Рис. 3. Структура использования денежных доходов за 2001 г.

(диаграмма для сравнения)

2. Дайте определение регрессии.

3. Определите виды регрессий:

у = 12,5 – 1,44х₁ + 5х₂ – 2,27х₃ + е,

y = 1/(11+10,45х₁–9,44х₂+3,33 х₃–1,37х₄+е), – гипербола

y = e^{45,54+100x+е}. – экспоненциальная

4. Покажите, где здесь результирующая и объясняющие переменные. Что обозначает е в уравнениях регрессии?

Решение:

1. На рисунке 2 показаны временные данные, а на рисунке 3 – пространственные.

2. Регрессия – зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин

3. у = 12,5 – 1,44х₁ + 5х₂ – 2,27х₃ + е, – множественная линейная регрессия.

y = 1/(11+10,45х₁–9,44х₂+3,33 х₃–1,37х₄+е), – гипербола

y = e^{45,54+100x+е}. – экспоненциальная

4. у = 12,5 – 1,44х₁ + 5х₂ – 2,27х₃ + е

у – результирующая,

х₁, х₂, х₃ – объясняющие переменные,

е – ошибка регрессии.

y = 1/(11+10,45х₁–9,44х₂+3,33 х₃–1,37х₄+е),

у – результирующая,

х₁, х₂, х₃ , х₄– объясняющие переменные,

е – ошибка регрессии.

y = e^{45,54+100x+е}.

у – результирующая,

х – объясняющие переменные,

е – ошибка регрессии.

Задание 2

1. Дайте определение парной регрессии.

2. По Российской Федерации за 2001 год известны значения двух признаков (см. табл. 2).

Таблица 2

Для оценки зависимости у от х построена парная линейная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов:

у = а + bх + е, где а =  b =.

Парный коэффициент корреляции   r_xy=

Средняя ошибка аппроксимации   А =

Известно, что   F_табл = 4,96, а F_факт =

Определите коэффициент детерминации. Оцените линейную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Решение:

2. Число  = 198. Тогда найдем коэффициенты парной линейной регрессионной модели а =49,5 и b = -0,005. Получим уравнение регрессии

у  = 49,5 – 0,005х + е.

Значит, с увеличением среднего денежного дохода на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,005 %.

Линейный коэффициент парной корреляции r_xy = – 0,394 (связь умеренная, обратная).

Найдем коэффициент детерминации, r_xy² = 0,155. Вариация результата на 15,5 % объясняется вариацией фактора х.

Средняя ошибка аппроксимации А = 29,6, что говорит о высокой ошибке аппроксимации (недопустимые пределы). В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 29,6 %.

Проверяем F-критерий Фишера. Для этого сравним F_табл и F_факт. F_табл < F_факт (4,96 < 104), значит Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 0,95.

Вывод. Линейная парная модель плохо описывает изучаемую закономерность.

Задание 3

В табл. 3 приведены данные, формирующие цену на строящиеся квартиры в двух различных районах.

Таблица 3

Имеется шесть факторов, которые могут оказывать влияние на цену строящегося жилья:

район, где расположена строящаяся квартира (а или б);

жилая площадь квартиры;

площадь кухни;

этаж (средний или крайний);

тип дома (панельный или кирпичный);

срок сдачи квартиры (через сколько месяцев).

Определите минимальный объем выборки N_min. Для оценки зависимости у от х построена линейная множественная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов

у  = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ + а₃х₃ + а₄х₄ + а₅х₅ + а₆х₆ + е,

где а₀ =    а₁ =     а₂ =     а₃ = ,    а₄ =  а₅ =    а₆ = .

Какие фиктивные переменные были использованы в модели?

Дайте экономическую интерпретацию полученной модели.

Решение:

Образец решения рассмотрим на конкретном примере. Найдем минимальный объем выборки n_min. Число факторов, включаемых в модель, m = 6, а число свободных членов в уравнении n = 1.

N_min = 5(6 + 1) = 35.

Число α = 198. Тогда найдем коэффициенты линейной множественной регрессионной модели: а₀ = – -17,22,  а₁ = – 34,75,  а₂ = 0,80,  а₃ = 0,99,  а₄ = 23,60   а₅ = 23,76,  а₆ = – 0,39.

Получили уравнение регрессии

у = –17,22 – 34,75х₁ + 0,80х₂ + 0,99х₃ + 23,60х₄ + 23,76х₅ – 0,39х₆ + е.

Экономическая интерпретация полученной модели: квартиры в районе a стоят на 34,75 % дешевле, чем в районе b. При увеличении жилой площади на 1 % стоимость квартиры возрастает на 0,80 %. При увеличении площади кухни на 1 % стоимость квартиры увеличивается на 0,99 %. Квартиры на средних этажах стоят на 23,60 % дороже, чем на крайних. Квартиры в кирпичных домах стоят на 23,76 % дороже, чем в панельных. При увеличении срока сдачи дома на 1 % стоимость квартиры уменьшается на 0,39 %.

Фиктивные переменные – район, этаж, дом.

Задание 4

Постройте модель сезонных колебаний дохода торгового предприятия, используя первую гармонику ряда Фурье по данным, приведенным в табл. 5, изобразите графически.

Таблица 5

Воспользуйтесь вспомогательной табл. 6.

Таблица 6

Решение:

Число =198. Тогда исходная таблица будет выглядеть следующим образом:

Таблица 7

Если мы рассматриваем год как цикл, то n=12. Параметры уравнения могут быть найдены по формулам:

Получили а₀ = 58,247. Найдем промежуточные значения

            (табл. 8).

Таблица 8

Σycost=5,83

Σysint=-96,19

Найдем коэффициенты: а₁= 0,97,

b₁ =–16,03.

Получили y_t = 58,186 + 0,97×cos t – 16,03×sin t. Подставим фактические значения t в полученную первую гармонику ряда Фурье.

Таблица 9

Строим график исходных данных и первой гармоники ряда Фурье (рис. 3).

Рис. 3. Первая гармоника ряда Фурье

Задание 5

В торгово-розничную сеть поступило 3 вида взаимозаменяемой продукции разных производителей: А1, А2, А3. Предположим, что покупатели приобретают продукцию только одного из них. Пусть в среднем они стремятся поменять её не более одного раза в год, и вероятности таких изменений постоянны.

Результаты маркетинговых исследований покупательского спроса на продукцию дали следующее процентное соотношение:

Х1 % покупателей продукции А1 переходит на продукцию А2,

Х2 % покупателей продукции А2 – на продукцию А3,

Х3 % покупателей продукции А3 – на продукцию А1,

где Х1 = ,   Х2 = ,   Х3 = .

Требуется:

1. Построить граф состояний.

2. Составить матрицу переходных вероятностей для средних годовых изменений.

3. Предположить, что общее число покупателей постоянно, и определить, какая доля из их числа будет покупать продукцию А1, А2 и А3 через 2 года.

4. Определить какая продукция будет пользоваться наибольшим спросом.

Решение:

Число =198. Тогда Х1 = 36,0; Х2 = 23,4; Х3 = 27.

Построим граф состояний:

 

Составим матрицу переходных вероятностей:

 =  .

Зададим вектор начальных вероятностей:

P(0) = ,

т.е. P₁(0) = 1, P₂(0) = 1 и P₃(0) = 1.

Определим вероятности состояния P_i(k) после первого шага (после первого года):

P₁(1) = P₁(0)×P₁₁ + P₂(0)×P₂₁ + P₃(0)×P₃₁ = 0,910;

P₂(1) = P₁(0)×P₁₂ + P₂(0)×P₂₂ + P₃(0)×P₃₂ = 1,126;

P₃(1) = P₁(0)×P₁₃ + P₂(0)×P₂₃ + P₃(0)×P₃₃ = 0,964.

Определим вероятности состояний после второго шага (после второго года):

P₁(2) = P₁(1)×P₁₁ + P₂(1)×P₂₁ + P₃(1)×P₃₁ = 0,843

P₂(2) = P₁(1)×P₁₂ + P₂(1)×P₂₂ + P₃(1)×P₃₂ = 1,190;

P₃(2) = P₁(1)×P₁₃ + P₂(1)×P₂₃ + P₃(1)×P₃₃ = 0,929.

Вывод. Через 2 года 84,3 % покупателей будут приобретать продукцию А1, число покупателей продукции А2 увеличится в 1,19 раза, число покупателей продукции А3 составит 92,9.

Продукция А2 будет пользоваться наибольшим спросом.