Математика - наиболее яркий пример познания реальности посредством чисто логических умозаключений. Принципы построения этой науки легли и в основу неоэзотерического учения. А само математическое знание стало фундаментом NZ-теории эволюции. Вот почему решая философские проблемы математики, мы, по сути, ищем ответы и на вопросы неоэзотерики. В предлагаемой Вашему вниманию статье к.т.н. Морозов совершил обзор почти всех наиболее важных и интересных тем, высказывая при этом собственное отношение к ним. С чем-то можно соглашаться, с чем-то нет, но пищу для раздумий он дал.

ФИЛОСОФСКИЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ

  Если вопрос об отношении сознания к бытию является основным вопросом философии, то вопрос об отношении математических понятий, аксиом, теорий, правил и законов вывода к реальному миру есть основной философский вопрос математики. Решение этого вопроса определяет решение и других философских вопросов, возникающих в процессе ее развития, и, в основном, определяет философскую позицию ученого, принадлежность его к лагерю материализма или идеализма.

  Материалистический и идеалистический подходы к оценке математики и тех абстракций, которыми она оперирует, возникли еще в античном мире.

  Древнегреческий математик и философ-идеалист Пифагор (580—500 гг. до н. э.), отрывая количественные соотношения действительного мира от качественных, пришел к выводу, что Вселенная представляет собой гармоническую систему чисел и их отношений. Понятие числа, являющееся отражением реального количества, пифагорейцы мистифицировали и превратили в самостоятельную, идеальную сущность, от которой зависят предметы реального мира.

  Древнегреческий философ-идеалист Платон (427—347 гг. до н. э.), рассматривая мир природных вещей лишь как проявление потустороннего, вечного и неизменного мира духовных сущностей — идей, полагал, что познание геометрических отношений достигается благодаря воспоминанию переживаний, которые наша “душа” получила в мире идей.

  Таким образом, объективный идеализм отрывает идеи, понятия, возникшие в сознании людей в результате его абстрагирующей деятельности, от единичных материальных предметов, объявляет эти понятия первичными, наделяет их самостоятельным существованием в том же смысле, в каком существуют единичные предметы,

  Наряду с идеалистическими взглядами на природу математических абстракций в древнегреческой философии имели место и материалистические.

  Аристотель (384—322 гг. до н. э.), критикуя Платона, подчеркивал, что никакого “царства идей”, оторванного от единичных вещей, нет. Общее (“идеи”, “сущности”) находится в самих вещах и извлекается людьми из них в процессе познания путем абстракции. Правда, Аристотелю не удалось решить вопрос о том, что собой представляет “общее”, как возникают в нашей голове общие понятия. Но в своей основе взгляд Аристотеля на образование общих понятий был правильным, причем он распространил его и на простейшие математические понятия.

  Ум, по Аристотелю, “мысля математические предметы, берет их в отвлечении, [хотя они и] неотделимы от тел”¹. При этом математик “производит это рассмотрение, сплошь устранивши все чувственные свойства, например, тяжесть и легкость, жесткость и противоположное [ей], далее—тепло и холод и все остальные чувственные противоположности, а сохраняет только количественную определенность и непрерывность...”².

  Если количественная определённость и непрерывность сохраняется в одном направлении, мы получаем прямую, если в двух — плоскость, если в трех — геометрическое тело. Геометрия изучает также те положения, в которых тела “стоят друг к другу, и то, что связано с этими положениями”, “соизмеримость и несоизмеримость” тел, “их [взаимное] соотношение”³.

  Из приведенных высказываний видно, что уже во времена Аристотеля в основном сложилось классическое определение математики как науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

  Борьба вокруг природы математических абстракций проходит через все средневековье, где она связана с более широкой проблемой природы универсалий (общих понятий).

  По мнению реалистов, которые шли за Платоном; универсалии (в том числе и понятия математики) существуют реально, независимо от человека и его мышления. Они существуют до единичных материальных вещей, наряду с ними и после них.

  Номиналисты, ведя ожесточенную борьбу против реалистов, справедливо утверждали, что универсалии не существуют реально. Однако они ошибочно рассматривали их лишь как общие термины, знаки, вводимые человеком для обозначения классов сходных предметов.

  О недопустимости такого отождествления свидетельствует хотя бы следующий пример. Возьмем число 2. Что оно собой представляет — знак или понятие? Ясно, что отождествить число 2 со знаком, его обозначающим, нельзя: это же число можно обозначить и знаком И (или словом “два”). Значит, число 2 есть нечто, не зависящее от формы его выражения.

  Развитие естествознания и математики, начиная с XVII века, вызвало усиленный интерес к методам научного познания, к природе математических понятий и аксиом, к логике доказательства. Выражением этого интереса к методологическим вопросам математики явились и дискуссии о дискурсивном и интуитивном знании.

  Под дискурсивным знанием обычно понимали знание рассудочное, опосредствованное, выводное, логическое. Под интуитивным — знание чувственное, непосредственное, созерцательное.

  Рационалисты XVII столетия (Декарт, Лейбниц, Спиноза) считали, что всеобщность и необходимость человеческого знания (в том числе и положений математики) не может быть обоснована ни чувственным созерцанием (интуицией) и связанной с ним индукцией, ни дискурсивным мышлением. Всеобщность и необходимость положений математики обеспечивает лишь некая интеллектуальная интуиция, которая лежит в основе доказательства и при помощи которой разум одновременно и мыслит, и созерцает.

  Учение об интеллектуальной интуиции сочеталось у Спинозы с материалистическим тезисом о том, что “порядок и связь идей те же, что и порядок и связь вещей”. Это же учение в работах Декарта и Лейбница вело к идеализму. Лейбниц, например, писал: “Так как чувства и индуктивные умозаключения не могут дать нам вполне всеобщих и абсолютно необходимых истин, а говорят лишь о том, что есть и что обычно бывает в частных случаях, и так как мы, тем не менее, знаем всеобщие и необходимые истины наук, — в чем и состоит преимущество, возвышающее нас над животными, — то отсюда следует, что мы почерпнули эти истины в известной части из того, что находится в нас...”

  Английский философ XVII века Т. Гоббс, признавая всеобщий и необходимый характер исходных положений математики, вместе с тем считал, что не опыт и интуиция являются средством для их обоснования, а способность слов языка быть знаками общих понятий. Математика, по Гоббсу, носит априорный характер, но не потому, что в основе ее лежат априорные интуиции, а потому, что она дедуктивно выводит все свои положения из априорных построений или конструкций.

  Другой английский философ, Д. Локк, считал, что все идеи возникают из опыта; никаких врожденных идей не существует. Однако истины, как соответствие между идеями⁴, могут постигаться умом сразу, непосредственно, интуитивно. В некоторых же случаях “душа старается открыть искомое соответствие или несоответствие с помощью других идей”. Такое познание, названное Локком демонстративным, по его мнению, вполне достоверно, однако чем больше звеньев опосредствования проходит доказательство, тем менее ясным оказывается вывод. Каждый шаг демонстративного знания должен обладать интуитивной очевидностью. Поэтому демонстрация не может существовать без интуиции.

  Несколько позже И. Кант (1724—1804) начисто отверг ошибочный взгляд рационалистов на существование “интеллектуальной интуиции”, с помощью которой они пытались доказать всеобщий и необходимый характер математических положений. Но то, что он предложил, было не лучше: он стремился ограничить познание лишь областью явлений, обосновать непознаваемость “вещи в себе”. В области явлений достоверное, научное знание достигается, по Канту, при помощи синтеза чувственных интуиции с априорными рассудочными формами. В основании математики “должно лежать какое-нибудь чистое созерцание, в котором она может представлять все свои понятия конкретно и вместе с тем a priori, или... конструировать их”⁵.

  Отзвуки всех этих споров нашли свое отражение во взглядах представителей философских школ в математике XX века. Так, например, “интуиция” интуиционистов (Вейль, Брауэр, Гейтинг) весьма напоминает “интеллектуальную интуицию” рационалистов. Ведь один из главных принципов интуиционизма гласит: “Математические предметы непосредственно постигаются мыслящим духом; следовательно, математическое познание не зависит от опыта”⁶. Интуиционисты считают, что единственным источником математики является “интуиция, доставляющая нам с непосредственной ясностью ее понятия и выводы”⁷.

  Следует подчеркнуть, что существование интуиции признается почти всеми математиками; не отрицается она и материалистической философией. Все дело в том, как ее понимать. Интуиция, как мистическая способность иррационального познания, как врожденный вид познания, не опирающийся на практику и исключающий логическую деятельность мышления, отвергается наукой. Но интуиция, понимаемая как такая форма познания, когда самосознание человека не улавливает, не контролирует логического хода мыслей и человеку кажется, что он решил какую-либо проблему “внезапно”, хотя в действительности за этим “угадыванием” стоит большой опыт, накопленные ранее знания и предварительное обдумывание проблемы, признается и материализмом. Правда, вопрос об интуиции как о “сокращенной” форме логического мышления изучен еще недостаточно и ждет дальнейшего исследования.

  В тесной связи со спорами вокруг дискурсивного и интуитивного познания (касающимися вопроса о путях приобретения знаний) находился и старый, наболевший вопрос об источнике наших знаний.

  Эмпирики (Ф. Бэкон, Д. Локк, а в последующие века Д. Юм, Д. С. Милль, Г. Спенсер и другие) считали, что математические, как и все другие, идеи мы получаем при помощи наших органов чувств; ум наш представляет собой как бы tabula rasa (чистую доску), на которой опыт и наблюдения непрерывно записывают совокупность сведений, перерабатывающихся затем нашим умом в стройную систему знаний.

  Общим недостатком этого взгляда являлось то, что он представлял процесс познания как пассивный и созерцательный, не учитывал роли практики, роли преобразующей деятельности человека в возникновении идей. Эмпирики не умели также объяснять, как из опыта получаются всеобщие и необходимые истины. А такие эмпирики, как Юм, Милль, Спенсер, Авенариус и другие, стояли на позициях субъективного идеализма, сводя материальный мир к субъективным переживаниям, а опыт — к потоку ощущений.

  Рационалисты (Декарт, Мальбранш, Лейбниц, а в дальнейшем Фихте, Шеллинг и другие) утверждали, что идеи; в том числе и математические понятия, прирождены человеку, что источником истинного знания служит сам разум, в котором заранее заложены основы знания: аксиомы, законы логики и т. д. Задача разума заключается лишь в том, чтобы отыскать эти основы, превратить их в отчетливые мысли и из них путем логических умозаключений построить всю систему знаний.

  Такой взгляд в значительной степени возник под влиянием колоссальных успехов математики того времени, которые приписывались исключительно чистому разуму.

  Так, например, Лейбниц писал, что действительно разумное понимание основывается на некоторых необходимых или вечных истинах (истины логики, арифметики, геометрии), которые приводят к не вызывающему сомнения сочетанию идей и безошибочным заключениям.

  Создание Лобачевским, а затем Бойаи и Риманом неэвклидовых геометрий подорвавших веру в незыблемость таких “вечных” истин, как пятый постулат Эвклида, конструирование математиками различных систем аксиом для каждой математической дисциплины, создание многомерных геометрий, теории множеств, теории групп, топологии и т. д. Основательно подорвали рационализм, но не уничтожили его. Рационализм сочетается у отдельных математиков с априоризмом кантовского типа, с релятивизмом, с позитивизмом, с конвенционализмом и с другими направлениями и течениями идеалистической философии.

  Так, выдающийся математик Кронекер, совсем в духе Декарта, утверждавшего, что истинные идеи вложены в наш разум всемогущим богом, заявлял: “Бог создал натуральные числа, все прочее — дело рук человека”. А создатель теории множеств Георг Кантор считал, что “сущность математики в ее свободе”, что математик по собственному произволу конструирует понятия и аксиомы.

  Гениальный математик Гильберт, вслед за Кантом, отстаивал априоризм в математике: “Философы — и Кант является классическим представителем этой точки зрения — утверждали, — писал он, — что, кроме логики и опыта, мы имеем еще a priori известные знания про действительность... Я думаю, что и математические познания основываются, в конечном счете, на таком наглядном созерцании и что для построения теории числа нам даже необходимо определенное наглядное установление a priori”⁸.

  Все эти примеры говорят нам о том, что математики практически никогда не были нейтральны в области философии. Да и занимать такую нейтральную позицию невозможно, если математик стремится осмыслить те процессы, которые происходят в ходе прогресса математики, если он задумывается над методами ее построения, над методами получения максимальных результатов.

  Что же касается рационализма, априоризма и т. д., то самым лучшим опровержением этих идеалистических течений является практика.

  Академик В. А. Стеклов, опровергая теорию врожденных идей, справедливо ставит вопрос: почему разум человека с его “врожденными представлениями” об основных истинах даже в простейших случаях удовлетворялся явно ложными положениями и признавал их за истины, пока простой опыт не убеждал его в обратном?

  В течение двух тысяч лет человек измерял, например, площадь равнобедренного треугольника произведением основания на половину боковой стороны (по правилам египетского ученого Амеса), и “врожденная способность” познавать истину не протестовала против этой ошибки.

  Только когда практика показала несоответствие этого правила с действительностью, тогда разум человека и убедился в его ложности. Открыл истину опыт, а не “врожденная способность” ума из себя постигать истину.

  Диалектический материализм сознательно рассматривает практику и как основу процесса познания, и как конечную его цель, и как критерий истины. Только с точки зрения практики можно раскрыть природу математических абстракций, объяснить ее происхождение и развитие.

О природе математических абстракций

  Установлено, что первобытные народы не имели понятия об отвлеченных числах. Не имели этого понятия и некоторые народности в начале нашего века. Академик Стеклов, например, рассказывает, что если эскимоса спросить о числе его собак, то он начинает перечислять: “...собака с черным пятном на боку, собака с двумя пятнами на лбу, собака без пятен на лбу, собака с оторванным ухом и т. д.” Никакого понятия о числе собак эскимос не имеет.

  Изучение вещественных остатков труда первобытных народов, письменных источников древних цивилизаций, производственной деятельности ныне живущих племен, находящихся на низкой ступени развития, языка древних и современных народов позволяет, довольно четко представить, как зарождалось и развивалось понятие числа.

  Простейшая хозяйственная деятельность первобытных племен требовала какой-то, пусть даже крайне грубой, оценки величины предметов и какого-то счета их, хотя бы весьма несовершенного и ограниченного (до трех, семи, десяти).

  Многие народности имели слова для обозначения чисел 1 и 2, а большие числа обозначали одним словом “куча”. Этим и объясняется, что в ряде языков ныне культурных наций наряду с единственным и множественным числом сохранилось так называемое двойственное число. В русском языке сохранились остатки счета до четырех. Так, говорят 2, 3, 4 руки, но 5, 6 и вообще много рук. В некоторых языках большие числительные образуются с помощью повторений.

  Итак, первые положения математики были в значительной части получены эмпирически. Но постепенно в математику проникает и отвлеченное рассуждение.

  Исследования самых древних текстов Египта, Халдеи, Вавилона, Китая и Индии показывают, что математические знания этого периода носят уже в определенной мере рассудочный, выводной характер. Так, в древнем Египте был известен способ нахождения объема усеченной пирамиды, а его нельзя получить эмпирически, на ощупь. И уже тогда выработались некоторые общие приемы, применявшиеся к однородным числовым задачам.

  Логическое доказательство математических построений еще более возросло в древней Греции. Греческие математики пифагорейской школы уже в VI—V веках до нашей эры делали попытки расположить цепь математических доказательств в определенную последовательность, чтобы переход от одного понятия к другому не вызывал ни у кого никаких сомнений. Этот “дедуктивный” метод получил дальнейшее развитие у Эвклида, Архимеда и Апполония. Понятие доказательства у них уже ни в чем существенном не отличается от нашего.

  Математика и, в частности, геометрия, стала наукой лишь тогда, когда в ней начали систематически применять логические доказательства, когда ее положения стали выводить не только путем непосредственных измерений, но и при помощи умозаключений, когда те или иные ее положения начали устанавливать в общем виде.

  Математика строится не только на основе дедуктивного, но и аксиоматического метода.

  Под аксиоматическим методом в современной науке понимается такое построение определенной научной дисциплины, когда ряд ее положений принимается без доказательства и входящим в них понятиям не даются определения, а все остальное знание выводится из этих положений по заранее фиксированным логическим законам или правилам.

  Аксиоматический метод в наше время используется во многих науках (логике, физике, химии, биологии, лингвистике и т. д.), но исторически он возник в математике (примером аксиоматического построения геометрии и арифметики в античном мире могут служить “Начала” Эвклида) и является наиболее специфичным для этой науки.

  Геометрия Эвклида очень далеко ушла от “землемерия” благодаря своему абстрактному характеру и аксиоматическому построению. И все же она сильно отличается от современных построений эвклидовой геометрии.

  Во-первых, как выяснилось впоследствии (в особенности в XIX веке), система аксиом Эвклида неполна. При доказательствах Эвклид пользовался некоторыми аксиомами, но не сформулировал их явно. Гильберт в своих “Основаниях геометрии” (1899 г.) существенно уточнил и дополнил систему аксиом Эвклида и создал такую систему, которая необходима и достаточна для построения геометрии.

  Во-вторых, Эвклид наряду с подлинно логическими умозаключениями постоянно прибегает к наглядному представлению. Такие определения Эвклида, как “точка есть то, что не имеет частей”, “линия есть длина без ширины”, “линия ограничена точками”, “поверхность имеет только длину и ширину” и др., строго говоря, не являются логическими определениями, а представляют собой лишь описания геометрических образов. Такие “определения” могут только оказать помощь наглядному представлению, а не служить надежным основанием для логических выводов. В аксиоматической геометрии Гильберта основные понятия (вещи: “точки”, “прямые”, “плоскости”; отношения: “принадлежит”, “между”) явно не определяются; их свойства определяются косвенно, через систему аксиом. Таким образом, Гильберт изгоняет из геометрии последние остатки наглядности и интуиции.

  В-третьих, Эвклид сначала строил геометрию и лишь затем выводил из нее арифметику и теорию действительных чисел. Это объясняется, по всей вероятности, следующим обстоятельством. К тому времени была доказана несоизмеримость отрезков, т. е. тот факт, что возможны такие два отрезка (например, сторона и диагональ квадрата), на которых нельзя отложить целое число раз третий отрезок, сколь бы малым мы его ни брали. Это открытие произвело столь сильное впечатление на ученых древности, что Платон сказал по этому поводу: “До того, как я узнал о существовании несоизмеримых отрезков, я был подобен неразумному животному”. Поскольку несоизмеримые отрезки нельзя выразить рациональными числами, но можно построить с помощью циркуля и линейки, древние начали переходить в своих исследованиях от вычислений к построениям. Гильберт, наоборот, строя свою геометрию, считает известной арифметику действительных чисел. Это позволяет ему сводить обоснование геометрии к понятию о числе.

  Из всего сказанного видно, что геометрия Эвклида была еще далеко несовершенна. Это, однако, не умаляет заслуг ее автора, создавшего дедуктивный аксиоматический метод построения математики.

  Возникает ряд вопросов: зачем необходимо строить аксиоматические системы, логически доказывать те или иные положения, разве нельзя любое положение вывести практически, экспериментально? Что собой представляют “точки, не имеющие частей”, и “линии без ширины”, разве такие предметы где-нибудь имеются в природе? Поскольку математика ими оперирует, то отражает ли она действительный мир или является продуктом чистого разума, строящего химеры? Имеет ли право математик строить такие математические теории, как геометрия Гильберта, в которой даже не определяются основные ее понятия?

  Современная математика является крайне абстрактной теорией. Она выработала исключительно сложную, точную и гибкую символику, позволяющую сколь угодно далеко взбираться на вершину абстракции. Тут существует определенная диалектика: образование новых абстрактных понятий и операций над ними требует новых символов, а создание новых символов - позволяет конструировать еще более общие понятия. Жесткая формализация на основе мат. символики, позволяет не только ясно и лаконично выражать количественные соотношения, но и манипулируя, исключительно логической конструкцией, получать новые утверждения.

Проблема истины и критерия истины в математике

  Что такое истина? Еще Аристотель говорил: “Прав тот, кто считает разделенное — разделенным и соединенное — соединенным, а в заблуждении — тот, мнение которого противоположно действительным обстоятельствам”⁹.

  Итак, истина — это мысль, соответствующая действительности. Такое, ставшее классическим, определение истины прочно вошло в материалистическую философию. Даже многие идеалисты его признают, хотя истолковывают саму действительность идеалистически (как совокупность ощущений, идей и т. п.).

  Философское определение истины относится к любым формам мышления и распространяется на положения любой науки. Следовательно, и в математике под истиной следует понимать, в конечном счете, соответствие ее теорий и положений (аксиом, определений, теорем и т. п.), с действительностью.

  Однако уже в средние века логики-схоласты стали различать два понятия истины: материальную (соответствующую классическому определению истины) и формальную. Деление истины на два понятия вошло почти во всё учебники традиционной формальной логики. Вот как они определяются профессором Челпановым: “Мы считаем какое-либо положение истинным материально, когда оно соответствует действительности или вещам. Мы считаем то или другое заключение истинным формально в том случае, когда оно выводится с достоверностью из тех или иных положений, т. е. когда верен способ соединения мыслей, самое же заключение может совсем не соответствовать действительности”¹⁰.

  Наряду с термином “формальная истина” многие логики употребляют также термин “правильность”, что соответствует наиболее распространенному определению традиционной формальной логики как “науки о законах и формах правильного мышления”.

  Понятие правильности и связанные с ним понятия доказуемости, обоснованности и выводимости играют очень важную роль в мышлении вообще и в математике в особенности. Если наши предпосылки верны, и если мы правильно применяем к ним законы мышления, то результат должен соответствовать действительности.

  Так, например, если в основании какой-либо математической теории лежат аксиомы А, В (заведомо истинные положения) и если из этих аксиом при помощи достаточно надежных правил логики выведена теорема С, то мы можем с уверенностью утверждать, что она истинна.

  Истинность системы аксиом тесно связана с ее непротиворечивостью: нельзя считать истинной ту систему аксиом, которая приводит к противоречиям, например к выводам типа 1 = 0.

  Если система аксиом приводит к подобным выводам, то это означает, что не существует совокупности объектов, ей удовлетворяющих. Но если данной совокупности суждений (системе аксиом) не соответствуют никакие объекты, то она не является истинной. “Требуя “непротиворечивости” какой-нибудь системы аксиом, — пишет С. А. Яновская, — математик фактически требует существования хотя бы одной области объектов, для которой его формулы имели бы конкретный, содержательный смысл, к которой они были бы приложимы, отображением которой служили бы”¹¹.

  Итак, требование непротиворечивости в математике в определенном смысле равносильно требованию истинности ее теорий. Поэтому ограничение, заключающееся в требовании непротиворечивости. и накладываемое на пресловутую “свободу” математики, понимаемую идеалистами как полный произвол и каприз, является тем необходимым (но не достаточным!) условием, которое обеспечивает соответствие математических теорий с действительностью.

  “Не все понятия и предложения”, “свободно творимые”” рассудком математика, могут, оказывается, пользоваться правом на существование в математике, но только те из них, которые не ведут к противоречию... “Капризу” математика в таком случае предоставляется “свобода” “творить” такие математические факты, которые отражают в конечном счете нечто реально, т. е. независимо от него и от его капризов, во внешнем мире существующее. И это объявляется освобождением от тирании внешнего мира!”¹².

  Непротиворечивость системы аксиом, как мы выяснили, является важным условием истинности математических теорий. А если мы не знаем: противоречива или непротиворечива система аксиом? Будет ли она в этом случае надежным основанием для аксиоматического построения теории? Очевидно, нет.

  Действительно, из такой системы аксиом можно вывести множество теорем и не столкнуться с противоречием. Однако “неправильная теория, не натолкнувшаяся на противоречие, не становится от этого менее неправильной, подобно тому как преступное поведение, не остановленное правосудием, не становится от этого менее преступным” (Брауэр). Поэтому математики и уделяют особо большое внимание исследованию оснований математики, т. е. тех систем аксиом, которые кладутся в основу математических теорий.

  В частности, огромное значение придается доказательству непротиворечивости системы аксиом.

  При этом некоторые математики и философы-идеалисты подменяют понятие истинности теории понятием ее непротиворечивости. “Математика, — пишет Пуанкаре,— не зависит от существования материальных вещей, в математике слово “существовать” может иметь только один смысл,—оно означает устранение от противоречия”¹³. “Понятие логической непротиворечивости, — утверждает позитивист Нейрат, — должно раз и навсегда заменить отношение высказывания к чему-то данному”¹⁴.

  Такая подмена истины непротиворечивостью полностью расходится с фактами науки. Ведь если посылки будут ложными, то согласно известному логическому закону (“Из лжи следует все, что угодно — и истина и ложь”) и вывод может оказаться ложным, хотя он и не противоречит посылкам. А для науки и практики не безразлично, обладаем ли мы истинными знаниями, верно отражающими действительность, или ложными.

  Формалистический взгляд на истину противоречит многим фактам науки, в частности фактам, касающимся неполных математических систем. Система аксиом, описывающая данную систему объектов, называется полной, если из нее можно дедуктивно вывести все истинные суждения, относящиеся к данной предметной области. Если же некоторые истинные положения вывести из этой системы аксиом нельзя—система называется неполной. Поскольку, как показал Гёдель, такие неполные системы существуют, постольку существуют и истинные суждения, которые не выводимы из данной системы аксиом. С точки же зрения формалистов, такие суждения нельзя признать истинными, так как о них нельзя сказать, что они не противоречат принятой системе аксиом.

  В действительности, суждение не потому истинно, что его можно вывести логически, а потому, что оно верно отражает действительность.

  Как уже указывалось выше (где мы сравнивали аксиоматику Эвклида с аксиоматикой Гильберта), в современных аксиоматически построенных теориях не даются в явной форме определения ни самим объектам, ни их свойствам и отношениям. Но системы аксиом выделяют из всевозможных совокупностей объектов, свойств, принадлежащих им, и отношений между ними такие совокупности, для которых эти аксиомы выполняются и в этом смысле определяют их. Таким образом, как говорил Пуанкаре, аксиомы — это скрытые определения.

  Те, объекты, свойства и отношения, которые выделяются данной системой аксиом, считаются “существующими” в данной аксиоматической теории; те же объекты, свойства и отношения, которые не выделяются этой системой аксиом, считаются “не существующими” в ней.

  Возникает очень важный гносеологический вопрос: всегда ли найдутся в материальной действительности объекты, соответствующие “существующим” в данной аксиоматической теории абстрактным объектам, т. е. обязательно ли наша аксиоматическая теория будет отражать физическую реальность? Решить этот вопрос можно только при помощи критерия практики.

  “Ясно, — говорит академик П. С. Новиков, — что соответствие между аксиомами и предметами реальности всегда имеет приближенный характер. Если мы, например, поставим вопрос — удовлетворяет ли реальное физическое пространство аксиомам геометрии Эвклида, то предварительно мы должны дать физические определения геометрических терминов, содержащихся в аксиомах, как-то: “точка”, “прямая”, “плоскость” и др. Иными словами, нужно указать те физические, обстоятельства, которые этим терминам соответствуют. После этого аксиомы превратятся в физические утверждения, которые можно подвергнуть экспериментальной проверке. После такой проверки мы можем ручаться за истинность наших утверждений с той степенью точности, какую обеспечивают измерительные приборы”¹⁵.

  Однако не исключена возможность построения и такой теории, когда в материальной действительности не найдутся материальные объекты, которые могли бы быть описаны с ее помощью. Тогда эта теория окажется мертворожденной пустышкой, бесполезной игрой ума.

  Конечно, спешить, отбрасывать ту или иную математическую теорию только потому, что пока для нее не находится объектов, которые могли бы быть описаны с ее помощью, не следует. Дальнейшее развитие техники, естествознания и самой математики может предоставить такие объекты.

  Яркими примерами подобных теорий могут служить неэвклидовы геометрии, казавшиеся сначала чистой игрой ума и нашедшие затем применение в современной физике, абстрактная алгебра Буля, нашедшая применение в теории релейно-контактных схем, теория групп, примененная в кристаллографии, и т. п.

  Стало обычным, что математика зачастую опережает технику и естествознание. Отправляясь от практики и поднимаясь на самые вершины абстракции, она строит модели для возможных объектов действительности. И эти объекты в ходе дальнейшего развития науки и практики, как правило, находятся.

  Примером такой гипотетико-дедуктивной системы может служить геометрия Лобачевского, которая ничего не утверждает об истинности своих аксиом. Все предложения этой геометрии носят следующий характер: если истинны какие-то аксиомы, то истины такие-то теоремы (так как они выведены при помощи надежных логических средств из аксиом)¹⁶.

  Новый математический аппарат может появиться как чисто логическая игра ума, и лишь позднее может найтись ему соответствующая физическая интерпретация. А, возможно, наоборот, практическая необходимость дает толчок развитию математики. (Например: сейчас зарождается релятивистская арифметика. По Декарту - натуральная числовая ось неограниченна, но с элементом релятивизма появляется число равное скорости света, больше которого не может быть. Таким образом ось ограничивается, а натуральные числа складываются не так, как обычно. В основе новой математики положен принцип сложения скоростей из спец. теории относительности.)

  Аксиоматически построенная формальная теория перестает быть гипотетической только тогда, когда для нее находятся содержательные интерпретации либо в виде объектов действительности, либо в виде теорий, уже нашедших применение в практике¹⁷.

  Самым мощным источником интерпретаций для всевозможных систем аксиом была и остается теория множеств, исходными объектами которой являются натуральные числа. Эта теория, построенная Георгом Кантором, оказала огромное влияние на развитие математики и сыграла особо важную роль в ее обосновании.

  При помощи теоретико-множественных принципов можно построить все известные математические понятия и дать интерпретацию любым системам аксиом. Казалось бы, проблема обоснования математики решена. Однако вскоре обнаружились серьезные трудности, для понимания которых необходимо иметь представление об актуальной бесконечности и законе исключенного третьего.

  Что такое “актуальная бесконечность”? Под этим термином, грубо говоря, понимается бесконечная совокупность объектов, построение которой завершено и элементы которой представлены одновременно. Примером такой бесконечной совокупности может служить сосчитанный полностью натуральный ряд чисел. “Идеализированный характер понятия актуальной бесконечности, — пишет академик П.С.Новиков, — совершенно ясен. Построение бесконечного числа отдельных предметов, выполнение бесконечного числа актов неосуществимо не только в силу недостатка практических средств, но и принципиально не может быть осуществлено никогда и никакими средствами. Вместе с тем математическое мышление широко использует эту идеализацию, например, представляя геометрическую фигуру как бесконечную совокупность точек, отрезок времени как бесконечную совокупность моментов, движение как бесконечную совокупность отдельных положений движущегося тела и т. д.”¹⁸.

  А что такое закон исключенного третьего? Этот логический закон, запрещающий противоречия в мышлении, можно сформулировать следующим образом: два высказывания — А и не-А не могут быть одновременно истинными. Так, например, нельзя одновременно утверждать, что все натуральные числа до 10 четные и что некоторые из них нечетные.

  Использование при логических операциях над такими объектами, как “актуальная бесконечность”, закона исключенного третьего привело на крайних границах теории множеств к так называемым “парадоксам бесконечного” и поставило под сомнение аксиоматический метод в его классическом понимании.

  Этих парадоксов было обнаружено много (парадокс Бурали-Форти, парадокс Кантора, Рассела и др.)¹⁹. Они были связаны с разрешением рассматривать множества²⁰, содержащие себя как подмножества²¹, с понятием множества всех множеств²² и т. п.

  Насколько нелегко разобраться неискушенному в математике читателю в сущности этих парадоксов, можно судить хотя бы по следующим примерам. Существует ли множество всех множеств? Формально множество считается заданным, если задан закон, по которому строятся его элементы. Но множество всех множеств должно включать в себя в качестве подмножеств множество своих подмножеств. Следовательно, его мощность не менее, чем мощность множества его подмножеств. Однако этот вывод находится в прямом противоречии с известной теоремой теории множеств, которая гласит: “Мощность множества всех подмножеств данного множества всегда больше мощности самого данного множества”.

  Другого рода противоречие заключает в себе понятие множества всех множеств, не являющихся элементами самих себя (парадокс Рассела). В самом деле, зададимся вопросом: является ли это множество элементом самого себя? Если является, то, по определению самого множества, оно не должно входить в себя как элемент. Следовательно, положительный ответ на вопрос приводит к противоречию. Но к тому же противоречию приводит и отрицательный ответ: если наше множество не является элементом самого себя, то, по определению, оно должно входить в себя как элемент. Следовательно, на этот вопрос нельзя дать непротиворечивого ответа.

  Популяризируя этот парадокс, Рассел (1919 г.) рассматривает деревенского парикмахера, который бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Бреет ли он самого себя? Если бреет, то он нарушает условие, согласно которому он должен брить только тех, кто сам не бреется. Если не бреет, то он опять нарушает условие, так как он обязан брить тех, кто сам не бреется.

  Парадоксы теории множеств показали, что она не является вполне надежным основанием для аксиоматического метода. Так называемое классическое (использующее понятие “актуальной бесконечности”) направление в математике подверглось резкой критике со стороны Кронекера, Шатуновского, Бореля, Лузина и многих других математиков.

  В связи с критикой классического направления в математике наряду с другими школами возник интуиционизм (Брауэр, Вейль, Гейтинг и др.). С точки зрения интуиционистов, главное в математике — это метод построения объектов. Объекты, которые не могут быть построены, исходя из натурального ряда, или для построения которых не может быть указан метод, не имеют права на существование в математике. Поэтому актуальная бесконечность и заменяется потенциальной бесконечностью, т. е. бесконечностью незавершенной, бесконечностью в процессе построения.

  Преемники интуиционистов — сторонники конструктивного направления в математике (Д. А. Марков, Н. А. Шанин и другие)²³ в решении вопросов обоснования и построения математики исходят из тех же основных предпосылок: отрицают актуальную бесконечность, ограничивают применение закона исключенного третьего, признают существующими лишь те объекты, которые фактически построимы или для построения которых может быть указан соответствующий метод.

  Абстракцию, лежащую в основе конструктивной математики; принято называть абстракцией потенциальной осуществимости. “Она состоит,— пишет А. А. Марков, — в отвлечении от реальных границ наших конструктивных возможностей, обусловленных ограниченностью нашей жизни в пространстве и времени... В применении к словам мы получаем, таким образом, возможность рассуждать о сколь угодно длинных словах как об осуществимых. Их осуществимость потенциальная, их представители были бы практически осуществимы, если бы наша жизнь длилась достаточно долго и мы имели бы достаточно места и материалов для практического осуществления этих представителей. Принимая эту абстракцию, мы будем в дальнейшем понимать под “словом” абстрактное потенциально осуществимое слово”²⁴.

  В качестве примера такого “слова” можно указать слово, состоящее из 10¹⁰⁰⁰ букв, которое может быть осуществлено, т. е. записано, но для этого потребуется очень много времени, места для записи и т. п.

  Сторонники конструктивного (генетического) направления в математике заново построили многие ее разделы. Объектам их математики действительно присуще недвусмысленное существование, не приводящее к противоречиям. В результате их работ (а также работ их предшественников) стало ясным, что аксиоматический метод является не единственным методом построения математического знания.

  Под воздействием обнаружившихся парадоксов теории множеств и критики со стороны интуиционистов, провозгласивших “кризис” оснований математики, Гильберт и его ученики предприняли ряд новых изысканий с целью обоснования классической математики. При этом Гильберт говорил (1928 г.): “Отнять у математиков закон исключенного третьего, — это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками”.

  Одной из важнейших составных частей концепции Гильберта по основаниям математики явилась идея создания новой науки — метаматематики (или теории доказательств а), которая позволила бы анализировать формализованные аксиоматические системы и, в частности, решать относительно них вопросы непротиворечивости, независимости, разрешимости и т.д. При этом Гильберт определил круг понятий и методов которые не содержат сомнительных сторон теоретико-множественного мышления (так называемый финитизм Гильберта). Финитизм Гильберта исключает из употребления в метаматематике в основном тех понятий и средств, которые отвергаются интуиционистами в обычной математике.

  Гильберт считал, что обоснования какой-либо математической теории можно достичь в том случае, если, используя методы математической логики, из некоторой системы аксиом вывести все возможные следствия и относительно каждого из них установить, что оно не противоречит другим.

  Доказав в течение 1920—1930 годов непротиворечивость частных формализованных систем, охватывающих часть арифметики, Гильберт и его последователи (Аккерман, Бернайс, Эрбран, фон Нейман и др.) полагали, что они уже достигли цели и доказали не только непротиворечивость арифметики, но также и непротиворечивость теории множеств.

  Однако результаты, полученные Гёделем в 1931 году, указали на принципиальные трудности на этом пути и, следовательно, на новые границы применимости аксиоматического метода. Гёдель доказал теорему о неполноте достаточно развитых формальных систем: в каждой такой системе можно сформулировать предложение, которое недоказуемо в ней, как недоказуемо в ней и его отрицание.

  Так, например, если мы имеем систему аксиом А₁, А₂, ... А то в терминах этой системы аксиом можно сформулировать предложение В₀, которое нельзя доказать при помощи данной системы аксиом.

  Но, может быть, можно к имеющейся системе аксиом добавить еще одну, например, A_n+1, которая позволит нам вывести В₀? Да, это возможно. Но тогда обязательно найдется еще хотя бы одно предложение B₁, которое невозможно доказать при помощи теперь уже расширенной системы аксиом.

  Результаты, полученные Гёделем, доказали невозможность построения “всеобщей аксиоматической системы” не только для всей математики, но даже для ее отдельных разделов, например арифметики.

  Конечно, теорема Гёделя вовсе не говорит о крахе аксиоматического метода²⁵. Потерпели крушение лишь надежды сформулировать такую систему аксиом, из которой можно было бы вывести все истинные предложения математики и логики.

  Невозможность построить, формальную аксиоматическую систему, которая явилась бы окончательным завершением математики и логики, лишний раз подтверждает, что положение диалектического материализма о неисчерпаемости абсолютное истины и о том, что движение познания к абсолютной истине возможно лишь через сумму относительных истин, распространяется и на математику.

  Математическая теория не начинается с достоверностей в форме системы аксиом, по счастливой случайности пришедших в голову гениального математика. Она требует кропотливого аналитико-синтетического исследования уже возникших теорий, вычленения из них групп аксиом, всестороннего выяснения значимости каждой из них (например, путем исследования вопроса о том, какие положения теории теряют смысл в случае устранения или видоизменения той или иной аксиомы), выбора наиболее рациональной системы аксиом.

  “...Нет ничего более чуждого аксиоматическому методу, чем статическая концепция науки... Структуры не остаются неизменными ни по их числу, ни по их сущности; вполне возможно, что дальнейшее развитие математики приведет к увеличению числа фундаментальных структур; открыв плодотворность введения новых аксиом или новых сочетаний аксиом, можно заранее оценить значение этих открытий, если судить о них по тем, которые дали уже известные структуры. С другой стороны, последние ни в коем случае не являются чем-то, законченным, и было бы весьма удивительно, если бы их жизненная сила была бы уже исчерпана”²⁶.

  Для правильного понимания состояния современной математики и путей ее развития необходимо преодолеть односторонность как догматизма, так и релятивизма. Догматизм не способен рассматривать положения математики и, в частности, системы аксиом как результаты, которые могут подлежать дальнейшему исправлению и совершенствованию. Релятивизм же не видит за частой сменой научных математических теорий и подходов к их разработке того, что все они являются, по словам В. И. Ленина, “крупицами абсолютной истины”, что прогресс в развитии математических теорий и методов позволяет все более адекватно отражать многообразие отношений объективной действительности.

  Те или иные трудности, возникающие в математике, не следует рассматривать как кризис в математике. Нельзя не согласиться с прогрессивным аргентинским философом — материалистом М. Бунге, который пишет по поводу математических систем следующее: “Предложения, принимаемые за основные в данной системе, — это не непогрешимые интуиции, но пробные гипотезы, почти такие же, как в эмпирических науках... Наши теории, как формальные, так и фактические, не похожи” на здания, которые разваливаются, если сместить их фундамент; они скорее подобны растущим организмам со скоропортящимися и взаимопроверяемыми частями”²⁷.

  Вместе с тем следует подчеркнуть, что математические теории сменяются не беспорядочно, по произволу математиков, начисто отрицая друг друга. Все истинное и прогрессивное, что было достигнуто раньше в математике, сохраняется. В математике, как и в мышлении вообще, существует определенная преемственность.

  Ярким свидетельством этой преемственности может служить так называемый принцип соответствия²⁸, основы для формулирования которого содержались уже в идеях Н. Л. Лобачевского, показавшего, что его геометрия выступает по отношению к геометрии Эвклида как обобщенная геометрия, включающая последнюю как свой частный предельный случай.

  Принцип соответствия играет очень важную эвристическую роль при построении новых математических теорий, так как он позволяет экстраполировать математические соотношения одной теории в другую.

  Метод экстраполяции и был фактически применен Лобачевским, который показал, что логически возможна не одна геометрия Эвклида и что путем изменения и обобщения основ эвклидовой геометрии можно строить другие геометрии, логически совершенные и богатые содержанием.

  Эти геометрии способны описывать (отражать) такие явления материального мира (например, явления микромира), которые недоступны для геометрии Эвклида.

  Постоянная смена идей и методов в математике делает ее все более тонким и мощным орудием познания мира, отражения объективной реальности.

  К сожалению, нечеткая философская позиция некоторых математиков, анализирующих методологические, вопросы своей науки, закрывает им дорогу для правильного понимания этого вопроса.

  Так, например, Н. Бурбаки отказывается “всерьез выступать из-за отсутствия компетентности” по основному философскому вопросу математики — о “взаимоотношении мира экспериментального и мира математического”²⁹.

  Уже сам отказ от решения этой проблемы наносит серьезный ущерб всей концепции. Но в данном случае дело обстоит значительно хуже: Бурбаки только кажется, что он остается нейтральным в решении вопроса, по которому идет ожесточенная борьба между материализмом и идеализмом. На самом деле он в этой борьбе делает серьезные уступки идеализму.

  Связь между математическими структурами и физической реальностью представляется Бурбаки случайным, привходящим и непознаваемым обстоятельством: “То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, — это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-либо смысл), и, быть может, мы их никогда не узнаем”³⁰.

  Бурбаки удивляется, почему в квантовой физике за “макроскопической” интуицией действительности скрываются “микроскопические” явления совсем другой природы, почему к этим последним применимы такие разделы математики, которые не были изобретены с целью приложений к экспериментальным наукам, почему общие концепции математики отнюдь не ограничиваются своим частным применением, а допускают, новые интерпретации и возможность полностью выполнить свою роль в обработке данных.

  Конечно, анализ всех этих трудных вопросов методологии математики нельзя считать законченным. Но диалектический материализм позволяет дать в принципе верный ответ на них и указывает направление исследования.

  Применимость общих математических структур не только к тем частным математическим истинам, от которых они абстрагированы, но и к далеко отстоящим от них проблемам, а также к тем явлениям действительности, для описания которых они заранее не изобретались, не являются случайным фактом. Неверно также, что причины этого факта совершенно неизвестны и что мы их никогда не узнаем.

  Совершенно прав А. А. Ляпунов, который в заметке о статье Бурбаки “Архитектура математики” пишет:

  “На самом деле единство материального мира обусловливает то, что при самых различных обстоятельствах возникают однотипные связи между различными сторонами проявлений его особенностей. Эти проявления являются источником физических представлений, которые в свою очередь являются источником математических теорий. Близость тех структур, которые изучаются в этих теориях, является своеобразным отражением единства материального мира в математической абстракции” ³¹.

  И нет ничего удивительного в том, что экспериментальная действительность укладывается в “абстрактные формы — математические структуры”. Положения математики прекрасно согласуются с действительностью, успешно применяются к ней именно потому, что они в конечном счете отвлечены от этой действительности.

  При этом практика людей и в первую очередь их производственная деятельность являются критерием пригодности математических теорий для описания определенных отношений материальной действительности.

  Мы рассмотрели лишь некоторые философские вопросы математики. Бурное развитие математики в наши дни, возрастание ее роли в развитии современной науки и техники ставит все новые и новые методологические проблемы.

---

¹ Аристотель. О душе. М., Соцэкгиз, 1937, стр. 102.

² Аристотель. Метафизика. М.-Л., Соцэкгиз, 1934, стр. 185—186.

³ Там же, стр. 186.

⁴ Такое “формальное” понимание истины получило широкое распространение в математике в последние десятилетия. Его придерживаются Пуанкаре, Гильберт, Карнап и большинство других современных математиков и философов-позитивистов.

⁵ А. Кант. Пролегомены... М., 1937, стр. 40.

⁶ А. Теитинг. Обзор исследований по основаниям математики. М.-Л., 1936, стр. 9.

⁷ А. Гейтинг. Обзор исследований по основаниям математики. стр.20.

⁸ D. Нilbеrt. Naturerkennen und Logik. “Naturwissenschaften”. H. 47—49, 1930, стр. 961.

⁹ Аристотель. Метафизика. M.-Л, 1934, стр. 162.

¹⁰ Профессор Г. И. Челпанов. Учебник логики. 1946, стр. 6—7.

¹¹ C. Яновская. Идеализм и математика. Сборник статей по философии математики. Под редакцией профессора С. А. Яновской. М., стр. 64.

¹² С. Яновская. Идеализм и математика. Сборник статей по философии математики, стр. 67—68.

¹³ Пуанкаре. Наука и метод. Одесса, 1510, стр. 124.

¹⁴ Цит. по книге Г. Клауса “Введение в формальную логику”. М., Изд-во иностранной литературы, 1960, стр. 385.

¹⁵ П. С. Новиков. Элементы математической логики. Физматгиз, 1959, стр. 13.

¹⁶ Отметим, что и многие другие теории строились по этому принципу и это нашло свое отражение даже в заглавиях некоторых работ, например знаменитой диссертационной речи Римана (1854 г.) “О гипотезах, лежащих в основании геометрии” и работы М. Пиери (1899 г.) “Элементарная геометрия как гипотетико-дедуктивная система”.

¹⁷ Интерпретация, или моделирование, одной теории при помощи другой достигается путем установления изоморфизма между этими теориями, т. е. при помощи установления взаимно однозначного соответствия между основными понятиями и аксиомами этих теорий.

¹⁸ П. С. Новиков. Элементы математической логики, стр. 17.

¹⁹ Подробнее об этом см. в книге Стефана К. Клини “Введение в метаматематику”. М., 1957, стр. 39—63.

²⁰ Напомним, что под множеством понимается любая совокупность объектов.

²¹ Подмножеством называется часть множества.

²² Нетрудно понять, что “множество всех множеств” включает в себя бесконечную совокупность элементов (множеств), т. е. оно представляет собой актуальную бесконечность.

²³ Следует отметить, что советские математики—сторонники конструктивного направления в математике — стоят на прямопротивоположных философских позициях по отношению к идеалистическим взглядам интунционистов.

²⁴ А. А. Марков. Теория алгорифмов. Изд-во АН СССР, 1954, стр. 15.

²⁵ “Теорема Гёделя... не полностью закрывает двери дальнейшим попыткам доказательств непротиворечивости при условии отказа (хотя бы частичного) от ограничений Гильберта, касающихся “финитных процессов” (Н, Бурбаки. Очерки по истории математики, стр. 60).

²⁶ Н. Бурбаки. Очерки по истории математики, стр. 256—257.

²⁷ Маriо Вunge. Intuition and schience. New York, Prentice-Hall, 1962, p. 65.

²⁸ Принцип соответствия играет важную роль и в других науках, в особенности в физике. Сам термин “принцип соответствия” был предложен датским физиком Н. Бором в 1913 году. Н. Бор показал, что для больших квантовых чисел частота излучения, испускаемого атомом при переходе от одного состояния к другому, вычисляемая в квантовой теории, ассимптотически приближается к одной из частот, определяемой по классической теории. Соответствие существует и между другими законами квантовой механики и классической механики. Так, например, если квант действия в уравнении, Шредингера принять стремящимся к нулю (h->0), то это уравнение переходит в уравнение Гамильтона — Якоби. Соответствие имеет место также между законами релятивистской и классической механики, между законами волновой и геометрической оптики и т. д.

²⁹ Н. Бурбаки. Очерки по история математики, стр. 258.

³⁰ Н. Бурбаки. Очерки по истории математики, стр. 258.

³¹ А. А. Ляпунов. О фундаменте и стиле современной математики. “Математическое просвещение” № 5, 1960, стр. 114—15.