Магазин торгует подержанными автомобилями. Статистика их потребительских цен накапливается в базе данных. В магазин пригоняют на продажу очередную партию небольших однотипных автомобилей. Как назначить их цену? Статистический подход позволяет дать прогноз среднего значения цены и доверительных интервалов для него.

Цена автомобиля зависит от множества факторов. К числу объясняющих переменных можно отнести, например, модель автомобиля, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем двигателя, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем производителя, количество цилиндров, время разгона до 100 км/час, пробег, потребление горючего, год выпуска и т.д. Первые из названных переменных очень важны при ценообразовании, но они – качественные. Традиционный регрессионный анализ, рассматриваемый в этом задании, предназначен для количественных данных. Поэтому, не претендуя на высокую точность, не будем включать их в эконометрическую модель. Сделаем выборку, например, только для автомобилей одной фирмы-производителя. Пусть, например, оказалось, что продано n= 16 таких автомобилей. Для упрощения выберем из базы данных цены y_i (i = 1......16) проданных автомобилей и только две объясняющие переменные: возраст х_i1 (i = 1, …..16) в годах и мощность двигателя х_i2 (i = 1, ….16) в лошадиных силах. Выборка представлена в таблице:

1. Построить поля рассеяния между ценой y и возрастом автомобиля х₁, между ценой y и мощностью автомобиля x₂. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости y от х₁ и y от х₂. Найти точечные оценки независимых параметров

а₀а₁ модели y = а₀ + а₁ х₁ + ε и

β₁β₂ модели y = β₀ + а₁ х₁ + δ

2. Проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также ценой и мощностью двигателя х₂. Для этого рассчитать коэффициенты парной корреляции r_yx1 и r_yx2 и проверить их отличие от нуля при уровне значимости α = 0,1.

3. Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации, F- и t- критериев при уровне значимости α = 0,05 и α = 0,10.

4. Проверить полученные результаты с помощью средств Microcoft Excel.

5. С помощью уравнений регрессии рассчитать доверительные интервалы для среднего значения цены, соответствующие доверительной вероятности 0,9. Изобразить графически поля рассеяния, линии регрессии и доверительные полосы.

На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст х₁ равен 3 года. Мощность двигателя х₂ = 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по моделям y = а₀ + а₁ х₁ + ε и y = β₀ + а₁ х₁ + δ с доверительной вероятностью 0,9.

Решение:

На основе поля рассеяния, построенного на основе табл. 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от возраста  автомобиля x₁ описывается линейной моделью вида

y = а₀ + а₁ х₁ + ε

где а₀ и а₁ – неизвестные постоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.

Рисунок 1 – Поле рассеяния «возраст автомобиля-цена»

Аналогично, на основе анализа поля рассеяния (рис. 2), также построенного на основе таблицы 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от мощности автомобиля x₂ описывается линейной моделью вида

y = β₀ + β₁ х₁ + δ

где β₀ и β₁ – неизвестные постоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.

Рисунок 2 – Поле рассеяния «мощность автомобиля-цена»

На основе табл. 1 исходных данных для вычисления оценок параметров моделей составляется вспомогательная табл. 1.1. Воспользуемся формулами и левой частью таблицы 1.1. для нахождения оценок а₀ и а₁.

Так как n = 16, получаем

= 145/16=9.0625

 = 84.0/16=5.25

 = 27.5625

= 365

 = 460

Следовательно,

а₁ =

а₀ = 9,0625- (-1,844) * 5.25 = 18,74

Таким образом,

Аналогично находятся оценки коэффициентов второй регрессионной модели y = β₀ + β₁ х₁ + δ. При этом используется правая часть таблицы

 = 1611/16=100,6875

 = 10137.97

= 153271,1

 = 167677

β₁ =

β ₀ = 9,0625- 0,0099 * 100.6875= 2.0355

Окончательно получаем:

Подставляем соответствующие значения в формулу:

r_yx =

r_yx1 = = 0,915

r_yx2 = = 0.8

В нашей задаче t_0.95;14 = 1,761

Для r_yx1 получаем

 = = 0,955 <1.761

Условие не выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции не значим, гипотеза отвергается, между переменными отсутствует линейная связь

 = = 4.98>1.761

Условие выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции значимый, гипотеза подтверждается, между переменными существует сильная линейная связь

Коэффициент парной корреляции r_yx связан с коэффициентом а₁ уравнения регрессии

 следующим образом

r_yx = a₁ S_x/S_y

где S_x, S_y – выборочные среднеквадратичные отклонения случайных переменных х и y соответственно, рассчитывающиеся по формулам:

S_x1 = √ S_x1²

S_x1² = 1/n ∑(x_i - )²

S_y = √ S_y²

S_y² = 1/n ∑(y_i - )²

r_yx1 = 0,915

r_yx2 = 0,8

R² = r_yx1² = 0,8372

Вариация на 83,72 % объясняется вариацией возраста автомобиля

R² = r_yx2² = 0,64

Вариация на 64 % объясняется вариацией мощности двигателя автомобиля

Рассчитаем фактическое значение F- статистики Фишера по формуле:

F=

F=         = 0,768 для зависимости y от х₁

F=             = 0,285для зависимости y от х₂

F_т = 4,6

Поэтому для зависимостей y от х₁  и y от х₂ выполняется неравенство

F_т <F_ф

гипотеза отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии используется t-критерий Стьюдента.

Для зависимости y от х₁:

 = √F = √0,768 = 0,876

Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а₁

Для зависимости y от х₂:

 = √F = √0,285 = 0,533

Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а₁

Проверка с помощью Microsoft Excel

Рассчитаем  доверительный интервал среднего значения цены для y = a₀ + a₁x₁/

: ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,

где у_в, у_н – соответственно верхняя и нижняя границы

доверительного  интервала;

ŷ(х₀) – точечный прогноз;

t_1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;

: ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,

t_a = 2,57

Доверительный интервал для уⁿ:

Нижняя граница интервала:

 = 18,74-1,844*5 = 9,52

Верхняя граница интервала:

 = 18,74-1,844*7 = 5,832

S_x1² = 1/n ∑(x_i - )² = 19/16 = 1,1875

S_x1 = 1,089

m_yx= S1,089*√1/16 + 1,5625/19 = 0,414

5,832 – 2,57*0,414 ≤ yⁿ ≤ 5,832 + 2,57*0,414

На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст x^p₁ = 3 года. Мощность двигателя x^p₂ = 165 л.с.

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по первой парной регрессионной модели

y = β₀ + β₁ х₁ + δ

Подставляем x^p₁ в уравнение регрессии:

 Получим точечный интервальный прогноз среднего цены.

 (x^p₁) = 18,74 – 1,844*3 = 13,208 тыс. у.е.

Подставляем точечный интервальный прогноз среднего цены (x^p₁) = 12,3 тыс. и x^p₁ = 3 года в уравнения границ доверительного интервала регрессии. Получим интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,9

ŷв.н. = 13,208±2,57*0,414 или ŷн = 12,14 тыс. у.е.,

 ŷв = 14,27 тыс. у.е.

Задача 2

Найти по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов множественной регрессионной модели

y = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ +ε

Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации и F-критерия. Пояснить их содержательный смысл.

Проверить полученные в заданиях результаты с помощью средств Microcoft Excel.

Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по множественной модели y = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ +ε с доверительной вероятностью 0,9. Как в задаче 1, возраст поступивших автомобилей х₁ = 3 года, мощность двигателя х₂ = 165 л.с.

На основе полученных в задачах 1-2 статистических характеристик провести содержательную интерпретацию зависимости цены автомобиля от возраста и мощности двигателя.

Сумма произведений ∑х₁х₂ равна: 8175

Х^ТХ =              Х^ТY =

Найдем матрицу (Х^т Х), обратную матрице Х^ТХ.

Для этого сначала вычислим определитель.

Х^ТХ = 16*460*167667+1611*84*8175+1611*84*8175-1611*460*1611-84*84*167677-16*8175*8175 = 1234102720+1106273700+1106273700-1193847660-1183128912-1069290000 = 383548

Определим матрицу алгебраических дополнений

Задача 3

В таблице представлены ежегодные данные объема продаж автомагазина. Построить график во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии тренда. Оценить неизвестные параметры линейной трендовой модели z = а₀ а₁t +ε с методом наименьших квадратов.

Таблица 2

Ежегодные объемы продаж

Для найденного уравнения тренда построить доверительную полосу при уровне доверия 0,9. Изобразить графически точечный и интервальный прогноз среднего объема продаж.

В таблице 3 объемы продаж z_t в тыс. у.е. детализированы по месяцам. Построить график объема продаж во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии линейного тренда и сезонных колебаний объема продаж:

z_{1 =} а₀ а₁t + а₂cos (2πt/12) + а₃sin (2πt/12) + ε_t

Оценить параметры этой модели методом наименьших квадратов.

По уравнению трендово-сезонной модели найти точечный прогноз среднего объема продаж на 12 месяцев и интервальный прогноз среднего объема продаж на 1 месяц вперед при доверительной вероятности 0,9.

Ежемесячные объемы продаж

∑t = ½*12 (12+1) = 78

∑t² = 1/6 *12 (12+1) (24+1)= 650

а₀ = 515294/1716=283,61

а₁ == 22716/1716=15,804

Следовательно, уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид:

y= 283,61+15,84t

Доверительный интервал для линейного тренда находится по формуле:

ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,

где у_в, у_н – соответственно верхняя и нижняя границы

доверительного  интервала;

ŷ(х₀) – точечный прогноз;

t_1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;

ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,

t_a = 2,35

Доверительный интервал для уⁿ:

Нижняя граница интервала:

y= 300.29+13.24t = 300,29+13,24*293 = 4179,61

Верхняя граница интервала:

y= 300.29+13.24t  = 300,29+13,24*488= 6761,41

S_x1² = 1/n ∑(x_i - )² = 51804,7/12 = 4317,06

S_x1 = 65,704

zср = 386.33

m_yx= S65,704*√1/12+ 24624/51804,7 =        36,71

65,704 – 2,35*36,71 ≤ yⁿ ≤ 65,704 + 2,35*36,71

Точечный прогноз среднего значения продаж по линейному тренду находится следующим образом:

ŷв.н. = 283,61+15,84*13 = 489,53

Окончательно получаем интервальный прогноз продаж

ŷв.н. = 489,5 ±2,353*36,71

Или ŷв= 489,5 ±2,353*36,71 = 575,89

Или ŷн= 489,5 ±2,353*36,71 = 403,12

Задача 4

Для регрессионных моделей:

y = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ +ε

z_{1 =} а₀ а₁t + а₂cos (2πt/12) + а₃sin (2πt/12) + ε_t

проверить наличие или отсутствие автокорреляции, используя критерий Дарбина-Уотсона при уровне значимости α = 0,05.

Для регрессионной модели y = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ +ε

Проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя критерии xи-квадрат (χ²) при уровне значимости α = 0,05.

Проверим, имеет ли место автокорреляция ошибок этой модели. Найдем значения числителя и знаменателя в формуле:

Список литературы