Лабораторная работа № 2.
ПОКАЗАТЕЛИ ЗНАЧЕНИЙ ЦЕНТРА И РАЗМАХОВ ВАРИАЦИЙ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Цель работы: приобретение навыков обработки
и обобщения индивидуальных значений одного и того же признака у различных
единиц совокупности.
Задание.
Определить
среднюю арифметическую интервального вариационного ряда; медиану; моду; медиану и моду графически по известной
кумуляте и гистограмме ряда распределения; размах вариации; среднее линейное
отклонение; дисперсию; среднее квадратическое отклонение; квартильное
отклонение; первую, вторую и третью квартили; относительные показатели вариации
(коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент
вариации, относительный показатель квартильной вариации); показатель фондовой и
децильной дифференциации.
Условие. В качестве условия используется сгруппированный вариационный ряд предшествующей
лабораторной работы №1.
Таблица 4.
|
Номер варианты
|
Рентабельность активов
|
Кол-во банков (частота)
|
|
1
|
0,8-1,04
|
2
|
|
2
|
1,04-1,28
|
4
|
|
3
|
1,28-1,52
|
7
|
|
4
|
1,52-1,76
|
5
|
|
5
|
1,76-2,0
|
1
|
|
6
|
2,0 и более
|
1
|
|
|
ИТОГО:
|
20
|
Выполнение задания. Изучение средних величин
первичной статистической информации имеет важное значения для анализа
изучаемого признака в исследуемой совокупности разрозненных данных. Средняя
величина является обобщающей характеристикой представленного ряда величин,
отражает его типичный уровень в конкретных условиях времени и места.
1. Средняя арифметическая
дискретного ряда рассчитывается по формуле
, (4)
1,4075.
В интервальном вариационном
ряду средняя арифметическая определяется по другой формуле
,
(5)
где 
- середина соответствующего интервала вариант значений
признака, 
- частота повторений данного варианта, j – номер варианты.
В таблице 5 приведены значения
середин соответствующих интервалов ряда вариант.
Таблица 5.
|
Рентабельность активов
|
Кол-во банков (частота)
|
Середина интервала
|
|
0,8-1,04
|
2
|
0,92
|
|
1,04-1,28
|
4
|
1,16
|
|
1,28-1,52
|
7
|
1,4
|
|
1,52-1,76
|
5
|
1,64
|
|
1,76-2,0
|
1
|
1,88
|
|
2,0 и более
|
1
|
2,12
|
Значение 
вычисляется по формуле (5)
.
2. Медиана соответствует варианте,
стоящей в середине ранжированного ряда. Её положение в ряду определяется
номером
,
(6)
где N – число единиц совокупности. В
данном примере N = 20 (см. п. 3, лаб. раб.
№1) и
. Для определения величины медианы интервального
вариационного ряда (табл. 4) используется формула:
,
(7)
где 
- нижняя граница медианного интервала, h - величина интервала, 
- накопленная частота интервала, предшествующего медианному, 
- частота медианного интервала.
По накопленной частоте 
рис. 3 определяем,
что медиана находится в интервале 1,28-1,52 и вспомогательные параметры
соответственно равны: = 1,28; h =0,24; =
6; = 7 .
.
Полученное значение медианы представлено графически на
рис. 7 как абсцисса середины промежутка ординат накопленных частот в пределах
от 0 до 20 кумуляты ряда распределения. Практически это означает, что 50%
банков с доходами от 50 до 100 млн. руб. имеют рентабельность активов менее
1,434 , остальные – более 1,434 .
3. Мода – наиболее часто
встречающееся значение признака совокупности.
Поскольку наибольшая
частота 
= 7 соответствует тому же интервалу 1,28-1,52, то
мода находится в этом же интервале. Её величину определяют по формуле:
, (8)
где 
- нижняя граница модального интервала, 
- частота, соответствующая модальному интервалу, 
- предмодальная частота, 
- послемодальная частота.
Для приведенного вариационного
ряда с равными интервалами используем формулу (7), тогда
.
Мода как и медиана может быть
определена графически по известной гистограмме рис. 6. Для этого правая вершина
модального прямоугольника соединяется с правым верхним углом предыдущего
прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним
углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых
является модой ряда распределения (рис. 6).
Таким образом, в данной
совокупности наиболее часто встречается
рентабельность активов равная 1,424 для банков с доходами от 50 до 100
млн. руб.
Замечание 1: Различаются моды дискретного и вариационного
интервального рядов. Первые устанавливаются непосредственно по определению,
вторые применением формулы (7).
Замечание 2: В симметричных рядах все перечисленные средние
показатели одинаковы =
=
.
Поэтому для общей характеристики ряда достаточно вычислить среднюю
арифметическую величину.
Замечание 3: Для асимметричных рядов распределения медиана является
наиболее предпочтительной характеристикой центра распределения, потому что
находится между средней арифметической и модой.
4.
Размахом вариации называется разность между максимальным и минимальным
значениями признака совокупности (рис. 1).
R =
xmax -
xmin . (9)
Используя данные
лабораторной работы № 1 R = 2 - 0,8 = 1,2 .
5.
Среднее линейное отклонение 
вычисляется по
следующим формулам:
для сгруппированных данных рис. 3
, (10)
где K – число групп совокупности, наибольшее значение варианты;
для не сгруппированных
данных рис. 1, 2 (1,4075)
.
(11)
Тогда применяя
формулы (9) и (10) в среде Excel, получается, 
=
0,2232 , 
= 0,26525.
Замечание 4: Средние линейные отклонения для данных, сгруппированных
различным образом, могут отличаться.
6. Дисперсия - это средняя из
квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины.
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из
дисперсии. Различают дисперсию для сгруппированных данных
,
(12)
где K – число групп совокупности, наибольшее значение варианты;
для не сгруппированных
данных
. (13)
Дисперсия сгруппированных
данных 
1,71648/20 = 0,085824; среднее квадратическое отклонение 
0,292957 вычислены по
данным рис. 10 б.
Дисперсия и
среднеквадратическое отклонение дискретного ряда представлены на рис. 11.
8. Квартили – значения признака
в ранжированном ряду распределения, выбранные специальным образом. Четверть
единиц должна быть меньше по величине, чем
Q1; другая четверть единиц
заключена между значениями Q1 и Q2; третья четверть единиц -
между значениями Q2 и Q3; остальные превосходят Q3 . Значения Qi (
) вычисляются по
формула аналогичным формуле для расчета медианы:
, (14)
где 
- нижняя граница интервала, в котором находится первая
квартиль, 
- сумма накопленных частот интервалов, предшествующих
интервалу, в котором находится первая квартиль, 
- частота интервала, в котором находится
первая квартиль. Таким же образом определяются Q2 и Q3 .
,
(15)
, (16)
Вычислим первую, вторую и
третью квартили по формулам (14)-(16):
= 1,235 ;
= 1, 434 ;
= 1,652 .
Сравним полученные величины
квартилей с величинами, полученными применением статистических функций
«КВАРТИЛЬ» порядка 1, 2 и 3 к дискретному ранжированному ряду (рис. 2) в программной
среде Excel рис. 12.
Рис. 12
Замечание 5: Вторая квартиль 
должна совпадать с медианой (7) для интервального
вариационного ряда (табл. 4).
Квартильное отклонение Q можно использовать для обобщения характеристики
вариаций признаков в рассматриваемой совокупности, если, по каким-либо
причинам, невозможно определение крайних значений рядов распределения с
открытыми границами
.
(17)
Для симметричных или
мало-асимметричных распределений Q
.
= 0,2085 
= 0,19530 .
10. Относительные показатели
вариации используются для сравнения колеблемости различных признаков в одной и
той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в
нескольких совокупностях.
Коэффициент осцилляции 
,
(18)
относительное линейное
отклонение 
, (19)
коэффициент вариации 
,
(20)
относительный показатель
квартильной вариации 
; (21)
= 84,27% ;
= 15,67% ;
= 20,57% ;
= 14,54% .
Совокупность является
однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Поскольку 
= 20,57% < 33% , то по размеру рентабельности и прибыли совокупность
банков является однородной.
11. Показатель фондовой
дифференциации рассчитывается по первичным данным и характеризует отношение
средней величины из 10% наибольших значений совокупности к средней величине из
10% наименьших значений совокупности
. (22)
Два коммерческих банка, что
составляет 10% от общего количества банков, имеют наибольший уровень
рентабельности 1,98 и 2 (см. рис. 2),
поэтому 
=
=
1,99 . И два коммерческих банка имеют наименьший уровень рентабельности 0,8 и
0,85 , поэтому 
=
=
0,825 . Следовательно, коэффициент фондовой дифференциации будет таким:
= 2,412 .
Это означает, что размер
рентабельности у 10% банков с наивысшими доходами в 2,4 раза превышает размер
прибыли 10% коммерческих банков с наименьшими доходами.
Для определения децильной
дифференциации используются формулы расчета квартилей. Сначала находится номер первой
децили 
, затем девятой 
. 
2,1 ; 
18,9 .
= 1,052 ;
= 1,803 .
Коэффициент децильной
дифференциации устанавливается из соотношения
.
(23)
= 1,714 .
Это означает, что отношение
децили наиболее рентабельных банков в совокупности к децили наименее рентабельных
банков составляет 1,714. Таким образом, уровень рентабельности наиболее
прибыльных банков в 1,714 раз выше уровня наименее прибыльных банков.
Выводы. Выводы
содержатся в каждом пункте выполненного задания.
Варианты заданий. Варианты указаны римскими цифрами в лабораторной
работе №1.