Доказательство: По определению условной вероятности,

Пример: Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте: и .

 Априорные вер-ти этих гипотез одинаковы: .

Рассмотрим событие . Известно, что

Поэтому вероятность пуле попасть в мишень

Предположим, что событие произошло. Какова теперь апостериорная ( «после опыта») вероятность каждой из гипотез ? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в  раз). Действительно,

7.      Повторные независимые испытания. Формула Бернулли с выводом. Примеры

Если вер-ть наступления события А в каждом испытании не меняется в завис-ти от исходов других, то такие испытания наз-ся независ-ми относит-но события А. Если независ-е повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вер-ть наступления соб-я А в каждом испытании одна и та же.

Последовательность испытаний, в кот 1 и те же события происходят с одинаковой вер-ю, наз последовательностью независ-х испытаний.

А соб, кот может иметь место с вер-ю Р(А) в любом из n испытаний.

А ->P(A)

P(A)=P – вер-ть осущ-я события в каждом отдельном событии

- вер-ть неоосущ-я событий; ; ;

Поставим задачу опр-я вер-ти m-кратного осуществл-я события А в серии из n испытаний. Pm,n – вер-ть m-кратного осуществл-я события в серии n испытаний.

Условно рез-ты послед-ти независ-х испытаний м\б представлены: , тк в послед-ти независ-х испытаний, каждое из соб независимо и для m-кратного осуществл события они должны произойти совместно, соотв-я вер-ть опр-ся по ф-ле вер-ти произведения . Предполагая, что возможен и др порядок следования А и  на множестве n испытаний, а кол-во комбинаций = , получим ф-лу m-кратного осуществ-я соб А в серии из n испытаний:  àФормула Бернулли.  Используется при усл, что соб происх-т многократно.

Теорема: Если вер-ть А в каждом испытании постоянна, то вер-ть Pm,n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна

, где q=1-p ф Бернулли применяется в тех случаях, когда число опытов невелико, а вероятности появления достаточно велики.

8.      Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия её применимости. Св-ва ф-ии f(x). Пример.

Аналогом ф Бернулли является  локальная ф Муавра-Лапласа, она асимптотическая (ф-ла, точность кот при оценке расм-го параметра возрастает с увеличением аргумента). Локальная теорема Муавра – Лапласа Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<1), событие наступит ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n). , где Р-вер-ть осущ-я события в отдельном испытании, q - вер-ть неосущ-я события в отдельном испытании, n – кол-во испытаний, , m – кол-во испытаний, в кот данное событие имеет место.  ф-я явл-ся табличной функцией. Использование таблиц предполагает правила: 1.; 2. - убывающая; 3.Четность; 4.Для всех х>5 à

Пример Заявки, расм-ые фирмой удовлетв-ся в 30% случаях. Представлено 200 заявок. Найти в-ть т\ч не будет удовлетв-но 130 заявок из 200. Условие: n=200; m=130; P=0,7(70%); q=0,3(30%). -?

Решение В лок ф Муавра-Лапласа , тогда подставляем -1,54 в ф-лу     (1,54 ищем по таблице)

9.      Асимптотическая ф-ла Пуассона и условия её применимости. Пример.

Ф-ла Пуассона характеризует вер-ть m-кратного осуществ-го события в серии из n испытаний, при условии, когда кол-во испытаний велико, а в-ть осуществ-я события в каждом из испытаний весьма мала, но т\о что np<10. При этом условии имеет место табличная формула Пуассона: , где n-велико, p-мало, =np, np<10. Ф-я Рm,n опред-ая ф Пуассона явл-ся табличной ф-ей, позволяющая находить значение вер-ей по заданным значениям m, n, p.

Пример: Электронная система состоит из 2000 эл-в, вероятность отказа каждого из кот сост 0,001. Найти: а) Вер-ть отказа любых 2х Эл-в системы б) вер-ть отказа более 2х Эл-в.

Решение: Поскольку кол-во испытаний(число Эл-в системы) в д\сл велико(2000), а в-ть наступления события (отказ Эл-в) мало (0,001) р=0,001 (вер-ть отказа 1 эл-та); nр=2000; 0,001=2<10, то для нахождения вер-ти ипольз-м ф Пуассона.

а) m=2; =np=2;

Чем больше множество, тем больше вер-ть.

б)

10.  Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия её применимости. Функция Лапласа f(x) и её свойства. Пример.

Предельная теорема Муавра — Лапласа: Пусть событие А может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью Р и пусть — число осуществлений события А в n испытаниях. Тогда  при n à∞  т.е. для любых вещественных x<y имеет место сходимость

Доказательство: Величина есть сумма независимых, одинаково распределённых случайных величин, имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха : , где  ;     ; 

Особый вид асимпт-х формул представляет интегральная функ Муавра-Лапласа, а также следствия из неё. Инт ф М-Л позволяет находить вер-ть т\ч число повторений события m в серии из n испытаний не выдет за границы заданного интервала . Данная вер-ть выр-ся формулой: , где ;  

Интегр. Функция Лапласа: ; Интегральная функция Лапласа явл-ся табличной. Структура аналогична структуре локальной ф-ии Муавра-Лапласа. Осн свойства: С1: Ф(0)=0˚; С2: Ф(х)↑ - возрастающая; С3: Ф(-х)= - Ф(х) – нечетная; С4: при х≥5 Ф(х)=1

Пример: Вер-ть т\ч покупателю нужна обувь 36 размера =0,3. Найти в-ть т\ч среди 2000 покупателей нуждающихся в обуви 36 размера окажется не менее 575.

Решение: m – покуп, кот купят 36 р; n=2000; 575≤m≤2000; Р=0,3; q=0,7 (обрат 0,3); Р(575≤m≤2000) - ?

Для реш задачи посредством интегр фМ-Л определим х1 и х2

;  ; х1 и х2 подставляем в интегр ф-лу:

Р(575≤m≤2000)=0,5(Ф(68)-Ф(-1,22))=0,5(Ф(68)+Ф(1,22))=0,5(1+0,775)=0,89 (по С4).

11.  Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа с выводом. Примеры.

Частными случаями инт т М-Л явл-ся следствием из неё:

След1: Если в\ть наступления события в каждом отдельном испытании постоянно и отлично от 0 и 1, а число испыт велико, то событие имело место от np на величину непревосходящую r по абсолютной величине, нах по ф-ле: ;   ;   (=;=)

След2: Если в\ть наступления события в каждом отдельном испытании постоянно и отлично от 0 и 1, а число испыт велико, то событие имело место отклонение частности осуществл-я события от в\ти  на величину непревосходящую дельта  по абсолютной величине, нах по ф-ле:

Пример: Всхожесть семян сост-т 80%, найти в\ть т\ч из 2500 семян, кол-во взошедших не выдет за границы интервала [1900; 2100].

Решение: n=2500-посев; p=0,8-в\ть всхода 80%; q=0,2-в\ть невхода; ; m-np, тогда

; , в следствии r =100, подставляем в ф-лу:  (по С4)

12.  Понятие случайной величины и её описание. Дискретная сл\в и её закон (ряд) распределения. Независимые сл\в. Примеры.

Испытания связ-е с осущ-ем события сопровожд-ся появлением некоторого численного значения - случайной величины. Случайной наз вел, предсказать значение кот заранее невозможно. Случайные величины принято обозначать (X,Y,Z), а соответствующие им значения (x,y,z)

Сл/в наз-ся дискретной, если она принимает конечное множество значений. Пусть Х={Х1; Х2;…Хn}- множество значений дискретной сл\вел.

Мерой возм-ти появления каждого из данных знач явл соответствие вер\ти, т\о, способом описание сл\в явл соответ-ием м\у значениями сл\в и вер-ми, с кот она принимает указ-е значения. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Таблица соответствия знач-й сл\в и их вер-ей называется рядом распределения

Графическое представление этой табл наз-ся многоугольником распределения.  При этом сумма всех ординат многоугольника распределения предст-т собой в\ть всех возможных значений сл\в, а, след, =1.

Следствие: Из определения закона распределения следует что события (Х=х),…, (Х=хк) –образуют полн. систему. => Р(Х=х1)+…+Р(Х=хк)=1    ßосновное св-во закона распределения. Сл\в наз-ся независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое знач принимает другая сл\в. Условные распределения независ-х сл\в-н = их безусловным распределениям. Для т\ч сл\в Х и Y были независимы, необх, чтобы плотность совместного  распределения системы (X, Y) была = произведению плотностей распределения составляющих. f(x,y)=f1(x)*f2(x)

Для дискретных сл\в используются формулы: 

Пример. Последовательно послано 4 радиосигнала. Вер-ти приема каждого из них не зависят от того, приняты ли остальные сигналы, или нет. Вер-ти приема сигналов = соотв-но 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить вер-ть приема 3х радиосигналов. Решение:Событие приема 3х сигналов из 4х возможно в 4х случаях: ;     ;     

Для приема 3х сигналов необходимо совершение одного из событий А, В, С или D. Т.о, находим искомую в-ть:  

13.  Математические операции над дискретными сл\велечинами. Приведите пример построения закона распределения сл\вел Z=X+Y или Z=XY по заданным распределениям X и Y.

Над сл\вел можно выполнять действия, кот состоят в действиях над значениями сл\в и соотв-х операциях над вер-ми. Соответствие действий наз значениями и вер-ми выражается таблицей ß.

Пример: Законы распределения числа бракованных деталей выпускаемые 2мя разными станками выр-ся таблицами:

Построить сл\в Z=X+Y

Решение:

à  

14.  Математическое ожидание дискретной случ\вел и его свойства с выводом. Примеры.

Матем ожиданием дискретной сл\в наз сумма произведений всех возможных значений сл\в на их вероятности.

Матем ожид сущ-т, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. С точки зрения вер-ти можно сказать, что матем ожид приближенно равно среднему арифм-му наблюд-х значений сл\в.

Свойства математического ожидания:

1) Мат ожид постоянной величины равно самой постоянной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак мат-го ожид.

3) Мат ожид произведения 2х независ-х сл\в-н = произведению их матем-х ож-й.

Это свойство справедливо для произвольного числа сл\в.

4) Мат ожид суммы 2х сл\в = сумме мат ожид-й слагаемых.

Это свойство также справедливо для произвольного числа сл\в.

Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.

Теорема. Мат ожид М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях = произведению числа испытаний на вер-ть появления события в каждом испытании. Однако, мат ожид не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме мат-го ожид надо ввести величину, которая хар-т отклонение значений сл\в от мат-го ожидания.

Это отклонение равно разности между сл\в и ее мат-м ожид. При этом мат-е ожид отклонения = 0. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается 0.

15.  Дисперсия дискретной случ\вел и её свойства с выводом. Примеры.

Дисперсией (рассеиванием) дискретной сл\в наз мат ожид квадрата отклонения сл\в от ее мат  ожид.

Теорема. Дисперсия равна разности между мат-м ожид квадрата сл\в Х и квадратом ее мат-го ожид.

Доказательство. С учетом того, что мат ожид М(Х) и квадрат мат-го ожид М2(Х) – величины постоянные, можно записать: 

Свойства дисперсии

С1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

С2. Постоян множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

С3.Дисперсия суммы 2х независимых сл\в = сумме дисперсий этих величин.

С4. Дисперсия разности 2х независимых сл\в = сумме дисперсий этих величин.

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2. 

С5. Дисперсия = мат ожид квадрата сл\в без квадрата мат ожид.

Доказательство С5:

Использовние С5, значит-но упрощает процесс нахожд-я дисперсии  по отнош-ю использ-я опр-я, поэтомк, в кач ф-лы нахожднеия дисперсии, использ-ся С5 дисперсии.

 Теорема. Дисперсия числа появления  события А в п независимых испытаний, в каждом из кот вер-ть р появления события постоянна, = произведению числа испытаний на вер-ти появления и не появления события в каждом испытании.

16.  Математическое ожидание и дисперсия числа m и частности m\n наступлений события в n-повторных независимых испытаниях, с выводом.

Дискретная сл\в Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 1,2,3,,…min (n,M)с вер-ми , где m=0,1,2,…min (n;M), - натуральные числа. Гипергеометрическое распр имеет сл\в Х=m – число объектов, обладающих заданным св-м, среди n объектов, случайно извлечённых из совокупности N объектов, M из кот-х обладают этим свойством.

Теорема. Мат\ожидание сл\в Х, имеющей гипергеометрическое рапр-е с параметрами n,M,N, есть , а её дисперсия .

Сл\в Х=m, распределённую по биномиальному закону, можно интерпретировать как число m объектов, обладающих данным св-м, из общего числа n объектов, случайно извлечённых из некоторой воображаемой бесконечной совокупности, доля p объектов которой обладает этим св-м. Поэтому гипергеометричесоке рапр можно расм-ть как модификацию биномиального распр-я для случая конечной совокупности, состоящей из N объектов, М из кот обладают этим св-м.

17.  Случайная величина, распределённая по биномиальному закону, её математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассоана.

Биномиальным наз-ся распределение сл\в, в кот она принимает последовательность целых неотрицательных значений с вер-ми определяемыми по формуле Бернулли.   

мат\о  и дисперсия  биномиально распределённой сл\величины.

Законом распределения Пуассона наз распр-е сл\в, в кот она принимает последовательность целых неотрицательных значений с вер-ми определ-ся по формуле Пуассона. Если имеет место распределение Пуассона заданного распр-я , то мат\о находится

Распределение Пуассона. Пусть производится n независимых испытаний, в кот появление соб А имеет в-ть р. Если число испытаний n достаточно велико, а в-ть появления соб А в каждом испытании мало, то для нахождения в-ти появления события А k раз находится след образом: Произведение np сохраняет постоянное значение: , это  означает, что среднее число появления соб в различных сериях испытаний (при разном n) остается неизменным.

По формуле Бернулли получаем:

;

 Найдем предел этой вероятности при n à ∞.

Получаем формулу распределения Пуассона:

18.  Функция и распределения случайной величины, её определение, свойства и график.

Функцией распределения сл\в Х наз-ся ф-я F(x), выражающая для каждого х  вер-ть т\ч сл\в Х примет значение, меньшее х.

ФР также наз интегральной ф-ей распр-я. ФР любой дискретной сл\в есть разрывная ступенчатая ф-я, скачки кот происходят в точках, соотв-х возможным значениям сл\в и равны вер-м этих значений. Сумма всех скачков ф F(X) =1. Она полностью характеризует сл\в и явл-ся одной из форм закона распределения.

Для дискретной сл\в ф-я распр-я имеет вид:

Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распр-ся на те возможные знач сл\в, кот меньше аргумента х. Ф-я распр-я дискретной сл\в Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi.

Свойства функции распределения

1) ФР сл\в есть неотрицательная ф-я, заключенная м\у 0 и 1:

2) ФР сл\в есть неубывающая ф-я на всей числовой оси.  при 

3) На минус бесконечности ФР = нулю, на плюс бесконечности ФР = единице.

;

4) Вер-ть попадания сл\в в интервал  (включая ) равна приращению её ФР на этом интервале, т.е.

19.  Непрерывная случайная величина (НСВ). Вероятность отдельного взятого значения НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ. Функция распределения НСВ.

Сл\в Х наз-ся непрерывной, если её Функция Распределения  непрерывна в любой точке и дифференцируемая во всюду, кроме отдельных точек (точки излома).

Мат\ожиданием дискретной сл\в называется сумма произведений всех возможных значений сл\в на их вероятности.

Мат\о существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. С точки зрения вер-ти можно сказать, что м\о приближенно = среднему арифметическому наблюдаемых значений сл\в.

Пусть НСВ Х задана ФР F(x). Допустим, что все возможные значения сл\в принадлежат отрезку [a,b].

Мат\ож-м  НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], наз-ся определенный интеграл . Если возможные значения сл\в рассм-ся на всей числовой оси, то мат\о нах по формуле:, при этом предпол-ся, что несобственный интеграл сходится.

Дисперсией НСВ наз мат\ож квадрата ее отклонения. . По аналогии с дисперсией, дискретной сл\в, для практического вычисления дисперсии используется формула: .

Функция распределения НСВ:

, в качестве способа задания НСВ используется функция распределения НСВ.

ФРНСВ наз вер-ть т\ч она примет значение меньшее  заданного. -обознач ф-ии распр в-тей

 à

Основные свойства ф-ии распределения НСВ:

С1.

С2.

С3.

С4. Вер-ть т\ч НСВ примет значение из интервала, равна приращению ф-ии на этом интервале

1)

2)

20.  Плотность вероятности НепрерывныхСВ, её определение, свойства. Кривая распределения. Связь между функцией распределения и плотностью вероятности НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ.

Скорость изменения функции распределения хар-ся плотностью распр-я. Обозначается символом . Плотностью вер-ти (плотностью распр-я) НСВ Х наз-ся производная её ф-ии распр-я

Свойства плотности распр-я (ПР):

С1. ПР – неотрицательная функция.;

С2. Вер-ть попадания НСВ в интервал [a,b] равна определённому интегралу от её плотности вер-ти в пределах от a до b, т.е.

С3. Ф-я распр НСВ м\б выражена через плотность вер-ти по формуле:

С4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вер-ти  НСВ =1.  

Из выражений, связывающих плотность и функцию распределения следует, что м\у ними существует взаимно однозначное соответствие, те каждое из них определяет выражение другой.

Плотность вер-ти, как и ф-ция рапр-я явл-ся одной из форм закона распределения, но в отличии от ф-ции рапр, она существует только для НСВ. Плотность вер-ти называют и дифференциальной функцией. График плотности вер-ти называется кривой распределения.

ПР составляет основания определения хар-к сл\в: мат\о и дисперсии.

Мат\ожиданием  НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл. Если возможные значения сл\в рассматриваются на всей числовой оси, то м\о находится по формуле:. При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Дисперсией НСВ называется мат\о квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной сл\в, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Мат\о определяется:  ,если интеграл абсолютно сходится и  , если интеграл сходится. С3 дисперсии имеет вид: или

21.  Определение нормального  закона распределения. Теорико-вероятный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость её положения и формы от параметров.

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности .Нормальный закон распр также называется законом Гаусса. НЗР занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда сл\в является результатом действия большого числа различных факторов. К НЗ приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно мат\ожиданием и средним квадратическим отклонением сл\в Х.

Найдем функцию распределения F(x).

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х ф-я распр принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вер-ти, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции:

; Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность (х – а)  входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности:

При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб. В этих точках значение функции равно

Построим график функции плотности распределения.

Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. При увеличении знач среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..

Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном. При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:

22.  Функция распределения нормальной распределённой сл\величины и её выражение через функцию Лапласа.

Функция Лапласа

Найдем в-ть попадания сл\в, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

  Обозначим  ; ;    Тогда  . Т.к. интегралне выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция , кот наз ф-ей Лапласа или интегралом вероятностей. Значения этой ф-ии при различных знач х посчитаны и приводятся в специальных таблицах. График функции Лапласа.

Ф-я Лапласа обладает следующими свойствами:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(-х) = - Ф(х);

3) Ф(¥) = 1.

 Ф-ю Лапласа также называют ф-ей ошибок и обозначают erf x.

23.  Формулы для определения вероятности: а)попадания нормально распределённой сл\вел в заданный интервал; б) её отклонения от математического ожидания. Правило «трёх сигм».

а) Найдем в-ть попадания сл\в, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

  Обозначим  ; ;    Тогда  . Т.к. интегралне выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция , кот наз ф-ей Лапласа или интегралом вероятностей. Значения этой ф-ии при различных знач х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

б) В-ть того что отклонение сл\в от её мат\ожидания по абсолютной величине превзойдёт  не больше дроби, числ кот – дисперсия сл\в, а знаменатель – квадрат .

или

Правило трёх сигм

При рассм нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм. Запишем в-ть т\ч отклонение нормально распр сл\в от мат\ожидания меньше заданной величины D:

 Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. в-ть т\ ч сл\в отклонится от своего мат\о на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю. Это правило называется правилом трех сигм.На практике считается, что если для какой – либо сл\в выполняется правило трех сигм, то эта сл\в имеет нормальное распределение.

Пример. Нормально распределенная сл\в Х задана своими параметрами – а =2 – мат\о и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вер-ти и построить ее график, найти в-ть того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2. Плотность распределения имеет вид:

Построим график: