Арифметические основы работы на ЭВМ

Любая информация (числа, команды, записи и т. п.) представляется в ЭВМ в виде двоичных кодов фиксированной или переменной длины. Отдельные элементы двоичного кода, имеющие значение 0 или 1, называют разрядами или битами. Двоичный код состоящий из 8 разрядов носит название байта. Для записи чисел также используют 32-разрядный формат (машинное слово), 16-разрядный формат (полуслово) и 64-разрядный формат (двойное слово).

В ЭВМ в целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Использование кодов позволяет свести операцию вычитания чисел к арифметическому сложению кодов этих чисел. Применяются прямой, обратный и дополнительный коды чисел. Прямой код используется для представления отрицательных чисел в запоминающем устройстве ЭВМ, а также при умножении и делении. Обратный и дополнительный коды используются для замены операции вычитания операцией сложения, что упрощает устройство арифметического блока ЭВМ. К кодам выдвигаются следующие требования:

1) Разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой.

2) Для записи кода знака в разрядной сетке отводится фиксированный, строго определенный разряд.

Например, если за основу представления кода взят один байт, то для представления числа будет отведено 7 разрядов, а для записи кода знака один разряд.

Прямой код

Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа. Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел 1.

Знаковым разрядом обычно является крайний разряд в разрядной сетке. В дальнейшем при записи кода знаковый разряд от цифровых условимся отделять запятой. Если количество разрядов кода не указано будем предполагать, что под запись кода выделен один байт.

Обратный код

Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.

Дополнительный код. Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы.

Пример.

Для числа +1101:

Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
0,0001101	0,0001101	0,0001101

Для числа -1101:

Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
1,0001101	1,1110010	1,1110011

Особенности сложения чисел в обратном и дополнительном кодах

При сложении чисел в дополнительном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде отбрасывается.

При сложении чисел в обратном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде прибавляется к младшему разряду суммы кодов.

Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код. При этом обратный код преобразуется в прямой заменой цифр во всех разрядах кроме знакового на противоположные. Дополнительный код преобразуется в прямой также, как и обратный, с последующим прибавлением единицы к младшему разряду.

Модифицированные обратный и дополнительный коды

При переполнении разрядной сетки, происходит перенос единицы в знаковый разряд. Это приводит к неправильному результату, причем положительное число, получившееся в результате арифметической операции может восприниматься как отрицательное (так как в знаковом разряде "1") и наоборот.

В модифицированном обратном и модифицированном дополнительном кодах под знак числа отводится не один, а два разряда: "00" соответствует знаку "+", "11" - знаку "-". Любая другая комбинация ("01" или "10"), получившаяся в знаковых разрядах служит признаком переполнения разрядной сетки. Сложение чисел в модифицированных кодах ничем не отличается от сложения в обычных обратном и дополнительном кодах.

Системы счисления

Система счисления — совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, позволяющих установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов.

В любой системе счисления выбирается алфавит, представляющий собой совокупность некоторых символов (слов или знаков), с помощью которого в результате каких-либо операций можно представить любое количество. Изображение любого количества называется числом, а символы алфавита — цифрами (от лат. cifra). Символы алфавита должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно.

В современном мире наиболее распространенной является десятичная система счисления, происхождение которой связано с пальцевым счетом. Она возникла в Индии и в XIII веке была перенесена в Европу арабами. Поэтому десятичную систему счисления стали называть арабской, а используемые для записи чисел цифры, которыми мы теперь пользуемся, — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – арабскими.

Все системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления — система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от местоположения (позиции) в изображении числа.

Запись числа А в непозиционной системе счисления D может быть представлена выражением:

где А_D — запись числа А в системе счисления D; D_i — символы системы.

Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Эта система неэффективна, так как форма записи очень громоздка.

К непозиционной системе счисления относится, в том числе, римская системе счисления.

В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. В настоящее время все наиболее распространенные системы счисления относятся к разряду позиционных.

Систему счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа, называют позиционной.

Упорядоченный набор символов (цифр) {а₀,а₁,...,а_n}, используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, называют ее алфавитом., число символов (цифр) алфавита р = п + 1 — ее основанием, а саму систему счисления называют р-ичной.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Самой привычной для нас является десятичная система счисления. Ее алфавит - {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, а основание р = 10, т. е. в этой системе для записи любых чисел используется только десять разных символов (цифр). Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а все последующие числа, начиная с 10 и т. д., обозначаются уже без использования новых цифр. Десятичная система счисления основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10. Например, в изображении числа 222.22 цифра 2 повторяется пять раз, при этом первая слева цифра 2 означает количество сотен (ее вес равен 10²); вторая — количество десятков (ее вес равен 10), третья — количество единиц (ее вес равен 10°), четвертая — количество десятых долей единицы (ее вес равен 10^-1) и пятая цифра — количество сотых долей единицы (ее вес равен 10^-2). То есть число 222.22 может быть разложено по степеням числа 10:

В общем случае для задания р-ичнои системы счисления необходимо определить основание р и алфавит, состоящий из р различных символов (цифр) а_i, i = 1,...,р.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т. д. Обычно в качестве алфавита берутся последовательные целые числа от 0 до (р— 1) включительно. Для записи произвольного числа в двоичной системе счисления используются цифры 0, 1, троичной — 0, 1, 2, пятеричной — 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. В тех случаях, когда общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения всех символов алфавита системы счисления с основанием р> 10, используют буквенное обозначение цифр а,b,с,d,е,f.

Для примера в табл. приведены алфавиты некоторых систем счисления.

Основание	Система счисления	Алфавит системы счисления
2 3 4 5 8 10 12 16	Двоичная Троичная Четверичная Пятеричная Восьмеричная Десятичная Двенадцатеричная Шестнадцатеричная	0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A,B,C,D,E,F

Таким образом, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т. д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием р означает сокращенную запись выражения:

где а_i — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно, А_р— запись числа А в р-ичной системе счисления.

Изображением числа А в р-ичной системе счисления является последовательность цифр а_k.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

При переводе чисел из p-ичной системы счисления в d-ичную (A_p¦A_d) нужно учитывать, средствами какой арифметики должен быть осуществлен перевод, т.е. в какой системе счисления (p-ичной или d-ичной) должны быть выполнены все необходимые для перевода действия.

Пусть перевод A_p¦A_d должен осуществляться средствами d-ичной арифметики. В этом случае перевод произвольного числа А, заданного в системе счисления с основанием p, в системы счисления с основанием d выполняется по правилу замещения, предусматривающему вычисление полинома А_р в новой системе счисления. То есть для получения d-ичного изображения выражения необходимо все цифры a_i и число p заменить d-ичными изображениями и выполнить арифметические операции в d-ичной системе счисления.

При переводе следует придерживаться правила сохранения точности изображения числа в разных системах, причем под точностью понимается значение единицы самого младшего (правого) разряда, используемого в записи числа в той или иной системе счисления.

Пусть теперь перевод A_p¦A_d должен осуществляться средствами p-ичной арифметики. В этом случае для перевода любого числа используют правило деления – для перевода целой части числа и правило умножения – для перевода его дробной части.

Таким образом, правило перевода целых чисел из p-ичной системы счисления в d-ичную средствами p-ичной арифметики может быть сформулировано в следующем виде.

Для перевода целого числа A_p из p-ичной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо A_p разделить с остатком («нацело») на число d, записанное в той же p-ичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на d и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нолю. Представлением числа A_p в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных d-ичной цифрой и записанный в порядке, обратном порядку их получения.

Правило перевода правильных дробей из p-ичной системы счисления в d-ичную средствами p-ичной арифметики может быть сформулировано в следующем виде.

Для перевода правильной дроби A_p из p-ичной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо A_p умножить на d, записанное в той же p-ичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на d и т.д. до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нолю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа A_p в d-ичной системе. Представлением дробной части числа A_p в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных d-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа A_p составляет j знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется .

Понятие файла (имя, расширение)

Файл — это совокупность данных на внешнем носителе (гибком и жестком диске, CD-ROM), имеющая имя. Для записи информации на диск, на нем создается файл, т.е. выделяется некоторая область на диске, которой присваивается имя, после чего в нее заносится нужная информация, например, с клавиатуры.

Ради общности к файлам в системе Windows относят и устройства. Так, принтер, порты Lpt1, Lpt2, Com и т.д. рассматриваются как файлы.

Обозначение файла включает два элемента – имя и тип (расширение), они записываются рядом и разделяются точкой.

В Windows имя каждого объекта (файла, папки) снабжается значком. Значок — это маленький символ, рисунок (иллюстрация). Это позволяет быстрее «опознать» объект.

С каждым объектом, подчеркнем, сопоставляется 1 значок, и наоборот. Используя значок, можно выполнять с объектом (папкой, файлом) различные операции: файл-программу запустить; файл-документ открыть, и т.д.

Имя файла. В отличие от MS-DOS, в Windows допустимы длинные имена. В русифицированных версиях имена могут включать символы кириллицы. По тем же правилам образуются имена прочих объектов файловой системы.

Типы файлов и значки.

Тип и значок файла-документа определяются обычно приложением, в котором документ создан. Так, например, типы файлов bmp и doc означают, что файлы созданы в графическом и текстовом редакторе соответственно.

Понятие каталога (папки)

Каталог диска – это список всех файлов, хранящихся на диске. Его обычно называют корневым каталогом. Он является аналогом библиотечного каталога.

Корневой каталог специального имени не имеет – он обозначается именем диска. Для удобства пользователя каталог диска разбивается на разделы.

Каждый раздел имеет свое имя и называется подкаталогом. Строго говоря, корневой каталог содержит имена подкаталогов и файлов. В любом подкаталоге можно создавать свои подкаталоги, т.е. файловая система может иметь древовидную структура.

В случае создания в системе нового файла (подкаталога) файловая система автоматически включает его имя в каталог диска, при удалении файла (подкаталога) – удаляет его имя из каталога.

Папка — это аналог понятий каталог, подкаталог, т.е. это логический контейнер, куда включаются файлы, имеющие что-либо общее (например, общего пользователя). В папку можно вкладывать и другие папки.

В системе Windows каждой папке присваивается специальный значок, имеющий вид разделителя карточек в библиотечном каталоге.

Задание № 2 по информатике

Дан следующий документ:

Ведомость учета бюджета семьи за 9 месяцев

Таблица 1

Месяц	Доходы	Расходы	Оста-ток
з/п	субси-дии	проч	всего	пла-тежи	продукты	одежда	проч	всего
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Январь	4587	324	570		545,6	2876,3	450	300
…	…	…	…		…	…	…	…		…
Итого	*	*	*	*	*	*	*	*	*	*

Выходной документ должен содержать:

-         расчет данных в графе 9 в каждой строке таблицы;

-         итоговые данные за 9 месяцев в графах 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Построить гистограмму доходов и расходов по каждому месяцу.

Построить круговую диаграмму остатка денежных средств по каждому месяцу.

Рассчитать следующие характеристики:

1)    Максимальные расходы за месяц (функция МАКС) и минимальные расходы за месяц (функция МИН).

2)    Средние доходы за 9 месяцев (функция СРЗНАЧ).

3)    С помощью фильтрации получить следующую информацию:

-         месяцы, где доходы ниже прожиточного минимума в размере 4 000 рублей;

-         месяцы, когда семья жила в долг.

4)    Построить гистограмму доходов и расходов по каждому месяцу.

5)    Построить круговую диаграмму остатка денежных средств по каждому месяцу.

Исходная таблица

Ведомость учета бюджета семьи за 9 месяцев

Таблица 2

Месяц	Доходы	Расходы	Оста-ток
з/п	субси-дии	проч	всего	пла-тежи	про-дукты	одежда	проч	всего
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Январь	4587	324	570		545,6	2876,3	450	300	4171,9
Февраль	4587	324	620		645,3	3658	1200	320	5823,3
Март	4587	324	340		452,6	2786,5	650	310	4199,1
Апрель	4587	324	460		685,9	2864,9	120	290	3960,8
Май	4587	324	290		235,4	2546,3	780	450	4011,7
Июнь	5500	324	780		330	2987,3	654	305	4276,3
Июль	5500	324	630		490,6	4121	350	360	5321,6
Август	5500	324	270		455,8	2500,6	690	280	3926,4
Сентябрь	5500	324	980		580,4	3345,2	730	250	4905,6
Итого

Расчетная таблица

Таблица 3

Месяц	Доходы	Расходы	Оста-ток
з/п	субси-дии	проч	всего	пла-тежи	про-дукты	одежда	проч	всего
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Январь	4587	324	570	5481	545,6	2876,3	450	300	4171,9	1309,1
Февраль	4587	324	620	5531	645,3	3658	1200	320	5823,3	-292,3
Март	4587	324	340	5251	452,6	2786,5	650	310	4199,1	1051,9
Апрель	4587	324	460	5371	685,9	2864,9	120	290	3960,8	1410,2
Май	4587	324	290	5201	235,4	2546,3	780	450	4011,7	1189,3
Июнь	5500	324	780	6604	330	2987,3	654	305	4276,3	2327,7
Июль	5500	324	630	6454	490,6	4121	350	360	5321,6	1132,4
Август	5500	324	270	6094	455,8	2500,6	690	280	3926,4	2167,6
Сентябрь	5500	324	980	6804	580,4	3345,2	730	250	4905,6	1898,4
Итого	44935	2916	4940	52791	4421,6	27686,1	5624	2865	40596,7	12194,3
Минимальные расходы за месяц						3926,4
Максимальные расходы за месяц						5823,3
Средние доходы за 9 месяцев	5865,67

Расчетная таблица в режиме отображения формул

Таблица 4 представлена в Приложении 1

Информация, полученная с помощью фильтрации

-                     месяцы, где доходы ниже прожиточного минимума в размере 4 000 рублей;

Выделяется таблица (список). Далее в строке меню выбирается Данные-Фильтр-Автофильтр. Нажимается значок, появившийся после выбора Автофильтра. В появившемся списке выбирается пункт «Условие». В открывшемся Пользовательском автофильтре выставляем условие больше 4 000.

Таблица 5

Ведомость
учета бюджета семьи за 9 месяцев
Месяц	Доходы	Расходы	Остаток
з/п	субси-дии	проч	всего	пла-тежи	про-дукты	одежда	проч	всего
Январь	4587	324	570	5481	545,6	2876,3	450	300	4171,9	1309,1
Февраль	4587	324	620	5531	645,3	3658	1200	320	5823,3	-292,3
Март	4587	324	340	5251	452,6	2786,5	650	310	4199,1	1051,9
Апрель	4587	324	460	5371	685,9	2864,9	120	290	3960,8	1410,2
Май	4587	324	290	5201	235,4	2546,3	780	450	4011,7	1189,3
Июнь	5500	324	780	6604	330	2987,3	654	305	4276,3	2327,7
Июль	5500	324	630	6454	490,6	4121	350	360	5321,6	1132,4
Август	5500	324	270	6094	455,8	2500,6	690	280	3926,4	2167,6
Сентябрь	5500	324	980	6804	580,4	3345,2	730	250	4905,6	1898,4
Итого	44935	2916	4940	52791	4421,6	27686,1	5624	2865	40596,7	12194,3

-         месяцы, когда семья жила в долг

Использован Пользовательский автофильтр по столбцу Остаток с условием меньше 0

Таблица 6

Ведомость
учета бюджета семьи за 9 месяцев
Месяц	Доходы	Расходы	Остаток
з/п	субси-дии	проч	всего	пла-тежи	про-дукты	одежда	проч	всего
Февраль	4587	324	620	5531	645,3	3658	1200	320	5823,3	-292,3

В меню выбирается Вставка-Диаграмма. В открывшемся Мастере диаграмм выбираем вид диаграммы, нажимаем Далее. На закладке Ряд задаем два ряда значений из таблицы (столбцы Доходы и Расходы), записываем названия рядов, задаем диапазон значений оси Х (столбец Месяцы). Нажимаем Далее. На закладке Заголовки задаем название диаграммы и подписи осей. Нажимаем Далее, затем Готово.

 

В меню выбирается Вставка-Диаграмма. В открывшемся Мастере диаграмм выбираем вид диаграммы, нажимаем Далее. На закладке Диапазон значений задаем диапазон значений из таблицы (столбец Остаток), записываем название ряда, задаем диапазон значений оси Х (столбец Месяцы). Нажимаем Далее. На закладке Заголовки задаем название диаграммы и подписи осей. На закладке Подписи Данных ставим пометку о включении в подписи долей. Нажимаем Далее, затем Готово.

Список литературы

1.     Акулов О.А., Медведев Н.В. Информатика: базовый курс – М.: Омега-Л, 2005.

2.     Ляхович В.Ф., Крамаров С.О. Основы информатики – Ростов-н/Д: Феникс, 2004.

3.     Майоров С.А., Кириллов В.В., Приблуда А.А. Введение в микроЭВМ – Л.: Машиностроение, 1988

Оглавление

Арифметические основы работы на ЭВМ.. 2

Системы счисления. 3

Понятие файла (имя, расширение) 6

Понятие каталога (папки) 7

Задание № 2 по информатике. 7

Список литературы.. 14

Приложение 1

Расчетная таблица в режиме отображения формул

Таблица 4

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
1	Ведомость
2	учета бюджета семьи за 9 месяцев
3
4	Месяц	Доходы	Расходы	Остаток
5	з/п	субсидии	проч	всего	платежи	продукты	одежда	проч	всего
6	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
7	Январь	4587	324	570	=СУММ(C8:E8)	545,6	2876,3	450	300	=СУММ(G8:J8)	=F8-K8
8	Февраль	4587	324	620	=СУММ(C9:E9)	645,3	3658	1200	320	=СУММ(G9:J9)	=F9-K9
9	Март	4587	324	340	=СУММ(C10:E10)	452,6	2786,5	650	310	=СУММ(G10:J10)	=F10-K10
10	Апрель	4587	324	460	=СУММ(C11:E11)	685,9	2864,9	120	290	=СУММ(G11:J11)	=F11-K11
11	Май	4587	324	290	=СУММ(C12:E12)	235,4	2546,3	780	450	=СУММ(G12:J12)	=F12-K12
12	Июнь	5500	324	780	=СУММ(C13:E13)	330	2987,3	654	305	=СУММ(G13:J13)	=F13-K13
13	Июль	5500	324	630	=СУММ(C14:E14)	490,6	4121	350	360	=СУММ(G14:J14)	=F14-K14
14	Август	5500	324	270	=СУММ(C15:E15)	455,8	2500,6	690	280	=СУММ(G15:J15)	=F15-K15
15	Сентябрь	5500	324	980	=СУММ(C16:E16)	580,4	3345,2	730	250	=СУММ(G16:J16)	=F16-K16
16	Итого	=СУММ(C8:C16)	=СУММ(D8:D16)	=СУММ(E8:E16)	=СУММ(F8:F16)	=СУММ(G8:G16)	=СУММ(H8:H16)	=СУММ(I8:I16)	=СУММ(J8:J16)	=СУММ(K8:K16)	=СУММ(L8:L16)
17	Минимальные расходы за месяц						=МИН(K8:K16)
18	Максимальные расходы за месяц						=МАКС(K8:K16)
19	Средние доходы за 9 месяцев	=СРЗНАЧ(F8:F16)