3

1) Найти неопределённый интеграл:

    х²dx

∫ √x³+1  .

Решение:

Пусть х³+1 = t; dt = d(x³+1) = (x³+1)'dx = 2x²dx; x²dx = ½dt

    х²dx                    dt                    t־ + 1         6 √t                  

∫ √x³ + 1  = ½ ∫ *   √t     = ½ *  -1/6 + 1   =    10   + c = 3/5 √t

произведём обратную замену, в результате получим: 3/5 * √(x³ + 1)  + c           

                   х²dx

Ответ:  ∫ √x³+1   = 3/5 * √(х³ + 1)  + с.

2) Найти определённые интегралы:

ln 3   e dx

∫    e²  - 1  .

ln 2

Решение:  

Воспользуемся заменой переменной:

4

                                                      dt

Пусть e = t          x = ln t и dx  =  t    ;

Найдём пределы интегрирования:

если x = ln 2, то t = 2;

если x = ln 3, то t = 3.

Получим:

 

 3     t dt          3        (t – 1) + 1 * dt      3        1          3      dt

∫    t²  - 1   =  ∫     (t – 1) * (t + 1) = ∫  t + 1    + ∫  t² - 1  ;

 2                             2                                                2                         2

                     

                    3                                 3                       

                                      t – 1                                                      

arctg  √t    +½ ln    t + 1       = arctg √3 – arctg √2 + ½ (ln ½ - ln 1/3 ) =                 

              2                                 2                       

= arctg √3  - arctg√2  + ½ (-0,69 – 1,1) = arctg √3 – arctg √2 – 0,9 = 0,03 – 0,02 –

 - 0,9 ≈ - 0,89

 

Ответ: 

ln 3   e dx

∫    e²  - 1  ≈ - 0,89.

ln 2

         e    ln x * dx

3)   ∫       √x         .

         1

5

Решение:

          e   

   ∫  = ln x * xˉ  dx; 

      1

Произведём замену:

xˉ  dx = dv                (1)

lnx = u; du = 1/x * dx;                                                                                                                                  из (1)            v;

 v = ∫ dv = ∫ xˉ  dx = 5/4 x  ;

Применяя формулу интегрирования по частям получим:

          e                  e           e                            e     ln x * dx                              e

   ∫  udv = uv  | -  ∫ vdu         ∫         √x         = ln x * 5/4  √x |  -

      1                           1          1                            1                                                                    1

         e                                                                                                                                              e

- 5/4 ∫ √x  * 1/х * dx = 5/4 * (ln ℮ *  √℮  - ln 1 * √1  ) – 5/4 * 5/4 x  | =

        1                                                                                                                                               1

= 5/4 * ( √℮  - 5/4 * ( √℮  - 1) ) = 5/4 * (2,23 – 5/4 * (2,23 – 1) ) ≈ 0,87.

6

Ответ:

             

       e     ln x * dx

  ∫        √x          ≈ 0,87.

    1

4) Решить дифференциальное уравнение:

xdy – ydx = √y²  - 9x²dx.

Решение:

Делим обе части на dx:

                  y 

xy' – y =   dx   - 9x²           /x

       y      y

y' -  x  - xdx  = -9x          (1)

Пусть y = uv, т.е. y' = uv' + u'v, тогда уравнение (1) примет вид:

u'v + uv' – uv * (1/x + 1/xdx) = -9x       (2)

Преобразуем:

u'v + u * (v' – v * (1/x + 1/xdx)) = -9x           (3)

Положим:                                 

                                                      dv                                                                              v' – v * (1/x + 1/xdx) = 0   или    dx  = v * (1/x + 1/xdx);

  dv

   v     = dx * 1/x + 1/x;

7

Интегрируем:

  dv           dx

∫  v    = ∫  x    + ∫ 1/x * dx = ln |x| + ln |x|;

                                                                           dt

Пусть x = t, тогда dt = d(x)' = 1             1/x =   t    и 

    dt

∫  t    = ln |t|          ∫ 1/x = ln |x|  или ln |v| = ln x²;

Найдём какое-либо решение полученного уравнения, например, при С = 0

ln |v| = ln x²   или  v = x²

                                                                                   du        -9x

при v = x²          b(3)            x² * u' = -9x                  dx   =     x²   = -9/x;

du = -9/x * dx;

                      dx

∫du = -9 ∫   x    ;

u = -9 ln |x| + C;

y = uv = (-9 ln |x| + C) * x² = -9 ln |x| * x² + x²C;

y = x² ln xˉ  + x²C = x² ln |1/x | + x²C.

Ответ: y = x² ln |1/x | + x²C.

5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = 3 + 2x - x², y = x + 1, х = 0.

8

Решение:

Координаты вершины параболы:

                        -2

x0 = - B/2a = 2*(-1) = 1;

         4AC - B²     4 * (-1) * 3 - 4

y0 =       4A      =         4 * (-1)        = 4;

Строим графики заданных функций.

Координаты точек для y = x + 1

x

2

-1

y

3

0

9

           2                                          2                                    2                  2              2                   2                   2

SABC = ∫ (3 + 2x - x²)dx - ∫ (x – 1)dx = 2x | + ½ x² | = 2x | + ½ x² | - 1/3 x³ | =

              -1                                         -1                                  -1                 -1             -1                 -1                   -1

= 2 * (-1 – 2 ) + ½ * (1 – 4) – 1/3 * (1 – 8) = 31/6 ≈ 5,12.

Ответ: SABC = 5,12.

6) Опытные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице:

xi

7

8

9

10

11

yi

2,5

2,2

2,0

1,8

1,7

В результате их выравнивания дробнолинейной функцией получено

                                   х + 3

уравнение у = х – 3 . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью у = ax + b (найти параметры a и b). Установить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

10

Решение:

хi

yi

xi yi

x²i

7

2,5

17,5

49

8

2,2

17,6

64

9

2

18

81

10

1,8

18

100

11

1,7

18,7

121

∑  45

10,2

89.8

415

  5                           5                         5

∑ (x²i)a + ∑ (xi)b = ∑ xi yi ;

i=1                        i=1                      i=1

 5                                       5

∑ (xi)a + 5b = ∑ yi;

i=1                                    i=1

415a + 45b = 89,8

                                            10,2 – 5b

45a + 5b = 10,2          a =      45        ;

415 * (10,2 – 5b)    + 45b = 89,8;

          45

11

4233 – 2075b + 2025b = 4041;

          - 50b = - 192;

              b = 3,84;

       10,2 – 5 * 3,84

a =           45            = -0,2.

y = - 0,2x + 3,84

 

12

                                                                                                             х + 3

Для функции y = - 0,2х + 3.84:                          Для функции у =   х – 3 :

если х = 7, то у = 2,44;                                        если х = 7, то у = 2,5;

если х = 8, то у = 2,24;                                        если х = 8, то у = 2,2;

если х = 9, то у = 2,04;                                        если х = 9, то у = 2;

если х = 10, то у = 1,84;                                      если х = 10, то у = 1,86;

если х = 11, то у = 1,64.                                      если х = 11, то у = 1,75.

∑ δ¹i = 2,5 – 2,44 + 2,24 – 2,2 + 2,04 – 2 + 1,84 – 1,8 + 1,7 – 1,64 = 0,24;

(у= -0,2х+3,84)

∑ δ²i  = 2,5 – 2,5 + 2,2 – 2,2 + 2 – 2 + 1,86 – 1,8 + 1,75 – 1,7 = 0,11;

      х+3

(у= х-3 )

                                                                          х + 3

∑δ¹i = 0,24 › ∑δ²i = 0,11         функция у =   х – 3   лучше выравнивает

экспериментальные данные.

                                   х + 3

Ответ: функция у =  х – 3     лучше выравнивает экспериментальные данные.

7) Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

             n

 ∞       (-1)   * (n + 1)

∑         n

n=1      2   * (n – 1)   .

Решение:

Предел общего члена ряда:

13

                    (-1)      (n + 1)               (-1)             2

lim un = lim   2    *  (n – 1)   = lim     2     (1 +  n + 1)  = 0, так как

n→∞                                                                              n→∞

 

       (-1)

lim    2   = 0           по признаку Лейбница ряд сходится, так как члены

n→∞

ряда убывают. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

             n

 ∞       (-1)   * (n + 1)

∑         n

n=1      2   * (n – 1)   , убывает.

     2 + 1                3 + 1                 5                 n + 1

2² * (2 – 1)  ›    2³ * (3 – 1)   ›     2  * 4  › ….   2  (n - 1)  ›….

                                            n + 1

0,75 › 0,25 › 0,078 › ….   2  (n – 1)  ›….               ряд сходится.

Ответ: ряд абсолютно сходящийся.

 

14

Список литературы.

Основная

1) Высшая математика для экономистов. / Под редакцией Н.Ш. Кремера, М.: Банки и биржи, 1998, 2000, 2001, 2002.

2) Практикум по высшей математике для экономистов. / Под редакцией Н.Ш. Кремера, М.: ЮНИТИ (в печати).

Дополнительная

3) Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.1, М.: Высшая школа, 1982.

4) Карасев А.И., Калихман И.Л., Кремер Н.Ш. Матричная алгебра, М.: ВЗФЭИ, 1987.

5) Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики. / Под редакцией А.И. Карасева, Н.Ш. Кремера, М.: ВЗФЭИ, 1989.

6) Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики, М.: Наука, 1985.

Содержание.

Задание №1………………………………………………………………….3

Задание №2………………………………………………………………….3

Задание №3………………………………………………………………….4

Задание №4………………………………………………………………….6

Задание №5………………………………………………………………….7

Задание №6………………………………………………………………….9

Задание №7…………………………………………………………………12

Список литературы………………………………………………………...14