ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Лабораторная  работа

По дисциплине

«Экономико-математические методы и прикладные модели»

                                  Выполнила:

                                             Студентка 3 курса

                                                                        Финансово-кредитного факультета

                                        (город, бюджет)

                                                                   Зимина Анна Алексеевна

                                                                  (личное дело № 04 ФФБ 00663)

09.11.2006

Задача № 1.

Оптимизация инвестиционного портфеля.

Условие:

Частный инвестор предполагает вложить 500 тыс. руб. в различные ценные бумаги (см. таблицу).

Вложение	Доход, %	Риск
Акции А	15	Высокий
Акции В	12	Средний
Акции С	9	Низкий
Долгосрочные облигации	11	-
Краткосрочные облигации	8	-
Срочный вклад	6	-

После консультаций со специалистами фондового рынка он отобрал 3 типа акций и 2 типа государственных облигаций. Часть денег предполагается положить на срочный вклад в банк.

Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и неформализуемые личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг:

·        Все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы;

·        По крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в банке;

·        По крайней мере 25 % средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;

·        В облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции;

·        Не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее 10 %.

1.     Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода?

2.     Если инвестор вносит дополнительные средства в портфель бумаг, сохраняя сформулированные выше ограничения, как изменится ожидаемый годовой доход? Зависит ли изменение ожидаемого годового дохода от величины дополнительно инвестированных средств? Почему?

3.     Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акциям) – это не более чем оценка. Насколько оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода от портфеля выбранных бумаг чувствительны к этим оценкам? Какая именно бумага портфеля наиболее сильно влияет на оценку суммарного ожидаемого дохода?

ЭММ:

1)    Введем необходимые обозначения:

Пусть X_i – вложения (количество денежных у. е.) в ценную бумагу вида i.

     i – вид ценной бумаги ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

     Х₁ – вложения в акции А,

     Х₅ – вложения в краткосрочные облигации и т. д.

C_i – доход, приносимый ценной бумагой вида i, в коэффициентах:

Например, С₂ = 0,12 – доход от акции В, и т. п.

Вложение	№ бумаги ( i )	Доход, коэффициент
Акции А	1	0,15
Акции В	2	0,12
Акции С	3	0,09
Долгосрочные облигации	4	0,11
Краткосрочные облигации	5	0,08
Срочный вклад	6	0,06

Требуется найти вектор Х с координатами:

X ( X₁; X₂; X₃; X₄; X₅; X₆ ),

2) Цель задачи: максимизировать годовой доход от портфеля выбранных бумаг.

F (X) = ∑  X_i  * С_i    (mах)

F (X) = 0,15 X₁ + 0,12 X₂ + 0,09 X₃ + 0,11 X₄ + 0,08 X₅ + 0,06 X₆

3)    Ограничения:

·        Все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы:

∑ X_i = 500;

·        По крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе:

Х₆  > = 100;

·        По крайней мере, 25 % средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском: т. е. X₃  должны составлять по крайней мере четверть от общей суммы вклада в акции:

X₃   > =  0,25 ∑ (X₁ ;  X₂ ; X₃);

·        В облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции:

∑ (X₄ ;  X₅ ) > = 0,25 ∑ (X₁ ;  X₂ ; X₃);

·        Не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее 10 % - это акции С, краткосрочные облигации и срочный вклад:

X₃ + X₅ +  X₆  < = 125.

Значит, ограничения выглядят так:

X₁ +  X₂ + X₃ + X₄ + X₅ +  X₆ = 500;

Х₆  > = 100;

X₃   > =  0,25 ∑ (X₁ ;  X₂ ; X₃);

∑ (X₄ ;  X₅ ) > = 0,25 ∑ (X₁ ;  X₂ ; X₃);

X₃ + X₅ +  X₆  < = 125;

 X_i > = 0  ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Экономический смысл:

1.     Портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход будет таков: акции вида А приобретаются на          руб., акции вида В – на        , акции С – на       , долгосрочные облигации – на          , краткосрочные – на       , срочный вклад –          руб.  

     Величина дохода при таком портфеле составит

2.     Если инвестор вносит дополнительные средства в портфель бумаг, сохраняя сформулированные выше ограничения ожидаемый годовой доход       изменится

Изменение ожидаемого годового дохода от величины дополнительно инвестированных средств зависит

Т. к.

3.     Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акциям) – это не более чем оценка. Оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода от портфеля выбранных бумаг чувствительны к этим оценкам

Наиболее сильно влияет на оценку суммарного ожидаемого дохода ценная бумага

Задача № 2.

Распределение самолетов по маршрутам.

Условие:

Требуется распределить самолеты трех типов по авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных эксплуатационных расходах перевезти по каждой из четырех авиалиний соответственно не менее 300, 200, 900 и 600 единиц груза.

Ниже в таблицах приведены исходные данные.

Тип самолета	Число самолетов	Месячный объем перевозок одним самолетом по авиалиниям
1	2	3	4
1	40	15	10	20	50
2	25	30	20	10	17
3	30	25	50	30	45

Тип самолета	Эксплуатационные расходы на один рейс по данному маршруту, дол.
1	2	3	4
1	10	20	25	40
2	70	22	15	45
3	40	50	40	65

Необходимо так распределить самолеты по авиалиниям, чтобы суммарные эксплуатационные расходы были минимальны.

ЭММ:

2)    Введем необходимые обозначения:

Пусть X_ij – количество самолетов i–го типа на j–й авиалинии.

i – тип самолета ( i = 1, 2, 3);

j – авиалиния ( j = 1, 2, 3, 4).

Значит, X₁₁ – количество самолетов типа 1 на авиалинии № 1;

     X₃₄ – количество самолетов типа 3 на авиалинии № 4;

X₂₃ – количество самолетов типа 2 на авиалинии № 3, и т. п.

C_ij – эксплуатационные расходы самолета i–го типа на j–й авиалинии:

  C₂₁ = 70 – эксплуатационные расходы самолета 2–го типа на авиалинии № 1;

и т. п.

а _ij – груз, перевозимый самолетом i–го типа по j–й авиалинии:

Например, 20 X₁₃  – груз в объеме 20 у. е., перевозимый самолетом 1–го типа по авиалинии № 3.

В_i  – количество самолетов i–го типа:

        В₁ = 40 – количество самолетов 1-го типа по всем авиалиниям.

        В₂ = 25,

        В₃ = 30.

А_j –  объем груза, который должен быть перевезен по j–й авиалинии:

         А₁  > = 300 – не менее 300 у. е. груза должно быть перевезено самолетами всех типов по авиалинии № 1,

         А₂  > = 200,

         А₃  > = 900,

         А₄  > = 600.

Требуется найти Х с координатами:

X (X₁₁; X₁₂; X₁₃; X₁₄; X₂₁; X₂₂; X₂₃; X₂₄; X₃₁; X₃₂; X₃₃; X₃₄),

показывающими, сколько самолетов какого-либо вида должно быть на данной авиалинии, таким образом, чтобы суммарные эксплуатационные расходы были минимальны.

3)    Цель задачи: минимизировать суммарные эксплуатационные расходы.

Введем функцию цели F (X), показывающую затраты на эксплуатацию всех самолетов по всем авиалиниям.

F (X) = ∑ ∑ X_ij * С_ij     (min)

F (X) = 10 X₁₁ + 20 X₁₂ + 25 X₁₃ + 40 X₁₄ + 70 X₂₁ + 22 X₂₂ + 15 X₂₃ + 45 X₂₄ + 40 X₃₁ + 50 X₃₂ + 40 X₃₃ + 65 X₃₄

4)    Ограничения:

Ограничения по объему груза по каждой авиалинии:

∑ а _ij* Х_ij   > = А_j.

Ограничения по количеству самолетов каждого типа,  направленных по всем авиалиниям:

∑ Х_ij =  В_i.

Соответственно, все ограничения будут таковы:

15 X₁₁ + 30 X₂₁ + 25 X₃₁  > =  300;

10 X₁₂ + 20 X₂₂ + 50 X₃₂  > =  200;

20 X₁₃ + 10 X₂₃ + 30 X₃₃  > =  900;

50 X₁₄ + 17 X₂₄ + 45 X₃₄  > =  600;

X₁₁ + X₁₂ +  X₁₃ +  X₁₄   =  40;

X₂₁ + X₂₂ +  X₂₃ +  X₂₄   =  25;

X₃₁ + X₃₂ +  X₃₃ +  X₃₄   =  30;

X_ij > =  0 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4).