ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-КОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ

ВАРИАНТ 7

Оглавление

Задание 1. 2

Задача 2. 6

Задача 3. 10

Задание 1

Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей – Х и У. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч. В неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-час, а для производства одной детали типа У – 2 чел.-час. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа У в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существует также профессиональное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ден.ед., а от производства одной детали типа У – 40 ден.ед.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на минимум и почему?

Решение

Пусть:

х₁ – количество производимых деталей Х

х₂ – количество производимых деталей У

Целевая функция:
max z = 30 ∙ x + 40 ∙ у	Необходимо максимизировать общий доход завода
Ограничения:
х + 2∙ у ≤ 4000	Фонд рабочего времени в неделю ограничен 4000 часами
х ≤ 2250 у ≤ 1750	Ограничение по производственной мощности завода (может производить максимум 2250 ед. деталей Х и 1750 деталей У в неделю)
2 ∙ х + 5 ∙ у ≤ 10 000	Уровень запасов стержней ограничен 10 000 ед.
5 ∙ х + с ∙ у ≤ 10 000	Уровень запасов листов ограничен10 000 ед.
х ≥ 600	Ограничение по количеству деталей Х (необходимо минимум 600 ед. в неделю)
x + y ≥ 1500	Ограничение по количеству деталей, производимых на заводе (необходимо минимум 1500 ед. в неделю)
x; у ≥ 0	Количество потребляемых кормов не может быть отрицательным

Решим задачу графически.

Рисунок 1. Графическое решение задачи

Область решения задачи ограничена кривыми ограничений целевой функции и представлена на графике штриховкой.

Направление роста целевой функции показывает градиент этой функции.

Исходя из графика, максимальное значение функции z будет при пересечении графиков х + 2у = 4000 и 5х + 2у = 10000. Решив систему уравнений получим х = 1500 у = 1250

Таким образом, максимально возможная прибыль составляет

z = 30 ∙ 1500 + 40 ∙ 1250 = 95000 ден.ед.

Минимальная выручка будет в точке х = 1500 у = 0 и составит

z_min = 30 ∙ 1500 = 45000 ден.ед.

Задача 2

Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип оборудования	Нормы расхода ресурса на одно изделия	Фонд рабочего времени, ч.
А	Б	В	Г
Токарное	2	1	1	3	300
Фрезерное	1		2	1	70
Шлифовальное	1	2	1	0	340
Цена изделия	8	3	2	1

Требуется

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

· проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

· определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;

· оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 единицы соответственно.

Решение

Пусть x₁ – количество производимой продукции А;

x₂ – количество производимой продукции Б;

x₃ – количество производимой продукции В;

x₄ – количество производимой продукции Г.

Max f(x) = 8 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 2 ∙ x₃ + 1 ∙ x₄

2 ∙ x₁ + x₂ + x₃ + 3 ∙ x₄≤ 300

x₁ + 2 ∙ x₃ + x₄≤ 70

x₁ + 2 ∙ x₂ + x₃ ≤ 340

xi ≥0

Решим задачу, используя пакет анализа «Поиск решения»

Таким образом, функция достигает максимального значения при

x₁ =70

x₂ = 135

x₃ = 0

x₄ = 0

max f(x) = 965

Двойственная задача имеет вид:

Min f(y) = 30 ∙ y₁ + 70 ∙ y₂ + 340 ∙ y₃

2 ∙ y₁ + y₂ + y₃ ≥ 8

y₁ + 2 ∙ y₃ ≥ 3

y₁ + 2 ∙ y₂ + y₃ ≥ 2

3 ∙ y₁ + y₂ ≥ 1

y_i ≥0 , i = {1, .. 3}

Найдем значения двойственных переменных, используя теоремы двойственности.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом:

у₁:	2 ∙ 70 + 135 + 0 + 3 ∙ 0= 275 ≤ 300
у₂:	70 + 2 ∙ 0 + 0= 70
у₃:	70 + 2 ∙ 135 + 0 = 340

Так как первое ограничение выполняется как строгое неравенство, то

у₁ = 0.

Учитывая, что x₁≥ 0 ; x₂ ≥ 0, то значения остальных двойственных переменных найдем из 1 и 2-го уравнений системы неравенств. То есть

2 ∙ y₁ + y₂ + y₃ = 8 (1)

y₁ + 2 ∙ y₃ = 3 (2)

Решая систему из уравнений (1) и (2) получим:

у₁ = 0;

у₃ = 1,5;

у₂ = 8 – 0 – 1,5 = 6,5.

Рассчитаем значение целевой функции двойственной задачи

Min f(y) = 30 ∙ 0 + 70 ∙ 6,5 + 340 ∙ 1,5

Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности. В нашей задаче это изделие В и Г. Подтвердим этот факт, подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y.

2 ∙ 0 + 6,5 + 1,5 = 8

0 + 2 ∙ 1,5 = 3

0 + 2 ∙ 6,5 + 1,5 = 14,5 ≥ 2

3 ∙ 0 + 6,5= 6,5 ≥ 1

На основе двойственных оценок и теорем двойственности:

а) Поясним использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.

В оптимальном плане не полностью используется сырье 1, т.к. у₁ = 0

Сырье 2 и 3 – дефицитное, т.к. их двойственные оценки отличны от нуля.

б) При увеличении фонда рабочего времени шлифовального оборудования на 24 часа будет возможность получить дополнительную выручку в размере 24 ∙ у₃ = 24 ∙ 1,5 = 36 ден. ед.

в) оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2, 2 единицы.

8 ∙ y₁ + 2 ∙ y₂ + 2 ∙ y₃ – ц < 0 – неравенство целесообразности включения в план нового изделия

8 ∙ 0 + 2 ∙ 6,5 + 2 ∙ 1,5 – 11 = 5 > 0 à нецелесообразно.

Задача 3

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.

Линейная модель имеет вид: Y_r(t) = a₀ + a₁ ∙ t.

Параметры модели оценим с помощью МНК:

a₁ = ∑ (x_i – x_cr) ∙ (y_i – y_cr) / ∑ (x_i – x_cr)²

a₀ = y_cr – a₁ ∙ x_cr

Составим разработочную таблицу:

	х	у	(y_i – y_cr)	(x_i – x_cr)	(x_i – x_cr)²	(x_i – x_cr) ∙ (y_i – y_cr)
	1	20	-22,333	-4	16	89,333
	2	27	-15,333	-3	9	46,000
	3	30	-12,333	-2	4	24,667
	4	41	-1,333	-1	1	1,333
	5	45	2,667	0	0	0,000
	6	51	8,667	1	1	8,667
	7	51	8,667	2	4	17,333
	8	55	12,667	3	9	38,000
	9	61	18,667	4	16	74,667
Сумма	45	381	0,000	0	60	300,000
Среднее	5	42,333333	0,000	0	6,667	33,333

Отсюда

a₁ = 300 / 60 = 5

a₀ = 42,33 – 5 ∙ 5 = 17,33

Таким образом, линейная модель имеет вид:

Y_r(t) = 17,33 + 5 ∙ t

Построим адаптивную модель Брауна 1

По первым пяти точкам ряда оцениваем значения а₁ и а₀ параметров модели с помощью МНК

	х	у	у_i - y_cr	x_i- x_cr	(x_i - x_cr)²	(x_i-x_cr)∙(y_i-y_cr)
	1	20	-12,600	-2	4	25,200
	2	27	-5,600	-1	1	5,600
	3	30	-2,600	0	0	0,000
	4	41	8,400	1	1	8,400
	5	45	12,400	2	4	24,800
Сумма	15	163	0	0	10	64
Среднее	3	32,6	0	0	2	12,8

Получаем

a₁ = 64 / 10 = 6,4

a₀ = 32,6 – 6,4 ∙ 3 = 13,4

которые соответствуют моменту времени t=0

Прогноз на первый шаг у_1расч = а₀₍₀₎+ а₁₍₀₎ = 6,4 + 13,4 = 19,8

Величина отклонения: е = 20 – 19,8 = 0,2

Корректируем параметры (α = 0,4; β = 0,6)

a_0(t) = a_0(t-1) + a_1(t-1) + (1 – β²) ε_(t) = 13,4 + 6,4 + (1 – 0,6²) ∙ 0,2) = 19.928

a₁₍_t) = a₁₍_t-1) + (1 – β)² ε₍_t) = 6.4 + (1 – 0,6)² ∙ 0,2 = 6.432

Далее расчеты производятся аналогично.

t	y	a₀	a₁	y_r	ε
0		13,400	6,400
1	20	19,928	6,432	19,800	0,200
2	27	26,770	6,534	26,360	0,640
3	30	31,189	6,006	33,304	-3,304
4	41	39,630	6,615	37,195	3,805
5	45	45,448	6,415	46,245	-1,245
6	51	51,311	6,277	51,863	-0,863
7	51	53,372	5,223	57,588	-6,588
8	55	56,294	4,648	58,595	-3,595
9	61	60,979	4,657	60,942	0,058

Построим адаптивную модель Брауна 2

Производятся аналогичные расчеты для α = 0,7; β = 0,3

t	y	a₀	a₁	y_r	ε
0		13,400	6,400
1	20	19,982	6,498	19,800	0,200
2	27	26,953	6,753	26,480	0,520
3	30	30,334	4,937	33,706	-3,706
4	41	40,484	7,744	35,270	5,730
5	45	45,291	6,162	48,229	-3,229
6	51	51,041	5,940	51,453	-0,453
7	51	51,538	3,010	56,981	-5,981
8	55	54,959	3,231	54,548	0,452
9	61	60,747	4,608	58,190	2,810

Графики построенных моделей представлены на рисунке:

Рисунок 2 Временной ряд и построенные модели

Проведем качества каждой из моделей.

Линейная модель

х	у	y_r	ε	ε²	y_i-y_cr	(y_i-y_cr)²	ε / y	Точки поворота
1	20	22,333	-2,333	5,444	-22,333	498,778	11,667
2	27	27,333	-0,333	0,111	-15,333	235,111	1,235	+
3	30	32,333	-2,333	5,444	-12,333	152,111	7,778	+
4	41	37,333	3,667	13,444	-1,333	1,778	8,943	+
5	45	42,333	2,667	7,111	2,667	7,111	5,926	+
6	51	47,333	3,667	13,444	8,667	75,111	7,190	+
7	51	52,333	-1,333	1,778	8,667	75,111	2,614
8	55	57,333	-2,333	5,444	12,667	160,444	4,242	+
9	61	62,333	-1,333	1,778	18,667	348,444	2,186
Итого	381			54,000		1554,000	51,780
Среднее	42,333							2,565

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

Р > 3,118

Учитывая, что неравенство выполняется, то есть 6 > 3,1 – модель адекватна

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Коэффициент детерминации:

Значение коэффициента F–критерия Фишера:

Табличное значение коэффициента F–критерия Фишера равно 5,14 и поскольку F_рас>F_таб, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Проверим соответствие ряда остатков нормальному распределению по RS-критерию.

Учитывая, что полученное значение RS критерия попадает в интервал от 2,7 до 3,7, то уровни ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Е_отн = 5,75 < 7, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Модель Брауна 1:

х	у	y_r	ε	ε²	y_i-y_cr	(y_i-y_cr)²	ε / y	Точки поворота
1	43	19,928	0,072	0,005	-22,333	498,778	0,360
2	47	26,770	0,230	0,053	-15,333	235,111	0,853	+
3	50	31,189	-1,189	1,415	-12,333	152,111	3,965	+
4	48	39,630	1,370	1,876	-1,333	1,778	3,341	+
5	54	45,448	-0,448	0,201	2,667	7,111	0,996	+
6	57	51,311	-0,311	0,097	8,667	75,111	0,610	+
7	61	53,372	-2,372	5,625	8,667	75,111	4,650	+
8	59	56,294	-1,294	1,675	12,667	160,444	2,353
9	65	60,979	0,021	0,000	18,667	348,444	0,034
Итого	381			10,947		1554,00	17,162	6
Среднее	42,333

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

Р> 3,118

Учитывая, что неравенство выполняется, то есть 6 > 3 – модель адекватна

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Коэффициент детерминации:

Значение коэффициента F–критерия Фишера:

Проверим соответствие ряда остатков нормальному распределению по RS-критерию.

Учитывая, что полученное значение RS критерия не попадает в интервал от 2,7 до 3,7, то уровни ряда остатков не подчиняются нормальному закону распределения.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Е_отн = 1,907 < 7, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Модель Брауна 2:

х	у	y_r	ε	ε²	y_i-y_cr	(y_i-y_cr)²	ε / y	Точки поворота
1	43	19,800	0,200	0,040	-22,333	498,778	1,000
2	47	26,480	0,520	0,270	-15,333	235,111	1,926	+
3	50	33,706	-3,706	13,734	-12,333	152,111	12,353	+
4	48	35,270	5,730	32,828	-1,333	1,778	13,975	+
5	54	48,229	-3,229	10,425	2,667	7,111	7,175	+
6	57	51,453	-0,453	0,205	8,667	75,111	0,888	+
7	61	56,981	-5,981	35,774	8,667	75,111	11,728	+
8	59	54,548	0,452	0,204	12,667	160,444	0,822
9	65	58,190	2,810	7,894	18,667	348,444	4,606
Итого	381			101,375		1554,000	54,472	6
Среднее	42,333						1,000