ФЕДЕРАЛЬНОЕ
АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ
ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Аудиторная работа
по дисциплине «Эконометрика»
студентки 3 курса специальности «Финансы и кредит»
Вариант № 1
Пенза,
2006
|
Имеются данные о
деятельности крупнейших компаний США в 1996 г.
|
|
п/n
|
Чистый
до-ход, млрд. долл. США
|
Оборот
капи-тала, млрд. долл. США
|
Использо-ванный
ка-питал, млрд. долл.
|
Числен-ность
служа-щих, тыс. чел.
|
Рыночная
ка-питализация ком-пании, млрд. долл. США
|
|
|
Y
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
|
1
|
0,9
|
31,3
|
18,9
|
43
|
40,9
|
|
2
|
1,7
|
13,4
|
13,7
|
64,7
|
40,5
|
|
3
|
0,7
|
4,5
|
18,5
|
24
|
38,9
|
|
4
|
1,7
|
10
|
4,8
|
50,2
|
38,5
|
|
5
|
2,6
|
20
|
21,8
|
106
|
37,3
|
|
6
|
1,3
|
15
|
5,8
|
96,6
|
26,5
|
|
7
|
4,1
|
137,1
|
99
|
347
|
37
|
|
8
|
1,6
|
17,9
|
20,1
|
85,6
|
36,8
|
|
9
|
6,9
|
165,4
|
60,6
|
745
|
36,3
|
|
10
|
0,4
|
2
|
1,4
|
4,1
|
35,3
|
|
11
|
1,3
|
6,8
|
8
|
26,8
|
35,3
|
|
12
|
1,9
|
27,1
|
18,9
|
42,7
|
35
|
|
13
|
1,9
|
13,4
|
13,2
|
61,8
|
26,2
|
|
14
|
1,4
|
9,8
|
12,6
|
212
|
33,1
|
|
15
|
0,4
|
19,5
|
12,2
|
105
|
32,7
|
|
16
|
0,8
|
6,8
|
3,2
|
33,5
|
32,1
|
|
17
|
1,8
|
27
|
13
|
142
|
30,5
|
|
18
|
0,9
|
12,4
|
6,9
|
96
|
29,8
|
|
19
|
1,1
|
17,7
|
15
|
140
|
25,4
|
|
20
|
1,9
|
12,7
|
11,9
|
59,3
|
29,3
|
|
21
|
-0,9
|
21,4
|
1,6
|
131
|
29,2
|
|
22
|
1,3
|
13,5
|
8,6
|
70,7
|
29,2
|
|
23
|
2
|
13,4
|
11,5
|
65,4
|
29,1
|
|
24
|
0,6
|
4,2
|
1,9
|
23,1
|
27,9
|
|
25
|
0,7
|
15,5
|
5,8
|
80,8
|
27,2
|
Задание
1.
Рассчитайте матрицу парных коэффициентов
корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции.
2.
Рассчитайте параметры линейного уравнения
множественной регрессии с полным перечнем факторов.
3.
Оцените статистическую значимость параметров
регрессионной модели с помощью t-критерия; нулевую гипотезу о значимости
уравнения проверите с помощь. F-критерия; оцените качество уравнения регрессии
с помощью коэффициента детерминации R2.
4.
Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с
результатом с помощью коэффициентов эластичности, β и ∆
коэффициентов.
5.
Оцените точность уравнения через среднюю
относительную ошибку аппроксимации.
6.
Отберите информативные факторы в модели по
t-критерию для коэффициентов регрессии. Постройте модель только с
информативными факторами и оцените ее параметры.
7.
Рассчитайте прогнозное значение результата, если
прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.
8.
Рассчитайте ошибки и доверительный интервал
прогноза для уровня значимости 5 или 10% (а=0,05; а=0,1).
Решение
1.
Для расчета
матрицы парных коэффициентов корреляции используем инструмент Корреляция
(Анализ данных в Excel):
Ø
выберем команду Сервис => Анализ данных => Корреляция;
Ø
в диалоговом окне Корреляция в поле Входной
интервал введем диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Так как введены
заголовки столбцов, то установим флажок Метки
в первой строке;
Ø
выберем в качестве параметра вывода Новый рабочий лист и нажмем ОК.
В результате получим матрицу парных
коэффициентов корреляции (табл. 1).
Таблица 1
|
|
Y
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
|
Y
|
1
|
|
|
|
|
|
X1
|
0,848
|
1
|
|
|
|
|
X2
|
0,763
|
0,898
|
1
|
|
|
|
X3
|
0,830
|
0,912
|
0,713
|
1
|
|
|
X4
|
0,269
|
0,249
|
0,348
|
0,115
|
1
|
Оценку статистической значимости
коэффициентов корреляции проведем с помощью t-критерия Стьюдента: рассчитаем t
для каждого коэффициента корреляции (табл. 2) по формуле 
.
Таблица 2
|
|
Y
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
|
Y
|
-
|
|
|
|
|
|
X1
|
7,674
|
-
|
|
|
|
|
X2
|
5,666
|
9,774
|
-
|
|
|
|
X3
|
7,125
|
10,629
|
4,870
|
-
|
|
|
X4
|
1,339
|
1,231
|
1,783
|
0,556
|
-
|
Табличное значение t-критерия определим с
помощью функции СТЬЮДРАСПОБР (0.05,20). Табличное значение t-критерия при
5%-ном уровне значимости и степенях свободы (25-4-1=20) составляет 2,086.
Коэффициент является значимым, если |tрасч|>tтабл и
незначимым в противном случае. Результат определения статистической значимости
представлен в таблице 3.
Таблица 3
|
|
Y
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
|
Y
|
-
|
|
|
|
|
|
X1
|
значим
|
-
|
|
|
|
|
X2
|
значим
|
значим
|
-
|
|
|
|
X3
|
значим
|
значим
|
значим
|
-
|
|
|
X4
|
не значим
|
не значим
|
не значим
|
не значим
|
-
|
2.
Для расчета параметров линейного
уравнения множественной регрессии применим инструмент Регрессия (Анализ данных
в Excel):
Ø
выберем команду Сервис => Анализ данных => Регрессия;
Ø
в диалоговом окне Регрессия в поле Входной
интервал Y введем диапазон ячеек, содержащих значения зависимой переменной.
В поле Входной интервал Х введем
диапазон ячеек, содержащих значения независимых переменных. Так как введены
заголовки столбцов, то установим флажок Метки;
Ø
выберем в качестве параметра вывода Новый рабочий лист;
Ø
в поле
Остатки поставим флажок Остатки
и нажмем ОК.
Результат регрессионного анализа
содержится в табл. 4-7. По результатам таблицы 6 запишем полученное уравнение
линейной регрессии:
Y= -0,363 + 0,0035Х1 + 0,0174Х2
+ 0,0053Х3 + 0,0286Х4.
Таблица 4
|
Регрессионная статистика
|
|
Множественный R
|
0,869743924
|
|
R-квадрат
|
0,756454493
|
|
Нормированный R-квадрат
|
0,707745392
|
|
Стандартная ошибка
|
0,77810933
|
|
Наблюдения
|
25
|
Таблица 5
|
Дисперсионный анализ
|
|
|
|
|
|
df
|
SS
|
MS
|
F
|
Значимость F
|
|
Регрессия
|
4
|
37,61092
|
9,40272935
|
15,5300441
|
6,2879E-06
|
|
Остаток
|
20
|
12,10908
|
0,60545413
|
|
|
|
Итого
|
24
|
49,72
|
|
|
|
Таблица 6
|
|
Коэффициенты
|
Стандартная ошибка
|
t-статистика
|
P-Значение
|
|
Y-пересечение
|
-0,3625
|
1,1919
|
-0,3041
|
0,7642
|
|
X1
|
0,0035
|
0,0196
|
0,1789
|
0,8598
|
|
X2
|
0,0174
|
0,0217
|
0,8030
|
0,4314
|
|
X3
|
0,0053
|
0,0032
|
1,6590
|
0,1127
|
|
X4
|
0,0286
|
0,0366
|
0,7824
|
0,4432
|
Таблица 7
|
Наблюдение
|
Предсказанное Y
|
Остатки
|
|
1
|
1,47628
|
-0,576279
|
|
2
|
1,42734
|
0,272661
|
|
3
|
1,21682
|
-0,516824
|
|
4
|
1,12584
|
0,574164
|
|
5
|
1,72027
|
0,879731
|
|
6
|
1,06486
|
0,235143
|
|
7
|
4,75206
|
-0,652058
|
|
8
|
1,56016
|
0,039838
|
|
9
|
6,28577
|
0,614229
|
|
10
|
0,70107
|
-0,301068
|
|
11
|
0,95393
|
0,346074
|
|
12
|
1,2911
|
0,6089
|
|
13
|
0,99388
|
0,906123
|
|
14
|
1,96963
|
-0,569626
|
|
15
|
1,41434
|
-1,014342
|
|
16
|
0,81449
|
-0,014492
|
|
17
|
1,58898
|
0,211024
|
|
18
|
1,16615
|
-0,266155
|
|
19
|
1,43459
|
-0,334589
|
|
20
|
1,04417
|
0,855827
|
|
21
|
1,27494
|
-2,174936
|
|
22
|
1,04746
|
0,252536
|
|
23
|
1,06648
|
0,933521
|
|
24
|
0,60705
|
-0,007051
|
|
25
|
1,00235
|
-0,30235
|
3.
Оценка
параметров регрессионной модели с помощью t-критерия:
Табличное значение t-критерия определим с
помощью функции СТЬЮДРАСПОБР (0.05,20). Табличное значение t-критерия при
5%-ном уровне значимости и степенях свободы (25-4-1=20) составляет 2,086. Так как
для всех параметров регрессионной модели выполняется неравенство |tрасч|<tтабл,
то все коэффициенты линейного уравнения регрессии являются незначимыми (табл.
6).
Проверка
значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия:
Табличное значение F-критерия определим с
помощью функции FРАСПОБР (0.05;4;20). Табличное значение F-критерия при
доверительной вероятности 0,95 при v1=k=4 и v2=n-k-1=25-4-1=20
составляет 2,866. Так как для регрессионной модели выполняется неравенство Fрасч>Fтабл,
то данное линейного уравнения регрессии является значимым (табл. 5).
Оценка
качества уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации R2:
Для данной модели около 75,7% вариации
зависимой переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием включенных
факторов Х1, Х2, .Х3, Х4 (R2=0,757
– табл. 4). Данный результат говорит о не очень высоком качестве модели.
4.
Коэффициент
эластичности рассчитывается по формуле:
Полученные значения представлены в табл.
8. Коэффициент эластичности Эj показывает, на сколько % изменится
зависимая переменная Y при изменение фактора Xj на 1%.
Э1=0,065 – при изменение Х1
(оборот капитала) на 1% Y (чистый доход) изменится на 0,065%.
Э2=0,182 – при изменение Х2
(использованный капитал) на 1% Y (чистый доход) изменится на 0,182%.
Э3=0,388 – при изменение Х3
(численность служащих) на 1% Y (чистый доход) изменится на 0,388%.
Э4=0,568 – при изменение Х4
(рыночная капитализация компании)) на 1% Y (чистый доход) изменится на 0,568%.
Бетта-коэффициент
рассчитывается по формуле:
, где 
; 
.
Полученные значения представлены в табл.
8. Бетта-коэффициент βj показывает, на какую часть величины
среднеквадратического отклонения Sу изменится зависимая переменная Y
с изменением независимой переменной Хj на величину своего
среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне
значение остальных независимых переменных.
β1=0,108 – при увеличении
Х1 (оборот капитала) на 38,745 млрд. долл. США (Sх1=38,745)
Y(чистый доход) увеличится на 0,155 млрд. долл. США (β1∙Sу=0,108∙1,439=0,155).
β2=0,251 – при увеличении
Х2 (использованный капитал) на 20,77 млрд. долл. США (Sх2=20,77)
Y(чистый доход) увеличится на 0,36 млрд. долл. США (β1∙Sу=0,251∙1,439=0,36).
β3=0,55 – при увеличении
Х3 (численность служащих) на 149,39 тыс. чел. (Sх3=149,39)
Y(чистый доход) увеличится на 0,792 тыс. чел. (β1∙Sу=0,55∙1,439=0,792).
β4=0,089 – при увеличении
Х4 (рыночная капитализация компании)на 4,736 млрд. долл. США (Sх1=4,736)
Y(чистый доход) увеличится на 0,128 млрд. долл. США (β1∙Sу=0,089∙1,439=0,128).
∆–коэффициент
рассчитывается по формуле:
Полученные значения представлены в табл.
8. Коэффициент ∆j
показывает долю влияния фактора Хj в суммарном влияние всех факторов на зависимую переменную
Y. Следовательно самое
сильное влияние на Y
оказывает фактор Х3 (численность служащих) (∆3=0,603),
а самое слабое влияние на Y
оказывает фактор Х4 (рыночная капитализация компании) (∆4=0,032).
5.
Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается
по формуле:
Расчетные значения представлены в табл.
9. Средняя ошибка аппроксимации равна 29,2%, следовательно, в среднем расчетные
значения отклоняются от фактических на 29,2%. Это говорит о неточности модели.
Таблица 8
|
п/n
|
Y
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
(x1- 1)2
|
(x2-2)2
|
(x3-3)2
|
(x4-4)2
|
|
1
|
0,9
|
31,3
|
18,9
|
43
|
40,9
|
33,50094
|
6,471936
|
5076,848
|
65,61
|
|
2
|
1,7
|
13,4
|
13,7
|
64,7
|
40,5
|
146,7005
|
7,054336
|
2455,401
|
59,29
|
|
3
|
0,7
|
4,5
|
18,5
|
24
|
38,9
|
441,5041
|
4,596736
|
8145,424
|
37,21
|
|
4
|
1,7
|
10
|
4,8
|
50,2
|
38,5
|
240,6221
|
133,5411
|
4102,659
|
32,49
|
|
5
|
2,6
|
20
|
21,8
|
106
|
37,3
|
30,38214
|
29,63714
|
68,0955
|
20,25
|
|
6
|
1,3
|
15
|
5,8
|
96,6
|
26,5
|
110,5021
|
111,4291
|
311,5931
|
39,69
|
|
7
|
4,1
|
137,1
|
99
|
347
|
37
|
12451,88
|
6830,031
|
54171,63
|
17,64
|
|
8
|
1,6
|
17,9
|
20,1
|
85,6
|
36,8
|
57,94254
|
14,01754
|
820,9371
|
16
|
|
9
|
6,9
|
165,4
|
60,6
|
745
|
36,3
|
19568,65
|
1957,532
|
397843
|
12,25
|
|
10
|
0,4
|
2
|
1,4
|
4,1
|
35,3
|
552,8141
|
223,6819
|
12133,46
|
6,25
|
|
11
|
1,3
|
6,8
|
8
|
26,8
|
35,3
|
350,1389
|
69,82274
|
7647,852
|
6,25
|
|
12
|
1,9
|
27,1
|
18,9
|
42,7
|
35
|
2,521744
|
6,471936
|
5119,689
|
4,84
|
|
13
|
1,9
|
13,4
|
13,2
|
61,8
|
26,2
|
146,7005
|
9,960336
|
2751,212
|
43,56
|
|
14
|
1,4
|
9,8
|
12,6
|
212
|
33,1
|
246,8669
|
14,10754
|
9554,672
|
0,09
|
|
15
|
0,4
|
19,5
|
12,2
|
105
|
32,7
|
36,14414
|
17,27234
|
85,5995
|
0,01
|
|
16
|
0,8
|
6,8
|
3,2
|
33,5
|
32,1
|
350,1389
|
173,0803
|
6520,886
|
0,49
|
|
17
|
1,8
|
27
|
13
|
142
|
30,5
|
2,214144
|
11,26274
|
769,9515
|
5,29
|
|
18
|
0,9
|
12,4
|
6,9
|
96
|
29,8
|
171,9245
|
89,41594
|
333,1355
|
9
|
|
19
|
1,1
|
17,7
|
15
|
140
|
25,4
|
61,02734
|
1,838736
|
662,9595
|
54,76
|
|
20
|
1,9
|
12,7
|
11,9
|
59,3
|
29,3
|
164,1473
|
19,85594
|
3019,722
|
12,25
|
|
21
|
-0,9
|
21,4
|
1,6
|
131
|
29,2
|
16,90854
|
217,7395
|
280,4955
|
12,96
|
|
22
|
1,3
|
13,5
|
8,6
|
70,7
|
29,2
|
144,2881
|
60,15554
|
1896,777
|
12,96
|
|
23
|
2
|
13,4
|
11,5
|
65,4
|
29,1
|
146,7005
|
23,58074
|
2386,518
|
13,69
|
|
24
|
0,6
|
4,2
|
1,9
|
23,1
|
27,9
|
454,2013
|
208,9759
|
8308,687
|
24,01
|
|
25
|
0,7
|
15,5
|
5,8
|
80,8
|
27,2
|
100,2401
|
111,4291
|
1119,036
|
31,36
|
|
Сумма
|
39
|
637,8
|
408,9
|
2856,3
|
820
|
36028,67
|
10352,96
|
535586,3
|
538,2
|
|
Sxj
|
|
|
|
|
|
38,74525
|
20,76953
|
149,3857
|
4,7355
|
|
Ср знач
|
1,56
|
25,512
|
16,356
|
114,252
|
32,8
|
|
|
|
|
|
bj
|
-0,363
|
0,004
|
0,0174
|
0,0053
|
0,027
|
|
|
|
|
|
Эj
|
-
|
0,065415
|
0,182432
|
0,388164
|
0,567692
|
|
|
|
|
|
Бетта
|
|
0,107676
|
0,251082
|
0,550079
|
0,088832
|
|
|
|
|
|
Дельта
|
|
0,120711
|
0,253354
|
0,603246
|
0,031587
|
|
|
|
|
Таблица 9
|
Наблюдение
|
Остатки
|
Y
|
|
|
1
|
-0,576279
|
0,9
|
64,0309738
|
|
2
|
0,272661
|
1,7
|
16,038854
|
|
3
|
-0,516824
|
0,7
|
73,8320419
|
|
4
|
0,574164
|
1,7
|
33,7743428
|
|
5
|
0,879731
|
2,6
|
33,8358064
|
|
6
|
0,235143
|
1,3
|
18,087928
|
|
7
|
-0,652058
|
4,1
|
15,9038496
|
|
8
|
0,039838
|
1,6
|
2,4898738
|
|
9
|
0,614229
|
6,9
|
8,90187252
|
|
10
|
-0,301068
|
0,4
|
75,2670823
|
|
11
|
0,346074
|
1,3
|
26,6210461
|
|
12
|
0,6089
|
1,9
|
32,0473499
|
|
13
|
0,906123
|
1,9
|
47,6907004
|
|
14
|
-0,569626
|
1,4
|
40,6875873
|
|
15
|
-1,014342
|
0,4
|
253,585443
|
|
16
|
-0,014492
|
0,8
|
1,81145968
|
|
17
|
0,211024
|
1,8
|
11,7235643
|
|
18
|
-0,266155
|
0,9
|
29,5727335
|
|
19
|
-0,334589
|
1,1
|
30,4172155
|
|
20
|
0,855827
|
1,9
|
45,0435012
|
|
21
|
-2,174936
|
-0,9
|
-241,65958
|
|
22
|
0,252536
|
1,3
|
19,4258446
|
|
23
|
0,933521
|
2
|
46,6760451
|
|
24
|
-0,007051
|
0,6
|
1,17515277
|
|
25
|
-0,30235
|
0,7
|
43,1928146
|
|
Сумма
|
730,173506
|
|
Ошибка аппроксимации
|
29,2069402
|
6.
С учетом значений t-критерия Стьюдента для всех
коэффициентов регрессионной модели с полным набором факторов (табл. 6)
информативными факторами являются Х2 (использованный капитал) и Х3
(численность служащих). Построим модель по двум выбранным факторам, используя
инструмент Регрессия (Анализ данных в Excel).
Результат регрессионного анализа
содержится в табл. 10-12. По результатам таблицы 12 запишем полученное
уравнение линейной регрессии:
Y= 0,5247+ 0,0243Х2 + 0,0056Х3.
Оценка
параметров регрессионной модели с помощью t-критерия: табличное значение
t-критерия при 5%-ном уровне значимости и степенях свободы (25-2-1=22)
составляет 2,074. Так как для всех параметров регрессионной модели выполняется
неравенство |tрасч|>tтабл, то все коэффициенты
линейного уравнения регрессии являются значимыми (табл. 12).
Проверка
значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия: табличное значение
F-критерия при доверительной вероятности 0,95 при v1=k=2 и v2=n-k-1=25-2-1=22
составляет 3,443. Так как для регрессионной модели выполняется неравенство Fрасч>Fтабл,
то данное линейного уравнения регрессии является значимым (табл. 11).
Оценка
качества уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации R2:
для данной модели около 74,8% вариации зависимой переменной Y учтено в
модели и обусловлено влиянием включенных факторов Х2, .Х3 (R2=0,748
– табл. 10). Данный результат говорит о не очень высоком качестве модели.
Таблица 10
|
Регрессионная статистика
|
|
Множественный R
|
0,865117
|
|
R-квадрат
|
0,748427
|
|
Нормированный R-квадрат
|
0,725557
|
|
Стандартная ошибка
|
0,754026
|
|
Наблюдения
|
25
|
Таблица 11
|
Дисперсионный анализ
|
|
|
df
|
SS
|
MS
|
F
|
Значимость F
|
|
Регрессия
|
2
|
37,21179
|
18,60589
|
32,72487
|
2,55E-07
|
|
Остаток
|
22
|
12,50821
|
0,568555
|
|
|
|
Итого
|
24
|
49,72
|
|
|
|
Таблица 12
|
|
Коэффициенты
|
Стандартная ошибка
|
t-статистика
|
P-Значение
|
|
Y-пересечение
|
0,524672
|
0,198571
|
2,64224
|
0,014882
|
|
X2
|
0,024242
|
0,010562
|
2,295282
|
0,031622
|
|
X3
|
0,005591
|
0,001468
|
3,807813
|
0,000963
|
7.
Прогнозные значения факторов:
X2=0.8∙X1max=0.8∙165.4=132.32
X3=0.8∙X3max=0.8∙745=596
Что бы определить прогнозные значения
результата подставим прогнозные значения факторов в регрессионную модель:
Y*прог=0,5247+ 0,0243∙132.32 +
0,0056∙596=7,078.
8.
Ошибка прогноза рассчитывается по
формуле:
|
|
25
|
408,9
|
2856,3
|
|
0,069351810
|
-0,000988397
|
-0,000115408
|
|
ХТХ=
|
408,9
|
17040,93
|
99774,34
|
(ХТХ)-1=
|
-0,000988397
|
0,000196193
|
-0,000019435
|
|
|
2856,3
|
99774,34
|
861924,3
|
|
-0,000115408
|
-0,000019435
|
0,000003792
|
|
X*(ХТХ)-1=
|
-0,13022
|
0,013388
|
-0,00043
|
Таким образом, 
.
t(0.05;22)=2.074
Доверительный интервал: 
7,078-2,074∙1,165≤y*≤7,078+2,074∙1,165
4.662≤y*≤9.494 –
доверительный интервал для уровня значимости 5 %.