Теоретические вопросы к экзамену по эконометрике

2.Тип эконометрических данных используемых в эконометрических исследованиях

Эконометрика - это наука, ɣ позволяет осуществить количественное выражение взаимосвязей экономических явлений.

Для оценки кол-ого выражения необходимо построить эконометрическую модель.

Все переменные эконометрической модели делят на экзогенные, эндогенные и предопреленные.

Экзогенные – это переменные, ɣ входят в модель, но задаются как бы из вне, т.е. так называемые независимые переменные.

Эндогенные – определяются самим явлением, для ɣ строится модель.

///В модели они явл предметом объяснения, т.е. зависимости (объясняемыми) переменными. ///

Предопределенными называются переменных выступающие в системе в роли аргументов или так наз объясняющими переменными. Т.е. множество предопределенных переменных состоит из множества экзогенных переменных и так наз лаговых эндогенных переменных.

Лаговые эндогенные - это такие переменных, значение γ входят в изучаемую систему будучи оценены в прошлых периодах .

/// Иначе, в настоящей момент времени мы их считаем известными, заданными переменными. ///

3.Статистическая зависимость (независимых случайных переменных) ковариация

Статистическая зависимость м\у двумя переменными - каждому значению (одному) у соответствует не одно, а множество значений или ряд распределения х.

В силу неоднозначности статистической зависимости между у и х . Особый интерес представляет собой усредненная по х зависимость, и т.е. закономерность в изменении признаковых средних х, а точнее условного мат ожидания (у в зависимости от х)

Мч(у) - Т.е. получим корреляционную зависимость.

Наличие корреляционной зависимости не может ответить на вопрос о причине связи. Корреляция устанавливает лишь меру этой связи, т.е. меру согласованного варьирования.

Меру взаимосвязи м\у 2 мя переменными можно найти с помощью ковариации.

, ,

Величина показателя ковариации зависит от единиц в γ измеряется переменная. Поэтому для оценки степени согласованного варьирования используют коэффициент корреляции – безразмерную характеристику имеющую определенный пределы варьирования..

Основными числовыми характеристиками меры связи м\у переменными явл: парные кофэ-ы корреляции, частные коэф-ы корреляции и множественные коэф-ы корреляции.

/// Последние 2 имеют место если переменных больше 2. ///

Для 2х переменных парный коэффициент корреляции определяется по формуле: , где ; .

5.Основные этапы построения эконометрических моделей

На первом постановочном этапе построения эконометрической модели формируются цели моделирования, определяется набор участвующих в модели факторов, т.е. устанавливается, какие из переменных будут рассматриваться как экзогенные, а какие как эндогенные и лаговые.

Пусть У ={у1 у2 …уm}, множество эндогенных переменных ; Х = {х1 х2 …хm} – множество экзогенных переменных.

Задачей экзогенного моделирования является получение каждой эндогенной переменной от совокупности экзогенных переменных и возможно от части эндогенных.

y1 = f (x1 … xk у2 … уm)

При этом зависимые переменных лаговые.

На 1 ом этапе осуществляется анализ экономической сущности изучаемой модели.

На 3 ем этапе выбор общего вида модели: парная, множественная; сколько должно войти факторов; линейная не линейная; а так же определение коэффициентов функции f.

4 ый этап отбор необходимой статистической информации и предварительный анализ данных.

5 ый этап – идентификация модели, т.е. стат анализ модели, стат оценка независимых параметров модели. Наиболее часто для оценки (нахождения) параметров модели применяют метод наименьших квадратов (МНК)

6 ой этап – сопоставление реальных и модельных значений. Иначе оценка адекватности и точности модели.

По точной и адекватной модели осуществляется прогнозирование.

4.Анализ линейной статистической связи. Вычисление коэффициента корреляции

/// Последние 2 имеют место если переменных больше 2. /// Для 2х переменных парный коэффициент корреляции определяется по формуле:

, где ; .

Он является показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости.

Его свойства:

2) - кожф-т корреляции не зависит от выбора начала отсчета

коэф-т корреляции величина безразмерная

если , то это свидетельствует о функциональной зависимости м\у х и у., Если ρ=0, то связи нет. Если , то это свидетельствует о положительном направлении связи, т.е. с ростом одной переменной 2-я так же возрастает, если , направление отрицательное, т.е. с возрастанием одной переменной другая убывает.

В практических расчетах генеральный коэффициент корреляции ρ не известен, его оценивают по результатам выборочного исследования. Точечная оценка ρ, иначе выборочный коэффициент корреляции: .

Для оценки сущ-ти (значимости) коэффициента корреляции ρ (генерального) применяется коэффициент t-статистики. Значение этого критерия tраспр = tнабл определяется по формуле:

Значение вычисленной t-статистики сравнивается с табличным, т.е. критическим значением t. Критическое значение t берется на заданном уровне значимости α и числе степеней свободы n-2/

Выдвигается нулевая гипотеза Н0, что коэф-т корреляции равен нулю. Н0 ρ =0. Вычисляется t расч, сравнивается с tкрит. Если t расч > t крит, то гипотеза Н0 отклоняется, и принимается противоположная гипотеза, т.е. ρ≠0. Если t расч ≤ tкрит, то гипотеза принимается. Как видно из формулы t набл, это t-статистика определяется выборочным коэф-м корреляции и числом наблюдений n, поэтому не трудно для заданного числа степени свободы найти наименьшее значение выборочного коэф-та r, при γ гипотеза Н0 будет отклонена к заданной доверительной вероятностью.

6.Линейная модель парной регрессии. Оценка параметров модели с помощью МНК

Линейная модель парной регрессии есть: у=bх+a+e

b - коэф-т регрессии, показывающий, как изменится у при изменении х на единицу

a - это свободный член, расчетная величина, содержания нет.

e - это остаточная компонента, т.е. случайная величина, независимая, нормально распределенная, мат ожид = 0 и постоянной дисперсией.

Присутствие e в модели свидетельствует о том, что функциональной зависимости м\у у и х нет. На изменение у оказывает влияние не только фактор х, но и какие-то др не учтенные моделью факторы.

Первой задачей регрессионного анализа явл получение значения параметров a и b. Найт этои параметры мы не можем (пришлось бы обследовать ген совокупность), поэтому находим выборочные оценки этих параметров.

ŷ = a + b x

Для нахождения выборочных оценок используем метод НК

решением системы нормальных уравнений будет:

выборочные оценки для ур-я (1)

очевидно, что мин регрессия будет иметь место только в том случае, если , если хi совпадает с .

В этом случае зависимость отсутствует.

7.Оценка существенности (значимости) параметров линейной регрессии

Проведем оценку качества построенной моедли:

А) оценим значимость уравнения регрессии, иначе ответим на вопрос, соответствует построенная математическая модель фактическим данным и достаточна ли выкюч в уравнение х-фактроров для объяснения изменения результативного показателя.

Для проверки значимости модели уравнения регрессии используется F-критерий Фишера по γ вычисляется F расчетное.

Fрасч сравнивается с F крит с 2-я степенями свободы: υ1 = n-1, υ2 = n-k-1, где k - кол-во оцениваемых параметров. /k=1/

Если Fрасч > с F крит, то уравнение считается значимым, в противном случае ур-ие не значимо.

Надежность получаемых оценок а и b зависит от ошибки ε.

Нужно найти среднюю квадратическую ошибку

, где

Для значимого ур-я регрессии строят интервальные оценки параметров a и b.

Интервальная оценка параметра a, есть:

Замечание: если интервальные границы в разные по знаку, то такие уравнения в прогнозировании использовать нельзя, т.е. непонятно какое направление.

8.Оценка параметров множественной регрессии МНК

Линейная модель множественной регрессии. У=а0+а1х1+ а2х2+…+ аmхm+e

Параметры определяются с помощью методов наименьших квадратов.

Для этого проведем все рассуждения в матричной форме. Введем следующие матричные обозначения:

;

где У вектор n значений результативного показателя.

Х – матрица n значений m независимых переменных; а матрица параметров

У=Х∙а+ε.

Заметим, что а – выборочные оценки совокупности.

Итак, метод наименьших квадратов требует мин-ии суммы квадратов отклонений исходных модели значений

Из матричной алгебры известно, что , тогда:

1 – это есть матрица размерностью 1Х1, т.е. число-скаляр, а скаляр при трансформировании не меняется, поэтому Þ

Согласно условию экстремума S по а =0

;

2ХТY+2aXTX=0

XTY=aXTX

Для погашения а умножим обе части этого уравнения на (ХТХ)-1, тогда

а= (XTХ)-1∙XTY

Решение задачи нахождения матицы, а возможно лишь в том случае, если строки и столбцы матрицы Х линейно независимы.

9.Модель множественной регрессии. Технология разработки прогнозов на ПВМ.

Связь между у и независимыми факторами х1, х2, … хn можно охарактеризовать уравнением (моделью) множественной регрессии.

Y=f (х1, х2, … хn).

Эта модель показывает, какие значения в ср принимает результативный показатель У, если переменные Хi примут какие-то свой конкретные значения.

В зависимости от функции f будем иметь линейную или не линейную множественную регрессию.

Тинтером было доказано, что усложнение формы связи м\у хi и у не принципиально влияет на конечные результаты.

Линейная модель множественной регрессии.

У=а0+а1х1+ а2х2+…+ аmхm+e

Параметры определяются с помощью методов наименьших квадратов.

Технология разработки прогнозов на ПВМ.

10. Регрессионные модели с переменной структурой (фиктивные переменные).

При построении регрессионного уравнения используются факторы, являющиеся количественными характеристиками. Иногда требуется ввести в модель регрессии некий качественный фактор. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки (пол, образование, принадлежность к какому-либо региону и т.д.). чтобы ввести такие переменные в уравнение, их нужно преобразовать в количественные. Пусть у – цена квартиры, х - общая площадь квартиры, тогда общий вид регрессионного уравнения примет вид, у=а0+а1х. Сконструируем фиктивную переменную, означающую принадлежность квартиры к центральным или периферическим частям города. . Тогда получается уравнение 2-ухфакторной регрессии: y=a0+a1x+a2z. В этом уравнении параметр а2 показывает, на сколько дороже квартира в центре по сравнению с периферией города

11.Многомерный статистический анализ, задачи классификации объектов. Кластерный и дискременантный анализ.

В стат исследованиях группировка первичных данных является основным кные) задача может быть решена методами кластерного анализа, решение отличаются от дв методов многомерной классификации отсутствием обучающих выборок, т.е. ?апрорной? информации о распределении ген совокупности (вектора Х)

Различие между схемами задач по классификации определяется тем, что понимает по словом сходство и степень сходства. После того, как сформулирована цель работы нужно определить критерии качества, целевую функцию, значения γ позволяют сопоставить различные схемы классификаций. В эконометрическом исследовании целевая функция, как правило, должна минимизировать некоторые параметры определенные на множестве объектов (например, при классификации оборудования цель – группировка по мин совокупных затрат вр и средств не ремонтные работы). Если формировать цель не удается, критерием качества классификации является возможность сосредоточительной интерпретации найденных групп.

А) Кластерный анализ - это совокупность методов, позволяющих классифицировать м6ногомерные наблюдения, каждое из кот описывается набором признаков (параметров) Х1, Х2, … Хк. Целью кластерного анализа явл образование групп схожих м/у собой объектов, кот принято называть кластерами.

Кластерный анализ – одно из направлений статистического исследования. Особо важное место он занимает в тех отраслях науки, γ которые связаны с изучением массовых явлений и процессов. Необходимость развития методов кластерного анализа и их использования продиктована тем, что они помогают построить научно обоснованные классификации, выявить внутренние связи м/у единицами наблюдений совокупности. Метод кластерного анализа позволяет решить следующие задачи: проведение классификации объектов с учетом признаков, отражающих сущность, природу объектов. Решение такой задачи, как правило, приводит к углублению знаний о совокупности классифицируемых объектов; проверка выдвигаемых предположений о наличии некоторой структуры в изучаемой совокупности объектов, т.е. поиск существующей структуры; построение новых классификаций для слабоизученных явлений. Когда необходимо установить наличие связей внутри совокупности и попытаться привнести в нее структуру.

Обычная форма представления исходных данных в задачах кластерного анализа прямоугольная таблица:

каждая строка γ представляет собой результат измерений k рассматриваемого признака, на одном из исследуемых объектах.

В некоторых случаях может представлять интерес как группировка объектов, так и группировка признаков.

Матрицы не единственный способ представления данных для задачи кластерного анализа. Иногда исходная информация данная квадратной матрицы: R=(rij), где элемент rij определяет степень близости объекта i к объекту j . Выбор меры близости явл одним из условных моментов исследования. Это может быть обыное эфклидовое расстояние (расстояние м\у двумя точками – сумма квадратов разности одномерных координат)

, где xik или xjk - величина k-ой компоненты у i- ого (j-ого) объекта.

Б) Дискриминантный анализ явл разделом многомерного статистического анализа, который влк в себя методы классификации многомерных наблюдений по принципу максимального сходства при наличии обобщающих признаков. В Д.а. новые кластеры не образуются, а формулируются правило, по кот объекты подмножества подлежащего классификации относятся к одному из уже существующих (обучающих) подмножеств (классов)., на основе сравнения величины дискриминантной функции классифицируемого объекта, рассчитанной по дискриминантным переменным, с некоторой константой дискриминациии.

Постановка задачи дискриминантного анализа. Пусть имеется множество М единиц N объектов наблюдения, каждая i-ая единица кот описывается совокупностью р значений дискириминантных переменных (признаков) xij (i=1, 2, …, N; j =1, 2, …, p). Причем все множество М объектов включает q обучающих подмножеств (q≥2) Mk размером nk каждое и подмножество М0 объектов подлежащих дискриминации (под дискриминацией понимается различие). Здесь – номер подмножества (класса), k=1, 2, …,q.

Требуется установить правило (линейную или не линейную дискриминантную функцию) f(X)) распределения m-объектов подмножества М0 по подмножествам Мk

Наиболее часто используется линейная форма дискриминантной функции, которая представляется в виде скалярного произведения векторов А=(а1, а2, …, ар) дискриминантных множителей и вектора Хi=(xi1, xi2, …xip) дискриминантных переменных: Fi=A x X`i или Fi=a1xi,1+a2xi,2+…+apxi,p (хij – значегие j-x признаков у i –гог объекта наблюдения. Дискриминантный анализ проводится в условиях следующих основных предположений: 1) множество М объектов Мк (класса), кот отличаются от других групп переменными хij , 2) в каждом подмножестве Мк находятся, по крайней мере, два объекта (nk≥2) не менее чем на две единицы; 3) число N объектов наблюдения длжно превышать число р дискриминантных переменных (0<р<N-2) не менее чем на две единицы; 4)линейная независимость м/у признаками (j), т.е. ни один из признаков не должен быть линейной комибинацией др признаков, в противном случае он не несет новой информации; 5) нормальный закон распределения дискриминантных переменных хij (по признакам).

Если приведенные предположения не удовлетворяются, то ставится вопрос о целесообразности использования дискриминантного анализа для классификации новых наблюдений.

12.Многомерный стат анализ задачи снижения размерности. Факторный и компонентный анализ.

В исследовательской и практической работе приходится сталкиваться с ситуацией, когда общее число признаков х1, х2, х3 … хр регистрируемых на каждом из множестве объектов (стран, регионов, семей) очень велико.

Тем не менее имеющиеся многомерные наблюдения следует подвергать статистической выборке (осмыслить, ввести в БВ, для того, чтобы иметь возможность использовать их в нужный момент).

Желание статистика представить любое из наблюдений хi в виде вектора z вспомогательных показателей.

с существенно меньшим, чем число р компонент р` бывает обусловлен следующим причинам:

необходимостью наглядного представления исходных данных, что достигается их проецированием на специально подобранное трехмерное пространство (p`=3) или двухмерное (р`=2) или одномерное (р`=1);

стремлением к локализму исследуемых моделей для упрощения счета и интерпретации полученных выводов;

Ограниченными возможностями человека в одновременном охвате большого числа частных критериев;

Например: в анализе ряда разноспекторных характеристик качества жизни человека. А отсюда, стремление к сверстке информации и этих частных критериев и переходу к интегральному индикатору.

Необходимостью сжатия объемов хранимой информации (стат) в специальной БД. При этом вспомогательные признаки z1 z2 …zр могут вбираться из числа иходных признаков, либо явл их линейными комбинациями.

При формировании новой системы признаков k последним предъявляются разного рода требования, такие как: Наибольшая информативность (в определенном смысле) взаимная некоррелированность

Наименьшее искажение структуры их данных; В зависимости от варианта формальной конкретизации этих требований приходим к тому или иному алгоритму снижения размерности.

Имеется по крайней мер 3 основных тип принципиальных предпосылок, обуславливающих возможность перехода от большего числа р- исходных показателей, состояний исследуемой системы k существенно меньшему р` наиболее информативных переменных: дублирование информации (наличие взаимосвязанных признаков); не информативность (малая вариательность признака при переходе от одного объекта к др); возможность агригорования (т.е. простого суммирования или взаимного по некоторым группам).

Формально задача перехода с наименьшими потерями от р признаков к новому набору р` м.б. описана следующим образом: Пусть Z=Z(x)=Z(Z1 Z2 … Zp`) Некоторая р` -мерная функция от исходных переменных.

И пусть Ур(Z(x)) – определенным образом заданная мера информативности р`-мерной системы признаков: Z= Z(Z1(х) Z2(х) … Zp(х))Т

Конкретный выбор функционально зависит от специфики реально решаемых задач и оперяется на один из возможных критериев.

Критерия автноинформативности нацеленных на мах-ие сохранение информации, содержащейся в исходном массиве xi , относительно самих исходных признаков.

Критерий внешней информативности, нацеленной на мах-ию «выжимания» из хi информации относительно некоторых внешних показателей.

Тот или иной вариант конкретизации этой постановке приводит к конкретному методу снижения размерности, а именно: -методу гл. компонентов; -методу факторного анализа; -метод экстремальной группировке параметров.

Метод гл. компонент.

Во многих задачах обработки многомерных наблюдений и в частности в задачах классификации исследователя интересуют лишь те признаки, γ обнаруживают наибольшую изменчивость при переходе от одного объекта к др. С др стороны не обязательно для описания состояния объекта использовать какие-то из исходных замеренных на нем признаки (например, портной делает М изделий но для покупки достаточно 2 значения : рост и объем груди). Следуя общей оптимальности постановок задачи снижения размерности выражения:

можно принять в качестве меры информативности p`-мерной системы показателей. Тогда при любом фиксированном р` вектор Z искомых показателей вспомогательных переменных (новых) определяется как линейная комбинация Z= исходных данных, где - вектор центрированных исходных данных.

- принцип строки, γ удовлетворяет условию ортагональностьи.

Полученных т.о. переменные и называют гл. компонентами.

1-ой гл. компонентой явл та, γ обладает наибольшей дисперсией. Далее компоненты располагаются по мере убывания дисперсей. Вычисление гл. компонент. По исходным статистическим данным получить вектор ср. значений и квалификационную матрицу ∙Σ.

Для определения коэффициентов линейного преобразования, с помощью γ осуществляется переход к главным компонентам необходимо решить харак-ческое уравнение.

где ε – единичная матрица соответствующего порядка, λ=(λ1, λ2, … λр) – собств-ые значения (числа), Σ- сигма.

найти относительные доли суммарной дисперсии, обусловленные этим компонентом

; ; …

К сожалению гл. компонента бывает сложно интерпретировать.

Х1- носит самую большую нагрузку.

Располагая исходными данными и используя уравнение для z1 (меняя значения х) можно посчитать значения 1-ой гл. компоненты для люб измеряемых пр-ий.

Интерпретируем z1 как объясняющую переменную и записываем уравнения хi=f(z1) (уравнение парной регрессии) для люб исходного показателя.

13. Измерение тесноты связи между показателями. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции.

Коэф-т парной линейной корреляции: . Свойства: 1) rx,y находится в инт-ле (-1;1); 2) rx,y>0 – связь прямая, rx,y<0 – связь обратная; 3) - связь тесная, - связь слабая.

Пусть в исследовании используется совокупность переменных у1, х1, х2,…, хm. Для каждой пары можно рассчитать коэф-ты парной линейной корреляции. В результате, получиться матрица коэф-в парной корреляции:

. Эта матрица симметрична относительно главной диагонали, т.е. состоит из двух одинаковых треугольников. Она позволяет выбрать факторы наиболее тесно связанные с интересующей нас величиной, а также установить связь между самими факторами. Как правило, в регрессионной модели нельзя включать факторы, тесно связанные между собой.

28.Интервальная оценка параметров моделей парной регрессии

Для значимого ур-я регрессии строят интервальные оценки параметров a и b.

Интервальная оценка параметра a, есть:

15.Оценка влияния факторов на зависимую переменную: коэффициент эластичности и β-коэффициент.

Влияние факторов на зависимую переменную оцениваются с помощью коэффициентов эластичности и β-коэффициентов.

Он показывает на сколько % увеличится результативный показатель У при увеличении соответствующего j-ого фактора на 1%.

, где

он показывает на какую величину своего среднего квадратического отклонения изменится результативный показатель У при увеличении соответствующего j-ого фактора на 1-о свое среднеквадратическое отклонение.

29. Измерение тесноты связи между показателями. Мультиколлинеарность и способы ее устранения.

Одним из условий регрессионной модели явл-ся предположение о линейной независимости объясняющих переменных, т.е. решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы. Для экон. показателей это условие выполняется не всегда. Линейная или близкая к ней связь между факторами называется мультиколлинеарностью и приводит к линейной зависимости нормальных уравнений, что делает вычисление параметров либо невозможными, либо затрудняет содержательную интерпретацию параметров модели. Считают явление мультик-ти в исходных данных установленным, если коэф-т парной корреляции между 2-мя переменными больше 0,8. Чтобы избавиться от мультик-ти, в модель включают лишь один из линейно связанных между собой факторов, причем тот, который в большей степени связан с зависимой переменной. В качестве критерия мультик-ти может быть принято соблюдение следующих неравенств: ryxi>rxixk, ryxk>rxixk, rxixk<0,8. если приведенные неравенства (или хотя бы одно из них) не выполняется, то в модель включают тот фактор, который наиболее тесно связан с у.

27.Интервальные прогнозы по линейному уравнению парной регрессии.

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (ур) значение как точечный прогноз ýх при хр =хк, т.е. путем подстановки в уравнение регрессии ýх=а+bx соответствующего значения х. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки ýх, т.е. u и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения (у*)

где u рассчитывается по формуле: , где -средная квадратиче6ская ошибка, t(кр) берется из таблицы T-критерия Стьюдента с заданной доверительной вероятностью и степенью свободы.

16. Обобщенный МНК.

При нарушении гомоскедастичности рекомендуется традиционный МНК заменять обобщенным МНК. Обобщенный МНК применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.

Предположим, что среднее значение остаточных величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для разных значений фактора, а пропорциональна величине Кi, т.е. , где - дисперсия ошибки при конкретном i-ом значении фактора, - постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков; Кi – коэф-т пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обусловливает неоднородность дисперсии.

При этом предполагается, что неизвестна, а в отношении величины К выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

В общем виде для уравнения при , модель примет вид: .

В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе i-ого наблюдения на . Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной, т.е. .

Иными словами, от регрессии у по х мы перейдем к регрессии на новых переменных: и .

Уравнение регрессии примет вид: .

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные у и х взяты с весами .

Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному МНК, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида: .

Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:

Если преобразованные переменные х и у взять в отклонениях от средних уровней, то коэф-т регрессии b можно определить как .

При обычном применении МНК к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней коэф-т регрессии b определяется по формуле: .

Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэф-т регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весами 1/К.

17.Анализ эконометрических объектов и прогнозирование с помощью модели множественной регрессии.

По полученной, адекватной и точной моедли можно строить точечный и интервальный прогноз.

Прогнозное значение факторных показателей Хj можно поучить:

А) построив уравнение тренда (если он есть)

Б) либо применить адаптивную модель Брауна, если предпочтения надо отдать последним данным (при отсутствии сезонности).

В) либо построив адаптивную модель Хольтст-Уильтерса – если есть сезонность (и курс)

Г) либо применив метод экспериментальных оценок (и курс?)

Д) Поучив обобщенный прогноз по всем вышеперечисленным моделям с учетом коэффициента важности.

Подставив точечный прогноз фактора Хj в модель получим точечный прогноз результативного показателя У. Вероятность того, что от сбудется =0, поэтому необходимо построить доверительный интервал, в γ с заданной доверительной вероятностью р попадет прогнозное значение. Ширина доверительного интервала

, где Sm – ср квадрат ошибка модели

; ,

19. Системы линейных одновременных уравнений (СОУ). Взаимозависимые и рекурсивные системы.

Регрессионное уравнение устанавливает зависимость одной величины от совокупности факторов. Как правило, нас может интересовать целый ряд величин у1, у2, у3…, которые зависят как от факторов, так и между собой. Для отображения такой паутины взаимосвязей используются системы уравнений. Они бывают 3 видов: 1. системы независимых уравнений; 2. рекурсивные системы; 3. системы взаимозависимых уравнений.

Рекурсивные системы:

Первое уравнение в таких системах является моделью множественной регрессии. В каждом последующем будут содержаться как все независимые факторы, так и зависимые переменные, оцененные ранее (предопределенные). Такие системы могут использоваться для анализа производительности труда и фондоотдачи.

Системы взаимозависимых уравнений: Эти системы используют для анализа динамики цены и зарплаты.

25.Множественная корреляция и частичная корреляция

Эк явления как правило определяются большими числами одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим возникает задача исследования зависимости одной (или нескольких) переменных у от совокупности переменных (х1 х2 … хm). В таком случае для измерения тесноты связи м\у У и факторными признаками хj (j =1 … n) используют множественных коэффициент корреляции.

Для этого используют матрицу парных коэффициентов корреляции м\у всеми рассматриваемыми переменными.

По этой матрице вычисляется множественный коэффициент корреляции, отражающий тесноту связи м/у Y и всеми остальными факторами.

, где R – алгебраические дополнения к соответствующим коэффициентам.

Частный коэффициент корреляции устанавливается зависимость м\у j-ым и k-ым фактором при исключении остальных.

21. Предпосылки МНК.

Основную информацию для анализа качества регрессионного уравнения можно получить из ряда остатков. Иногда только по одному графику остатков можно судить о качестве аппроксимации. Остатки модели должны обладать опр. свойствами: несмещенность, состоятельность, эффективность. На практике проверка этих свойств сводится к проверке 5 предпосылок МНК: 1.случайный характер остатков (критерий поворотных точек), 2.независимость уровней в ряде остатков (d-критерий Дарбина-Уотсона), 3.соответствие ряда остатков нормальному закону распределения(RS-критерий), 4.равенство 0 мат. ожидания остатков, 5.гомоскедастичность остатков.

1.Свойство случайности проверяется с помощью критерия поворотных точек или критерия пиков. Уровень в ряде остатков называется поворотной точкой, если он одновременно больше или одновременно меньше 2-ух соседних с ним уровней. Точкам поворота приписывают значения 1, остальным – 0. Свойство случайности выполняется, если количество поворотных точек справа означает, что от выражения внутри них нужно взять целую часть. n – количество уровней в ряде.

2.Для проверки свойства независимости (отсутствие автокорреляции) уровней в ряде остатков используют d-критерий Дарбина-Уотсона. В начале рассчитывают величину d по формуле:. Для этого критерия задаются 2 таблич. границы d1 и d2.

3.Для проверки соответствия ряда остатков нормальному закону распределения используют RS-критерий: RS =(Emax-Emin)/SE. Emax и Emin- соотв. наибольшее и наименьшее значения уровней в ряде остатков. SE- СКО. Если значение RS попадает в табличный интервал, то ряд остатков распределен по норм. закону.

5.Гомоскедастичность – постоянство дисперсии остатков по отношению к фактическим значениям фактора или показателя. Остатки называются гомоскедастичными, если они сосредоточены в виде горизонтальной полосы около оси xi, в противном случае остатки называют гетероскедастичными. Для исследования гомоскедастичности применяются различные тесты. Один из них называется тест Голдфельда-Квандта: 1) Упорядочение значений показателя у по степени возрастания фактора х. 2) Из упорядоченной совокупности убирают несколько «с» центральных значений: , р – число оцениваемых в модели параметров. В результате, получается 2 совокупности данных, в одной из них значения фактора будет наименьшими, а в другой – наибольшими. 3) Для каждой совокупности строят модель регрессии, по которой находят остатки: . Пусть S1 – большая сумма квадратов ошибок, а S2 – меньшая. 4) Определим отношение . 5) Полученное значение R сравнивают с табличным значением F-критерия Фишера. Если Fтабл<R, то предпосылка о гомоскедастичности нарушена. Чем больше R по отношению к Fтабл, тем более нарушена данная предпосылка. .

23.Модель множественной регрессии. Выбор вида модели и оценка ее параметров

Y=f (х1, х2, … хn).

В зависимости от функции f будем иметь линейную или не линейную множественную регрессию.

Тинтером было доказано, что усложнение формы связи м\у хi и у не принципиально влияет на конечные результаты.

Линейная модель множественной регрессии.

У=а0+а1х1+ а2х2+…+ аmхm+e

Параметры определяются с помощью методов наименьших квадратов.

Для этого проведем все рассуждения в матричной форме. Введем следующие матричные обозначения:

;

где У вектор n значений результативного показателя.

Х – матрица n значений m независимых переменных; а матрица параметров

У=Х∙а+ε.

Заметим, что а – выборочные оценки совокупности.

Итак, метод наименьших квадратов требует мин-ии суммы квадратов отклонений исходных модели значений,

Из матричной алгебры известно, что , тогда:

1 – это есть матрица размерностью 1Х1, т.е. число-скаляр, а скаляр при трансформировании не меняется, поэтому Þ

Согласно условию экстремума S по а =0

;

2ХТY+2aXTX=0

XTY=aXTX

Для погашения а умножим обе части этого уравнения на (ХТХ)-1, тогда

а= (XTХ)-1∙XTY

22. Модель множественной регрессии. Построение системы показателей-факторов.

Модель парной регрессии устанавливает зависимость интересующей нас величины только от 1-го фактора. В экономике эта ситуация абстрактная. На показатель влияет целая совокупность факторов. Если использовать линейную математическую функцию, то в этом случае модель множественной регрессии примет вид yi=a0+a1xi1+a2xi2+a3xi3+…+amxim+ei. Каждый из параметров модели аi показывает, на сколько меняется исследуемая величина у при изменении соответствующего фактора на 1 единицу. Эта модель универсальна в том смысле, что позволяет установить зависимость показателя, как от всей совокупности факторов, так и от каждого из них в отдельности. Эта модель применяется при изучении проблем спроса, функции доходности акции, функции издержек производства, функции прибыли и т.д.

Построение системы показателей-факторов. При построении системы факторов необходимо соблюдать следующие условия: 1) должны быть количественно измеримы; 2) теоретически обоснованы; 3) линейно независимы друг от друга; 4) одна модель не должна включать в себя совокупный фактор и факторы его образующие; 5) тесно связаны между собой. Для реализации 5-го требования строят матрицу коэф-в парной корреляции. На основании этой матрицы выбирают те факторы, связь которых с величиной наиболее тесная. Затем проверяют наличие мультиколлинеарности (МК) факторов. Два фактора МК, если . МК факторы нельзя включать в одну модель, нужно выбрать один из них или заменить оба совокупной функцией

24.Проверка качества многофакторных регрессионных моделей.

Качество модели, т.е. ее адекватность и точность проверяется с помощью d-критерия – критерия независимости последних уровней остаточной компоненты.

если (d`)dp[1.36;2,0), то остаточные компоненты не коррелированы.

если (d`)dp>2, то переходим к d`=4 - dp

если (d`)dp[1.08;1,36), то используют

; Þ ………………………………..

Далее критические повороты точек (о случайности значений остаточной компоненты)

При использовании поворотных точек следует обратить особое внимание на сущ-ие аномальных значение εi .

Если какие-то значения εi .явл аномальными, то соответствующие I-ое наблюдение из данных надо убрать.

Далее R/S-критерий ///соответствие распределения остаточной компоненты по нормальному закону///.

, если R/Sрасч принадлежит соответствующему интервалу (критические значения R/S стр 72 методички эконометрика), то остаточная компонента распределена по нормальному закону. При выполнении всех критериев модель адекватна.

Точность модели можно оценить с помощью средней относительной ошибки.

Þ модель точна и ее можно использовать в прогнозировании.

, где

26.Нелинейная регрессия. Нелинейная модель и их линеаризация.

Различают 2 класса нелинейных регрессий:

-регрессии нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

-регрессии, нелинейные по включенным параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут слуюить следующие функции:

Полиномы разных степеней: y=a+bx+cx2+ε, y=a+bx+cx2+dx3+ ε;

Равносторонняя гипербола:

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

Степенная y=axb ε

Показательная y=abx ε

Экспоненциальная у=уa+bx ε

Линеаризация нелинейной модели представляет собой преобразование используемой модели в линейную путем замены переменных на нестепенные.

Так, в параболе второй степени у=а0+а1х+а2х2+ ε заменяя переменные х=х1, х2=х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: у=а0+а1х1+а2х2+ ε, для оценки параметров Ã используется МНК.

Соответственно для полинома третьего порядка y=a+bx+cx2+dx3+ ε при замене х=х, х2=х2, х3=х3,, получим трехфакторную модель линейной регрессии: у=а0+а1х1+а2х2+ а3х3 + ε

Название ф-ии	Вид модели	Заменяемые переменные	Вид линеаризированной модели
Показательная	Ln y = Ln a+ х ln b	Ln y = Y, Ln a = α, Ln b =β	Y = a + xbα+x β (Þ a=eα, b=eβ)
Степенная	Ln y = Ln a+ b ln x	Ln y = Y, Ln a = α, Ln x =x	Y = a + bxα+bx
гиперболическая	Y = a + b/x	1/x=X	Y = a +b X

1.Классификация эконометрических моделей

Эконометрические модели делятся на линейные и нелинейные.

Линейная модель парной регрессии имеет вид: у=bх+a+e

b - коэф-т регрессии, показывающий, как изменится у при изменении х на единицу

a - это свободный член, расчетная величина, содержания нет.

e - это остаточная компонента, т.е. случайная величина, независимая, нормально распределенная, мат ожид = 0 и постоянной дисперсией.Присутствие e в модели свидетельствует о том, что функциональной зависимости м\у у и х нет. На изменение у оказывает влияние не только фактор х, но и какие-то др не учтенные моделью факторы.

Первой задачей регрессионного анализа явл получение значения параметров a и b. Найти эти параметры мы не можем (пришлось бы обследовать ген совокупность), поэтому находим выборочные оценки этих параметров.

ŷ = a + b x

Для нахождения выборочных оценок используем метод НК