Оптимизация в экономике

Целью дисциплины "Оптимизация в экономике" является обучение студентов общим вопросам теории моделирования, методам построения математических моделей и формального  описания процессов и объектов, применению математических моделей для проведения расчетов и решения оптимизационных задач в экономике.

Современная экономическая теория, как на микро-, так и на макроуровне, включает как естественный, необходимый элемент, математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических величин и объектов и из сформулированных данных и соотношений получить выводы, адекватные изучаемому экономическому объекту или процессу. Для изучения различных экономических явлений используются их упрощенные формальные описания, называемые экономическими или экономико-математическими моделями. Примерами таких моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое экономическое явление. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет заранее оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки для выбора наиболее приемлемых решений при управлении.

Многие из разработанных в течение десятилетий экономико-математических моделей и методов достаточно сложны и во всей полноте доступны для понимания только специалистам. Кроме того, часть из них не до конца исследована. Поэтому при принятии важных решений в сложных случаях имеет место практика привлечения в качестве консультантов профессиональных экономистов. Однако, каких бы консультантов руководитель не привлекал, окончательные решения необходимо принимать ему лично. Поэтому менеджер должен уметь самостоятельно адекватно оценить сложившуюся ситуацию и на основе имеющихся знаний и опыта извлечь из нее максимальную выгоду, для управляемого им экономического объекта экономики (завода, фирмы, банка и т.п.). Он обязан также обладать достаточными знаниями, чтобы осуществлять общее руководство процессом применения решений, даже тогда, когда требуется помощь сторонних специалистов.

Основная цель изучения дисциплины – формирование у студентов знаний и умений в области математической экономики, необходимых для управления экономическими объектами и системами, обеспечения достижения их целей. Формирование навыков грамотного применения этих знаний в практике управления, в области постановки задачи моделирования, математического описания моделируемого процесса  (объекта), численных методов реализации математических моделей на ЭВМ и применения математических моделей и ЭВМ для решения оптимизационных задач.

Задачи изучения дисциплины

Ознакомить студентов с основными понятиями моделирования, теоретическими положениями и исходной  информацией, используемой для построения математических моделей; методами  построения математических моделей; формального описания процессов и объектов; применению математических моделей для проведения расчетов; решению оптимизационных задач.

В результате изучения дисциплины студент должен понимать: законы и тенденции развития экономических систем в целом; устройства рынка и особенностей важнейших рынков; механизмов и процессов установления рыночного равновесия; механизмов формирования спроса, предложения и рыночных цен; принципов и методов определения оптимальных решений оптимизационных задач.

Иметь представление о сложности и разнообразии рыночных систем и ее элементов; об оптимальности стихийно складывающегося рыночного  равновесия в конкурентной экономической системе с точки зрения экономики в целим; о рациональных и нерациональных решениях, методах и механизмах управления экономическими системами и экономическими объектами.

Практические умения и навыки

Основная цель курса – формирование у студентов знаний и умений в области математической экономики, необходимых для управления экономическими объектами и системами, обеспечения достижения их целей, и навыков грамотного применения этих знаний в практике управления.

В результате изучения дисциплины студент должен освоить метод подхода к математическому моделированию процессов и объектов, начиная с постановки задачи и кончая реализацией математических моделей на ЭВМ с применением современных программных средств.

В результате изучения дисциплины студент должен уметь:

определять основные направления экономической деятельности и экономического развития организации или фирмы в условиях рыночной экономики; оценивать эффективность и последствия различных вариантов принимаемых решений при управлении объектом экономики; рационально использовать конкретные экономические ситуации для достижения экономических целей управляемой организацией; определять оптимальные потребности организации в финансовых и сырьевых и др. ресурсах в условиях рыночной экономики.

Требования к уровню освоения содержания курса

В результате изучения дисциплины студенты должны: приобрести способность понимать основные законы и тенденции развития рыночных экономических систем; научиться распознавать различные рыночные ситуации и адекватно оценивать последствия принимаемых решений; иметь навыки определения оптимальных решений различных оптимизационных задач, возникающих в процессе управления экономическими объектами; иметь навыки  использования компьютерных технологий и пакетов прикладных программ для решения конкретных задач управления экономическими объектами, вырабатывать оптимальную экономическое поведение и экономическую политику управляемой фирмы на рынке.

                      СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

Постановка и примеры оптимизационных задач в экономике. Задача линейного программирования (ЛП) как частный случай задачи математического программирования. Постановки и различные формы записи задач линейного программирования (ЛП). Оптимальные решения прямой и двойственной задач. Интерпретация двойственных переменных и анализ чувствительности. Постоптимальный анализ задачи линейного программирования. Целочисленная задача ЛП. Транспортная задача ЛП и ее использование в планировании на ж. д. транспорте. Постановка транспортной задачи линейного программирования. Таблицы для записи условий транспортной задачи. Планирование перевозок и вопросы производства, связанные с транспортом. Целесообразный ж.д. тариф. Правила корректировки решения транспортной задачи при изменении ресурсов и потребностей. Задача о назначении на транспорте. Признак оптимальности плана. Обьективно - обусловленные оценки транспортной задачи (потенциалы, "ренты", прокатные оценки); их экономический смысл и возможности использования в экономических и оптимизационных расчетах.

                       Методические советы

При изучении этой темы полезно иметь в виду, что задача линейного программирования есть частный случай задачи математического программирования и характеризуется тем, что целевая функция является линейной, а каждое ограничение есть либо линейное равенство, либо нестрогое линейное неравенство. Надо хорошо знать способы преобразования общей задачи линейного программирования в стандартную (каноническую) задачу линейного программирования.

Лучшему усвоению понятий линейного программирования способствует их геометрическая интерпретация. Студенту не следует ограничиваться разбором имеющихся в учебнике чертежей; надо самому выполнить хотя бы некоторые из соответствующих построений.

                    Вопросы для самопроверки

     1. Что такое линейное программирование?

     2. Что значит - решить задачу линейного программирования?

     3. Какая задача линейного программирования называется  канонической, стандартной?

4. Как перейти от задачи на максимум к эквивалентной задаче на минимум?

5. Какова геометрическая интерпретация линейного программирования?

Методы решения задач линейного программирования

Методы решения задач линейного программирования, симплексный метод и его модификации, транспортная задача линейного программирования, как частный случай задачи линейного программирования. Способы сведения открытой транспортной задачи к закрытой. Теория двойственности в линейном программировании, экономический смысл двойственных оценок и возможности их использования в постоптимальном анализе.

                       Методические советы

Универсальным методом решения задач линейного программирования является симплексный метод. Имеется много модификаций этого метода. При изучении конкретной вычислительной схемы симплексного метода надо четко уяснить, для какого класса задач линейного программирования предназначена  эта схема. Дело в том, что хотя симплексный метод и является в линейном программировании универсальным, однако конкретные алгоритмы, как правило, предназначены для решения специальных классов задач линейного программирования: канонических задач, задач с выделенным единичным базисом и т.д. Если изучаемый алгоритм предназначен для специального вида задач линейного программирования, то студенту надо знать, как к этому виду приводится общая задача линейного программирования.

Изучая транспортную задачу линейного программирования, полезно иметь в виду, что она является частным случаем задачи линейного программирования, поэтому в принципе для ее решения можно использовать симплексный метод. Однако структура ограничений транспортной задачи позволяет разработать более эффективные методы ее решения. Одним из таких методов является метод потенциалов.

Поскольку большинство вычислительных схем метода потенциалов предназначено для решения закрытой транспортной задачи, студенту следует изучить способы сведения открытой транспортной задачи к закрытой.

При изучении теории двойственности в линейном программировании рекомендуется хорошо уяснить экономический смысл двойственных оценок и возможности их использования в постоптимальном анализе.

Решение многих задач линейного программирования связано с большим объемом вычислительной работы, выполнение которой в приемлемые сроки возможно с помощью ЭВМ. В связи с этим студенты должны знать, каким образом готовиться информация для решения задач на ЭВМ и в каком виде выдаются с ЭВМ результаты решения.

Поскольку формы ввода и вывода информации зависят от марки имеющихся в вузах ЭВМ и соответствующих машинных программ, вопросы применения ЭВМ студенты изучают в вузе во время сессии.

                    Вопросы для самопроверки

     1. В чем заключается идея симплексного метода?

     4. Какие  две  задачи  линейного программирования называются

двойственными друг другу?

     5. Каковы основные свойства пары сопряженных задач?

     6. Какова экономическая интепретация двойственных переменных?

     8. В чем состоит идея метода потенциалов?

     9. Какова экономическая интерпретация потенциалов?

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ, НЕЛИНЕЙНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

 Нелинейные задачи оптимизации. Задачи оптимизации без ограничений. Условия экстремума первого и второго порядков. Задачи оптимизации с ограничениями в форме равенств и неравенств. Принцип Лагранжа. Задачи выпуклого программирования. Прикладные модели нелинейной оптимизации.

Задача максимизации национального продукта в модели Леонтьева. Задача оптимизации затрат и выпуска фирмы. Задача распределения многомерного ресурса. Задача об оптимальной диете. Общая постановка задачи оптимизации. Переменные или инструменты задачи. Допустимое множество, ограничения. Целевая функция. Классификация задач оптимизации. Необходимые условия оптимальности. Достаточные условия максимума и минимума.

Задача нелинейного программирования. Каноническая постановка задачи математического программирования. Необходимые условия оптимальности. Типы оптимальных решений. Условия Куна - Таккера. Условия дополняющей нежесткости. Теорема Куна - Таккера. Математическая и экономическая интерпретация множителей Лагранжа. Метод множителей Лагранжа в линейных системах. Теневые цены. Оптимальное распределение ресурсов.  

Понятие о параметрическом, целочисленном, дробно-линейном, нелинейном и динамическом программировании

                     Методические советы

Правильному усвоению этой темы во многом способствует учетследующего обстоятельства. Методы линейного программирования после соответствующего обобщения можно применить для решения более сложных задач. Примерами таких задач являются задачи параметрического, целочисленного и дробно-линейного программирования.

Не все экономические задачи могут быть решены методами линейного программирования, в частности, многие экономические процессы имеют динамический характер. Для решения таких задач применяются методы динамического программирования, а процесс получения оптимального решения распадается на ряд последовательных  этапов.

При изучении нелинейного и динамического программирования рекомендуется сосредоточить внимание на простейших методах нелинейного программирования, идее метода динамического программирования и тех практических ситуациях, которые приводят к задачам динамического программирования.

Задачи, в которых некоторые параметры не могут быть определены однозначно, вследствие влияния на них случайных факторов, могут быть решены методами стохастического программирования. Полезно рассмотреть классификацию таких задач и приемы сведения задач стохастического  программирования к детерминированным задачам линейного программирования.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НАИЛУЧШЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕСУРСОВ.

Оптимизационные модели в экономике. Теоретические основы оптимизации. Методологические принципы построения оптимизационных моделей. Оптимизационные модели на ж. д транспорте. Элементы теории двойственности в оптимизации. Теорема существования оптимальных решений и критерий оптимальности. Двойственные оценки, их экономическая интерпретация и свойства. Экономико-математический анализ решений с помощью оптимальных оценок. Применение двойственных оценок в экономическом анализе задач наилучшего использования ресурсов (на примере анализа использования производственной программы предприятия). Понятие о скалярной и многоцелевой оптимизации. Моделирование процессов  оптимального распределения ресурсов между объектами в экономических системах. Распределение ресурсов на основе принципа их предельной полезности (эффективности) и с помощью ценового рыночного механизма. Построение функций спроса и исследование ценовой эластичности спроса методом параметрического анализа. Равновесные цены как условие оптимальности распределения ресурсов. Описание пакетов прикладных программ (ППП) на ПЭВМ для оптимизации решений и практическое использование в задачах наилучшего использования ресурсов. Моделирование процессов наилучшего использования ресурсов методом динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана. Задача оптимального распределения ресурсов между экономическими объектами методом динамического программирования.

Описание ППП для ПЭВМ, реализующего метод динамического программирования, методика его практического использования. Примеры из ж/д транспорта.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОДРАЗДЕЛЕНИЙ.

Экономическое содержание игровых моделей. Игровые модели экономики. Типовые модели поиска оптимальных стратегий. Стратегия управления запасами. Нелинейные задачи оптимизации. Простейшая модель о запасах. Управление запасами с учетом убытков из-за задержки в неудовлетворении спроса и при возможных задержках при пополнении запасов. Управление запасами на основе статистического анализа спроса в условиях рынка. Деловые игры.

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ

Основы экономико-математического моделирования

Постановка и решение экономико-математической задачи, основной смысл экономико-математической задачи оптимизации, нахождение наиболее рационального варианта распределения ограниченных производственных ресурсов, смысл ограничений (условий), критерия оптимальности (основной цели решения) и переменных (искомых величин). Сбор информации, обоснование размеров ограничений, значений технико-экономических коэффициентов, вида целевой функции.

Моделирование производственной структуры предприятий

Определение оптимальной структуры производства, плана использования и пополнения производственных ресурсов и оптимального уровня эффективности производства на предприятии на текущий или отдаленный период с учетом вероятностного характера исходных данных, динамичности модели и ее большим размером, блочный вид.

Методические советы

Особенности модели данной задачи определяются характером ее постановки. В задаче требуется определить оптимальную структуру производства, план использования и пополнения производственных ресурсов и оптимальный уровень эффективности производства на предприятии на текущий или отдаленный период.

В последнем случае основная трудность связана с учетом вероятностного характера исходных данных, динамичностью модели и ее большим размером. Ограничения и переменные этой задачи тесно связаны с показателями плана организационно-хозяйственного устройства предприятия, матрица может иметь блочный вид (блок обычно соответствует конкретному периоду). В качестве критериев оптимальности могут использоваться показатели максимальных размеров: валовой продукции, валового дохода, товарной продукции, чистого дохода, прибыли.

                    Вопросы для самопроверки

     1. Системы переменных и ограничений задачи.

     2. Методы обоснования размеров ограничений.

                       Методические советы

При изучении данной темы полезно уяснить, что конечной целью экономико-математического моделирования является постановка и решение экономико-математической задачи, а основной смысл экономико-математической задачи оптимизации заключается в нахождении наиболее рационального варианта распределения ограниченных производственных ресурсов.

При постановке экономико-математической задачи важно уяснить смысл ее ограничений (условий), критерия оптимальности (основной цели решения) и переменных (искомых величин). Следующим важнейшим этапом является сбор информации, обоснование размеров ограничений, значений технико-экономических коэффициентов, вида целевой функции.

Полезно знать, что модели, применяемые для задач оптимизации различных сторон деятельности предприятий, чаще всего относятся по основным классификационным признакам (масштабному, временному и математической форме записи) к  внутрихозяйственным, статическим, линейным моделям.

Совокупность экономико-математических моделей, отражающая в упрощенном виде основные зависимости экономической системы хозяйства, образует взаимосвязанную систему моделей. В такую систему входят, например, модели для областей, участков и т.п.

При изучении данной темы полезно еще раз остановиться на экономическом смысле двойственных оценок и использовании их в экономическом анализе.

                    Вопросы для самопроверки

Что такое экономико-математическая модель?

Какова цель моделирования?

Из каких этапов состоит процесс моделирования?

Что такое ограничения и критерий оптимальности?

Какой вариант можно назвать оптимальным?

Каковы принципы классификации моделей?

Что такое иерархия моделей?

Как осуществляется согласование критериев оптимальности в системе экономико-математических моделей?

В чем заключается экономический смысл двойственных оценок?

Динамическая модель оптимального планирования Канторовича.

Общие предположения о модели. Основные ингредиенты. Технологические матрицы затрат и выпуска. Векторное представление технологий. Технологический способ. Интенсивности производственных процессов и цены продуктов. Процессно – ориентированный подход в современных информационных технологиях в экономике. Классификация производственных факторов. Оценки производственных факторов. Объективно - обусловленные оценки производственных факторов. Оценка производственного фактора, повышающего эффективность труда. Целесообразное использование труда и оценка квалифицированной рабочей силы. Экономия дефицитного материала и его оценка. Целесообразное использование оборудования. Прокатная оценка. Рациональное использование природных источников. Исчисление ренты. Дифференциальная рента. Наилучшее использование наличной производственной базы. Общая система объективно - обусловленных оценок (о.о. оценок) и ее значение. Применение о.о. оценок при анализе экономической эффективности производственных способов. Реальные пути нахождения о.о. оценок. Анализ динамической модели. Пути реализации динамической модели.

Моделирование размещения и специализации производства в регионе

Иерархическая система моделей планирования производства, отличительные особенности моделей различных уровней. Цели решения и особенности постановки экономико-математических задач перспективного и стратегического планирования. Формирование основных показателей развития предприятий на перспективу, распределение материально-денежных средств, обоснование критериев оптимальности и построение экономико-математических моделей.

Блочный характер матриц и специфика отражения транспортных затрат, блочно-диагональная модель, связующий блок и вид транспортный блока.

                       Методические советы

При изучении темы, в первую очередь, необходимо уяснить место каждой из рассматриваемых экономико-математических моделей в иерархической системе моделей планирования производства, отличительные особенности моделей различных уровней. Следует различать модели, цели решения и особенности постановки экономико-математических задач перспективного планирования.

Особое внимание должно быть уделено формированию основных показателей развития предприятия на перспективу, обеспечению постоянного роста производства продукции, распределению материально-денежных средств, обоснованию критериев оптимальности и построению экономико-математических моделей. Необходимо обратить внимание на блочный характер матриц и специфику отражения транспортных затрат.

Для моделирования размещения комплексов применяется блочно-диагональная модель, каждый блок которой отражает условия производства на конкретном предприятии, входящем в комплекс или фирму. В связующем блоке представлены ограничения по общим объемам производства продукции фирмы на перспективу, а также условия по кооперированию предприятий по взаимным поставкам ресурсов, также вводится понятие трансакционных издержек (Коуз-лауреат Нобелевской премии за эту работу). В модель включается также транспортный блок. Важно изучить ограничения этих блоков и знать, что переменные задачи - объемы производства продукции по предприятиям и дополнительно вовлекаемые или отчуждаемые ресурсы; критерий оптимальности - максимальная прибыль или минимальные производственные затраты.

                    Вопросы для самопроверки

В чем  состоит особенность постановки задачи для расчета оптимального плана размещения производства?

В чем заключается специфика модели задачи?

Понятие блока, блочных переменных, ограничений, связующего блока (свяэующей подматрицы), трансакционных издержек.

Постановка задачи оптимизации размещения новых комплексов. Переменные и ограничения задачи.

Перечень контрольных вопросов для самостоятельной работы

Укажите известные Вам экономико-математические модели различных объектов экономики. Приведите примеры известных Вам экономических законов, справедливость которых устанавливается при исследовании этих моделей.

Приведите примеры различных рынков и опишите общие черты и особенности каждого из них. Дайте несколько классификаций рынков по различным признакам.

Дайте несколько классификаций ресурсов на производственном рынке и товаров на потребительском рынке. Приведите конкретные примеры таких ресурсов и товаров.

Дайте простую экономическую интерпретацию средних и предельных величин и различных видов эластичности, изучаемых в микроэкономических моделях.

Приведите примеры конкретных оптимизационных задач, возникающих при управлении экономическими объектами, и укажите названия методов их решения.

Какие экономические системы можно описать посредством модели межотраслевого баланса Леонтьева. Как связаны продуктивность и прибыльность экономической системы? В каких случаях возможен сбалансированный рост в экономической системе?

Перечень обучающих, контролирующих компьютерных программ

Процесс обучения сопровождается использованием компьютерных программ (Mathcad, MS DOS Excel, ПЭР и др.).