Постановка задачи

Статистический анализ  выборочной совокупности

          1. Выявить наличие среди исходных данных резко выделяющихся значений признаков («выбросов» данных) с целью исключения из выборки аномальных единиц наблюдения.

          В результате визуального анализа диаграммы рассеяния признаков единиц изучаемой совокупности (рисунок 1 «Рабочего файла») выявлены следующие аномальные единицы наблюдения, представленные в таблице 2 «Рабочего файла»:

Рисунок 1

Точечная диаграмма  рассеяния признаков изучаемой совокупности

Приведенные в таблице 2 аномальные единицы наблюдения удалены из изучаемой совокупности. Корреляционное поле имеет вид:

Рисунок 2

Точечная диаграмма  рассеяния признаков изучаемой совокупности

          После исключения аномальных единиц наблюдения из изучаемой совокупности исходные данные принимают вид, представленный в таблице 1А «Рабочего файла»:

          2. Рассчитать обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам: среднюю арифметическую (), моду (Мо), медиану (Ме), размах вариации (R), дисперсию (), средние отклонения – линейное () и квадратическое (σn), коэффициент вариации (Vσ), структурный коэффициент асимметрии  К.Пирсона (Asп).

          Обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам в результате расчетов представлены в таблице 3 и в таблице 5 «Рабочего файла»:

            На основе этих таблиц сформируем единую таблицу значений выборочных показателей (таблица 8):

          3. На основе рассчитанных показателей в предположении, что распределения единиц по обоим признакам близки к нормальному, оценить:

         а) степень колеблемости значений признаков совокупности

Степень колеблемости значений признаков совокупности оценивается по величине коэффициента вариации : если  < - колеблемость незначительная; если 40%< - колеблемость средняя (умеренная); если >60% - колеблемость значительная.

Коэффициент вариации для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов составляет 17,097%, что свидетельствует о незначительной колеблемости значений признаков изучаемой совокупности. Коэффициент вариации для признака Выпуск продукции составляет 21,750% , что свидетельствует о незначительной колеблемости значений признаков изучаемой совокупности.

         б) степень однородности совокупности по изучаемым признакам

         Для нормальных и близких к нормальному распределений коэффициент вариации  служит индикатором однородности совокупности. Принято считать, что при выполнимости неравенства , совокупность является количественно однородной по данному признаку.

Коэффициент вариации для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов составляет 17,097%, что свидетельствует о количественной однородности изучаемой совокупности. Коэффициент вариации для признака Выпуск продукции составляет 21,750% , что свидетельствует о количественной однородности изучаемой совокупности.

         в) устойчивость индивидуальных значений признаков

         Вывод об устойчивости индивидуальных значений признака позволяет сделать сопоставление средних отклонений – квадратического  и линейного .

В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределений между показателями  и  имеют место равенства: , . Поэтому отношение показателей  и  может служить индикатором устойчивости данных: если >0,8, то значения признака неустойчивы, в них имеются аномальные выбросы.

Следовательно, несмотря на визуальное обнаружение и исключение нетипичных единиц наблюдений, некоторые аномалии в исходных данных продолжают сохраняться. В этом случае их следует выявить и рассматривать в качестве возможных «кандидатов» на исключение из выборки.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов = (0,791<0,8), что свидетельствует об устойчивости индивидуальных значений признака изучаемой совокупности и об отсутствии некоторых аномалий в исходных данных, которые следует рассматривать в качестве возможных «кандидатов» на исключение из выборки. Для признака Выпуск продукции =  (0,757<0,8), что свидетельствует об устойчивости индивидуальных значений признака изучаемой совокупности и об отсутствии некоторых аномалий в исходных данных, которые следует рассматривать в качестве возможных «кандидатов» на исключение из выборки.

         г) количество попаданий индивидуальных значений признаков в диапазоны (), (), ()

         По значениям показателей и  можно определить границы диапазонов рассеяния значений признака относительно средней , т.е. установить, какая доля значений признака попадет в тот или иной диапазон отклонений от .

В нормально распределенных и близких к ним рядах вероятностные оценки диапазонов рассеяния значений признака таковы:

68,3% значений признака войдет в диапазон ();

95,4% значений признака попадет в диапазон ();              (*)

99,7% значений признака появится в диапазоне ().

Соотношение (*) известно как правило «трех сигм».

Распределение значений признака по диапазонам рассеяния  приведем в таблице 9:

Таблица 9

Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно

На основе данных таблицы 9 определим процентное соотношение рассеяния значений признака по трем диапазонам и полученные данные отразим в таблице 9А:

  Таблица 9А

Процентное соотношение рассеяния значений признака по диапазонам

Следовательно,

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов вероятностные оценки диапазонов рассеяния значений признака таковы:

66,67% значений признака войдет в диапазон (1264-1796);

93,33% значений признака попадет в диапазон (998-2062);

100% значений признака появится в диапазоне (732-2328).

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов ожидаемые оценки диапазонов рассеяния значений признака по правилу «трех сигм» таковы:

68,3% значений признака войдет в диапазон (1264-1796);

95,4% значений признака попадет в диапазон (998-2062);

99,7% значений признака появится в диапазоне (732-2328).

Для признака Выпуск продукции вероятностные оценки диапазонов рассеяния значений признака таковы:

63,33% значений признака войдет в диапазон (1117-1752);

93,33% значений признака попадет в диапазон (800-2070);

100% значений признака появится в диапазоне (483-2387).

Для признака Выпуск продукции ожидаемые оценки диапазонов рассеяния значений признака по правилу «трех сигм» таковы:

68,3% значений признака войдет в диапазон (1117-1752);

95,4% значений признака попадет в диапазон (800-2070);

99,7% значений признака появится в диапазоне (483-2387).

Сопоставляя вероятностные оценки диапазонов рассеяния значений признака и ожидаемые оценки диапазонов рассеяния значений признака по правилу «трех сигм» для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов можно сделать вывод о том, что распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно близко к нормальному.

Сопоставляя вероятностные оценки диапазонов рассеяния значений признака и ожидаемые оценки диапазонов рассеяния значений признака по правилу «трех сигм» для признака Выпуск продукции можно сделать вывод о том, что распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно близко к нормальному.

          4. Дать сравнительную характеристику распределений единиц совокупности по двум изучаемым признакам на основе анализа:

а) вариации признаков

Коэффициент вариации для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов меньше, чем коэффициент вариации для признака Выпуск продукции, так как 17,097%<21,750% (<). Следовательно, степень колеблемости признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов меньше, чем степень колеблемости признака Выпуск продукции.

б) количественной однородности единиц

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов изучаемая совокупность количественно однородна, так как 17,097%≤33% (). Для признака Выпуск продукции изучаемая совокупность количественно однородна, так как 21,750%≤33% (). Следовательно, изучаемая совокупность признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов более количественно однородна, чем изучаемая совокупность признака Выпуск продукции ().

в) надежности (типичности) средних значений признаков

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов средняя арифметическая величина  является надежной характеристикой, так как 17,097%≤40% (). Для признака Выпуск продукции средняя арифметическая величина  является надежной характеристикой, так как 21,750%≤40% (). Следовательно, средняя арифметическая величина  для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов является более надежной характеристикой, чем средняя арифметическая величина  для признака Выпуск продукции ().

г) симметричности распределений в центральной части ряда

Для оценки асимметричности распределения значений признака в центральном диапазоне () служит коэффициент К.Пирсона (). При правосторонней асимметрии >0, при левосторонней асимметрии <0. Если =0, то имеет место симметричность распределений в центральной части ряда.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов <0 (= -0,21025237), следовательно, имеет место левосторонняя асимметрия распределения значений признака в центральной части. Для признака Выпуск продукции >0 (= 0,015275091), следовательно, имеет место правосторонняя асимметрия распределения значений признака в центральной части.

          5. Построить интервальный вариационный ряд и гистограмму распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и установить характер (тип) этого распределения. Рассчитать моду (Мо) полученного интервального ряда и сравнить ее с показателем Мо несгруппированного ряда данных.

          Интервальный вариационный ряд представлен в таблице 7 «Рабочего файла»:

Гистограмма распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов представлена на рисунке 3 «Рабочего файла»:

 Рисунок 3

Гистограмма распределения предприятий по стоимости основных производственных фондов

При анализе формы гистограммы прежде всего следует оценить распределение вариантов значений признака по интервалам (группам). Если на гистограмме четко прослеживаются два-три «горба» частот вариантов, это говорит о том, что значения признака концентрируются сразу в нескольких интервалах, и, следовательно, распределение не является однородным. Если гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания полагать, что выборка является однородной по данному признаку.

 В результате визуального анализа гистограммы приходим к выводу о том, что гистограмма распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов имеет одновершинную форму, и, следовательно, есть основания полагать, что выборка является однородной по данному признаку.

Нормальное распределение является симметричным, если для него выполняется соотношение: .

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов соотношение   не выполняется, так как . Нарушение этого соотношения свидетельствует о наличии асимметрии распределения.

Для оценки асимметричности распределения значений признака служит коэффициент К.Пирсона (). При правосторонней асимметрии >0, при левосторонней асимметрии <0. Правосторонняя асимметрия означает, что в распределении чаще встречаются более высокие значения признака. Левосторонняя асимметрия означает, что в распределении чаще встречаются более низкие значения признака.

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов <0 (= -0,21025237), следовательно, имеет место левосторонняя асимметрия распределения значений признака. Левосторонняя асимметрия означает, что в распределении чаще встречаются более низкие значения признака.

          Рассчитаем моду (Мо) полученного интервального ряда и сравним ее с показателем Мо несгруппированного ряда данных.

          Для полученного интервального ряда значение моды (Мо) рассчитывается по формуле: , где

- нижняя граница модального интервала; - величина модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.

          Для несгруппированного ряда данных значение моды (Мо) равное 1585 млн. руб. отражено в таблице 3 «Рабочего файла»:

          Расхождение между значениями моды объясняется тем, что для интервального ряда значение моды рассчитывалось по средним значениям, а для несгруппированного ряда – по фактическим значениям.