Задача 2.

Задача 2а и 2б. Для каждого варианта даны по две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Задача 2а

запишем системы одновременных уравнений

y₁= b₁₂ y₂ + b₁₃ y₃                            +a₁₃ x₃ + a₁₄ x₄

y₂=              b₂₃ y₃ +a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + a₂₃ x₃

y₃= b₃₂y₂                      + a₃₁ x₁                  +a₃₃ x_{3  +}   a₃₄ x₄

Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.

В этих уравнениях присутствуют переменных следующих типов:

-эндогенные, зависимые переменные y, определяемые внутри системы;

-экзогенные, независимые переменные x, значения которых задаются извне, они являются управляемыми, планируемыми;

-предопределенные переменные, включающие в себя как экзогенные переменные за текущий период времени, так и лаговые  переменные (т.е. экзогенные и эндогенные переменные за предыдущие периоды времени).

Для того, чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы  каждое  уравнение  системы было идентифицируемо. В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы.

Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.

Если обозначить число эндогенных переменных  в i-том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

если        D+1 < H          уравнение неидентифицируемо;

если        D+1 = H          уравнение идентифицируемо;

если        D+1 > H          уравнение сверхидентифицируемо;

Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.

Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если  определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.

В первом уравнении три эндогенных переменных: y₁ ,y₂ и y₃ (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x₁ и x₂ (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x₁ и x₂ (см. таблицу 2.1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных x₁ и x₂ взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны a₂₁  и a₂₂ соответственно. Определитель представленной в таблице 2.1 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2.  Значит, достаточное условие  выполнено, и первое уравнение идентифицируемо.

Таблица 2.1    

Во втором уравнении две эндогенные переменные: y₂ и y₃  (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная x₄  (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных y₁ и x₄ , которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 2.2).

Таблица 2.2

  Определитель представленной в таблице 2.2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2.  Значит, достаточное условие  выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении две эндогенные переменные: ,y₂  и y₃ (H=2). В нем отсутствует экзогенные переменные x₂ (D=1).  Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных y₁ и x₂ , которые отсутствуют в третьем уравнении (см. таблицу 2.3).

Определитель представленной в таблице 2.3 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2.  Значит, достаточное условие  выполнено, и третье уравнение идентифицируемо.

Таблица 2.3

Каждое  уравнение  системы идентифицируемо, значит СФМ  идентифицируема

Задача 2б

запишем системы одновременных уравнений

y₁=              b₁₂ y₂ + b₁₃ y₃              + a₁₂ x₂ +a₁₃ x₃

y₂=                           b₂₃ y₃ +a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂                     + a₂₄ x₄

y₃= b₃₁y_{1 +}  b₃₂y₂                      + a₃₁ x_{1  +}  a₃₂ x₂ +a₃₃ x₃

Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении три эндогенных переменных: y₁ ,y₂ и y₃ (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x₁ и x₄ (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x₁ и x₄ (см. таблицу 2.4). Определитель представленной в таблице 2.1 матрицы равен нулю, а ранг матрицы равен 1.  Значит, достаточное условие  не выполнено, и первое уравнение неидентифицируемо.

Таблица 2.4   

Во втором уравнении две эндогенные переменные: y₂ и y₃  (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная x₄  (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных y₁ и x₃ , которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 2.5).

Таблица 2.5

  Определитель представленной в таблице 2.5 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2.  Значит, достаточное условие  выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные: y_1, y₂  и y₃ (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные x₁ и x₄ (D=2).  Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x₁ и x₄ , которые отсутствуют в третьем уравнении (см. таблицу 2.6).

Определитель представленной в таблице 2.6 матрицы равен нулю, а ранг матрицы равен 1.  Значит, достаточное условие не выполнено, и второе уравнение неидентифицируемо.

Таблица 2.6

Так как 1 и 3  уравнение  системы неидентифицируемо, значит СФМ  неидентифицируема

Задача 2в

            По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида 

y₁= a₀₁  + b₁₂ y₂ +  a₁₁ x₁ + e₁                                                                                                   

y₂= a₀₂  + b₂₁ y₁ + a₂₂ x₂ + e₂

Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) , который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Рассмотрим идентифицируемая модель, содержит две эндогенные и две экзогенные переменные:

y₁= b₁₂ y₂ +  a₁₁ x₁ + e₁                                                                                                   

y₂= b₂₁ y₁ + a₂₂ x₂ + e₂

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице

Таблица 2.7.

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

 y₁= d₁₁ x₁ +  d₁₂ x₂ + u₁                                                                                                       

 y₂= d₂₁ x₁ + d₂₂ x₂ + u₂

u₁  и u₁ – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить  МНК.

Для упрощения расчетов  можно работать с отклонениями от средних уровней y=y-y_cp и x=x-x_cp (y_cp и x_cp –средние значения). Преобразованные таким образом данные таблицы 2.7 сведены в таблицу 2.8. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов d_ik. Переменные, означающие отклонение от средних значений изображаются далее жирным шрифтом и курсивом.

Для нахождения коэффициентов  d_1k первого  приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Σ y₁ x₁= d₁₁ Σ x₁²     +  d₁₂ Σ x₁ x₂                     

Σ y₁ x₂= d₁₁ Σ x₁ x₂ + d₁₂ Σ x₂²

Таблица 2.8

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

Подставляя рассчитанные в таблице 5.5 значения сумм, получим

   Решение этих уравнений дает значения 

  Первое уравнение приведенной формы модели примет вид

y₁= 9,518 x₁ + 1,561 x₂ + u₁

Для нахождения коэффициентов d_2k второго  приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Σ y₂ x₁= d₂₁ Σ x₁²     +  d₂₂ Σ x₁ x₂

Σ y₂ x₂= d₂₁ Σ x₁ x₂ + d₂₂ Σ x₂²

Подставляя рассчитанные в таблице 2.8 значения сумм, получим

Решение этих уравнений дает значения 

Второе уравнение приведенной формы модели примет вид

y₂=  1,106x₁  + 2,168 x₂ + u₂

Для  перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем x₂ из второго уравнения приведенной формы модели

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

Таким образом,  b₁₂ = 0,720;  a₁₁ = 8,722.

Найдем x₁ из первого уравнения приведенной формы модели

 Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

Таким образом,  b₂₁ = 0,116;  a₂₂ =  1,987.

            Свободные члены структурной формы  находим из уравнений

А₀₁= y_1,cp -  b₁₂ y_2,cp -  a₁₁ x_1,cp   =  91.167-0.720*41.583-8.722*6.333=5.988

А₀₂= y_2,cp -  b₂₁ y_1,cp -  a₂₂ x_2,cp = 41.583-0.116*91.167-1.987*9.167=12,773

Окончательный вид структурной модели