4.     Построить однофакторную линейную регрессионную модель связи признаков Х и Y, используя инструмент Регрессия надстройки Пакет анализа.

5.     Оценить адекватность и практическую пригодность построенной линейной регрессионной модели, указав:

а) значимость и доверительные интервалы коэффициентов а₀, а₁;

б) индекс детерминации R2 и его значимость;

в) точность регрессионной модели.

6.     Дать экономическую интерпретацию:

а) коэффициента регрессии а₁;

б) коэффициента эластичности К_Э;

в) остаточных величин _i.

7.     Найти наиболее адекватное нелинейное уравнение регрессии с помощью средств инструмента Мастер диаграмм. Построить для этого уравнения теоретическую кривую регрессии.

II. Выводы по результатам выполнения лабораторной работы.

Задача 1. Установление наличия статистической связи между факторным признаком Х и результативным признаком Y графическим методом и методом сопоставления параллельных рядов.

Статистическая связь является разновидностью стохастической (случайной) связи, при которой с изменением факторного признака закономерным образом изменяется какой –либо из обобщающих статистических показателей распределения результативного признака.

Вывод:

Точечный график связи признаков (диаграмма рассеяния, полученная в Лабораторной  работы №1 после удаления аномальных значений), а также табл.1, представляющая два параллельных ряда значений признаков X и Y с ранжированными значениями x_i  показывают, что с увеличением значений факторного признака увеличиваются (уменьшаются) значения результативного признака, за исключением некоторых отклонений от общей тенденции предприятия:

 Это позволяет сделать вывод, что имеет место статистическая связь. Предположительный вид связи – линейная прямая.

Задача 2. Установление наличия корреляционной связи между признаками Х и Y методом аналитической группировки.

Корреляционная связь – важнейший частный случай статистической связи, когда под воздействием вариации факторного признака Х закономерно изменяются средние значения  результативного признака. Для выявления наличия корреляционной связи используется метод аналитической группировки.

Вывод:

Результаты выполнения аналитической группировки предприятий по факторному признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов даны в табл. 2.2, которая показывает, что с увеличением факторного признака Х закономерно изменяются средние значения

Задача 3.Оценка тесноты связи признаков Х и Y:

а) на основе эмпирического корреляционного отношения.

Для анализа тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывается показатель η - эмпирическое корреляционное отношение, задаваемое формулой

           ,

где  и  - соответственно межгрупповая и общая дисперсии результативного признака Y - Выпуск продукции.

Результаты выполненных расчетов представляются табл. 2.4.

Вывод:

Значение коэффициента η=, что в соответствии с оценочной шкалой Чэддока говорит о  прямолинейной степени связи изучаемых признаков.

б) на основе линейного коэффициента корреляции признаков.

В предположении, что связь между факторным и результативным признаками прямолинейная, для оценки тесноты связи на основе линейного коэффициента корреляции r был использован инструмент Корреляция надстройки Пакет анализа, в результате применения которого построена табл.2.5.

Вывод:

Значение коэффициента корреляции r= 0.9132, что в соответствии со шкалой Чэддока говорит о  прямолинейной степени связи изучаемых признаков.

Так как значение коэффициента корреляции r положительное, то связь между признаками прямолинейная.

Посредством показателя η измеряется теснота связи любой формы, а с помощью коэффициента корреляции r – только прямолинейная, следовательно, значения η и r совпадают только при наличии прямолинейной связи. В теории статистики установлено, что если , то гипотезу о прямолинейности связи можно считать подтвержденной.

Вывод:

При η= 0,9936 и  r= 0,9132 величина = 0,1533, следовательно, связь между признаками X и Y предположительно прямолинейная.

Задача 4. Построение однофакторной линейной регрессионной модели связи изучаемых признаков с помощью инструмента Регрессия надстройки Пакет анализа.

Построение регрессионной модели заключается в определении аналитического выражения связи между факторным признаком X и результативным признаком Y.

Инструмент Регрессия производит расчет параметров а₀ и а₁ уравнения однофакторной линейной регрессии , а также вычисление ряда показателей для проверки адекватности построенного уравнения фактическим данным.

В результате работы инструмента Регрессия были получены четыре результативные таблицы 2.6 – 2.9 Рабочего файла.

Таблица 2.6

Таблица 2.7

Таблица 2.8

Таблица 2.9

Вывод:

Рассчитанные в табл.2.8

коэффициенты а₀ и а₁ позволяют построить линейную регрессионную модель связи изучаемых признаков в виде уравнения 7-06x³ - 0,016x² + 14,68x - 3535

Задача 5. Оценка адекватности и практической пригодности построенной линейной регрессионной модели.

Анализ адекватности регрессионной модели преследует цель оценить, насколько построенная теоретическая модель взаимосвязи признаков отражает фактическую зависимость между этими признаками, и тем самым оценить практическую пригодность синтезированной модели связи.

Оценка соответствия регрессионной модели наблюдаемым фактическим значениям признаков X и Y выполняется в 4 этапа:

1)  оценка статистической значимости коэффициентов уравнения а₀, а₁ и определение их доверительных интервалов для заданного уровня надежности;

2)  определение практической пригодности построенной модели на основе оценок коэффициента корреляции  r  и индекса детерминации R²;

3)  проверка адекватности уравнения регрессии в целом по F-критерию Фишера;

4)  оценка погрешности регрессионной модели.

1.  Оценка статистической значимости коэффициентов уравнения а₀, а₁ и определение их доверительных интервалов.

Так как коэффициенты уравнения а₀, а₁  рассчитывались, исходя из значений признаков только 30-ти пар (x_i,y_i), то полученные значения коэффициентов являются лишь приближенными оценками фактических параметров связи а₀, а₁. Поэтому необходимо: 1) вычислить средние ошибки ,  найденных коэффициентов а₀, а₁, 2) проверить значения коэффициентов на неслучайность (т.е.узнать, насколько они типичны для всей генеральной совокупности предприятий отрасли), 3) (с заданной доверительной вероятностью) пределы, в которых могут находиться значения а₀, а₁ для генеральной совокупности предприятий.

Для анализа коэффициентов используется таблица 2.8 в которой:

·        значения коэффициентов а₀, а₁;

·        рассчитанный уровень значимости коэффициентов уравнения (термин"Р-значения");

·        доверительные интервалы коэффициентов с уровнем надежности Р=0,95 и Р=0,683.

1.1. Определение значимости коэффициентов уравнения.

Уровень значимости – это величина α=1-Р, где Р заданный уровень надежности (доверительная вероятность).

Если Р-значение коэффициента в результативной таблице меньше заданного уровня значимости α=1-0,95=0,05, то этот коэффициент признается неслучайным (типичным для генеральной совокупности).

Вывод:

Для свободного члена уравнения а₀ уровень значимости есть 0.08 Так как этот уровень больше заданного уровня значимости α=0,05, то коэффициент а₀= -248.94 признается случайным.

Для коэффициента регрессии а₁ уровень значимости есть 1.98 Так как этот уровень больше заданного уровня значимости α=0,05, то коэффициент а₁= 1.94  признается случайным.

1.2.  Оценка доверительных интервалов коэффициентов уравнения регрессии.

Доверительные интервалы коэффициентов уравнения регрессии а₀, а₁ при уровнях надежности Р=0,95 и Р=0,683 приведены в следующей таблице:

Вывод:

Увеличение уровня надежности ведет к расширению  доверительных интервалов  коэффициентов уравнения, в которых могут находиться коэффициенты а₀, а₁ уравнения связи признаков для генеральной совокупности предприятий.

2.   Определение практической пригодности построенной регрессионной модели.

В случае линейности функции связи для оценки тесноты связи признаков X и Y, устанавливаемой по модели, используется линейный коэффициент корреляции r. По величине r можно охарактеризовать практическую пригодность модели:

·          близость  к единице свидетельствует о хорошей аппроксимации фактических данных полученной линейной функции связи = a₀ + a₁x;

·          близость  к нулю, означает, что уравнение регрессии не может быть линейным и для моделирования связи следует использовать нелинейные зависимости.

Пригодность построенной регрессионной модели для практического использования можно оценить и по величине индекса детерминации R², показывающего, какая часть общей вариации значений признака Y объясняется в модели вариацией фактора X:

·        неравенству R² > 0,5 отвечают значения >0,7, что означает высокую степень тесноты связи признаков X и Y, устанавливаемую по уравнению регрессии. При этом в модели более 50% вариации значений признака Y объясняется влиянием фактора Х, что позволяет считать применение синтезированного уравнения регрессии  правомерным;

·        при 0,7 величина R² всегда будет меньше 50%. Это означает, что согласно модели вариация фактора  Х влияет на вариацию Y в значительно меньшей степени, чем другие (неучтенные в модели) факторы. При таких условиях построенная математическая модель связи практического значения не имеет.

Вывод:

Согласно таблице "Регрессионная статистика" r=0.9131,  R²=0.8339. Поскольку  >0,7 и R²>0,5, то построенная линейная регрессионная модель связи  пригодна для  практического использования.

3.   Общая оценка адекватности  регрессионной модели по F-критерию Фишера.

Адекватность построенной регрессионной модели фактическим данным (x_i,y_i) устанавливается по критерию Р.Фишера, оценивающему статистическую значимость (неслучайность) индекса детерминации R².

Рассчитанная для уравнения оценка значимости R² = 1,98. Если она меньше заданного уровня значимости α=0,05, то величина R² признается неслучайной и, следовательно, уравнение регрессии не может быть использовано как модель связи между признаками Х и Y для генеральной совокупности предприятий отрасли.

Вывод:

Уровень значимости индекса детерминации R² =1,98. Так как этот уровень больше заданного уровня значимости α=0,05, то значение R² признается случайным и построенная модель связи между признаками Х и Y применима для генеральной совокупности предприятий отрасли в целом.

4.   Оценка погрешности регрессионной модели.

Погрешность регрессионной модели можно оценить по средней квадратической ошибке  построенного уравнения регрессии, представляющей собой среднее квадратическое отклонение эмпирических значений y_i признака Y от его теоретических значений .

В адекватных моделях ошибка  не должна превышать 12%-15%.

Вывод:

Погрешность линейной регрессионной модели составляет  227,17 %, что не подтверждает адекватность модели.

Задача 6. Дать экономическую интерпретацию:

1) коэффициента регрессии а₁;

2) коэффициента эластичности К_Э;

3) остаточных величин _i.

1. Экономическая интерпретация коэффициента регрессии а₁.

В случае линейного уравнения регрессии =a₀+a₁x величина коэффициента регрессии a₁ показывает, на сколько в среднем (в абсолютном выражении) изменяется значения результативного признака Y при изменении фактора Х на единицу его измерения. Знак при a₁ показывает направление этого изменения.

Вывод:

Коэффициент регрессии а₁=1,98 показывает, что на сколько в среднем (в абсолютном выражении) изменяется значения результативного признака Y при изменении фактора Х на единицу его измерения

2. Экономическая интерпретация коэффициента эластичности.

С целью расширения возможностей экономического анализа используется коэффициент эластичности , который показывает, на сколько процентов изменяется в среднем результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

Среднее значение признаков X и Y даны в таблице описательных статистик

Вывод:

Коэффициент эластичности К_Э =1,98*830/1358= 1,2097%  показывает, что на сколько процентов изменяется в среднем результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

3. Экономическая интерпретация остаточных величин _i.

Каждый их остатков  характеризует отклонение фактического значения y_i от значения , рассчитанного по регрессионной модели и определяющего, какое среднее значение    следует ожидать для факторного признака x_i.

Анализируя остатки, можно сделать ряд практических выводов, касающихся выпуска продукции на рассматриваемых предприятиях отрасли.

Значения остатков _i имеют как положительные, так и отрицательные отклонения от ожидаемого в среднем объема выпуска продукции  (которые в итоге уравновешиваются, т.е.).

Экономический интерес представляют наибольшие отклонения от среднего объема  как в положительную, так и в отрицательную сторону.

Вывод:

Согласно таблице остатков, в построенной линейной регрессионной модели наибольшее превышение среднего объема выпускаемой  продукции  имеют три предприятия - с номерами

а наибольшие отрицательные отклонения от среднего объема выпуска - три предприятия с номерами

Именно эти шесть предприятий подлежат дальнейшему экономическому анализу для выяснения причин наибольших отклонений объема выпускаемого продукта от ожидаемого среднего объема и выявления резервов роста производства.

Задача 7. Нахождение наиболее адекватного нелинейного уравнения регрессии с помощью средств инструмента Мастер диаграмм. Построение для этого уравнения теоретической кривой регрессии.

Уравнения регрессии и их графики построены для 4-х видов нелинейной зависимости между признаками и представлены на диаграмме 2.1.

Уравнения регрессии и соответствующие им индексы детерминации R2 приведены в следующей таблице:

Регрессионные модели связи

Выбор наиболее адекватного уравнения регрессии определяется максимальным значением индекса детерминации R2: чем ближе значение R2 к единице, тем более точно регрессионная модель соответствует фактическим данным.

Вывод:

Максимальное значение индекса детерминации R2 =0,8381, следовательно, наиболее адекватное нелинейное уравнения регрессии – ŷ = 7.06x³ - 0.0162x² + 14.681x - 3535.4.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2