Всероссийский заочный финансово – экономический институт

Факультет: Финансово – кредитный

Кафедра: Экономико-маиематических

методов и моделей

Специальность: Финансы и кредит
 
 

Контрольная работа

По дисциплине «Эконометрика»

Выполнил:

Студент III курса Арасланова А.Н.

Проверил:

Преподаватель Хусаинова З.Ф.

Уфа

2007

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ

Вариант 4
X

36

28

43

52

51

54

25

37

51

29

Y

104

77

117

137

143

144

82

101

132

77

         По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.)

         Требуется:

1.     Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2.     Вычислить остатки: найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков Se2; построить график остатков.

3.     Проверить выполнение предпосылок МНК.

4.     Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента при α = 0,05.

5.     Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера при α = 0,05, и найти среднюю относительную ошибку апроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6.     Осуществить прогнозирование среднего значения показателя У при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7.     Представить график фактических и модельных показателей линейной модели.

8.     Составить уравнение нелинейной регрессии:

a.     Гиперболической

b.     Степенной

c.      Показательной

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки апроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

РЕШЕНИЕ:

Составим вспомогательную таблицу 1 и 2:

Таблица 1

х

у

ху

х2

1

36

104

3744

1296

-7,4

54,76

-4,6

21,16

2

28

77

2156

784

-34,4

1183,36

-12,6

158,76

3

43

117

5031

1849

5,6

31,36

2,4

5,76

4

52

137

7124

2704

25,6

655,36

11,4

129,96

5

51

143

7293

2601

31,6

998,56

10,4

108,16

6

54

144

7776

2916

32,6

1062,76

13,4

179,56

7

25

82

2050

625

-29,4

864,36

-15,6

243,36

8

37

101

3737

1369

-10,4

108,16

-3,6

12,96

9

51

132

6732

2601

20,6

424,36

10,4

108,16

10

29

77

2233

841

-34,4

1183,36

-11,6

134,56

сумма

406

1114

47876

17586

0

6566,4

0

1102,4

Ср.зн.

40,6

111,4

4787,6

1758,6

-

656,64

-

110,24

Таблица 2

1

34,04

2

433,44

3

13,44

4

291,84

5

328,64

6

436,84

7

458,64

8

37,44

9

214,24

10

399,04

сумма

2647,6

Ср.зн.

264,76

Здесь ,  - средние значения

- расчетные значения

-погрешность (остаток, невязка).

1.     Найдем параметры уравнения линейной регрессии

Значения параметров a и b определим, используя данные таблицы

13,892

Уравнение линейной регрессии принимает вид

С увеличением объема капиталовложений на 1млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличиться в среднем на 2400 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.

Зная значения  уравнения регрессии составим дополнительную таблицу3

Таблица 3

х

у

х100%

Точки поворота

1

36

104

100,35232

3,64768

13,30557

3,50738

-

2

28

77

81,138897

-4,13897

17,13107

5,37529

1

3

43

117

117,16401

-0,16401

0,02690

0,14018

1

4

52

137

138,77903

-1,77903

3,16495

1,29856

1

5

51

143

136,37736

6,62264

43,85936

4,63122

1

6

54

144

143,58237

0,41763

0,17441

0,29002

1

7

25

82

73,93396

8,06604

65,06100

9,83663

1

8

37

101

102,75399

-1,75399

3,07648

1,73662

0

9

51

132

136,37736

-4,37736

19,16128

3,31618

0

10

29

77

83,54064

-6,54064

42,77997

8,49434

-

сумма

406

1114

1114,00001

-0,00001

207,74

38,62642

6

Ср.зн.

40,6

111,4

111,00

-

20,774

3,862642

-

2.     Дисперсия остатков

Проверка гипотезы о М (Еi)=0:

tтабл(a=0.05, n=N-1=9)=2,25

t< tтабл => гипотеза о М (Еi)=0 принимается.

Число точек поворота р=6

ркр<р => свойства случайности ряда остатков выполнено.

Построим график остатков

3.     Проверить выполнение предпосылок МНК.

Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного у от теоретических минимальна, т.е.

В данном случае остаточная сумма квадратов составляет 781,76; откуда среднеквадратическое отклонение равно 27,96; что является достаточно малым отклонением.

4.     Оценим значимость параметров регрессии

Анализ статистической значимости параметров модели проверяем по t-критерию Стьюдента при уровне значимости α=0,05 (Таблица 4)

В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине , где k – количество факторов включенных в модель. Квадратный корень из величины  называется стандартной ошибкой оценки:

 

 

Таблица 4

Анализ значимости параметров регрессии

Фактическое значение

 t-критерия Стьюдента

Табличное значение

t-критерия Стьюдента

Вывод о значимости параметра

Критерий коэффициента b:

Для α=0,05 и df = n – 2 = 8 значение tтабл=2,31

Значим, т.к.

Критерий коэффициента a:

Не значим, т.к.

        

         Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятность ρ = 1 – α = 0,95 параметры b, находясь в указанных границах, не принимает нулевого значения, т.е. не является статистически незначимыми и существенно отличен от нуля.

4.1                          R/S – критерий

2,87 Є (2,67-3,57), =>свойство нормальности распределения выполняется.

5. Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у  характеризует коэффициент детерминации  -означает, что вариация y на 96,8% объясняется фактором х. Доля неучтенных факторов составляет 3,2%.

 

Расчет F-критерия Фишера – оценивает значимость уравнения регрессии и состоит в проверке гипотезы Н0:

где n – число единиц совокупности

     F > Fтабл =5,32 для α=0,05,

Поэтому уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое и Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

 

Средняя относительная ошибка:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, т.к. средняя относительная ошибка не превышает 8-10%

 

Расчет коэффициента эластичности:

         Следовательно, при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения, то себестоимость единицы продукции возрастет на 0,87%

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

          

Подставим Хпрогн. в нашу модель и расчитаем Y(Xпрогн)

Y(X)=13,892+2,402 х 43,2 = 117,66 млн руб.

Ошибка прогноза:

=2,25*1,05=2,37

Предельная ошибка прогноза, которая в 99% случаев не будет превышена ()

7,95135

Доверительный интервал прогноза

43,2-7,9513543,2+7,95135

35,2486551,15135

         Вывод: Выполненный прогноз оказался точным ρ = 1 – α = 0,99, т.к. диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала Dγ составляет 1,45 раза и не превышает порогового значения точности.

7. Представим график линейной модели и результатов прогноза.

 

8.  а) Определим параметры гиперболической модели:

Для этого введем Х=1/х и составим таблицы 5 и 6

Таблица 5

 

х

у

X=1/x

yX

Х2

1

36

104

0,2778

2,88789

0,0077

2

28

77

0,3571

2,75000

0,00128

3

43

117

0,02326

2,72093

0,00054

4

52

137

0,01923

2,63462

0,00037

5

51

143

0,01961

2,80392

0,00038

6

54

144

0,01852

2,6667

0,00034

7

25

82

0,04000

3,28000

0,00160

8

37

101

0,02703

2,72973

0,00073

9

51

132

0,01961

2,58824

0,0038

10

29

77

0,3448

2,65517

0,00119

сумма

406

1114

0,26522

27,71816

0,00759

среднее

40,6

111,4

0,02652

2,7182

0,00076

Таблица 6

 

Еi

Е2i

х100%

1

107,27158

-3,27158

10,70324

3,14575

2

81,17996

-4,17996

17,47207

5,42852

3

122,13773

-5,13773

26,39627

4,39122

4

13537024

1,62276

2,65612

1,18961

5

134,13059

8,86941

78,6643

6,20238

6

137,71179

6,28821

39,54159

4,36684

7

67,09049

14,90951

222,29349

18,18233

8

109,73970

-8,73970

76,38236

1,61408

9

134,13059

-2,13059

4,53941

1,61408

10

85,22644

-8,22644

67,67432

10,68329

сумма

1113,98911

0,01089

546,32530

63,85756

среднее

111,39891

0,0011

54,6325

6,38576

Найдем коэффициенты a и b.

Тогда уравнение гиперболической модели будет: = 198,762-3293,898/х

Построим график гиперболической модели:

 

б) Определим параметры степенной модели:

Составим вспомогательные таблицы 7 и 8

Таблица 7

х

у

Y=ln()

X=lg(x)

YX

X2

1

36

104

2,0903

1,55630

3,1394

2,42208

2

28

77

1,88649

1,44746

2,73005

2,09427

3

43

117

2,06819

1,63347

3,37832

2,66822

4

52

137

2,13672

1,71600

3,66662

2,94467

5

51

143

2,15534

1,70757

3,68039

2,91580

6

54

144

2,15836

1,73239

3,73913

3,00119

7

25

82

1,91381

1,39794

2,67540

1,95424

8

37

101

2,00432

1,56820

3,14318

2,45926

9

51

132

2,12057

1,70757

3,62103

2,91580

10

29

77

1,88649

1,46240

2,75880

2,13861

сумма

406

1114

20,34733

15,92901

32,53203

25,51411

среднее

40,6

111,4

2,034733

1,592901

3,253203

2,551411

Таблица 8

 

Еi

E2i

х100%

1

100,77225

3,22775

10,41837

3,10361

2

81,23127

-4,23127

17,90365

5,49516

3

117,36251

-0,36251

0,13141

0,30984

4

138,14111

-1,14111

1,30313

0,83293

5

135,85933

7,14067

50,98917

4,99348

6

142,68611

1,31389

1,72631

0,91242

7

73,70665

8,29331

68,77833

10,11380

8

103,16857

-2,16857

4,70270

2,14710

9

135,85933

-3,85933

14,89443

2,92373

10

83,71344

-6,71344

45,07028

8,71875

сумма

1112,50061

1,49939

215,91743

39,55082

среднее

111,2501

0,14994

21,591743

3,955082

Найдем коэффициенты a и b.

Тогда уравнение степенной модели принимает вид: =4,66*х0,86

Построим график степенной модели:

 

в) Определим уравнение показательной модели:

Составим вспомогательные таблицы 9 и 10

Таблица 9

 

х

у

х2

Y=lg()

xY

1

36

104

1296

2,01703

72,61320

2

28

77

784

1,88649

52,82174

3

43

117

1849

2,06819

88,93199

4

52

137

2704

2,13672

111,10947

5

51

143

2601

2,15534

109,92214

6

54

144

2916

2,15836

116,55157

7

25

82

625

1,91381

47,84535

8

37

101

1369

2,00432

74,15989

9

51

132

2601

2,12057

108,14927

10

29

77

841

1,88649

54,70823

сумма

406

1114

175586

20,34733

836,81285

среднее

40,6

111,4

17558,6

2,034733

86,681285

Таблица 10

 

Еi

E2i

х100%

1

97,73227

6,26773

39,28444

6,02667

2

81,71609

-4,71609

22,24150

6,12479

3

114,30155

2,69845

7,28163

2,30637

4

139,79732

-2,79732

7,82500

2,04184

5

136,70442

6,24558

39,63433

4,40250

6

146,19464

-2,19464

4,81644

1,52406

7

76,41149

5,55851

31,23144

6,81526

8

99,94349

1,05656

1,11632

1,04610

9

136,70442

-4,70442

22,13157

3,56395

10

83,56490

-6,56490

43,09791

8,52584

сумма

1113,07054

0,92946

218,66059

42,37738

среднее

111,307054

0,092946

21,866059

4,237738

Найдем коэффициенты a и b.

Тогда уравнение степенной модели будет:

График показательной модели.

9. а) Оценка качества гиперболической модели:

Рассчитаем коэффициент детерминации:  -означает, что вариация y на 91,7% объясняется фактором х. Доля неучтенных факторов составляет 8,3%.

Расчет F-критерия Фишера :

где n – число единиц совокупности

     F > Fтабл =5,32 для α=0,05,

Поэтому уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое и Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Средняя относительная ошибка:

Качество построенной модели оценивается как плохое, т.к. средняя относительная ошибка превышает 8-10%

б)Оценка качества степенной модели:

Рассчитаем коэффициент детерминации:  -означает, что вариация y на 96,7% объясняется фактором х. Доля неучтенных факторов составляет 3,3%.

Расчет F-критерия Фишера :

где n – число единиц совокупности

     F > Fтабл =5,32 для α=0,05,

Поэтому уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое и Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Средняя относительная ошибка:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, т.к. средняя относительная ошибка не превышает 8-10%

 

 

в) Оценка качества показательной модели:

Рассчитаем коэффициент детерминации:  -означает, что вариация y на 96,7% объясняется фактором х. Доля неучтенных факторов составляет 3,3%.

Расчет F-критерия Фишера :

где n – число единиц совокупности

     F > Fтабл =5,32 для α=0,05,

Поэтому уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое и Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Средняя относительная ошибка:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, т.к. средняя относительная ошибка не превышает 8-10%

Построим сводную таблицу 11:

Таблица 11

        Параметры

Модель

R2

F-критерий Фишера

Коэффициент корреляции

Линейная

0,968

344,87

0,984

3,86%

Степенная

0,967

235,29

0,983

3,96%

Показательная

0,967

232,24

0,983

4,24%

Гиперболическая

0,917

88,15

0,958

6,39%

Вывод: Из сводной таблицы видно, что лучшей моделью является линейная Y(X)=13,892+2,402X, т.к. именно в этой модели максимальные значения коэффициента детерминации, значение F-критерия Фишера и минимальная погрешность. Следовательно, первоначальные значения наилучшим образом описываются линейной моделью.

Литература:

1.     Методические указания ВЗФЭИ

2.     Елисеева И.И. Практикум по эконометрике – М.: Финансы и статистика, 2001 – 189с.

3.     Елисеева И.И. Учебник по эконометрике – М.: Финансы и статистика, 2003 – 342с.

4.     Нименья И.Н. Статистика. Конспект лекций - М.: Эксмо, 2007. - 175 с.

5.     Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика/Учебник для вузов – М.:Юнити-Дана, 2007. – 311 с.

________ А.Н. Арасланова

«___»_____________2008г.