Оптимальный план двойственной задачи :

                                                                      У=(0; 1,5;2,25)

Оптимальный план двойственной задачи содержит "внутренние" стоимости сырья, нaзываемые также оценками используемых видов сырья (или - ресурсов). Если в оптимальном плане двойственной задачи величина оценки ресурса - больше нуля (положительная), то данный ресурс полностью используется при производстве продукции по оптимальному плану основной (прямой) задачи. Если в оптимальном плане двойственной задачи величина оценки ресурса - равна нулю, то данный ресурс не полностью используется при производстве продукции по оптимальному плану основной задачи. Таким образом, в данном случае при производстве продукции по оптимальному плану ресурсы №2 и №3 используются полностью, а ресурс № 1 - не полностью. Остаток ресурса №1 можно узнать, подставив значения оптимального плана прямой задачи в ограничение № 1 прямой задачи (отражающей запасы сырья №1)

1X₁+0X₂ + 2X₃ + 1Х₄ ≤180

1*95 + 0*210 +2*0+1*0≤180  95 ≤ 180

Остаток ресурса №1, таким образом, равен 85 (180 - 95 = 85). Ресурс №1 является недефицитным. Его недефицитность в данном случае объясняется не неограниченностью его запасов (так как запасы ограничены). Недефицитность обуславливается невозможностью его полного использования в оптимальном плане, тем, что расход этого ресурса не ограничивает величину плана, так расход меньше запаса. Ресурсы №2 и №3 являются дефицитными. Они полностью используются в оптимальном плане, и план производства - ограничивается (лимитируется) запасами этих ресурсов. Количественные величины ненулевых оценок характеризуют ценность соответствующих дефицитных ресурсов. Чем больше величина оценки, тем острее дефицитность ресурса. Следовательно, тем больше выгода в увеличении запасов этого ресурса (из-за того, что значение стоимости продукции, или, вообще говоря, целевой функции прямой задачи, увеличится сильнее). Таким образом, ресурс № 3 (у₃ = 2,25) - более дефицитный и ценный, чем ресурс № 2 (у₂ = 1,5). Размер его запаса сильнее влияет на суммарную стоимость продукции, выпускаемой по оптимальному плану.

4.2. Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида.

Нахождение максимума функции

Переменные

Ограничения

Оптимальный план :                        X = (75; 330; 0; 0 )

Суммарная стоимость продукции :     mаx f(Х) = f(75; 330; 0; 0 ) = 2655

Как видно из таблицы ЕХСЕl- с результатами расчёта, сокращение объема ресурса № 1 и увеличение объемов ресурсов №2 и №3 позволяет увеличить суммарную выручку. Однако в структуре номенклатуры оптимального плана выпуска продукции (при котором выручка максимальна) - нет изменений. По - прежнему в план входят изделия "А" и "Б", но не входят изделия "В" и "Г" (Х₃ и Х₄).Причина этого - прежняя (цена изделий "В" и "Г" слишком низка). Поэтому ресурсы расходуют на те изделия, производство которых выгодно. Также нужно заметить, что в оптимальном плане снизилось число изготавливаемых изделий "А" (75 вместо 95), зато возросло число изделий "Б" (330 вместо 210). Таким образом, данное изменение запасов ресурсов увеличивает суммарную выручку.

4.3. Определить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

В таблице ЕХСЕL  добавим еще одну переменную, отражающую данные о новом изделии "Д". Также надо внести коррективы в условия (ограничения), чтобы учесть о количестве ресурсов, расходуемых на производство изделия "Д".

Нахождение максимума функции

Переменные

Ограничения

Оптимальный план :X=(112;142;0;0;34)

Суммарная стоимость продукции :     mах f(Х) =f ( 112; 142; 0; 0; 34) =2268

Как видно из таблицы ЕХСЕL с результатами расчёта, введение в план изделия "Д" позволяет увеличить суммарную выручку (по сравнению с ситуацией, когда производятся изделия только четырех видов : "А", "Б", "В", "Г"). В структуре номенклатуры оптимального плана выпуска продукции (при котором стоимость продукции максимальна) - произошли изменения. В оптимальный план добавляется изделие "Д" (обозначаемое какХ₅ ). Однако по - прежнему в план входят изделия "А" и "Б", но не входят изделия "В" и "Г" (Х₃ и Х4). И причина этого - прежняя (цена изделий "В" и "Г" слишком низка). Поэтому ресурсы расходуют на те изделия, производство которых выгодно. В том числе и на изделие "Д", включённое в план. Также нужно заметить, что в оптимальном плане возросло число изготавливаемых изделий "А" (112 вместо 95), зато снизилось число изделий "Б" (142 вместо 210). Следовательно, данное изделие ("Д")     целесообразно включать в план.

Задача 3

Построение баланса производства и распределения продукции  предприятий с использованием балансового метода планирования и модели Леонтьева.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов,

при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида, третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, являясь конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij(i= 1, 2, 3;j= 1, 2, 3 ) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов у_i, вектора конечной продукции Y.

Требуется :

1 .Проверить продуктивность технологической матрицы А = (а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат);

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Исходные данные (вариант № 2)

Решение

1. Проверка продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат (А). Матрица коэффициентов прямых затрат :

            0  0,1  0,2                                0  1  2                                 0  1  2

         0,1  0,2  0,1                                1  2  1                                 1  2  1

A=    0,2  0,1  0,2          =0,1*            2  1  2            =1/10*         2  1  2

Оценку продуктивности матрицы коэффициентов прямых затрат произведем по второму и четвертому признакам.

1.1 Признак 2: все главные миноры матрицы Е -А положительны .

Рассмотрим матрицу

                   1  0  0                0  0,1  0,2                        1  -0,1  -0,2                               10  -1  -2

Е –А=        0  1  0       -       0,1  0,2  0,1         =        -0,1  0,8  -0,1        =1/10*             -1  8  -1

                   0  0  1               0,2  0,1  0,2                   -0,2  -0,1  0,8                                 -2  -1  8

Для простоты вычислений вынесем общий для всех элементов матрицы множитель "за скобки". Проведем все вычисления с полученной новой матрицей.

Определим главные миноры матрицы:

                                              1  - 1                                                          10  -1  -2                                                     

Δ₁=10>0           Δ₂ =                                 =8-1=7>0                  Δ₃=          -1  8  -1  

                                              -1  8                                                              -2  -1  8

Найдём определитель матрицы (по правилу Саррюса):

                 10  -1  -2                           10  -1  -2       

Δ₃=           -1   8   -1            :                -1   8   -2         = 10*8*8-2-2-4*8-10-8=640- 4*9-

                 -2  -1    8                                                                  18=586>0

Главные миноры матрицы положительны.

Главные миноры исходной матрицы - также положительны, согласно свойствам матриц. Таким образом, матрица коэффициентов прямых затрат (А) - продуктивна. 

1.2 Признак 4: максимальное собственное число матрицы А меньше единицы .

                           0  0,1  0,2                      1  0  0                               0  1  2                     1  0  0

A-λ*E=           0,1  0,2  0,1         - λ*       0  1  0       = 1/10*            1  2  1         - λ*       0  1  0

                        0,2  0,1  0,2                      0  0  1                                2  1  2                      0  0  1

                                  0  1  2                      1  0  0                                 0  1  2

A-λ*E= 1/10*           1  2  1           - λ       0  1  0       =  1/10*             1  2  1       

                                  2  1  2                      0  0  1                                 2  1  2

                10  0  0                

- λ*          0  10  0

                0  0  10

                                   -10*λ            1         2                   

A-λ*E= 1/10*                   1     2-10* λ     1 

                                          2             1       2-10* λ

Рассмотрим характеристическое уравнение:     | A-λ* E | = 0

                                              -10*λ            1             2               

| A-λ* E | = 1/10³ *                      1      2-10* λ         1                       =0

                                                     2           1          2-10* λ

                             -10*λ            1            2                           

                                  1       2-10* λ       1                      =0

                                  2              1           2-10* λ

               -10*λ            1         2                                                            -10*λ            1         2

                                                                                :                                  1      2-10* λ      1         

                    1       2-10* λ      1                                  

                    2              1         2-10* λ

= -10*λ*(2-10*λ)²+2+2-4*(2-10* λ)+10*λ-(2-10*λ)

                 -10*λ            1         2                   

                      1     2-10λ      1                  = -10λ*(2- 10λ) ²+2+2-4*(2-10*λ)+10*λ-(2-

                    2             1        2-10λ                     -10*λ)  

                           -10λ            1         2                           

                              1     2-10λ       1                        = -1000λ³  +400λ²  +20λ-6             

                                  2             1        2-10λ

Таким образом, характеристическое уравнение:

                                       -1000  λ³  + 400 λ²  + 20λ  - 6 =0       

                                   λ³  - 400 * 10^-3* λ² – 20*10^-3 * λ + 6 * 10^-3 = 0

Корни характеристического уравнения :

λ ₁ = -0,1273073 < 1      

λ ₂ = 0,1140435< 1

λ₃=0,4132637<1

Таким образом, максимальное собственное число матрицы A меньше единицы.

Таким образом, матрица коэффициентов прямых затрат (А) – продуктивна.

2. Построение баланса производства и распределение продукции отраслей.

Система балансовых уравнений в матричной форме имеет вид: X = АХ + Y (модель Леонтьева в матричной форм-модель Леонтьева в матричной форме.

В данном матричном уравнении:

матрица коэффициентов прямых затрат:

Такобразом, максимальное собственное

                0    0,1  0,2                                0  1  2                     0   1   2

   A=       0,1  0,2  0,1          = 0,1*              1  2  1    = 1/10*    1   2   1                                                                

                0,2  0,1  0,2                                2  1  2                    2   1   2

Вектор конечной продукции (конечное потребление и накопление):

                                              Y₁               180

                                 Y=        Y₂          =      200

                                              Y₃                200 

Вектор валовой продукции (вектор неизвестных):

                                                     X₁

                                   X  =           X₂

                                                     X₃

Выполним эквивалентное преобразование матричного уравнения.

X=AX+Y             X-AX=Y           EX-AX=Y               (E-A)X=Y

(E-A)X=Y  -модель Леонтьева в матричной форме

Таким образом, согласно свойствам матриц, решение данного уравнения:

X= (E-A)^-1*Y             или           X=BY

B=(E-A)^-1   -   матрица коэффициентов полных затрат.

Она является обратной к матрице (E-A).

Как найдено в пункте 1:

               1  0  0                0    0,1    0,2                    1    -0,1  -0,2                     10   -1   -2    

E-A=       0  1  0       -     0,1   0,2    0,1         =     -0,1   0,8   -0,1        =1/10     -1    8    -1     ==           

               0  0  1              0,2   0,1    0,2                 -0,2   -0,1   0,8                      -2    -1    8

=D

.

  Поэтому решение матричного уравнения можно записать в виде:

 10   -1   -2                                     10   -1   -2

1/10 *    -1    8   -1      * X= Y                  -1    8   -1       * X=10* Y

              -2   -1    8                                     -2   -1    8

               10   -1   -2   ^-1

X=10*     -1    8   -1       * Y

                -2   -1    8

Найдём обратную матрицу методом преобразований Гаусса.

Составим расширенную матрицу С, состоящую из матрицы О и единичной матрицы Е той же размерности.

                       10   -1   -2                 1  0  0    

C=(D|E)=       -1    8     -1                 0  1  0

                       -2   -1    8                   0  0  1

             10   -1   -2   1   0   0

C=        -1     8   -1   0   1    0             Расширенная матрица

 -2    -1    8   0   0   1

Выполним преобразования расширенной матрицы методом Гаусса.

1. Поменяем 1 и 2 строки местами

                 -1     8   -1         0  1  0    

               10    -1   -2         1  0  0

                -2    -1    8         0  0  1

2. Умножим элементы первой строки матрицы на -1:

   1     - 8    1             0   -1    0

10    -1  -2          0   0   1         

-2     -1   8          0   0   1

3. Сложим 2-ую строку с 1-й, умноженной на (-10); 3-ю с первой, умноженной на 2

1   -8       1                0   -1   0   

0   79    -12               1   10   0

0   17     10                0   -2   1

4. Умножим элементы 2 строки матрицы на 1/79

                      1   -8      1                      0         -1        0            

                      0    1      -12/79            1/79   10/79     0

                      0   -17     10                     0        -2       1

5. Сложим 3-ю строку со 2-ой, умноженной на 17

1   -8    1                         0        -1        0   

0    1   -12/79               1/79    10/79    0

0   0     586/79            17/79   12/79    1

6. Умножим элементы 3 строки матрицы на 79/586

1   -8   1                      0              -1                  0              

0    1   -12/79              1/79        10/79             0

0    0   1                     17/586    12/586      79/586

Таким образом, мы преобразовали исходную расширенную матрицу к матрице вида ( Р | Т ), где слева стоит верхняя треугольная матрица Р, а справа - нижняя треугольная матрица Т . (на 5 - м шаге метода Гаусса).

7. Сложим 2-ю строку с 3-ей, умноженной на 12/79, 1-ю с 3-ей, умноженной на (-1)

   1   -8   0            -17/586     -598/586     -79/586

   0    1   0            10/586        76/586       12/586

   0    0   1            17/586        12/586       79/586

8. Сложим 1-ю строку со 2-ой, умноженной на 8

1   0   0       63/586    10/586    17/586

            0   1   0       10/586    76/586    12/586

            0   0   1        17/586    12/586    79/586

Таким образом, мы преобразовали исходную расширенную матрицу к матрице вида ( Е | D^-1 ), где слева стоит единичная матрица Е, а справа - искомая обратная матрица  D^-1 .

Искомая обратная матрица:

 63/586     10/586     17/586                                   63   10   17

D=        10/586      76/586      12/586       = 1/  586 *        10  76   12                     

  17/586      12/586      79/586                                  17   12   79

Проверка:

                63   10   17                      10    -1     -2                  1  0  0             

1/586*    10   76   12      *              -1      8      -1        →     0  1  0              

               17   12   79                      -2     -1     8                    0  0  1

D^-1* D= Е   Обратная матрица найдена верно.

Определим вектор валовой продукции (вектор неизвестных):

          X₁                10   -1   -2  ^-1                         63   10   17           180

X=     X₂   = 10*    -1     8   -1    *  Y=10/586 *  10   76   12   *      200     =

          X₃                -2    -1   8                              17   12   79           200

                        63   10   17          18

=  100/586*    10   76   12     *    20

                       17   12   79           20

             X₁                              63   10   17            18             83700/293              285.66

X=        X₂      =  100/586 *     10   76   12    *      20     =      97000/293     =      331.058              

 X₃                                         17   12   79             20             106300/293           362.799

285.66

           331.058

X=      362.799

Определим коэффициенты (матрицу коэффициентов) распределения продукции между предприятиями на внутреннее потребление, умножая каждый коэффициент прямых затрат (в матрице А) на соответствующий элемент вектора валовой продукции (для элементов первой строки - на первый элемент, и так далее). В итоге плановая модель - баланс производства и распределения продукции предприятий:

Баланс производства и распределения продукции предприятий

Задача 4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице (для варианта 2). Номер показателя : 2

Требуется :

1 .Проверить наличие аномальных наблюдений.

2.Построить линейную модель Y (t) = а₀ + а₁t, параметры которой оценить

МНК (Y (t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3.Построить адаптивную модель Брауна Y (t) = а₀ + а₁t к с параметром сглаживания ά = 0,4 и ά = 0,7; выбрать лучшее значение параметром сглаживания.

4.Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S - критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7).

5.Оценить точность моделей на основе использования средней относительной

ошибки аппроксимации.

6.По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70 %).

7.Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части.

Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.

Решение

1. Проверка наличия аномальных наблюдений.

Для проверки наличия аномальных наблюдений используем метод Ирвина.

Вначале определим среднее значение спроса и среднеквадратическое отклонение. Введем обозначения: i= 1.. .n (n= 9) - номер наблюдения (аналогично используемому обозначению t); Y_i - значение спроса при наблюдении 1 (или - в i-ю неделю).

Формула для вычисления среднего значения: Yˉ= 1/n*∑* Y _i

Формула для вычисления среднеквадратического отклонения:

                            S=S_Y= √∑ (Y_i - Yˉ)²/n-1

Фактически в формуле метода Ирвина используется так называемое «исправленное» среднеквадратическое отклонение (СКО), являющееся несмещенной оценкой СКО генеральной совокупности. Для каждого наблюдения (кроме первого по счету) вычислим расчетное значение критерия Ирвина. Это значение вычисляется по следующей формуле.

λ_i=| Y_i- Y_i-1|/ S_Y

Вычисленные расчетные значения критерия Ирвина сравниваем с табличным значением критерия. Для уровня значимости ά = 0,05 и числа наблюдений n = 10 табличное значение критерия Ирвина равно 1,5: для числа наблюдений n = 3 оно равно 2,3. Найдем табличное значение критерия Ирвина для числа наблюдений n = 9:

λ_ά(9)= λ_ά(10)+(( λ_ά(3)- λ_ά(10)/10-3)=1,5+((2,3-1,5)/10-3)=1,5+0,8/7=1,614≈1,6

Если расчетное значение критерия Ирвина для соответствующего уровня ряда превышает табличное, то этот уровень ряда считается аномальным. Сравнение расчетных и табличных значений выполним в расчетной таблице, в столбце «МИ». Если значение уровня ряда не является аномальным, оно помечается символами "ОК". Аномальные значения (если такие будут выявлены) помечаются символом «А». После выявления аномальных уровней ряда нужно определить причины их возникновения. Если они вызваны ошибками первого рода, то аномальные уровни заменяются либо простой средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо соответствующими значениями по кривой аппроксимирующей данный ряд. В данном случае в ряде значений нет аномальных наблюдений.

2. Построение линейной модели.

2.1 Находим суммы всех значений t, Y, их произведений t* Y , а также значений t², Y².

2.2.Находим средние значения величин t, Y и их произведений t* Y .

Для этого просто поделим величины соответствующих сумм, найденные ранее, на число наблюдений n (то есть на 9).

2.3.Находим дисперсии σ² _t, σ²_Y .

Можно найти их, используя квадраты разности между значением переменной и соответствующим средним значением, т. е. формулы:

                _                             _

σ² _t =∑ (t- t)²/ n; σ²_Y =∑ (Y- Y)²/ n

2.4 Находим коэффициенты уравнения регрессии:

      __  _  __

а₁=( tY- t* Y)/ σ²_t=(286,11-5*53,78)/6,67=2,58

      __       _

а₀= Y  - а_1* t = 53,78-2,58*5=40,86

Формулы для определения коэффициентов уравнения регрессии определяются с использованием метода наименьших квадратов (МНК).

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

Y= а₀+ а₁* t;

Y=40,86+2,58* t

Рассчитываем для каждого наблюдения «предсказанное» (смоделированное) значение отклика (величины показателя) (Y).

На основании рассчитанных  Y находим значения остатков для каждого наблюдения:

            __  

ε_i= Y_i - Y_i

Решение задачи с помощью Пакета анализа Ехсеl. Используем инструмент пакета "Анализ данных" - Регрессия. Вводим данные для выполнения подпрограммы "Регрессия" и анализируем их результаты (которые приведены в таблицах).

                                             ВЫВОД ОСТАТКА

По приведенным данным можно сделать вывод, что результаты "ручного" расчета (по формулам) и автоматического расчета совпадают, поскольку коэффициенты уравнения регрессии - одинаковы.

3 .Построение адаптивной модели Брауна.

Этап 1: По первым пяти точкам временного ряда получим начальные оценки параметров модели, используя формулы, полученные методом наименьших квадратов

а₁=∑ ((t- t₁ )* (Y(t)- Y₁))/ ∑ (t- t₁)²; а₀= Y₁- а₁* t₁;

Средние значения для пяти точек вычисляются по формулам:

    _             __     

             t₁=1/5∑ t; Y₁=1/5∑ Y(t)

Все вычисления средних значений и начальных оценок параметров модели выполним в расчетной таблице.

Этап 2: С помощью начальных параметров по модели Брауна найдем прогноз на один шаг (k =1):

                  Y_p (t, k )= а₀ (t) + а₁(t) k.

Этап 3: Расчетное значение Y_р (t, k) ряда сравниваем с фактическим значением Y(t) и вычисляем величину расхождения (ошибки).

Формула для вычисления ошибки (при k = 1):

                                           e (t+1)=Y (t+1)- Y_p (t,1)

Этап 4: Корректировка параметров модели в соответствии с величиной ошибки.

Используются формулы:

   а₀ (t) = а₀ (t-1)+ а₁(t-1)+ ά²* e (t);

   а₁(t) = а₁(t-1)+ ά²* e (t).

Здесь ά - параметр сглаживания. Сначала проведем вычисления при параметре сглаживания, равном 0,4, а затем - равном 0,7.

е (х) - ошибка прогнозирования уровня Y (t), вычисленная в момент времени (t +1) на один шаг вперед.

Этап 5: По модели со скорректированными параметрами а₀ и а₁ находим прогноз на следующий момент времени.

Повторяем этапы построения модели, пока не достигнем значения t = 9 (в данном случае). При достижении t = 9 получаем модель, которую можно использовать для прогнозирования. Для параметра сглаживания  ά = 0,4 на последнем шаге получаем модель У_р (N+ k) = 63,6937 +2,948 k , а для ά = 0,7 - модель У_р (N + k) = 64,1103+ +2,437 k.

Необходимо заметить, что лучшим значением параметра сглаживания является 0,4, поскольку при этом получается меньшая средняя относительная ошибка аппроксимации и среднеквадратическое отклонение остатков. Это показывают дальнейшие расчеты.

4.Оценка адекватности построенных моделей.

4.1 .Проверка случайности остаточной компоненты по критерию пиков (критерию поворотных точек).

Уровень последовательности ε_t  считается максимумом, если он больше двух

рядом стоящих уровней, то есть ε_t-1 < ε_t > ε_t+1  , и минимумом, если он меньше

обоих соседних уровней, то есть  ε_t-1 > ε_t < ε_t+1. В обоих случаях ε_t считается поворотной точкой (или пиком).

В случайной выборке размера n математическое ожидание числа точек

поворота   р‾ и дисперсии  σ_р²   выражаются формулами :

                        _

                         р  = 2/3*( n-2);              σ_р²=(16n-29)/90

Критерий случайности остаточной компоненты (критерий пиков, или поворотных точек) - выполнение неравенства :

                                                  _

                                      р>[р -1,96*√ σ_р²]

В данном случае критерий выполняется с 5% - ным уровнем значимости, то есть с доверительной вероятностью 95 %  что можно видеть по числу "1,96", которое стоит рядом со значением среднеквадратического отклонения. Данное число (1,96) является табличным значением 1; - статистики Стьюдента с 5% - м уровнем значимости. Квадратные скобки в данной формуле означают, что необходимо брать целую часть получившегося результата. Если неравенство не выполняется, то следовательно, колебания случайных компонент не являются случайными. В этом случае трендовая модель считается неадекватной. С помощью средств Ехсеl в расчётной таблице для соответствующих точек выясним, являются ли они пиками (поворотными точками). Для поворотных точек в столбце "ТП" (точки поворота) выводится значение "1", для остальных точек - "О". Таким образом, всего имеется 4 поворотных точки.

_

р= 2/3*( n-2)= 2/3*(9-2)=4,67;             

       σ_р²= (16n-29)/90=(16*9-29)/90=1,28

                            4>[4,67-1,96*√1,28]= [2,453]=2

Вывод : линейная модель адекватна по критерию случайности остатков. Для модели Брауна с параметром сглаживания 0,4 число поворотных точек равно 4, а для параметра 0,7 - также имеется 4 поворотных точки. Следовательно, модель Брауна также адекватна по критерию случайности остатков.

4.2.Проверка независимости уровней ряда остатков по d - критерию. При проверке независимости значений уровней рада остатков (случайной компоненты), то есть проверке на отсутствие автокорреляции, определяется отсутствие в ряду систематической составляющей. Проверка может выполняться по разным критериям, наиболее распространенный из которых  d- критерий Дарбина -Уотсона. Расчётное значение данного критерия вычисляется по формуле :

                        d =∑[ε_(t)- ε_(t-1) ]²/∑ ε_(t)²

Коэффициент автокорреляции первого порядка вычисляется по формуле

                                    r(t)= ∑ ε_(t)* ε_(t-1)/ ∑ ε_(t)²

Вычислим соответствующие разности и суммы в расчетной таблице Ехсеl, а затем

вычислим и значение критерия

                         Для линейной модели: d=223,9/25,1=8,91

                           Для модели Брауна d=2,47 (для ά=0,4); d=2,69 (для ά=0,7)

Сравним расчетное значение d - критерия линейной модели с верхним критическим

табличным значением d ₂= 1,36 :

d = 8,91 > d ₂ = 1,36

Расчетное значение ё - критерия больше верхнего критического табличного значения  d ₂= 1,36 . Поэтому можно принять гипотезу о независимости уровней ряда остатков (отсутствии автокорреляции).

Вывод : линейная модель адекватна по критерию независимости уровней ряда остатков. Модель Брауна же в данном случае также адекватна по данному критерию (расчетное значение критерия больше верхнего критического).

4.3.Проверка нормальности распределения остаточной компоненты по R/S - критерию с критическими уровнями 2,7 - 3,7.

4.3.1.Для линейной модели.

Расчетное (наблюдаемое) значение RS - критерия равно:

                                          RS=[ε_max-ε_min]/S_ε

где ε_max - максимальный уровень ряда остатков, ε_max = 2,06;

ε_min- минимальный уровень ряда остатков, ε_min=-3,19;

S_ε- среднеквадратическое отклонение.

S_ε= √∑ ε_(t)²/ n-1

Проведем вычисление в таблице и получим расчетное значение критерия:

                                   RS= 5,25/1,7726=2,962

Расчетное значение RS - критерия попадает в интервал (2,7 - 3,7), следовательно, выполняется свойство нормального распределения.

Вывод: линейная модель адекватна по нормальности распределения остаточной компоненты (по  RS - критерию).

4.3.2.Для адаптивной модели Брауна

Для ά = 0,4: ε_max = 3,096;  ε_min = - 2,916 ; S_ε = 1,994 ; RS = 3,016

Для ά = 0,7: ε_max = 2,621 ; ε_min = - 5,242 ; S_ε = 2,996 ; RS = 2,625.

Выводы: для ά = 0,4 расчетное значение RS - критерия попадает в интервал (2,7 - 3,7); модель Брауна адекватна по нормальности распределения остаточной компоненты (по RS - критерию). Для ά = 0,7 - расчетное значение критерия не попадает в указанный интервал, и модель неадекватна по RS – критерию.

5.Оценка точности модели по среднему квадратическому отклонению и средней по модулю ошибке.

Оценка точности модели имеет смысл только для адекватных моделей (для которых все вышеуказанные пункты проверки дали положительный результат).

В данном случае линейная модель адекватна по всем этим критериям, поэтому имеет смысл оценить ее точность. Математическое ожидание уровней ряда остатков равно нулю. Стандартная ошибка прогнозируемого показателя (среднеквадратическое отклонение от линии тренда):

                                      S_ε= √∑ ε_(t)²/ n-1= 1,7726

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

E_отн=1/ n*∑ | ε_(t)/ Y _t|*100%

На основе проведенных в таблице вычислений:

E_отн=1/9*0,2309*100%=2,57%

Поскольку средняя относительная ошибка аппроксимации не превосходит 15 % (она значительно меньше), то точность линейной модели достаточно высока. Однако допустимый уровень точности модели устанавливает пользователь модели (так как она зависит от поставленных задач).

Для модели Брауна при ά = 0,4: S_ε= 1,994 ; средняя относительная ошибка аппроксимации Е_отн= 1/9* 0,2855 * 100 % = 3,17 %.. При ά = 0,7: S_ε= 2,996 ;

Е_отн = 1/9*0,4049*100 % = 4,50 %. Поскольку средняя относительная ошибка

аппроксимации не превосходит 15 %, то точность модели Брауна достаточно высока. Однако в данном случае модель Брауна адекватна не по всем этим критериям (что показано выше).

6. Построение точечного и интервального прогнозов на следующие две недели

6.1. Построение точечного прогноза для линейной модели.

Точечный прогноз - это единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в выбранное уравнение регрессии величины t, соответствующей числу шагов, на который делается прогноз:  t = n + k, где k - число шагов. В данном случае  n = 9, k  = 2 (прогноз на два шага вперёд), следовательно, t = 9 + 2=11.

Вычислим значение точечного прогноза, используя найденное уравнение регрессии :

Y (11) = 40,86 + 2,58*11 = 69,278≈69,28.

6.2. Построение интервального прогноза для линейной модели.

Поскольку точное совпадение реальных данных в будущем и точечных оценок маловероятно, то точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, указывающими интервал значений. Причем в этом интервале с достаточной долей вероятности можно ожидать появления прогнозируемой величины.

Интервальный прогноз - это установление данного интервала (при соответствующих условиях). Данный интервал называется доверительным. Расчет доверительных интервалов при прогнозировании опирается на выводы и формулы теории регрессии. Эти выводы можно перенести на временные ряды (в том числе экономические), однако с осторожностью. Стандартная (средняя квадратическая) ошибка оценки прогнозируемого показателя:

S_ε=S _Y=√∑(y_t-Y_t)²/n-m

где y_t- фактическое значение уровня временного ряда для времени t;

Y_t - расчётная оценка соответствующего показателя по модели;

n- количество уровней в исходном ряду (в данном случае n = 9);

m- число параметров модели ( в данном случае  m = 1, так как модель -однопараметрическая).

Формула для доверительного интервала, в общем случае, имеет вид:

U_y=Y(n+k)±t_ά* S _Y*√1+(1/n)+(3*(n+2*k-1)²)/n(n²-1)

В упрощенном виде: U_y=Y(n+k)± S _Y*K_p,

где верхнее значение: U_y(max)= Y(n+k)+ S _Y*K_p,

нижнее значение: U_y(min)= Y(n+k)- S _Y*K_p.

Расчетный коэффициент: K_p= t_ά*√1+(1/n)+(3*(n+2*k-1)²)/n(n²-1),

где р = 70 % = 0,7 - вероятность ;

ά = 100 % - 70% = 1 - р = 30 % = 0,3 - уровень значимости ;

t_ά - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и числа

степеней свободы, равного n - 2 .

Величину критерия Стьюдента для данной величины ошибки и числа наблюдений n= 9(с n -2 =9-2 = 7 степенями свободы t_кр (0,30; 7)) находим по таблицам значений критерия. t_кр (0,30; 7)=1,12.

Расчетный коэффициент:

K_p=1,12*√1+1/9+(3*(9+2*2-1)²)/9*(9²-1)=1,47

Среднеквадратическое отклонение вычислено ранее:

S_ε=S _Y=√∑(y_t-Y_t)²/n-m=√∑ε_t²/ n-1=1,7726

Вычислим значение верхней и нижней границ доверительного интервала:

верхнее значение: U_y(max)=69,278+1,7726*1,47=71,87

нижнее значение: U_y(min)=69,278-1,7726*1,47=66,68

Таким образом, для линейной модели доверительный интервал для точечной оценки Y (11) = 69,28 равен U_y(min) ; U_y(max)) = (66,68; 71,87).

6.3. Построение точечного прогноза для модели Брауна.

Точечный прогноз построен в расчетной таблице, для ά = 0,4 используем модель Y _р (N + k) = 63,6937 +2,948 k , а для ά = 0,7 - модель Y_р (N+ k) = 64,1103 +2,437 k . Для ά = 0,4 получаем Y _р (11) = 69,59, для  ά = 0,7 - Y _р (11) = 68,98.

6.4. Построение интервального прогноза для модели Брауна.

Для получения интервальных прогнозов для модели Брауна используется формула:

                                                                                            _         _

                                U(k)= S _Y*t_ά*√1+1/n+((n+k-t₁)/ ∑(t- t₁)²)

Вычисления значений интервалов выполним в расчетной таблице.

Для модели Брауна при  ά = 0,4 получаем   U (1) = 5,47; U (2) = 6,11; для  ά = 0,7:U (1)= 8,22; U (2) = 9,19.

Вычислим значение верхней и нижней границ доверительного интервала при  ά =0,4: верхнее значение: U_y (mах) = 69,59 + 6,11 = 75,70$

                               нижнее значение : U_y (min) = 69,59 - 6,11 = 63,48.

Таким образом, для модели Брауна при  ά = 0,4 доверительный интервал для точечной оценки Y (11) = 69,59 равен (U_y (min); U_y (mах)) = (63,48; 75,70).

7.1.Графическая иллюстрация фактических данных, результатов аппроксимации по линейной модели и результатов прогнозирования.

Чёрными ромбами обозначены точки опытных данных, прозрачными квадратами - результаты аппроксимации данных с помощью уравнения линейной регрессии, прозрачный треугольник - точечный прогноз на 2 шага вперед (63,28 «69,3).Соответственно сверху и снизу этой точки находятся соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала для этого точечного прогноза, рассчитанные согласно данных в условии.

80

71,9

30

20

10

0

1      2     3    4    

6      7      8      9     1

7.2.Графическая иллюстрация фактических данных, результатов аппроксимации по адаптивной модели Брауна при ά= 0,4 и результатов прогнозирования.

30 20

10

0

1234567891

Чёрными ромбами обозначены точки опытных данных, прозрачными квадратами - результаты аппроксимации данных с помощью адаптивной модели Брауна, прозрачный треугольник - точечный прогноз на 2 шага вперед (69,6).Соответственно сверху и снизу этой точки находятся соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала для этого точечного прогноза, рассчитанные согласно данных в условии.

Расчетная таблица     

Линейная модель

Расчетная таблица

                             Получение начальных оценок параметров модели

                              Адаптивная модель Брауна для ά=0,4

                                     Адаптивная модель Брауна для ά=0,7