Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

(филиал в г. Барнауле)

Факультет

Региональная кафедра

«Учетно-статистический»

Математики и Информатики

Контрольная работа по эконометрике

Студентка

Специальность

Бухгалтерский учет, анализ и аудит

№ личного дела

Группа

Образование

Первое высшее

Дисциплина

Эконометрика

Научный руководитель

Допускается к защите                                             «__» _______ 200_г._____________  (подпись)

Работа защищена                 ___________             «__» _______ 200_г._____________  (подпись)

          (оценка)

Барнаул 2007

Задача №1.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Х

33

17

23

17

36

25

39

20

13

12

У

43

27

32

29

45

35

47

32

22

24

Требуется:

1.     Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2.     Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков Sε2; построить график остатков.

3.     Проверить выполнение предпосылок МНК.

4.     Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05.).

5.     Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α = 0,05.), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6.     Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

7.     Построить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8.     Составить уравнение нелинейной регрессии:

·        Гиперболической;

·        Степенной;

·        Показательной.

    Привести графики построенных уравнений регрессии.

9.     Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние

относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение:

1). Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ = a + b ´ x;

Значения параметров а и b линейной модели, определим используя данные таблицы 1 по формулам:

b =  (y∙x)ср.- уср∙хср.: х²ср.- хср.²

а = уср.- b∙хср.

 

t

Объем капиталовложений,Х

Объем выпуска продукции,   У

у*х

х*х

(Уi-Yср)

(Уi-Yср)²

(Хi-X ср)

(Хi-X ср)²

(Уi-Yср)*(Xi-X ср)

1

33

43

1419

1089

9,4

88,36

9,5

90,25

89,3

2

17

27

459

289

-6,6

43,56

-6,5

42,25

42,9

3

23

32

736

529

-1,6

2,56

-0,5

0,25

0,8

4

17

29

493

289

-4,6

21,16

-6,5

42,25

29,9

5

36

45

1620

1296

11,4

129,96

12,5

156,25

142,5

6

25

35

875

625

1,4

1,96

1,5

2,25

2,1

7

39

47

1833

1521

13,4

179,56

15,5

240,25

207,7

8

20

32

640

400

-1,6

2,56

-3,5

12,25

5,6

9

13

22

286

169

-11,6

134,56

-10,5

110,25

121,8

10

12

24

288

144

-9,6

92,16

-11,5

132,25

110,4

 

31,2

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма

235

336

8649

6351

0,00

696,4

0

828,5

753,00

Ср.знач.

23,5

33,6

864,9

635,1

 

 

 

 

 

Рассчитаем параметры а и b, используя следующие данные, рассчитанные при помощи MS Excel:

b

0,91

a

12,24

Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ = 12,24+0,91∙х.

С увеличением объема капиталовложений на 1млн.руб. объем выпускаемой продукции увеличиться в среднем на 910 тыс.руб. Это свидетельствует о эффективной работе предприятия.

Теперь находим Yрасч. путем подставления х в уравнение регрессии:

t

Объем капиталовложений,Х

Объем выпуска продукции,   У

Ŷ

1

33

43

42,234

2

17

27

27,692

3

23

32

33,146

4

17

29

27,692

5

36

45

44,961

6

25

35

34,963

7

39

47

47,688

8

20

32

30,419

9

13

22

24,057

10

12

24

23,148

 

31,2

 

40,60

Сумма

235

336

336

Ср.знач.

23,5

33,6

 

2). Вычисляем остатки по формуле: εi = Yi – Yрасч.

Находим остаточную сумму квадратов и оценим дисперсию остатков:

t

Объем капиталовложений,Х

Объем выпуска продукции,   У

Ŷ

εi=yi-ŷi

│εi/yi│*100%

εi²=(yi-ŷi)²

1

33

43

42,234

0,76572

0,01780747

0,5863289

2

17

27

27,692

-0,69234

0,02564206

0,4793285

3

23

32

33,146

-1,14556

0,03579888

1,3123175

4

17

29

27,692

1,30766

0,04509188

1,7099863

5

36

45

44,961

0,03911

0,00086904

0,0015293

6

25

35

34,963

0,03669

0,00104837

0,0013464

7

39

47

47,688

-0,68751

0,01462782

0,4726666

8

20

32

30,419

1,58105

0,04940782

2,4997194

9

13

22

24,057

-2,05685

0,09349317

4,2306308

10

12

24

23,148

0,85202

0,03550091

0,725941

 

31,2

 

40,60

 

 

 

Сумма

235

336

336

1,07E-14

31,93%

12,019795

Ср.знач.

23,5

33,6

 

 

 

 

2

1,502

1,226

3). Проверка выполнения предпосылок МНК:

1-е условие:

M(εi) = 1,07E-14/10 = 1,07E-15 – что приблизительно равно нулю. Это означает, что первое условие выполняется. Оценка является несмещенной.

2-е условие:

Возмущение εi есть величина случайная, а Xi – неслучайная.

3-е условие:

Связь между значениями случайной величины в любых двух наблюдениях отсутствует.

4-е условие:

Sεi постоянна для всех наблюдений и равна 1,226.

Оценка является эффективной.

4). Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого при помощи ППП MS Excel рассчитаем необходимые данные:

t-кр. Стьюд.

2,31

Sa

1,07

ta - рас.

11,41

Sb

0,04

tb-рас.

21,34

tα-расч. > tтабл. следовательно данный параметр уравнения является значимым.

tβ-расч. > tтабл. следовательно коэффициент регрессии является значимым для уравнения регрессии.

6). Рассчитаем эти данные при помощи MS Excel:

0,983

F

7,12

Fтабл

5,32

А

3,19

R2 приблизительно равен 1, следовательно качество модели высокое.

Средняя относительная ошибка аппроксимации меньше 7%, значит качество модели хорошее.

Fрасч. > Fтабл. – модель считается значимой.

Следовательно, модель является хорошей, точной, качественной.

 

6-7).

Осуществим прогнозирование и построим графики также при помощи MS Excel.

х прог.

31,2

у расч.прог

40,60

Хпрог.= 39*80% : 100%=31,2;

Ур.прог.= 12,24+0,91*31,2=40,6

Представим расчеты в формульном виде:

8-9). С помощью ППП MS Excel составим уравнения нелинейной регрессии и найдем для каждого коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации, построим графики.

Гиперболическая модель: ŷ=54,18- 415,75/х.

Показательная модель: ŷ=17,38 ∙ 1,028х.

Степенная модель: ŷ=(4,742 ∙ х)0,625.

Вывод:

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, однако наибольший коэффициент детерминации имеют две модели степенная и линейная, однако у линейной модели средняя ошибка аппроксимации = 3,19, а у степенной = 0,0706, поэтому степенную модель целесообразнее взять в качестве наилучшей.

Задача №2.

Даны по две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

2а)

1

-1

b12

b13

a11

a12

0

0

2

b21

-1

b23

a21

0

0

a24

3

0

b32

-1

a31

a32

a33

0

2б).

1

-1

0

b13

a11

a12

0

a14

2

b21

-1

0

a21

0

a23

a24

3

b31

0

-1

a31

a32

0

a34

 

2в). По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида 

y1= a01  + b12 y2 +  a11 x1 + e1                                                                                                   

y2= a02  + b21 y1 + a22 x2 + e2

n

у1

у2

х1

х2

1

77,5

70,7

1

12

2

100,6

94,9

2

16

3

143,5

151,8

7

20

4

97,1

120,9

8

10

5

63,6

83,4

6

5

6

75,3

84,5

4

9

Решение:

2а).

Запишем систему одновременных уравнений:

-1y1+b12y2+b13y3+a11x1+a12x2                                                        

b21y1-1y2+b23y3+a21x1+a24x4                                                          

b32y2-1y3+a31x1+a32x2+a33x3

Выражаем из каждого уравнения у:

y1=b12y2+b13y3+a11x1+a12x2                                                           

y2=b21y1+b23y3+a21x1+a24x4                                                           

y3=b32y2+a31x1+a32x2+a33x3

Проверяем данную систему уравнений на необходимое условие идентификации:

1). Н=3; Д=2; 2+1=3, уравнение идентифицируемо                                      

2). Н=3; Д=2; 2+1=3, уравнение идентифицируемо                                      

3). Н=2; Д=1, 1+1=2, уравнение идентифицируемо.

Проверяем систему по достаточному условию идентификации:

1)

№ ур-я

переменные

х3

х4

2

0

а24

3

а33

0

Определитель матрицы = 0*0-а24*а33= -а24*а33, т.е.≠ 0. Ранг матрицы=2, условие выполняется

2)

№ ур-я

переменные

х2

х3

1

а12

0

3

а32

а33

М ≠ 0, ранг =2, т.е. достаточное условие выполняется.

3)

№ур-я

переменные

у1

х4

1

-1

0

2

в21

а24

М ≠ 0, т.е. условие выполняется.

                                                                                                                          Вывод:

Система одновременных уравнений является идентифицируемой, т.к. каждое уравнение этой системы идентифицируемо по необходимому и достаточному условиям идентификации.

        

2б).

1у1+b13y3+a11x1+a12x2+a14x4                                                

b21y1-1y2+a21x1+a23x3+a24x4                                                           

b31y1-1y3+a31x1+a32x2+a34x4  

y1= b13y3+a11x1+a12x2+a14x4            

y2=b21y1+a21x1+a23x3+a24x4                                                            

y3= b31y1+a31x1+a32x2+a34x4                                                                                                                                                                                               Необходимое условие идентификации:

1). Н=2; Д=1, 1+1=2, т.е. уравнение идентифицируемо.

2). Н=2; Д=1, 1+1=2, т.е. уравнение идентифицируемо.

3). Н=2; Д=1, 1+1=2, т.е. уравнение идентифицируемо.

Достаточное условие идентификации:

1).

№ ур-я

переменные

y2

x3

2

-1

a23

3

0

0

M= -1*0-a23*0=0, т.е. уравнение неидентифицируемо

2).

№ ур-я

переменные

у3

х2

1

b13

a12

3

-1

a32

М ≠ 0, ранг матрицы=2, т.е. уравнение идентифицируемо.

3).

№ ур-я

переменные

у3

х2

1

0

0

2

-1

а23

М=0, т.е. уравнение неидентифицируемо.

Вывод:

Система одновременных уравнений является неидентифицируемым, т.к. два уравнения этой системы неидентифицируемы.

2в)

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:

Y1 = δ11X1 + δ12X2 + U1

Y2= δ21X1 + δ22X2 + U2

Для расчета коэффициентов приведенной формы модели применим МНК, используя следующие данные:

n

у1

у2

х1

х2

у1*х1

х12

х1*х2

у1*х2

у2*х1

у2*х2

х22

1

77,5

70,7

1

12

77,5

1

12

930

70,7

848,4

144

2

100,6

94,9

2

16

201,2

4

32

1609,6

189,8

1518,4

256

3

143,5

151,8

7

20

1004,5

49

140

2870

1062,6

3036

400

4

97,1

120,9

8

10

776,8

64

80

971

967,2

1209

100

5

63,6

83,4

6

5

381,6

36

30

318

500,4

417

25

6

75,3

84,5

4

9

301,2

16

36

677,7

338

760,5

81

Сумма

557,6

606,2

28

72

2742,8

170

330

7376,3

3128,7

7789,3

22801

Ср.знач.

92,9333

101,03

4,667

12

 

 

 

 

 

 

 

Используем следующую систему нормальных уравнений:

∑Y1X1 = δ11∑ X12 + δ12∑ X1X2

∑Y1X2 = δ11∑ X1X2 + δ12 ∑X22

2742,8=170δ11+330δ12

7376,3=330δ11+1006δ12

Решение этих уравнений дает значения:

δ11 = 5,235

δ12  = 5,615.

Используем следующую систему нормальных уравнений:

∑Y2X1 = δ21∑X12 + δ22∑X2X1

∑Y2X2 = δ21∑ X1X2 + δ22∑ X22

3128,7 =170δ21 + 330 δ22

7789,3= 330δ21+ 1006 δ22

Решение этих уравнений дает значения:

δ21 = 9,291

δ22 = 4,695.

Y1 = 5,235X1 + 5,615X2 + U1

Y2= 9,291X1 + 4,695X2 + U2

Перейдем к структурной форме модели:

Выразим X2 из второго уравнения приведенной формы модели:

Х2=Y2 - 9,291Х1 : 4,695.

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной формы модели.

Получим:

b12 = 1,196

a11 = -5,877.

Выразим X1 из первого уравнения приведенной формы модели:

X1 = Y1 –5,615X2 : 5,235

Подставим это выражение  во второе уравнение приведенной формы модели.

Получим:

b21 = 1,775

a22 = -5,273.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

A01 = Y1ср. - b12y2 ср.- a11x1 ср. = 92,933-1,196∙101,033+5,872∙4,667=-0,497.

A02 = Y2ср. - b21y1ср. - a22x2 ср.= 101,033-1,775∙92,933+5,273∙12=-0,647.

Окончательный вид структурной модели:

Y1 = -0,497 + 1,196y2 -5,877x1 + ε1

Y2 = -0,647+ 1,775y1 -5,273x2 + ε2