Рис. 1.

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой треугольник АВСО (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ (0,08;0,1) с началом координат О (0;0).

Построим некоторую линию уровня 0,08х₁+0,1х₂=а.

Пусть, например, а = 0

(0;0) (100;-80)

Такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору-градиенту.

При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня ОХ являются соответственно точка В (максимум) и точка О (минимум). Далее она выходит из ОДР.

Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения всех прямых.

х₁ = 200;

Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х₁ = 100; х₂ = 200 максимальное значение, равное

f(х₁,х₂) = 0,08 х 100 + 0,1 х 200 = 28

                                                                   Задача 2

2.1. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум

выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

-        проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

-        определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;

-        оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение

1. Обозначим через х_j = 1-4 – количество продукции каждого вида и запишем математическую модель задачи критерию «максимум выручки от реализации готовой продукции»:

Оптимальный план задачи получен с помощью надстройки Excel Поиск решения:

Оптимальный план: Х₁=18, Х₂=0, Х₃=0, Х₄=11

Проверим как удовлетворяет система функциональных ограничений оптимальным планом Х* = (х₁ = 18, х₂ = 0, х₃ = 0, х₄ = 11)

1 х 18 + 2 х 0 + 1 х 0 + 0 х 11 = 18

1 х 18 + 1 х 0 + 2 х 0 + 1 х 11 = 29 < 30

1 х 18 + 3 х 0 + 3 х 0 + 2 х 11 = 40

Значение целевой функции на этом плане равно:

f (X) = 12 х 18 + 7 х 0 + 18 х 0 + 10 х 11 = 326

2.

Двойственная задача имеет вид:

min (18у₁+30у₂+40у₃)

Для нахождения оценок (у₁,у₂,у₃) используем вторую теорему двойственности.

Т.к. как 2-е ограничение выполняется как строгое неравенство, то у₂=0.

Так как х₁>0 и х₄>0, то для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

у₂ = 0

у₁ = 7, у₂ = 0, у₃ = 5.

Значение целевой функции составит:

min φ(Y) = 18 х 7 + 30 х 0 + 40 х 5 = 326

f(Х) = φ (Y) = 326

3. Нулевые значения х₂, х₃ обозначает то, что продукцию данного вида выпускать нецелесообразно.

4. Прирост объемов сырья первого типа на единицу дает приращение стоимости на 7 у.е., третьего типа – на 5 у.е., второго типа – не приведет к изменению стоимости. Недефицитным является сырье второго типа. Острее ощущается дефицит сырья первого типа, чем третьего.

Так как изменение сырья II вида не приведет к изменению стоимости получим:

Х = (х₁ = 22, х₂ = 0,х₃ = 0, х₄ = 15)

Соответственно выручка увеличится на 78 у.е. и составит 404 у.е.

Изделие «» в план включать невыгодно, т.к. 7 х 2 + 0 х 2 + 5 х 2 – 10 = 14 >0.

Задача 3

3.1 Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие — продукции второго вида; третье предприятие — продукции третьего вида.

Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).

Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (a_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Решение

А = , Y =

Найдем матрицу (Е-А):

 -  =

Вычислим определитель этой матрицы:

0,689

Транспонируем матрицу (Е-А):

Найдем алгебраические дополнения матрицы :

Таким образом, присоединенная к матрице (Е-А) матрица имеет вид:

Найдем матрицу В коэффициентов полных материальных затрат:

Матрица А продуктивна, т. к. все элементы матрицы В >0.

Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х):

Определим элементы первого квадранта:

т.е. элементы первого, второго и третьего столбцов заданной матрицы умножим на величину Х₁ = 311,3, Х₂ = 235,8, Х₃ = 330,2 соответственно.

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) найдем как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант состоит из одного показателя и служит для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.

Построим баланс производства и распределения продукции отраслей.

Задача 4

4.1. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК (Y(t)) — расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

5. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение

1. Проверим наличие аномальных наблюдений.

Рис.1. Диаграмма рассеяния

Данные диаграммы рассеяния показывают, что аномальных наблюдений нет (рис. 1).

2. Построим линейную модель:

,

где

Построим расчетную таблицу 1.

Таблица 1

Линейная модель имеет вид:

3. Для оценки адекватности модели составим расчетную таблицу 2.

Таблица 2

Проверка условия адекватности на основе исследования:

а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

4>2

Неравенство выполняется, следовательно, ряд остатков можно считать случайным.

б) независимости уровней ряда остатков:

Критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d₁=1,08 и d₂=1,36)

                    (d₁ < d < d₂ – область неопределенности).

Первый коэффициент корреляции:

< r_табл. = 0,36, расчетное значение меньше табличного, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

в) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию (критические уровни 2,7 - 3,7)

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к. полученное значение RS (3,1) попадает в заданный интервал (2,7<3,1<3,7).

4. Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Ошибка не превышает 15%, значит, точность модели считается приемлемой.

6. Осуществим прогноз спроса на две недели:

Точечный по формуле:

Y₍₁₀₎ = 4,9 + 5,3 х 10 = 57,9

Y₍₁₁₎ = 4,9 + 5,3 х 11 = 63,2

Интервальный по формуле:

Покажем в таблице результаты прогноза:

Таблица 3

7. Представим графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования (рис. 2).

Рис. 2.