Задание 1

Стоимостной МОБ включает пять отраслей:

1.     тяжелая промышленность;

2.     легкая промышленность;

3.     строительство;

4.     сельское и лесное хозяйство;

5.     прочие отрасли.

1) Необходимо составить плановый МОБ, если спрос на конечную продукцию на следующий год по всем отраслям увеличится на (4+n)%.

2) Проследить эффект распространения, вызванный увеличением спроса на продукцию тяжелой промышленности дополнительно на  (2+n/2)%.

3) Определить равновесные цены в предположении (4+n/3)%-го роста заработной платы по каждой отрасли. Проследите эффект распространения, вызванный дополнительным ростом заработной платы в легкой промышленности на 5% (считайте, что доли заработной платы в добавленной стоимости по отраслям соответственно равны 0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547).

Таблица 1

Таблица межотраслевых потоков

1

2

3

4

5

1

46,07

3,28

17,64

6,19

4,82

2

3,92

38,42

0,84

0,86

2,25

3

0

0

0

0

0

4

0,52

27,22

1,01

16,18

0

5

16,08

10,1

4,73

0,34

0,4

Таблица 2

Таблица конечных продуктов

1

41,76

2

79,02

3

37,96

4

24,25

5

2,64

Таблица 3

Таблицы стоимости фондов и затрат труда

Стоимость фондов

100

110

80

150

60

Стоимость затрат труда

90

100

85

62

45

Решение:

Введем следующие обозначения:

– общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли;

– объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью (i, j = 1, 2, ... п);

– объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.

Общий вид межотраслевого баланса представлен в таблице. Она состоит из четырех разделов. Первый раздел образуется перечнем "чистых" отраслей. Каждая отрасль представлена в МОБ дважды: как производящая и как пот­ребляющая. Отрасли как производителю соответствует строка таблицы, от­расли как потребителю соответствует столбец. На пересечении i-й строки и j-го столбца находится величина xij - количество продукции i-й отрасли (в денежном выражении), израсходованной на производственные нужды j-й отрасли. Таким образом, первый раздел характеризует межотраслевые по­токи сырья, материалов, энергии и т. д., обусловленные производственной деятельностью отраслей.

  

1

2

n

У

Х

1

x11

x12

x1n

y1

x1

2

х21

x22

 

x2n

y2

x2

n

xn1

xn2

xnn

yn

xn

Z

z 1

z2

zn

 

 

Х

x1

x2

. . .

xn

 

 

 

Второй раздел МОБ состоит из двух столбцов. Столбец Y - это конечная продукция отраслей. Конечная продукция включает в себя непроизводствен­ное потребление (личное и общественное), возмещение выбытия основных фондов и накопление. Столбец Х содержит величины валового производст­ва отраслей.

Третий раздел представлен двумя нижними строками. Строка Х содер­жит те же самые величины, что и соответствующий столбец второго раздела. Строка V содержит величины условно-чистой продукции отраслей. Условно-чистая продукция включает в себя амортизационные отчисления и вновь созданную стоимость (заработную плату и прибыль).

Четвертый раздел МОБ не имеет непосредственного отношения к ана­лизу межотраслевых связей. Он характеризует перераспределительные отно­шения в народном хозяйстве и здесь рассматриваться не будет.

Строки показывают распределение продукции. Для любой i-й строки первого раздела справедливо соотношение

т.е. вся произведенная i-й отраслью продукция хi (валовая продукция в де­нежном выражении) делится на промежуточную и конечную. Промежуточ­ная продукция - это та часть валовой продукции i-й отрасли, которая расхо­дуется другими отраслями в процессе осуществления ими собственных производственных функций.

Столбцы МОБ показывают структуру затрат. Для любого j-го столбца можно записать:

т.е. стоимость всей произведенной j-й отраслью продукции хj состоит из те­кущих производственных затрат и условно-чистой продукции vj.

Суммарный конечный продукт равен суммарной условно-чистой про­дукции. Действительно,

Сравнивая правые части этих соотношений, видим, что

Зная суммарный конечный продукт или, что то же, суммарную условно-чистую продукцию, можно определить национальный доход. Он равен разности суммарного конечного продукта и амортизационных отчислений, направляемых на возмещение выбытия основных фондов.

Так как . Перепишем эту систему уравнений  введя коэффициенты прямых затрат . Обозначим  Х – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продута, А = (аij) – матрица прямых затрат, (i, j = 1, 2, ... п). Тогда соотношения баланса перепишутся в матричном виде:  Это соотношение называется матричным уравнением Леонтьева.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании таково вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Перепишем последнее уравнение в виде  

Если  то решение задачи межотраслевого баланса записывается  

Матрица  называется матрицей полных затрат.

Представим исходные данные задачи в виде одной таблицы – матрицы межотраслевого баланса:

ОТРАСЛЬ

1

2

3

4

5

Конечный продукт

Валовой продукт

1

тяжелая промышленность

46,07

3,28

17,64

6,19

4,82

41,76

126,18

2

легкая промышленность

3,92

38,42

0,84

0,86

2,25

79,02

137,45

3

строительство

0

0

0

0

0

37,96

43,8

4

сельское и лесное хозяйство

0,52

27,22

1,01

16,18

0

24,25

73,26

5

прочие отрасли

16,08

10,1

4,73

0,34

0,4

2,64

34,69

Условно-чистый продукт

59,59

58,43

19,58

49,69

27,22

Валовый продукт

126,18

137,45

43,8

73,26

34,69

При составлении таблицы рассчитали величину условно-чистой продукции. Так, для первой отрасли эта величина:

 = 126,18 – 46,07 –3,92 – 0,52 – 16,08 = 59,59.

И так для каждой отрасли

1) Матричные вычисления произведем с помощью пакета Excel. Итак, матрицы

  .

Матрица полных затрат

 

По условию задачи, спрос по всем отраслям должен увеличиться на 8%, т.е. вектор конечного продукта должен стать  .

Тогда искомый вектор валового выпуска 

Составим новую матрицу межотраслевого баланса (с точностью до второго знака после запятой). Для этого воспользуемся формулами:

;

;

;

.

Промежуточные вычисления (с точностью до 2-го знака после запятой:

=.

После чего новая матрица межотраслевого баланса будет выглядеть:

 

ОТРАСЛЬ

1

2

3

4

5

Конечный продукт

Валовой продукт

1

тяжелая промышленность

60,438

74,404

58,72

72,679

71,33

3875,28

4212,85

2

легкая промышленность

43,375

35,122

43,712

45,307

43,227

4424,46

4635,2

3

строительство

0

0

0

0

0

3804,54

3804,54

4

сельское и лесное хозяйство

43,828

34,105

43,825

40,993

43,092

4380,10

4585,94

5

прочие отрасли

25,413

28,346

24,929

30,096

28,756

4350,89

4488,43

Условно-чистый продукт

4039,796

4463,223

3633,354

4396,865

4302,025

Валовый продукт

4212,85

4635,2

3804,54

4585,94

4488,43

2) Проследить эффект распространения, вызванный увеличением спроса на продукцию тяжелой промышленности дополнительно на  6%, т.е. конечный продукт станет равным

.

В результате этого изменения эффект распространения будет заключаться в том, что новый вектор валового выпуска будет иметь вид

Для нахождения эффекта распространения привлечем уравнение для цен:

P = AT P + v, откуда P = (E – AT)-1v.

Обратная матрица Леонтьева (E – AT)-1ценовой матричный мультипликатор – матричный мультипликатор ценового эффекта распространения.

Этот мультипликатор эффекта распространения найдем с помощью пакета Excel, сначала транспонируя матрицу А, затем отнимая ее от единичной матрицы и находя обратную матрицу. Проводя эти вычисления, получим:

.

Этот результат в качестве промежуточного будет использован в следующем пункте при расчете равновесной цены.

3) Отношение vj = Vj/Xj – называют долей добавленной стоимости, а вектор v = (v1,…,vn) – вектор долей добавленной стоимости.

По условию задачи, вектор v = (0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547), тогда Vj = vj ∙ Xj. Для каждого значения индекса получаем:

V1 = v1 ∙ X1 = 0,5 ∙ 4212,85 = 2106,425.

И  так для остальных значений индекса.

Тогда V = (2106,425; 2396,398; 1898,465; 1582,149; 2455,171)

В матричном виде уравнение для цен будет иметь следующий вид

P = AT P + v.

Решая уравнение это относительно Р, получим

P = (E – AT)-1v.

По условию задачи, вектор v = (0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547).

Тогда, с помощью пакета Excel, найдем равновесные цены:

.

При этом эффект распространения, вызванный дополнительным ростом заработной платы в легкой промышленности на 5% (считая, что доли заработной платы в добавленной стоимости по отраслям соответственно равны 0,5, 0,517, 0,499, 0,345, 0,547) дается мультипликатором эффекта распространения:

.

Задание 2

Условие задания:

Имеются данные экономического развития США за 1953-1974 гг.

Год

Валовой национальный продукт, млрд. долл.

Объем загруженного капитала, млрд. долл

Количество отработанных часов, млрд. час.

1953

623,6

380,53

136,07

1954

616,1

354,20

131,12

1955

657,5

400,66

134,16

1956

671,6

415,15

136,04

1957

683,8

418,83

134,77

1958

680,9

384,87

130,44

1959

721,7

431,04

133,87

1960

737,2

435,65

134,99

1961

756,6

432,28

134,25

1962

800,3

471,65

137,36

1963

832,5

499,75

138,72

1964

876,4

535,09

141,00

1965

926,3

593,96

145,39

1966

984,4

644,26

150,88

1967

1011,4

647,58

152,67

1968

1058,1

628,43

155,51

1969

1087,6

711,58

159,20

1970

1085,6

628,06

156,49

1971

1122,4

696,74

155,85

1972

1185,9

770,96

159,56

1973

1255,0

850,63

165,41

1974

1248,0

848,39

165,51

Необходимо определить:

1.     Параметры А, a и b степенной производственной функции;

2.     Расчетные значения ВНП;

3.     Оценить точность полученной модели;

4.     Эластичность выпуска и производства;

5.     Для 1974 года построить изокванту и изоклинали.

Решение:

1. Определение параметров А, a и b степенной производственной функции проведем с помощью пакета Excel. Будем искать параметры производственной функции в виде , где , причем a и b положительные.

Для определения параметров модели сведем задачу к нахождению параметров линейной корреляционной модели, прологарифмировав обе части равенства :

.

Далее уменьшим количество неизвестных, учтя, что :

Таким образом, задача свелась к нахождению коэффициентов линейной корреляционной модели:

Для удобства введем обозначения:

; ; . Тогда модель будет выглядеть:

.

Для отыскания значений параметров а и Ь, при которых f(a,b) принимает минимальное значение, частные производные функции приравниваем нулю и преобразуем получаемые уравнения, которые называются нормальными уравнениями МНК для прямой:

 Нормальные уравнения МНК для прямой линии регрессии явля­ются системой двух уравнений с двумя неизвестными a и B. Все остальные величины, входящие в систему, определяются по расчетной информации из следующей таблицы.

Используя пакет Эксель, составим вспомогательную таблицу с применением соответствующего логарифмирования для вычисления коэффициентов этой модели:

Год

Z

X

Z*X

Z*Z

X*X

1953

6,44

5,94

38,24

41,42

35,30

1954

6,42

5,87

37,70

41,26

34,46

1955

6,49

5,99

38,89

42,10

35,92

1956

6,51

6,03

39,24

42,38

36,34

1957

6,53

6,04

39,41

42,61

36,45

1958

6,52

5,95

38,83

42,55

35,44

1959

6,58

6,07

39,93

43,32

36,80

1960

6,60

6,08

40,12

43,60

36,93

1961

6,63

6,07

40,23

43,94

36,83

1962

6,68

6,16

41,15

44,69

37,90

1963

6,72

6,21

41,79

45,22

38,62

1964

6,78

6,28

42,57

45,91

39,47

1965

6,83

6,39

43,63

46,67

40,79

1966

6,89

6,47

44,58

47,50

41,84

1967

6,92

6,47

44,79

47,87

41,90

1968

6,96

6,44

44,87

48,50

41,52

1969

6,99

6,57

45,92

48,88

43,13

1970

6,99

6,44

45,03

48,86

41,51

1971

7,02

6,55

45,98

49,33

42,86

1972

7,08

6,65

47,05

50,10

44,19

1973

7,13

6,75

48,13

50,91

45,51

1974

7,13

6,74

48,08

50,83

45,47

сумма

148,86

138,15

936,16

1008,44

869,16

среднее

6,77

6,28

42,55

45,84

39,51

Параметр b вычисляется по преобра­зованной формуле, которую можно вывести, решая систему нормаль­ных уравнений относительно b:

Подставим полученные значения из таблицы 3 в формулу и рассчитаем a и  b:

Искомая зависимость выглядит следующим образом:

Z = 6 + 0,07х.

Итак, a = 0.07; .

Тогда искомый вид производственной функции:

.

2. С помощью пакета Excel найдем расчетные значения ВНП:

Год

Валовой национальный продукт, млрд. долл.

Объем загруженного капитала, млрд. долл

Количество отработанных часов, млрд. час.

Расчет ВНП

отклонение расчета от факта

 1953

623,6

380,53

136,07

597,4321

26,168

1954

616,1

354,2

131,12

556,094

60,006

1955

657,5

400,66

134,16

629,0362

28,464

1956

671,6

415,15

136,04

651,7855

19,815

1957

683,8

418,83

134,77

657,5631

26,237

1958

680,9

384,87

130,44

604,2459

76,654

1959

721,7

431,04

133,87

676,7328

44,967

1960

737,2

435,65

134,99

683,9705

53,23

1961

756,6

432,28

134,25

678,6796

77,92

1962

800,3

471,65

137,36

740,4905

59,81

1963

832,5

499,75

138,72

784,6075

47,892

1964

876,4

535,09

141

840,0913

36,309

1965

926,3

593,96

145,39

932,5172

-6,217

1966

984,4

644,26

150,88

1011,4882

-27,09

1967

1011,4

647,58

152,67

1016,7006

-5,301

1968

1058,1

628,43

155,51

986,6351

71,465

1969

1087,6

711,58

159,2

1117,1806

-29,58

1970

1085,6

628,06

156,49

986,0542

99,546

1971

1122,4

696,74

155,85

1093,8818

28,518

1972

1185,9

770,96

159,56

1210,4072

-24,51

1973

1255

850,63

165,41

1335,4891

-80,49

1974

1248

848,39

165,51

1331,9723

-83,97

3. Оценим точность полученной модели, для этого выполним графическое представление результатов вычислений.

Как можно видеть из табличных значений и графического представления, расчетные значения, по крайней мере, повторяют тенденцию фактических значений с ошибкой порядка  ±7%.

4. Оценим эластичность производственной функции по объему загруженного капитала и количеству отработанных часов, т.е. эластичность функции  z  по переменной  х  и эластичность функции  z  по переменной  у.

В общем виде эластичность степенной производственной функции от двух переменных будет выглядеть следующим образом:

;

.

Для рассматриваемой функции:

.

.

Таким образом, ВНП пропорционален коэффициентам a и b, но не коэффициенту А.

5. Для 1974 года построим изокванту и изоклинали.

Графическое изображение функции представлено изоквантой. Она подобна кривой безразличия, только отличие состоит в том, что изокванта количественно определена. Объем выпуска, соответствующий конкретной изокванте может быть достигнут при различном сочетании капитала и труда.

Итак, для 1974 года уравнение для построения изокванты выглядит:

Отсюда ..

Изокванта выглядит:

Изоклиналь:

Изоклиналь: