Контрольная работа №1

Задание №1

Из коробки, в которой  15 синих и 5 красных стержней для авторучки, наудачу вынимают стержень, фиксируют его цвет и возвращают обратно в коробку. После этого наудачу одновременно извлекают два стержня. Найти вероятность того, что за оба раза извлекли два красных стержня.

Решение:

Обозначим возможные события:  - вынимают красный стержень при первом изъятии, событие  - вынимают синий стержень при первом изъятии; событие  - вынимают два красных стержня при втором изъятии, событие  - вынимают один красный стержень при втором изъятии, событие  вынимают два красных стержня при втором изъятии, событие  С – за оба раза извлекли два красных стержня.

Имеем: , вычислим вероятность этого события:

Задание №2

По статистическим данным, в 20 % случаев коммерческому банку удается привлечь имеющихся у населения сбережения. Найти вероятность того, что среди населения данного округа численностью 1500 человек доля граждан, желающих вложить свои сбережения в коммерческий банк, отклонится от указанной вероятности не более чем на 0,03 ( по абсолютной величине).

Решение:

Вероятность события «вложить свои сбережения в коммерческий банк» p=0,2. По формулам интегральной теоремы Лапласа вероятность отклонения доли от вероятности этого события составит:

 где   - функция Лапласа, имеем

.

Задание №3

В коробке из 10 деталей -6 окрашенных. Составить закон распределения случайной величины X – числа окрашенных деталей среди трех извлеченных, если после регистрации наличия ( или отсутствия) окрашенности очередной извлеченной детали последняя возвращается назад в коробку. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины.

Решение:

Величина X  принимает значение 0, 1, 2, 3. Вероятности рассчитываем по формуле Бернулли при n=3,  P=0.6:

	0	1	2	3	Итого
	0,064	0,288	0,432	0,216	1,0

Вычислим теперь математическое ожидание этой случайной величины

Составим функцию распределения для случайной величины X:

Задание №4

Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:

Найти вероятность того, что в некотором испытании значение этой случайной величины окажется принадлежащим промежутку (-1; 1) и дисперсию D(X).

Решение:

Вероятность того, что случайная величина X сможет принять значение, находящееся между -1 и 1 находится через плотность вероятности по формуле:

Задание №5

Вероятность того, что саженец вишни приживется, равна 0,9. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что среди 2000 посаженных саженцев число прижившихся будет заключено в границах от1850 до 1900? Как нужно изменить левую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.

Решение:

Для любой случайной величины, дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева

, для любого .

В задаче дано n=2000, p=0.9, математическое ожидание числа нестандартных деталей M(X)=n*p=1800. Неравенство Чебышева оценивает вероятность попадания X в симметрический интервал, поэтому чтобы его применить, следует задать симметрический интервал. Выбираем интервал(1700; 1900)- это интервал симметричный относительно математического ожидания M(X)=1800, Применяем неравенство Чебышева,  D(X)=n*p*(1-p)=180. Получаем .