Построение и анализ рядов динамики позволяют выявить и измерить закономерности развития результатов производственной деятельности во времени. Эти закономерности не проявляются четко на каждом конкретном уровне, а лишь в тенденции, в достаточно длительной динамике. Но на основную закономерность динамики накладываются другие, прежде всего случайные, иногда сезонные влияния. Выявление основной тенденции в изменении уровней, именуемой трендом, и является одной из главных задач анализа рядов динамики.

Анализ скорости и интенсивности развития явления во времени осуществляется с помощью статистических показателей, которые получаются в результате сравнения уровней между собой. К таким показателям относятся: абсолютный прирост; темп роста и прироста; абсолютное значение одного процента прироста.

При этом принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым происходит сравнение, - базисным.

Важнейшим статистическим показателем анализа динамики является абсолютный прирост (сокращение) ∆х, т.е. абсолютное изменение, характеризующее увеличение или уменьшение уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разнице двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста.

Абсолютные приросты могут быть цепными (по отношению к предыдущему периоду) и базисными (по отношению к какому-либо базисному периоду).

Абсолютный прирост:                                Абсолютный прирост:

         (цепной):                                                (базисный):

      ∆y(ц)= yi - yi-1;                                    ∆y(б)= yi - у0   [2, стр.114]

          где yi - уровень сравниваемого периода;

yi-1 - уровень предшествующего периода;

у0 - уровень базисного периода.

В качестве примера цепные и базисные абсолютные приросты представлены в таблице 1.1. Они показывают прирост (сокращение) производства электроэнергии РФ по годам и абсолютное изменение по сравнению с 1992 годом.

Цепные и базисные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равны базисному, т.е. общему приросту за весь промежуток времени:

∑∆y(ц) = ∆y(б)

Для оценки интенсивности, т.е. относительного уровня динамического ряда за какой-либо период времени исчисляются темпы роста (снижения).

Интенсивность изменения уровня оцениваются отношением отчетного уровня к базисному.

Показатель интенсивности изменения уровня ряда, выраженный в долях единицы, называется коэффициентом роста, а в процентах темпом роста.

Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше базисного (если этот коэффициент больше 1) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если коэффициент меньше 1). Темп роста всегда представляет собой положительное число.

Коэффициент роста (цепной):                 Коэффициент роста (базисный):

K(ц)р= yi / yi-1                                                           K(б)р= yi / y0

Темп роста (цепной)                                        Темп роста (базисный)

T(ц)р= yi / yi-1 *100%                                           T(б)р = yi / y0 *100%

Итак: Тр=Кр*100%

Цепные и базисные коэффициенты роста, характеризующие изменения производства электроэнергии в России по годам и за весь период, исчислены в таблице 1.1.

Относительную оценку скорости изменения уровня ряда за единицу времени дают показатели темпа прироста (сокращения).

Темп прироста (сокращения) показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше базисного, и исчисляется как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому за базу сравнения. Темп прироста может быть положительным, отрицательным или равным нулю, выражается он в процентах или долях единицы (коэффициент прироста).

Темп прироста (цепной):                         Темп прироста (базисный):

Т(ц)прир= ∑δy(ц)/ yi-1*100%                       Т(б)прир= ∑δy(б)/ yi-1*100%                                             

Темп прироста (сокращения) можно получить и из темпа роста, выраженного в процентах, если из него вычесть 100%.

Коэффициент прироста получается вычитанием единицы из коэффициента роста:

Тприр =Т_р-100;                                            Кпр=Кр-1

Цепные   и    базисные   темпы   прироста   (сокращения)   производства электроэнергии исчислены в таблице 1.1.

При анализе динамики результатов производственной деятельности следует также знать, какие абсолютные значения скрываются за темпами роста и прироста. Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же периоды времени показывает, что при снижении (замедлении) темпов прироста абсолютный прирост не всегда уменьшается, в отдельных случаях он может возрастать. Поэтому, чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста. Результат выражают показателем, который называется абсолютным значением (содержанием) одного процента прироста и рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за определенный период времени, %:

А% = ∆y(ц) / Т(ц)пр= yi - yi-1 / yi-1 *100 = yi-1 / 100 = 0,01 yi-1    [3, стр. 131]

Абсолютные значения одного процента прироста исчислены в табл. 1.1.

В тех случаях, когда сравнение необходимо произвести с отдалением периода времени, принятого за базу сравнения, рассчитывают так называемые пункты роста, которые представляют собой разность базисных темпов роста, %, двух смежных периодов.

В отличие от темпов роста, которые нельзя ни суммировать, ни перемножать, пункты роста можно суммировать, в результате получится темп прироста соответствующего периода по сравнению с базисным.

По данным таблице 1.1, сумма пунктов роста равна -13,6%, что соответствует темпу прироста уровня изучаемого показателя в 1998 г. по сравнению с 1993 г.

Таблица 1.1

Динамика производства электроэнергии в РФ. [2. стр. 115]

Примечание: А% =yi-1/100 - абсолютное значение 1% прироста, млрд. КВт*ч

1. 3. Статистическое изучение рядов динамики результатов производственной деятельности.

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления (тренда). В некоторых случаях закономерность изменения явления, общая тенденция его развития явно и отчетливо выражается уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются).

Однако зачастую встречаются такие ряды динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые различные изменения, то возрастают, то убывают, и общая тенденция развития не ясна. На развитие явления во времени оказывают влияние различные по характеру и силе воздействия факторы. Одни из них воздействуют постоянно и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития, воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Поэтому при анализе динамики акцент делается на основную тенденцию, достаточно стабильную и устойчивую на протяжении всего изучаемого этапа развития.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Главной задачей является выявление общей тенденции в изменении уровней ряда, освобожденных от действия случайных различных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики результатов производственной деятельности является укрупнение интервалов.   Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Средняя, исчисляемая по укрупненным интервалам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития, т.к. после укрупнения интервалов основная тенденция развития производства становится очевидной.

Выявление основной тенденции может осуществятся также методом скользящей (подвижной) средней. Суть его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3,5,7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т.д. таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок. Полученный сглаженный ряд короче фактического. Он меньше подвержен колебаниям из-за случайных причин, и четче выражает основную тенденцию развития результатов производственной деятельности за изучаемый период.

Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а, следовательно потеря информации.

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее от случайных и сезонных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основу тенденции изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

                                                 ^

уt = f (t),

где уt - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней уt производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отражает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

                                            ^

линейная функция - прямая y_t = а₀ + а1t ,

где а₀, а1 - параметры уравнения, t - время;

                                                          ^                 t

показательная функция y_t = а_{0 *} а1 ;

степенная функция - кривая второго порядка (парабола)

^

y_t = а₀ + а1t + a₂t² .

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

Расчет параметров функции обычно производится при помощи метода наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отношений между теоретическими и эмпирическими уровнями:

                                                ^      2

∑(yt - yi) → min

где yt - выровненные (расчетные) уровни; yi - фактические уровни.

Параметры уравнения аi, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней у, плавно изменяющимися уровнями y_t, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные. [4, стр. 60]

1.4. Прогнозирование результатов производственной деятельности

Необходимым условием регулирования рыночных отношений является составление надежных прогнозов развития социально-экономических явлений.

Выявление и характеристика трендов и моделей взаимосвязи создают основу для прогнозирования, т.е. для определения ориентировочных размеров явления в будущем. Для этого используется метод экстраполяции.

Под экстраполяцией понимается нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом (перспективная экстраполяция).

Но поскольку в действительности тенденция развития не остается неизменной, то данные, получаемые путем экстраполяции ряда, надо рассматривать как вероятностные оценки.

Экстраполяцию рядов динамки результатов производственной деятельности осуществляют различными способами, например, экстраполируют ряды динамики выравниванием по аналитическим формулам. Зная, уравнение для теоретических уровней и подставляя в него значение t за пределами исследованного ряда, рассчитывают для t                   

                        ^

вероятностные y_t.

На практике результат экстраполяции прогнозируемых явлений обычно получают не точечными (дискретными), а интервальными оценками.

Для определения границ интервалов используют формулу:

                                                      ^

Yt+-tаSyt,

где t_a - коэффициент доверия по распределению Стьюдента;

           _____ ^_2___________

S_yt ⁼ √∑(yi - yt)2 / (n - m) — остаточное среднее отклонение от тренда, скорректированное по числу степеней свободы (n - m);

n - число уровней ряда динамики;

m - число параметров адекватной модели тренда (для уравнения прямой m=2). Вероятностные границы интервала прогнозируемого явления:

(yt - tаSyt) ≤yпр≤(yt + tаSyt)

Экстраполяция в рядах динамики носит не только приближенный, но и условный характер. Поэтому ее надо рассматривать как предварительный этап в разработке прогнозов. Для составления прогноза должна быть привлечена дополнительная информация, не содержащаяся в самом динамическом ряду. [4, стр. 68]

2. Расчетная часть

Задание 1.

По исходным данным таблицы 1:

1)      Постройте статистический ряд распределения организаций по признаку - уровень среднегодовой заработной платы (СЗП - определите путем деления фонда зарплаты на среднесписочную численность работников).

2)      Постройте   графики   полученного   ряда   распределения. Графически определите значения  моды  и медианы.

3)      Рассчитайте     характеристики     ряда     распределения:     среднюю арифметическую, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации.

4)      Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным   показателем,   рассчитанным   в   п.З   настоящего задания. Объясните причину их расхождения. Сделайте выводы.

Решение

1)      Определим уровень среднегодовой зарплаты по формуле:

СЗП=ФЗП/ССЧраб    (таблица 2.1).

Сделаем сортировку данных по возрастанию (табл. 2.2). Определим величину интервала групп по формуле:

i = (Xmax-Xmin)/n, где п = 5

i = (120-36)/5 = 16,8 тыс. руб.

Построим границы групп (таблица 2.3):

1 гр: от 36 до 36+16,8=52,8 тыс. руб.

2 гр: от 52,8 до 52,8+16,8=69,6 тыс. руб.

3 гр: от 69,6 до 69,6+16,8=86,4 тыс. руб.

4 гр: от 86,4 до 86,4+16,8=103,2 тыс. руб.

5 гр: от 103,2 до 103,2+16,8=120 тыс. руб.

На основе ранжированного ряда (таблицы 2.2) построим рабочую таблицу, в которой разнесем данные по группам и подсчитаем итоги по каждой группе. Затем построим статистический ряд распределения организаций по уровню СЗР (таблица 2.4).

2)  Строим графики полученного ряда распределения (рисунки 2.1, 2.2, 2.3) - гистограмма, полигон и кумулята. Определяем значения моды и медианы (рисунки 2.1, 2.3).

М0 = 69,4 + 16,6*((12-6)/((12-6)+(12-5))) = 77,06

Ме = 69,4+15*((12-6)/((12-6)+(12-5))) = 76,9

Вывод: на половине предприятий работники имеют среднегодовую заработную плату до 76,9 тыс. руб., а на половине - выше этой суммы

3)  Рассчитаем среднюю арифметическую, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации (таблица 2. 4).

а) средняя арифметическая взвешенная:

X1=(∑X*f)/∑f=((3*44,4)+(6*61,2)+(12*78)+(5*94,8)+(4*11,6))/30

Х1=2356,8/30=78,56

б)  среднее квадратичное отклонение:

 G=∑(X-X)*f/∑f=l0997,99/30=366,60                   _____