1.     Методом Гаусса решить систему уравнений:

 

2х1 – х2 + х3 + 2х4 = 14

5х1 + 3х2 – х3 + х4 = 2

4х1 – х2 + 2х3 – х4 = 0

3х1 – х2 + 3х3 + 3х4 = 12

 

                     2  –1   1   2    14                              2     –1     1     2    14

     А   =        5    3 –1   1      2            ~                0   -5,5   3,5    4    33      ~

                     4  –1   2 –1      0                              0      -1     0     5    28

                     3  –1   3   3    12                              0     -0,5 –1,5  0      9

 

                 2  –1    1   2    14                             2  –1    1    2    14 

      ~        0 –11   7   8    66         ~                  0  –1        6           ~   

                 0   –1   0   5    28                             0    0   - -22

                 0   –1 –3   0    18                             0    0       -12

 

                 2    –1      1    2    14                         2    –1      1    2      14

    ~          0   –11     7    8    66          ~             0  –11      7    8      66

                 0       0     7 –47   242                       0      0      7 –47   -242

                 0       0   40    8   -132                       0      0     0      -       

х4 = -  

    х4 = -

7х3  - 47 * ( -) = -242

7х3 = -242 -

7х3 = -

х3 = -

-11х2 + 7 * (-) + 8 * (-) = 66

-11х2 -  -  = 66

-11х2 = 66 +  +

-11х2 =

     х2 = -

2х1 – (-) + (-) + 2 * (-) = 14

2х1 +  -  -  = 14

2х1 = 14 -  +  +

2х1 =

 х1 =

 

х1             

х2     =      -

х3              -

х4                -

Проверка:

2 *  +  -  - 2 *  = 14

 = 14

 = 14

14=14

2.     Найти предел:

   =      =      =

=    =      =        =

=      =        =       =  

=      =     = 

3.     Найти производную функцию:

y =  

   =     =      =

=        =  

=           =    

=       

4.     Сумма двух чисел равна 28. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение квадрата одного из них было наибольшим?

Пусть первое число х, тогда второе число 28 – х. Искомое произведение обозначим у. Получаем уравнение:

.

  будет при:

   =     =     =     

т. к. , а , получаем уравнение:

, значит

 - первое число.

Второе число:

.

5.     Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения касательных к параболе  в точках с ординатой . Сделать чертеж.

1.     Найдем уравнения касательных:

1.1.         Найти  от :

 = 2, тогда

1.2.         Найти  :

  =  =

1.3.         Найти :

 = 22 – 1 = 3

1.4.         Найти :

 = 2(-1) – 1 = -3

1.5.         Подставить значения в формулу касательной :

1.5.1.  Для :

у – 2 = 3(х - 2)

у = 3х – 6 + 2

у = 3х – 4 – уравнение первой касательной.

1.5.2. Для :

у – 2 = -3(х + 1)

у = -3х – 3 + 2

у = -3х – 1 – уравнение второй касательной.

2. Найти уравнение искомой прямой:

2.1. Найдем точку пересечения двух касательных:

2.2. По уравнению построения прямой по двум точкам найдем уравнение искомой прямой:

       (0;0)

 - искомая прямая

2.       Построить график:

6.                Исследовать функцию  и схематично построить ее график.

1.                D(f): x2,5.

2.                При

При    .

3.                Функция общего вида.

4.                Асимптоты.

4.1.                     Вертикальная асимптота:

х = 2,5 (т. к. функция в этой точке имеет бесконечный разрыв).

4.2.    Невертикальная асимптота:

 

     у = 0 – невертикальная асимптота.

     5. Найти :

 = 0 не существует при , т. е. при  (точка разрыва);

при < -2,5   <0;

при > -2,5   >0.

В точке имеем минимум функции.

при < х < -2,5 – функция убывает;

при -2,5< х < 2,5 – функция возрастает;

при 2,5 < х < – функция убывает.

7.                Найти :

В точке  перегиб, т. к. при .

при  х < -5  < 0  - выпуклость вверх;

при  х > -5  > 0  - выпуклость вниз.

8.                Построить график:

у     -5    -2,5

х     -1     -1,125