Вычислим дельта – коэффициенты:

∆₃ = 0,823· = 0,9205

∆₂ = 0,082· = 0,0772

Значит, по уравнению полученной линейной двухфакторной модели изменение результирующего фактора Y (цены квартиры) на 92,05% объясняется воздействием фактора X₃ (общей площади квартиры) и на 7,72% влиянием фактора X₂ (количество комнат в квартире).

Задача 2. Исследование динамики экономического показателя на основе

                 анализа одномерного временного ряда.

В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

Используем метод Ирвина, основанный на определении λ_t – статистики.

,

где S_y – выборочное среднеквадратичное (стандартное) отклонение  признака Y.

Подготовим  S_y = 10,9 (функция СТАНДОТКЛОН) и рассчитаем λ_t – статистики.

Табличные значения λ_кр определим при n=9 и уровне значимости α = 5% – λ_кр=1,5.

Схема проверки:

                            не аном.      1,5              аном.

0                                λ_кр                                                 λ      

Все величины статистики λ_i<λ_кр=1,5 – поэтому все наблюдения Y_i признаются не аномальным и не требуют замены.

2. Построить линейную модель временного ряда  Y_t=a+b·t, параметры которой    оценить МНК.

     С помощью программы «РЕГРЕССИЯ» найдем

Таким образом,  a = 4,056; b = 3,967.

Модель построена, ее уравнение имеет вид  Y_t = 4,056 + 3,967·t

Коэффициент регрессии  b = 3,967 показывает, что с каждой последующей неделей спрос на кредитные ресурсы финансовой компании увеличивается в среднем на 3,967 млн. рублей.

3. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости     остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

    Проверка перечисленных свойств состоит в исследовании Ряда остатков e_t, который содержится в таблице «Вывод остатка» итогов РЕГРЕССИИ.

     Для проверки свойства независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона. Согласно этому критерию вычислим по формуле статистику:

Подготовим для вычислений:

 =  6,82;  = 22,01

Таким образом,   = 3,23

По таблице d–статистики Дарбина–Уотсона определим критические уровни:

нижний  d₁ = 0,82; верхний d₂ = 1,32.

Сравним полученную фактическую величину d с критическими уровнями   d₁ и d₂  и сделаем вывод согласно схеме:

   не вып.      доп. пров.       вып.          вспом  d´ = 4 – d

0            0,82               1,32             2                                  4 

d = 3,23 (2;4) – следовательно, используем d´= 4 – 3,23 = 0,77.    

d´= 0,77 (0;0,82) – следовательно свойство независимости остатков построенной модели не выполняется.

Для проверки свойства случайности остаточной компоненты используем критерий поворотных точек (пиков), основой которого является определение количества поворотных точек для ряда остатков. 

 С помощью Мастера диаграмм построим график остатков e_i.

      Поворотными считаются точки максимумов и минимумов на этом графике – в нашей задаче: вторая, третья, пятая, шестая, седьмая, восьмая. Их количество p = 6.

По формуле , при n = 9 вычислим критическое значение

 = 2.

Сравним значения p и p_кр и сделаем вывод согласно схеме:

                            не вып.                                   вып.

0                               р_кр = 2                                                       р

р=6>р_кр= 2 – следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

Для проверки соответствия ряда остатков нормальному закону распределения используем R/S критерий.

     В соответствии с этим критерием вычислим по формуле статистику

R/S  = .

Подготовим для вычислений:

e_max = 1,178 – максимальный уровень ряда остатков.

e_min = - 0,956 – минимальный уровень ряда остатков.

S(е) = 0,987 – стандартная ошибка модели (таблица «Регрессионная статистика» вывода итогов РЕГРЕССИИ).     

Получим R/S  =  = 2,161

По таблице критических границ отношений R/S определим критический интервал.

При n = 9 и уровне значимости α = 5% можно использовать интервал (2,67;3,69).

Сопоставим фактическую величину R/S с критическим интервалом и сделаем вывод согласно схеме:

                            не вып.                           вып.                      не вып.

                                     (2,67 -критич. интервал – 3,69)                            R/S

     2,161  (2,67;3,69) – следовательно, для построенной модели свойство нормального распределения  остаточной компоненты не выполняется.

 Вывод: Проведенная проверка показывает, что для построенной модели не выполняется условия нормального распределения остаточной компоненты.

              Таким образом, данная трендовая модель не является адекватной реальному ряду наблюдений, и ее нельзя использовать для построения прогнозных оценок.

4. Оценить точность модели на основе использования средней относительной

    ошибки аппроксимации.

     Используем исходные данные y_i (сглаженный ряд) и найденные программой РЕГРЕССИЯ остатки e_i (таблица «Вывод остатка»).

По формуле рассчитаем столбец относительных погрешностей и найдем среднее значение  = 3,703 = 3,7%

Сравним значение   и сделаем вывод в соответствии со схемой:

                            высок.                 удовл.                             неуд.

                   0                        5%                       15%                                  e_отн

 = 3,7% < 5% - следовательно, точность модели высокая.

5. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (прогнозный интервал

     рассчитать при доверительной вероятности  р = 70%).

Следующие две недели соответствуют периодам упреждения k₁ = 1 и k₂ = 2, при этом

t*₁ = n + k₁ = 10  и  t*₂ = n + k₂ = 11

Согласно уравнению модели получим точечные прогнозные оценки:

y*₁₀ = 4,056+3,967·10 = 43,7222

y*₁₁ = 4,056+3,967·11 = 47,6889

Таким образом, ожидаемы спрос на кредитные ресурсы в следующие две недели будет составлять около 43,7222 млн. рублей и 47,6889 млн. рублей соответственно.

Для оценки точности прогнозирования рассчитаем границы прогнозного интервала для индивидуальных значений результирующего признака (доверительная вероятность 70%)

      Подготовим:

t_кр  = 1,12 (функция СТЬЮДРАСПОБР при α=30%, k =9-2=7);

S(e) = 0,987 (строка «стандартная ошибка» итогов РЕГРЕССИИ);

= 5   (функция СРЗНАЧ);

=60  (функция КВАДРОТКЛ);

Вычислим размах прогнозного интервала для индивидуальных значений, используя формулу:

При t*₁ = 10 получим U₁₀ = 1,3656 и определим границы доверительного интервала:

U_{ниж 10} = y´_10­  - U₁₀  = 43,7222 – 1,3656 = 42,3566

U_{верх 10} = y´_10­ + U ₁₀ = 43,7222 + 1,3656 = 45,0878

При t*₂ = 11 получим U₁₁ = 1,4453 и определим границы доверительного интервала:

U_{ниж 11} = y´_11­ - U ₁₁ = 47,6889 – 1,4453 = 46,2436

U_{верх 11} = y´_11­ + U ₁₁ = 47,6889 + 1,4453 = 49,1342

Вывод:       Таким образом, с надежностью 70% можно утверждать, что спрос на кредитные ресурсы в следующие две недели будет составлять от 42,3566 млн. рублей до 45,0878 млн. рублей в первую прогнозируемую неделю и от 46,2436 млн. рублей до 49,1342 млн. рублей во вторую прогнозируемую неделю.

6. Представить графически фактические значения показателя, результаты

   моделирования и прогнозирования.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные.

Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели. Покажем на графике результаты прогнозирования. Для чего в опции Исходные данные добавим ряды.

Литература

1. Эконометрика: Учебник/ Под редакцией И.И. Елисеевой.

    М.; Финансы и статистика, 2004 г.

2. Эконометрика: Методические указания по выполнению

    контрольной работы.

3. Эконометрика: Задания для выполнения контрольной работы.

4. Эконометрика: Методические указания по решению задач и

    выполнению контрольной работы (для студентов 2-го высшего

    образования).