ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-КОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ

                                           ВАРИАНТ 7

                                                        

Оглавление

Задание 1. 2

Задача 2. 6

Задача 3. 10

Задание 1

Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей – Х и У. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч. В неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-час, а для производства одной детали типа У – 2 чел.-час. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа У в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существует также профессиональное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ден.ед., а от производства одной детали типа У – 40 ден.ед.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на минимум и почему?

Решение

Пусть:

х1 – количество  производимых деталей Х

х2 – количество производимых деталей У

Целевая функция:

max z = 30 ∙ x + 40 ∙ у

Необходимо максимизировать общий доход завода

Ограничения:

х + 2∙ у ≤ 4000

Фонд рабочего времени в неделю ограничен 4000 часами

х ≤ 2250

у ≤ 1750

Ограничение по производственной мощности завода (может производить максимум 2250 ед. деталей Х и 1750 деталей У в неделю)

2 ∙ х + 5 ∙ у ≤ 10 000

Уровень запасов стержней ограничен 10 000 ед.

5 ∙ х + с ∙ у ≤ 10 000

Уровень запасов листов ограничен10 000 ед.

х ≥ 600

Ограничение по количеству деталей Х (необходимо минимум 600 ед. в неделю)

x + y ≥ 1500

Ограничение по количеству деталей, производимых на заводе (необходимо минимум 1500 ед. в неделю)

x; у ≥ 0

Количество потребляемых кормов не может быть отрицательным

Решим задачу графически.

Рисунок 1.  Графическое решение задачи

Область решения задачи ограничена кривыми ограничений целевой функции и представлена на графике штриховкой.

Направление роста целевой функции показывает градиент этой функции.

Исходя из графика, максимальное значение функции z будет при пересечении графиков х + 2у = 4000 и 5х + 2у = 10000. Решив систему уравнений получим х = 1500 у = 1250

Таким образом, максимально возможная прибыль составляет

z = 30 ∙ 1500 + 40 ∙ 1250 = 95000 ден.ед.

Минимальная выручка будет в точке х = 1500 у = 0 и составит

zmin = 30 ∙ 1500 = 45000 ден.ед.

Задача 2

Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип оборудования

Нормы расхода ресурса на одно изделия

Фонд рабочего времени, ч.

А

Б

В

Г

Токарное

2

1

1

3

300

Фрезерное

1

2

1

70

Шлифовальное

1

2

1

0

340

Цена изделия

8

3

2

1

Требуется

1.  Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2.  Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3.  Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.  На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

·          проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

·          определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;

·          оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 единицы соответственно.

Решение

Пусть x1 – количество производимой продукции А;

x2 – количество производимой продукции Б;

x3 – количество производимой продукции В;

x4 – количество производимой продукции Г.

Max f(x) = 8 ∙ x1 + 3 ∙ x2 + 2 ∙ x3 + 1 ∙ x

2 ∙ x1 +  x2 +  x3 + 3 ∙ x≤ 300

x1 + 2 ∙ x3 + x≤ 70

x1 + 2 ∙ x2 + x3  ≤ 340

xi ≥0

Решим задачу, используя пакет анализа «Поиск решения»

Таким образом, функция достигает максимального значения при

x1 =70

x2 = 135

x3 = 0

x4 = 0

max f(x) = 965

Двойственная задача имеет вид:

Min f(y) = 30 ∙ y1 + 70 ∙ y2 + 340 ∙ y3

2 ∙ y1 + y2 + y3 ≥ 8

y1 + 2 ∙ y3 ≥ 3

y1 + 2 ∙ y2 + y3 ≥ 2

3 ∙ y1 + y2 ≥ 1

yi ≥0 , i = {1, .. 3}

Найдем значения двойственных переменных, используя теоремы двойственности.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом:

у1 :

2 ∙ 70 +  135 +  0 + 3 ∙ 0  = 275 ≤ 300

у2 :

70 + 2 ∙ 0 + 0  = 70

у3 :

70 + 2 ∙ 135 + 0  = 340

Так как первое ограничение выполняется как строгое неравенство, то

у1 = 0.

Учитывая, что x1 ≥ 0 ;  x2 ≥ 0, то значения остальных двойственных переменных найдем из 1 и 2-го уравнений системы неравенств. То есть

2 ∙ y1 + y2 + y3 = 8        (1)

y1 + 2 ∙ y3 = 3                (2)

Решая систему из уравнений (1) и (2) получим:

у1 = 0;

у3 = 1,5;

у2 = 8 – 0 – 1,5 = 6,5.

Рассчитаем значение целевой функции двойственной задачи

Min f(y) = 30 ∙ 0 + 70 ∙ 6,5 + 340 ∙ 1,5

Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности. В нашей задаче это изделие В и Г. Подтвердим этот факт, подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y.

2 ∙ 0 + 6,5 + 1,5 = 8

0 + 2 ∙ 1,5 = 3

0 + 2 ∙ 6,5 + 1,5 = 14,5 ≥ 2

3 ∙ 0 + 6,5= 6,5 ≥ 1

На основе двойственных оценок и теорем двойственности:

а)       Поясним использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.

В оптимальном плане не полностью используется сырье 1, т.к. у1 = 0

Сырье 2 и 3 – дефицитное, т.к. их двойственные оценки отличны от нуля.

б)       При увеличении фонда рабочего времени шлифовального оборудования на 24 часа будет возможность получить дополнительную выручку в размере  24 ∙ у3 = 24 ∙ 1,5 = 36 ден. ед.

в) оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2, 2 единицы.

8 ∙ y1 + 2 ∙ y2 + 2 ∙ y3 – ц < 0 – неравенство целесообразности  включения в план нового изделия

8 ∙ 0 + 2 ∙ 6,5 + 2 ∙ 1,5 – 11 = 5 > 0 à нецелесообразно.

Задача 3

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.

Линейная модель имеет вид: Yr(t) = a0 + a1 ∙ t.

Параметры модели оценим с помощью МНК:

a1 = ∑ (xi – xcr) ∙ (yi – ycr) / ∑ (xi – xcr)2

a0 = ycr – a1 ∙  xcr

Составим разработочную таблицу:

х

у

(yi – ycr)

(xi – xcr)

(xi – xcr)2

(xi – xcr) ∙ (yi – ycr)

1

20

-22,333

-4

16

89,333

2

27

-15,333

-3

9

46,000

3

30

-12,333

-2

4

24,667

4

41

-1,333

-1

1

1,333

5

45

2,667

0

0

0,000

6

51

8,667

1

1

8,667

7

51

8,667

2

4

17,333

8

55

12,667

3

9

38,000

9

61

18,667

4

16

74,667

Сумма

45

381

0,000

0

60

300,000

Среднее

5

42,333333

0,000

0

6,667

33,333

Отсюда

a1 = 300 / 60 = 5

a0 = 42,33 – 5 ∙ 5 = 17,33

Таким образом, линейная модель имеет вид:

Yr(t) = 17,33 + 5  ∙ t

Построим адаптивную модель Брауна 1

По первым пяти точкам ряда оцениваем значения а1 и а0 параметров модели с помощью МНК

х

у

уi - ycr

xi - xcr

(xi - xcr)2

(xi-xcr)∙(yi-ycr)

1

20

-12,600

-2

4

25,200

2

27

-5,600

-1

1

5,600

3

30

-2,600

0

0

0,000

4

41

8,400

1

1

8,400

5

45

12,400

2

4

24,800

Сумма

15

163

0

0

10

64

Среднее

3

32,6

0

0

2

12,8

Получаем

a1 = 64 / 10 = 6,4

a0 = 32,6 – 6,4 ∙ 3 = 13,4

которые соответствуют моменту времени t=0

Прогноз на первый шаг у1расч = а0(0) + а1(0) = 6,4 + 13,4 = 19,8

Величина отклонения: е = 20 – 19,8 = 0,2

Корректируем параметры (α = 0,4; β = 0,6)

a0(t) = a0(t-1) + a1(t-1) + (1 – β2) ε (t) = 13,4 + 6,4 + (1 – 0,62) ∙ 0,2) = 19.928

a1(t) = a1(t-1) + (1 – β) 2 ε (t) = 6.4 + (1 – 0,6) 2 ∙ 0,2 = 6.432

Далее расчеты производятся аналогично.

t

y

a0

a1

yr

ε

0

13,400

6,400

1

20

19,928

6,432

19,800

0,200

2

27

26,770

6,534

26,360

0,640

3

30

31,189

6,006

33,304

-3,304

4

41

39,630

6,615

37,195

3,805

5

45

45,448

6,415

46,245

-1,245

6

51

51,311

6,277

51,863

-0,863

7

51

53,372

5,223

57,588

-6,588

8

55

56,294

4,648

58,595

-3,595

9

61

60,979

4,657

60,942

0,058

Построим адаптивную модель Брауна 2

Производятся аналогичные расчеты для α = 0,7; β = 0,3

t

y

a0

a1

yr

ε

0

13,400

6,400

1

20

19,982

6,498

19,800

0,200

2

27

26,953

6,753

26,480

0,520

3

30

30,334

4,937

33,706

-3,706

4

41

40,484

7,744

35,270

5,730

5

45

45,291

6,162

48,229

-3,229

6

51

51,041

5,940

51,453

-0,453

7

51

51,538

3,010

56,981

-5,981

8

55

54,959

3,231

54,548

0,452

9

61

60,747

4,608

58,190

2,810

Графики построенных моделей представлены на рисунке:

Рисунок 2 Временной ряд и построенные модели

Проведем качества каждой из моделей.

Линейная модель

х

у

yr

ε

ε 2

yi-ycr

(yi-ycr)2

ε / y

Точки поворота

1

20

22,333

-2,333

5,444

-22,333

498,778

11,667

2

27

27,333

-0,333

0,111

-15,333

235,111

1,235

+

3

30

32,333

-2,333

5,444

-12,333

152,111

7,778

+

4

41

37,333

3,667

13,444

-1,333

1,778

8,943

+

5

45

42,333

2,667

7,111

2,667

7,111

5,926

+

6

51

47,333

3,667

13,444

8,667

75,111

7,190

+

7

51

52,333

-1,333

1,778

8,667

75,111

2,614

8

55

57,333

-2,333

5,444

12,667

160,444

4,242

+

9

61

62,333

-1,333

1,778

18,667

348,444

2,186

Итого

381

54,000

1554,000

51,780

Среднее

42,333

2,565

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

Р > 3,118

Учитывая, что неравенство выполняется, то есть 6 > 3,1 – модель адекватна

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Коэффициент детерминации:

Значение коэффициента F–критерия Фишера:

Табличное значение коэффициента F–критерия Фишера равно 5,14 и  поскольку Fрас>Fтаб, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Проверим соответствие ряда остатков нормальному распределению по RS-критерию.

Учитывая, что полученное значение RS критерия попадает в интервал от 2,7 до 3,7, то уровни ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Еотн = 5,75 < 7, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Модель Брауна 1:

х

у

yr

ε

ε 2

yi-ycr

(yi-ycr)2

ε / y

Точки поворота

1

43

19,928

0,072

0,005

-22,333

498,778

0,360

2

47

26,770

0,230

0,053

-15,333

235,111

0,853

+

3

50

31,189

-1,189

1,415

-12,333

152,111

3,965

+

4

48

39,630

1,370

1,876

-1,333

1,778

3,341

+

5

54

45,448

-0,448

0,201

2,667

7,111

0,996

+

6

57

51,311

-0,311

0,097

8,667

75,111

0,610

+

7

61

53,372

-2,372

5,625

8,667

75,111

4,650

+

8

59

56,294

-1,294

1,675

12,667

160,444

2,353

9

65

60,979

0,021

0,000

18,667

348,444

0,034

Итого

381

10,947

1554,00

17,162

6

Среднее

42,333

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

Р> 3,118

Учитывая, что неравенство выполняется, то есть 6 > 3 – модель адекватна

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Коэффициент детерминации:

Значение коэффициента F–критерия Фишера:

Табличное значение коэффициента F–критерия Фишера равно 5,14 и  поскольку Fрас>Fтаб, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Проверим соответствие ряда остатков нормальному распределению по RS-критерию.

Учитывая, что полученное значение RS критерия не попадает в интервал от 2,7 до 3,7, то уровни ряда остатков не подчиняются нормальному закону распределения.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Еотн = 1,907 < 7, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Модель Брауна 2:

х

у

yr

ε

ε 2

yi-ycr

(yi-ycr)2

ε / y

Точки поворота

1

43

19,800

0,200

0,040

-22,333

498,778

1,000

2

47

26,480

0,520

0,270

-15,333

235,111

1,926

+

3

50

33,706

-3,706

13,734

-12,333

152,111

12,353

+

4

48

35,270

5,730

32,828

-1,333

1,778

13,975

+

5

54

48,229

-3,229

10,425

2,667

7,111

7,175

+

6

57

51,453

-0,453

0,205

8,667

75,111

0,888

+

7

61

56,981

-5,981

35,774

8,667

75,111

11,728

+

8

59

54,548

0,452

0,204

12,667

160,444

0,822

9

65

58,190

2,810

7,894

18,667

348,444

4,606

Итого

381

101,375

1554,000

54,472

6

Среднее

42,333

1,000

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

Р> 3,118

Учитывая, что неравенство выполняется, то есть 6 > 3 – модель адекватна

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Коэффициент детерминации:

Значение коэффициента F–критерия Фишера:

Табличное значение коэффициента F–критерия Фишера равно 5,14 и  поскольку Fрас>Fтаб, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Проверим соответствие ряда остатков нормальному распределению по RS-критерию.

Учитывая, что полученное значение RS критерия не попадает в интервал от 2,7 до 3,7, то уровни ряда остатков не подчиняются нормальному закону распределения.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Еотн = 6,05 < 7, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Таким образом можно сделать вывод об адекватности Линейной модели и Модели Брауна 1.

Наиболее точна модель Брауна 1.

Построим прогноз спроса на следующие две недели на основе построенных моделей.

Линейная модель:

При вероятности 0,7 tα = 1,119

1)    При t=10

t(10)= 17,33 + 5  ∙ 10 = 67,33

Или от 63,74 до 70,92.

2)    При t=11

t(10)= 17,33 + 5  ∙ 11 = 72,33

Или от 68,53 до 76,13.

 

Модель Брауна 1:

1)    При t=10

у (10)= а0(9) + а1(9) ∙ 1 = 60,979 + 4,657 ∙ 1 = 65,636

2)    При t=11

у (11)= а0(9) + а1(9) ∙ 2 = 60,979 + 4,657 ∙ 2 = 70,293

Модель Брауна 2:

3)    При t=10

у (10)= а0(9) + а1(9) ∙ 1 = 60,747 + 4,608 ∙ 1 = 65,355

4)    При t=11

у (10)= а0(9) + а1(9) ∙ 1 = 60,747 + 4,608 ∙ 2 = 69,963

Рисунок 2 Прогноз временного ряда по построенным моделям