Министерство образования Российской Федерации

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Кафедра  математики и информатики

КОНТРОЛЬная  работа

по дисциплине «Финансовая математика»

Вариант № 9

                                                                                      Выполнила студентка 4 курса

                                                                             2 потока 1 подгруппы

                                                                          Факультет: «ФиК»

                                                                          Специальность: «ФиК»

                                                                          № зачетной книжки: 05ФФД40419

                                                                          Бадретдинова А.Н.

                                                                          Руководитель: Хусаинова З.Ф.

Уфа 2007

 

Задания к контрольной работе.

Задание 1.

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1) Построить   адаптивную   мультипликативную   модель   Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглажи­вания α1 =0,3; α2=0,6;  α3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием сред­ней относительной ошибки аппроксимации.

3)    Оценить адекватность построенной модели на основе исследо­вания:

-       случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

-       независимости уровней ряда остатков  по d-критерию (крити­ческие значения d1, = l,10 и d2=1,37)  и по первому коэффициен­ту автокорреляции при критическом значении r1 =0,32;

-       нормальности    распределения    остаточной    компоненты    по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Таблица №1  -  Исходные данные.

Квартал

Вариант 1

1

41

2

52

3

62

4

40

5

44

6

56

7

68

8

41

9

47

10

60

11

71

12

44

13

52

14

64

15

77

16

47

 

Решение:

Исходные данные:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Y(t)

41

52

62

40

44

56

68

41

47

60

71

44

52

64

77

47

1. Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса

Линейная модель имеет вид: Yp = a(0) + b(0)*t

Согласно методу наименьших квадратов:

 ;  ;

Все расчеты произведем в таблице

Уравнение с учетом найденных коэффициентов имеет вид: Yp = 49,6 + 0,4*t. Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями:

Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта –Уинтерса.

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t), F(T) для t=1 значения параметров сглаживания α1=0,3, α2=0,6, α3=0,3.

 

 

2. Проверка качества модели

Промежуточные значения для оценки адекватности модели

2) Проверка точности модели

,

Еотн<5% - модель значима с высокой степенью точности

3. Проверка адекватности модели

а) проверка случайности уровней:

Гипотеза подтверждается, если, где . Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. Тогда рассчитав, получим q= int (2/3*(16-2) -2*) = 6.

Из таблицы Р = 10, т.е. можно заключить, что гипотеза выполнена.

б) проверка независимостей уровня ряда остатков (отсутствия автокорреляции)

- по критерию Дарбина - Уотсона: табличные значения d1 = 1,08, d2 = 1,36.  

неоднозначный ответ

- по первому коэффициенту корреляции:

Критический уровень для N<15 (табличное значение) rкр = 0,32,

т.к. |r(1)| ≤ rкр – сильная автокорреляция

в) Расчет нормальности распределения остаточной компоненты по RS-критерию с критическими уровнями 3 - 4,21

, где

т.е. можно заключить, что распределение нормальное.

г) Значимость коэффициентов регрессии аj оценим с помощью t-критерия Стьюдента:

Табличное значение t для вероятности 95% и v1=n-k-1=14: tтабл=2,15

Т.к. tрасч>tтабл, то параметр b статистически значим

4. Построение точечного прогноза

5.Отразим на графике расчетные, фактические и прогнозные данные.

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принят равным пяти дням. Рассчитать:

- экспонциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица № 2  -  Исходные данные.

Вариант 1

Дни

Цены

макс.

мин.

закр.

1

998

970

982

2

970

922

922

3

950

884

902

4

880

823

846

5

920

842

856

6

889

840

881

7

930

865

870

8

890

847

852

9

866

800

802

10

815

680

699

Решение:

Введем исходные данные в ячейки В2:Е13.

Расчет проведем в таблице.

Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА) определяется по формуле:

EMAt = Ct*K + EMAt-1*(1- K) ,

где  Ct - цена закрытия i-го дня ( i = (t –n +1),…,t);

n - интервал сглаживания (n = 5)

K = 2/(n+1) = 2/(5+1)= 0,33, запишем это значение в ячейку D$19.

ЕМА5 = (С12345)/n, в ячейку С33 введем формулу: ==СУММ(B29:B33)/5.

ЕМА66*K+EMA5*(1-K), в ячейку С34 введем формулу: =B34*D$19+C33*(1-D$19), аналогично заполним ячейки С35:С38  формулами. 

Момент (МОМ): МОМt = Ct - Ct-n

Положительное значение МОМ  свидетельствует о росте цен.

Движение графика вверх (7-9 день) в зону положительных значений является относительным сигналом к покупке, а движение графика вниз (9 - 10 день) в зону отрицательных значений является относительным сигналом к продаже.

Скорость изменения цен (ROC): ROCt = Ct/Ct-n *100%

ROC является отражением скорости изменения цены , а также указывает направление этого изменения. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Нахождения индекса выше линии 100 и положительная динамика в 7-9 дни говорит о сигнале к покупке. На 7-8 день скорость изменения цен была максимальной.

Индекс относительной силы (RSI):

RSI = 100 - 100/(1+AU/AD),

где AU  - сумма приростов конечных цен за n дней;

AD - сумма убыли конечных цен за n дней.

 

Рассчитаем сумму повышений:

Рассчитаем сумма понижений:

Индекс силы рассчитаем в ячейках J34:J38. В ячейку J34 введем формулу =100-100/(1+H34/I34), в остальных проделаем те же операции.

Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности - выше 75-80. Сигналом служит разворот RSI в указанных зонах и выход из нее. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вошел в зону, ограниченной линией 80%, на 6-10 день. Это значит, что цены поднялись слишком высоко, надо ждать их падения и подготовится к продаже. Сигналом к продаже послужит момент выхода графика из зоны перепроданности.

Стохастические линии

Смысл индексов %К и  %R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цена ,а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной. Индексы %R и %К проверяют куда больше тяготеет цена закрытия.

Значение индекса текущего дня:

t =100(Ct - L5)/(H5-L5)

%R = (Ct-L5)/ (H5-L5)*100%

%

L5, H5 - соответственно минимальная и максимальная цены за предшествующие 5 дней;

Ct – цена закрытия текущего дня.

 

Критические значения %К практически во все дни анализа (зона перекупленности) свидетелствует о том, что можно ожидать скорого разворота тренда, т.е. падения цен. Как видно из графика и из таблицы  если цена закрытия ближе к максимальной цене, то наблюдается рост цен , в противном случае,падение.

Задание 3.

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров при­ведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет - время в годах, i - ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответст­вующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

3.1 Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - Тн, возврата - Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Про­центы рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.

Найти:

1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу­ды.

3.2 Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Ка­кова первоначальная сумма и дисконт?

3.3 Через  Tдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год   равен 360 дням). Определить полу­ченную предприятием сумму и дисконт.

3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Опре­делить наращенную сумму.

3.5 Ссуда,  размером   S  руб.   предоставлена  на   Тлет.   Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

3.6 Вычислить эффективную ставку процента, если банк начис­ляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годо­вых.

Определить, какой должна быть номинальная ставка при на­числении процентов т раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i % годовых.

Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Опре­делить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Опреде­лить дисконт.

3.10.  В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые т раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i %. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

ЗАДАНИЕ 3

Сумма, S

                 4 500 000  

руб.

Дата начальная, Тн

09.01.2002

Дата конечная, Тк

21.03.2002

Время в днях, Тдн

90

Время в годах, Тлет

5

Ставка, i

50

%

Число начислений, m

4

Решение:

1

Используя формулы: I = P*n*i и n = t/K получим: I = S*i*t/K,  где I - сумма процентов, S - наращенная сумма, i - ставка простых процентов, t - срок ссуды в днях, K - число дней в году (временная база).

1.1 Точный процент с точным числом дней ссуды

К =365 - количество дней в году, точное количество дней за данный срок: t =

71

I = S*i*t/K =4500000*0,5*72/365=

               437 671,23  

руб.

1.2. Обыкновенный процент с точным числом дней ссуды

Берем год условно состоящий из 12 месяцев по 30 дней, т.е. К =360 и точное количество дней за данный срок: t =

71

I = S*i*t/K =4500000*0,5*72/360=

               443 750,00  

руб.

1.3. Обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды

К =360, так как берется приближенное число дней ссуды (30 дней в месяце), то t =

72

I = S*i*t/K =4500000*0,5*73/360=

               450 000,00  

руб.

Т.о., с точки зрения кредитора выгоднее вести расчеты точными процентами с точным числом дней ссуды, так как начисляются наименьшие прценты.

С точки же зрения банка предпочтителен расчет обыкновенными процентами с приближенным числом дней ссуды.

2.

Произведем расчет по следующим формулам: P= S / (1+ n*i), где P - первоначальная сумма, S - наращенная сумма, i - ставка простых процентов, n - продолжительность периода начисления

 D = S - P, где  D - дисконт

Первоначальная сумма:

P= S / (1+ n*i) =4500000/(1+0,5*90/360)=

  4 000 000,00  

руб.

Дисконт:

 D = S - P =

     500 000,00  

руб.

Т.е. первоначальная сумма должника 

90

дней назад составляла

  4 000 000,00  

рублей,

а величина дисконта за этот период составила

               500 000,00  

руб.

3.

Дисконт расчитывается по формуле:D = S*n*d, где где n - cсрок ссуды, n= Tдн/K, Тдн - число дней в году

D = S*n*d =4500000*0,5*90/360=

               562 500,00  

руб.

где n - cрок ссуды, n= Tдн/K, К - число дней в году

Полученная сумма составит: P = S - D =

            3 937 500,00  

руб.

Т.о., предприятие получит

            3 937 500,00  

рублей, и величина дисконта,

с которым банк приобрел вексель составил

               562 500,00  

руб.

4.

Воспользуемся формулой S =P (1 + i)n , где S  - наращенная сумма,(1 + i)n- множитель наращения , i- годовая ставка сложных процентов, n  - срок ссуды

S =4500000*(1+0,5)5=

          34 171 875,00  

руб.

где n = Тлет

Через

5

лет на кредит в размере

            4 500 000,00  

рублей буде наращена сумма

     34 171 875  

рублей.

5.

Используем формулу: S =P * (1 + j / m)N, где j / m - стака, по которой каждый раз начиляются проценты, j  - номинальная ставка,  N - число периодов начислений

S =4500000*(1+0,5/4)20=

          47 452 922,29  

руб.

где N = 5*4=20

За

5

лет наращенная сумма при таком начислении составит

    47 452 922,29  

руб.

6.

Воспользуемся формулой расчета эффективной ставки процента: iэф  =(1 + j/m)m - 1 , где  m - количество раз начислений процентов в году

iэф  =(1 + 0,5/4)4 -1=

0,602

или

60,2%

Если банк начисляет проценты

4

раз в году, исходя из номинальной ставки

50%

годовых

эффективная ставка процента составит

60,2%

7.

Определим номинальную ставку по формуле: j  = m*((1 + iэф)1/m - 1) , гд все составляющие формулы описаны выше.

j  = 4*((1+0,5)1/4 - 1)=

0,427

или

42,7%

Если проценты начисляются

4

раза в год номинальная ставка должна быть равна

42,7%

чтобы обеспечить эффективную ставку в размере

50

% годовых.

8.

Современная стоимость определяется по формуле: P= S/(1+i)n

P= S/(1+i)n = 4500000/(1+0,5)5=

               592 592,59  

руб.

где n = Тлет

Современная стоимость предприятия при данных условиях составит

        592 592,59  

рублей,

что меньше суммы, которая будет выплачена в будущем.

9.

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле P= S*(1-dсл)n , где dсл - сложная годовая учетная ставка

P= 4500000*(1-0,5)5=

               140 625,00  

руб.

где n = Тлет

dсл =

50

%

Дисконт составит D = S - P =

            4 359 375,00  

руб.

Дискон по учтенному банком векселю составит

            4 359 375,00  

руб.

10.

Наращенная сумма расчитывается по формуле S = R*((1 +j/m)mn - 1)/((1 +j/m)m - 1)

где n = Тлет, R =

  4 500 000,00  

руб.

S =4500000*((1+0,50/4)20-1)/((1+0,50/4)4 -1)=

          71 373 294,00  

руб.

Сумма на расчетном счете к концу указанного срока составит

        71 373 294  

руб.