Получим . Отсюда

И получим неравенство для среднего числа патронов

420,52M(X) 455.48

2) Выборочная доля спортсменов, у которых число патронов более 500 по таблице равна  (31+15+8)/200=0.27. Найдем вероятность того, что доля таких спортсменов отличается не более чем на 5% (0,05).

Тогда t=1,61

По таблице функции Лапласа находим , что при t=1,61 P=0,8923.

Таким образом, вероятность равна 989,23%.

2)                Найдем число рабочих, которых следует выбрать, чтобы вероятность выполнения условия:  станет равной 0,9876.

При бесповторной выборке для определения необходимого объема выборки, при которой с вероятностью Р=0,9876 можно утверждать, что средняя отличается от математического ожидания по абсолютной величине меньше чем на =17,48 используется формула:

По таблице функции Лапласа находим, что при Р =0,9876 t=2,5 и, следовательно вычисляем необходимый объем выборки по приведенной формуле: n341.

Задание №2

По данным задачи 1, используя критерий - Пирсона, при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х –число патронов – распределена нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

Критерий Пирсона есть критерий проверки гипотезы о предлагаемом законе неизвестного распределения. В последующей таблице приводятся эмпирические частоты, рассчитываются теоретические вероятности, исходя из предположения о нормальности распределения с параметрами, рассчитанными в задаче 1.

В третьем столбце приводятся теоретические частоты, для чего вероятность попадания в данный интервал для величин, имеющих нормальное распределение, умножаются на количество данных. В последних столбцах рассчитаны вспомогательные величины.

Для  расчета вероятностей используем таблицы функции Лапласа.

Например,

Вычисляем величину

В рассматриваемом случае статистика

 =9,81.

Так как число интервалов равно 7, то число степеней свободы в данном случае равно 7-2-1=4. Соответствующее критическое значение статистики на уровне значимости 0,05 равно 9,49. Так как <9,49, то гипотеза о нормальности данного распределения не отвергается. Таким образом, случайная величина – число спортсменов может быть распределена по нормальному закону.

Для наглядности построим гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Так как длинна интервала равна 100, эмпирические частоты умножаем на 100, график нормальной кривой строим по точкам.

Задание №3

В таблице приведено распределение 200 драгоценных изделий по количеству примесей в них Х(%) и стоимости Y(тыс.руб.):

Необходимо:

1)                вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии;

2)                предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже  с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи  между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить количество примесей в драгоценном изделии, если его стоимость составляет 25 тыс. руб.

Решение:

Составим таблицу для расчета вспомогательных величин, через которое выражается средние и дисперсии случайных величин Х и Y.

Вычислим групповые средние.

В 8 и 9 колонках приведены следующие величины:

В 10 и 11 строках приведены следующие величины:

Для средних величин получаем значения по формулам:

=54,05

=21,42

Выборочная дисперсия переменной Х вычисляется по формуле:

=184,6. Выборочная дисперсия переменнойY вычисляется по формуле:

=62,46. В ячейке (11 строка, 9 колонка) вычислено значение =1077,90.

Выборочный корреляционный момент вычисляется по формуле:

=-79,85.

Приведем всю построенную таблицу:

Уравнения регрессий имеют вид: