119

2,0755

73

1,8633

4

117

2,0682

74

1,8692

5

129

2,1106

76

1,8808

6

128

2,1072

79

1,8976

7

102

2,0086

54

1,7324

8

111

2,0453

68

1,8325

9

112

2,0492

73

1,8633

10

98

1,9912

64

1,8062

Сумма

1121

20,4630

685

18,3187

Среднее

112,1

2,0463

68,5

1,8319

Обозначим

Тогда уравнение примет вид:                           линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 10.

Таблица 10

Степенная модель

Наблюдение

y

Y

x

X

Y X

X^2

|ε/y|*100%

1

121

2,0828

72

1,8573

3,86842

3,4497

116,862

4,138

3,420

17,122

2

84

1,9243

52

1,7160

3,30207

2,9447

88,874

-4,874

5,802

23,754

3

119

2,0755

73

1,8633

3,86741

3,4720

118,226

0,774

0,650

0,599

4

117

2,0682

74

1,8692

3,86592

3,4940

119,587

-2,587

2,211

6,694

5

129

2,1106

76

1,8808

3,96963

3,5375

122,301

6,699

5,193

44,882

6

128

2,1072

79

1,8976

3,99870

3,6010

126,350

1,650

1,289

2,724

7

102

2,0086

54

1,7324

3,47969

3,0012

91,741

10,259

10,058

105,250

8

111

2,0453

68

1,8325

3,74807

3,3581

111,376

-0,376

0,338

0,141

9

112

2,0492

73

1,8633

3,81835

3,4720

118,226

-6,226

5,559

38,765

10

98

1,9912

64

1,8062

3,59651

3,2623

105,837

-7,837

7,997

61,425

Сумма

1121

20,4630

685

18,3187

37,5148

33,5923

1,621

42,52

301,355

Среднее

112,1

2,0463

68,5

1,8319

3,7515

3,3592



                                                                  Перейдем к исходным переменным x и y:

                                                                          Получим уравнение степенной модели регрессии:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации равен 0,8308:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,08% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

F > F_таб_. =5, 32 для a = 0,05; k₁= 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Средняя относительная ошибка



В среднем расчетные значения       для степенной модели отличаются от фактических значений на 4,25%.

Эластичность степенной модели равна

На 84,0% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.

Рис. 7

Степенная модель

8.3. Составить уравнения нелинейной регрессии показательной.

Уравнение показательной кривой:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим

Получим линейное уравнение регрессии:

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 11.

Перейдем к исходным переменным, выполнив потенцирование данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной.

Коэффициент детерминации равен 0,7708.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 77,08% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

F > F_таб. =5, 32 для a = 0,05; k₁= 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Средняя относительная ошибка



В среднем расчетные значения       для показательной модели отличаются от фактических значений на 4,82%.

Рис. 8

Показательная модель

Таблица 11

Показательная модель

Наблюдение

y

У

x

Ух

x^2

|ε/y|*100%

1

121

2,0828

72

149,96

5184

0,0365

0,0013

3,5

12,25

112,95

64,81

8,051

6,653

2

84

1,9243

52

100,06

2704

-0,1220

0,0149

-16,5

272,25

87,24

10,47

-3,236

3,852

3

119

2,0755

73

151,51

5329

0,0293

0,0009

4,5

20,25

114,42

21,00

4,582

3,851

4

117

2,0682

74

153,05

5476

0,0219

0,0005

5,5

30,25

115,91

1,20

1,095

0,936

5

129

2,1106

76

160,40

5776

0,0643

0,0041

7,5

56,25

118,94

101,24

10,062

7,800

6

128

2,1072

79

166,47

6241

0,0609

0,0037

10,5

110,25

123,64

19,03

4,363

3,408

7

102

2,0086

54

108,46

2916

-0,0377

0,0014

-14,5

210,25

89,52

155,78

12,481

12,237

8

111

2,0453

68

139,08

4624

-0,0010

0,0000

-0,5

0,25

107,26

13,97

3,738

3,368

9

112

2,0492

73

149,59

5329

0,0029

0,0000

4,5

20,25

114,42

5,85

-2,418

2,159

10

98

1,9912

64

127,44

4096

-0,0551

0,0030

-4,5

20,25

101,86

14,91

-3,861

3,940

Сумма

1121

20,4630

685

1406,04

47 675

0,0299

752,50

408,26

34,857

48,20

Среднее

112,1

2,0463

68,5

140,604

4 767,5

40,826

4,82

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов (табл. 12).

Таблица 12

параметры/модель

Коэффициент детерминации R^2

F - критерий Фишера

Индекс корреляции рxy

Средняя относительная ошибка

Линейная

0,8329

39,88

0,9126

4,13

Гиперболическая

0,8030

32,61

0,8961

4,64

Степенная

0,8308

39,29

0,9115

4,25

Показательная

0,7708

26,9

0,8779

4,82

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение F – критерия Фишера и большее значение коэффициента R² имеет линейная модель. Её можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

Задача 2

Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Номер уравнения

А

Б

переменные

переменные

у₁

у₂

у₃

х₁

х₂

х₃

х₄

у₁

у₂

у₃

х₁

х₂

х₃

х₄

1

-1

0

b₁₃

а₁₁

a₁₂

а₁₃

0

-1

b₁₂

0

а₁₁

a₁₂

а₁₃

0

2

b₂₁

-1

b₂₃

0

0

а₂₃

a₂₄

0

-1

b₂₃

а₂₁

0

а₂₃

a₂₄

3

0

b₃₂

-1

а₃₁

0

a₃₃

а₃₄

0

b₃₂

-1

а₃₁

0

a₃₃

а₃₄

Решение

А) Составим структурную модель:

y₁ = b₁₃y₃ + a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃

y₂ = b₂₁y₁ + b₂₃y₃ + a₂₃x₃ + a₂₄x₄

y₃ = b₃₂у₂ + a₃₁x₁ + a₃₃x₃ + а₃₄х₄

Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении две эндогенные переменные: у₁ и у₃ (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная х₄ (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у₂ и х₄.

Таблица 1

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у₂ и х₄

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

у₂

x₄

2

-1

a₂₄

3

b₃₂

а₃₄

В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты взяты из уравнений 2 и 3 системы.

Определитель представленной в табл. 1 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и первое уравнение идентифицируемо.

Во втором уравнении три эндогенные переменные: у₁, у₂ и у₃ (Н = 3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х₁ и х₂ (D = 2). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х₁ и x₂, которые отсутствуют во втором уравнении (табл. 2).

Таблица 2

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных х₁ и х₂

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

х₁

x₂

1

а₁₁

a₁₂

3

а₃₁

0

Определитель представленной в табл. 2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении две эндогенные переменные: у₂ и у₃ (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная х₂ (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у₁ и х₂, которые отсутствуют в третьем уравнении (табл. 3).

Таблица 3

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у₁ и х₂

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

у₁

x₂

1

-1

a₁₂

2

b₂₁

0

Определитель представленной в табл. 3 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и третье уравнение идентифицируемо.

СФМ идентифицируема так как каждое ее уравнение идентифицируемо.

Б) Составим структурную модель:

y₁ = b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + а₁₃х₃

y₂ = b₂₃y₃ + а₂₁х₁ + a₂₃x₃ + a₂₄x₄

y₃ = b₃₂y₂ + а₃₁x₁ + a₃₃x₃ + a₃₄x₄

Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении две эндогенные переменные: у₁, и у₂ (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная х₄ (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у₃ и х₄.

Таблица 4

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у₃ и х₄

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

у₃

x₄

2

b₂₃

a₂₄

3

-1

а₃₄

В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты взяты из уравнений 2 и 3 системы.

Определитель представленной в табл. 4 матрицы не равен нулю, достаточное условие выполнено, и первое уравнение идентифицируемо.

Во втором уравнении две эндогенные переменные: у₂ и у₃ (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная х₂ (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у₁ и x₂, которые отсутствуют во втором уравнении (табл. 5).

Таблица 5

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у₁ и х₂

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

у₁

x₂

1

-1

a₁₂

3

0

0

Определитель представленной в табл. 5 матрицы равен нулю (так как вторая строка равна нулю), а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие не выполнено, и второе уравнение неидентифицируемо.

В третьем уравнении две эндогенные переменные: у₂ и у₃ (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная х₂ (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у₁ и х₂, которые отсутствуют в третьем уравнении (табл. 6).

Таблица 6

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у₁ и х₂

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

у₁

x₂

1

-1

a₁₂

2

0

0

Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

СФМ неидентифицируема так как не все ее уравнение идентифицируемы.

В) По данным таблицы, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:

y₁ = а₀₁ + b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + ε₁

y₂ = а₀₂ + b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + ε₂

n

y₁

y₂

x₁

x₂

1

28,3

51,7

7

12

2

4,4

11,5

1

1

3

33,1

64,6

10

14

4

14,6

38,4

9

4

5

35,9

64,1

7

17

6

39,5

55,0

1

20

Решение

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в табл. 7.

Таблица 7

Фактические данные для построения модели

n

y₁

y₂

x₁

x₂

1

28,3

51,7

7

12

2

4,4

11,5

1

1

3

33,1

64,6

10

14

4

14,6

38,4

9

4

5

35,9

64,1

7

17

6

39,5

55

1

20

Сумма

155,8

285,3

35

68

Средн. знач.

26,0

47,6

5,8

11,3

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:

y₁ = d₁₁x₁ + d₁₂x₂ + u₁

y₂ = d₂₁x₁ + d₂₂x₂ + u₂

где u₁ и u₂ — случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у = у - у_ср и х = х - х_ср (у_ср и х_ср — средние значения). Преобразованные таким образом данные табл. 7 сведены в табл. 8. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов d_lk. Переменные, означающие отклонение от средних значений, изображаются далее жирным шрифтом и курсивом.

Для нахождения коэффициентов d₁_k первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Таблица 8

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

n

y₁

y₂

x₁

x₂

y_1* x₁

x_1* x₂

y_1* x₂

y_2* x₁

y_2* x₂

1

2,3

4,2

1,2

0,7

2,72

1,36

0,78

1,56

4,84

2,77

0,44

2

-21,6

-36,1

-4,8

-10,3

104,24

23,36

49,94

222,86

174,24

372,52

106,78

3

7,1

17,1

4,2

2,7

29,72

17,36

11,11

19,02

71,04

45,47

7,11

4

-11,4

-9,1

3,2

-7,3

-35,99

10,03

-23,22

83,36

-28,98

67,10

53,78

5

9,9

16,6

1,2

5,7

11,59

1,36

6,61

56,29

19,31

93,78

32,11

6

13,5

7,5

-4,8

8,7

-65,41

23,36

-41,89

117,29

-36,01

64,57

75,11

Сумма

0,00

0,00

0,00

0,00

46,87

76,83

3,33

500,37

204,45

646,20

275,33

Подставляя рассчитанные в табл. 8 значения сумм, получим:

46,87 = 76,83d₁₁ + 3,33d₁₂;

500,37 = 3,33d₁₁ + 275,33d₁₂.

Решение этих уравнений дает значения d₁₁ = 0,53 и d₁₂ = 1,81.

Первое уравнение приведенной формы модели примет вид:

У₁ = 0,53x₁ + 1,81х₂+ u₁.

Для нахождения коэффициентов d₂_k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Подставляя рассчитанные в табл. 8 значения сумм, получим:

204,45 = 76,83d₂₁ + 3,33d₂₂;

646,20 = 3,33d₂₁ + 275,33d₂₂.

Решение этих уравнений дает значения d₂₁ = 2,56 и d₂₂= 2,32.

Второе уравнение приведенной формы модели примет вид:

у₂ = 2,56x₁ + 2,32x₂ + u₂.

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х₂ из второго уравнения приведенной формы модели:

x₂ = (у₂– 2,56х₁) / 2,32.

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

y₁ = 0,53x₁ + 1,81(y₂ – 2,56x₁) / 2,32 = 0,53x₁ + 0,78у₂ – 2,00x₁ =

= 0,78у₂ – 1,47x₁.

Таким образом, b₁₂ = 0,78; а₁₁ = -1,47.

Найдем x₁ из первого уравнения приведенной формы модели:

х₁ = (у₁ – 1,81x₂ ) / 0,53.

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

у₂ = 2,32x₂ + 2,56 (у₁ – 1,81x₂) / 0,53 = 2,32x₂ + 4,82y₁ – 8,73x₂ =

= 4,82y₁ — 6,41x₂.

Таким образом, b₂₁ = 4,82; а₂₂ = -6,41.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

A₀₁ = y_1,cp – b₁₂y_2,cp – a₁₁x_1,cp = 26,0 – 0,78 • 47,6 – 1,47 • 5,8 = -2,637;

A₀₂ = y_2,cp – b₂₁y_1,cp – a₂₂x_2,cp = 47,6 – 4,82 • 26,0 – 6,41 • 11,3 = -4,926.

Окончательный вид структурной модели:

y₁ = a₀₁ + b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + ε₁ = -2,637 + 0,782y₂ — 1,47x₁ + ε₁

y₂ = a₀₂ + b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + ε₂ = -4,926 + 4,818y₁ — 6,41x₂ + ε₂

[1] Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.

ВЫВОД ОСТАТКОВ
Наблюдение			Предсказанное,	Остатки,
1	72	121	117,01	3,99	15,92
2	52	84	88,93	-4,93	24,30
3	73	119	118,42	0,58	0,34
4	74	117	119,82	-2,82	7,95
5	76	129	122,63	6,37	40,58
6	79	128	126,84	1,16	1,35
7	54	102	91,74	10,26	105,27
8	68	111	111,40	-0,40	0,16
9	73	112	118,42	-6,42	41,22
10	64	98	105,78	-7,78	60,53
ИТОГО	685	1121	1120,99	0	297,61

1)			2)		3)	4)

	d1	d2		2		4
свойство не выполняется	применять другой критерий	свойство выполняется	преобразовать dn=4-d
0	d1	d2		2		4
	1,08	1,36	*1,5712*


			\|r(1)\|<0,36

х1	У1	ŷ1	ε²1	х2	У2	ŷ2	ε²2
52	84	95,71	137,11	73	119	116,23	7,67
54	102	97,68	18,70	73	112	116,23	17,90
64	98	107,51	90,41	74	117	118,62	2,61
68	111	111,44	0,19	76	129	123,38	31,53
72	121	115,37	31,65	79	128	130,54	6,44
		сумма	278,06			сумма	66,15

Проверяемое свойство	Используемые статистики	Граница	Вывод
наименование	значение	нижняя	верхняя
Независимость	d – критерий Дарбина-Уотсона		1,36	2	адекватна
Случайность	Критерий пиков (поворотных точек)	6 > 2	2	адекватна
Нормальность	RS – критерий	2,96	2,7	3,7	адекватна
Среднее = 0 ?	t – статистика Стьюдента	0,000	-2,179	2,179	адекватна
Вывод: модель статистически адекватна

Наблюдение
1	15,92	8,9	79,21
2	24,30	-28,1	789,61
3	0,34	6,9	47,61
4	7,95	4,9	24,01
5	40,58	16,9	285,61
6	1,35	15,9	252,81
7	105,27	-10,1	102,01
8	0,16	-1,1	1,21
9	41,22	-0,1	0,01
10	60,53	-14,1	198,81
Сумма	297,61	0,0	1780,9

Наблюдение	Y	Предсказанное Y
1	121	117,01	3,99	0,03
2	84	88,93	-4,93	0,06
3	119	118,42	0,58	0,005
4	117	119,82	-2,82	0,02
5	129	122,63	6,37	0,05
6	128	126,84	1,16	0,01
7	102	91,74	10,26	0,10
8	111	111,40	-0,40	0,00
9	112	118,42	-6,42	0,06
10	98	105,78	-7,78	0,08
Сумма	1121	1120,99	0	0,41

Гиперболическая модель

Наблюдение	x	y	X	yX	X^2						\|ε/y\|*100%
1	72	121	0,0139	1,6806	0,0001929	8,9	79,21	117,551	3,449	11,899	2,851
2	52	84	0,0192	1,6154	0,0003698	-28,1	789,61	87,861	-3,861	14,911	4,597
3	73	119	0,0137	1,6301	0,0001877	6,9	47,61	118,608	0,392	0,154	0,329
4	74	117	0,0135	1,5811	0,0001826	4,9	24,01	119,637	-2,637	6,953	2,254
5	76	129	0,0132	1,6974	0,0001731	16,9	285,61	121,613	7,387	54,564	5,726
6	79	128	0,0127	1,6203	0,0001602	15,9	252,81	124,390	3,610	13,030	2,820
7	54	102	0,0185	1,8889	0,0003429	-10,1	102,01	91,820	10,180	103,632	9,980
8	68	111	0,0147	1,6324	0,0002163	-1,1	1,21	113,010	-2,010	4,040	1,811
9	73	112	0,0137	1,5342	0,0001877	-0,1	0,01	118,608	-6,608	43,665	5,900
10	64	98	0,0156	1,5313	0,0002441	-14,1	198,81	107,902	-9,902	98,042	10,104
*Сумма*	*685*	*1121*	*0,1487*	*16,412*	*0,0022573*		*1 780,9*	*1121,0*	*0,00*	*350,888*	*46,373*
*Среднее*	*68,5*	*112,1*	*0,01487*	*1,6412*	*0,0002257*						*4,637*

Наблюдение	y	lg(y)	x	lg(x)
1	121	2,0828	72	1,8573
2	84	1,9243	52	1,7160
3	119	2,0755	73	1,8633
4	117	2,0682	74	1,8692
5	129	2,1106	76	1,8808
6	128	2,1072	79	1,8976
7	102	2,0086	54	1,7324
8	111	2,0453	68	1,8325
9	112	2,0492	73	1,8633
10	98	1,9912	64	1,8062
Сумма	1121	20,4630	685	18,3187
Среднее	112,1	2,0463	68,5	1,8319

		Степенная модель

Наблюдение	y	Y	x	X	Y X	X^2			\|ε/y\|*100%
1	121	2,0828	72	1,8573	3,86842	3,4497	116,862	4,138	3,420	17,122
2	84	1,9243	52	1,7160	3,30207	2,9447	88,874	-4,874	5,802	23,754
3	119	2,0755	73	1,8633	3,86741	3,4720	118,226	0,774	0,650	0,599
4	117	2,0682	74	1,8692	3,86592	3,4940	119,587	-2,587	2,211	6,694
5	129	2,1106	76	1,8808	3,96963	3,5375	122,301	6,699	5,193	44,882
6	128	2,1072	79	1,8976	3,99870	3,6010	126,350	1,650	1,289	2,724
7	102	2,0086	54	1,7324	3,47969	3,0012	91,741	10,259	10,058	105,250
8	111	2,0453	68	1,8325	3,74807	3,3581	111,376	-0,376	0,338	0,141
9	112	2,0492	73	1,8633	3,81835	3,4720	118,226	-6,226	5,559	38,765
10	98	1,9912	64	1,8062	3,59651	3,2623	105,837	-7,837	7,997	61,425
*Сумма*	*1121*	*20,4630*	*685*	*18,3187*	*37,5148*	*33,5923*		*1,621*	*42,52*	*301,355*
*Среднее*	*112,1*	*2,0463*	*68,5*	*1,8319*	*3,7515*	*3,3592*

Показательная модель

Наблюдение	y	У	x	Ух	x^2								\|ε/y\|*100%
1	121	2,0828	72	149,96	5184	0,0365	0,0013	3,5	12,25	112,95	64,81	8,051	6,653
2	84	1,9243	52	100,06	2704	-0,1220	0,0149	-16,5	272,25	87,24	10,47	-3,236	3,852
3	119	2,0755	73	151,51	5329	0,0293	0,0009	4,5	20,25	114,42	21,00	4,582	3,851
4	117	2,0682	74	153,05	5476	0,0219	0,0005	5,5	30,25	115,91	1,20	1,095	0,936
5	129	2,1106	76	160,40	5776	0,0643	0,0041	7,5	56,25	118,94	101,24	10,062	7,800
6	128	2,1072	79	166,47	6241	0,0609	0,0037	10,5	110,25	123,64	19,03	4,363	3,408
7	102	2,0086	54	108,46	2916	-0,0377	0,0014	-14,5	210,25	89,52	155,78	12,481	12,237
8	111	2,0453	68	139,08	4624	-0,0010	0,0000	-0,5	0,25	107,26	13,97	3,738	3,368
9	112	2,0492	73	149,59	5329	0,0029	0,0000	4,5	20,25	114,42	5,85	-2,418	2,159
10	98	1,9912	64	127,44	4096	-0,0551	0,0030	-4,5	20,25	101,86	14,91	-3,861	3,940
*Сумма*	*1121*	*20,4630*	*685*	*1406,04*	*47 675*		*0,0299*		*752,50*		*408,26*	*34,857*	*48,20*
*Среднее*	*112,1*	*2,0463*	*68,5*	*140,604*	*4 767,5*						*40,826*		*4,82*

параметры/модель	Коэффициент детерминации R^2	F - критерий Фишера	Индекс корреляции рxy	Средняя относительная ошибка

Линейная	0,8329	39,88	0,9126	4,13
Гиперболическая	0,8030	32,61	0,8961	4,64
Степенная	0,8308	39,29	0,9115	4,25
Показательная	0,7708	26,9	0,8779	4,82

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
у₂	x₄
2	-1	a₂₄
3	b₃₂	а₃₄

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
х₁	x₂
1	а₁₁	a₁₂
3	а₃₁	0

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
у₁	x₂
1	-1	a₁₂
2	b₂₁	0

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
у₃	x₄
2	b₂₃	a₂₄
3	-1	а₃₄

n	y₁	y₂	x₁	x₂
1	28,3	51,7	7	12
2	4,4	11,5	1	1
3	33,1	64,6	10	14
4	14,6	38,4	9	4
5	35,9	64,1	7	17
6	39,5	55,0	1	20

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

«ЭКОНОМЕТРИКА»

Задача 2

Решение

Таблица 1

Таблица 2

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных х1 и х2

Таблица 3

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у1 и х2

Таблица 4

Таблица 5

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у1 и х2

Таблица 6

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у1 и х2

Решение

Таблица 7

Фактические данные для построения модели

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных х₁ и х₂

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у₁ и х₂

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у₁ и х₂

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у₁ и х₂