Характеристика и применение моделей оценки финансовых активов (САРМ, АРТ)

Содержание:

Введение_______________________________________________________ 3

1.Модель оценки стоимости активов (CAPM)_______________________ 5

1.1.Линия рынка капитала________________________________________ 5

1.2. Рыночный и нерыночный риски. Эффект диверсификации__________ 7

1.3.Бета_______________________________________________________ 9

1.4.Линия рынка актива SML____________________________________ 12

1.5.Вопросы, возникающие при построении SML____________________ 15

1.6.CML и SML_______________________________________________ 16

1.7.Альфа____________________________________________________ 17

2.Модификации CAPM_________________________________________ 21

2.1.САРМ для случая, когда ставки по займам и депозитам не равны____ 21

2.2.САРМ с нулевой бетой______________________________________ 22

2.3.Версия  САРМ  для облигаций________________________________ 22

3.Теоретические и практические аспекты использования модели арбитражного ценообразования (АРТ)_________________________________________ 24

3.1.Общий вид модели арбитражного ценообразования______________ 24

3.2.Выбор факторов, влияющих на доходность_____________________ 26

3.3.Расчет элементов ставки дисконтирования_______________________ 28

Заключение___________________________________________________ 31

Список литературы____________________________________________ 33

Введение

Инвесторы сталкиваются с проблемой оценки стоимости активов. Она зависит главным образом от их риска и доходности.

На рынке выдерживается закономерность: чем выше потенциальный риск, тем выше должна быть и ожидаемая доходность. У каждого инвестора формируются свои прогнозы относительно отмеченных параметров. В то же время рынок постоянно движется в направлении определенной равновесной оценки риска и доходности активов. Возможные расхождения в оценках, в первую очередь, связаны с ассиметричностью информации, которой обладают разные инвесторы.

В условиях хорошо развитого рынка новая информация находит быстрое отражение в курсовой стоимости активов. Поэтому для таких условий можно разработать  модель, которая бы удовлетворительно описывала взаимосвязь между риском и ожидаемой доходностью активов. Такая  модель  разработана в середине 60-х гг. У. Шарпом и Дж. Линтерном и получила название  модели  оценки стоимости активов (capital asset pricing model -  САРМ ).

Как известно, стоимость актива определяется путем дисконтирования будущих доходов, которые он принесет, под процентную ставку, соответствующую его риску.  Модель  оценки стоимости активов не дает непосредственного ответа на вопрос, какой должна быть цена актива. Однако она получила такое название, потому что позволяет определить ставку дисконтирования, используемую для расчета стоимости финансового инструмента.

В  модели  устанавливаются следующие ограничения: рынок является эффективным, т. е. в курсовой стоимости актива новая информация сразу находит отражение, активы ликвидны и делимы, отсутствуют налоги, трансакционные издержки, банкротства, все инвесторы имеют одинаковые ожидания, действуют рационально, стремясь максимизировать свою полезность, имеют возможность брать кредит и предоставлять средства под ставку без риска, рассматривается один временной период, доходность является только функцией риска, изменения цен активов не зависят от существовавших в прошлом уровней цен.

Расчет ставки дисконта – один из основных этапов доходного подхода к оценке компании, т.к. ее величина значительно влияет на конечный результат, получаемый в рамках доходного подхода (и конечной стоимости компании в целом). Следовательно, важность ее наиболее правомерного расчета очевидна.

Тем не менее, существует ряд проблем информационного и методологического характера, с которыми приходится сталкиваться при расчетах ставки дисконтирования. Такое положение вещей во многом связано с тем, что наиболее часто используемые методы построения ставки дисконтирования разработаны зарубежными специалистами для использования в развитых странах с эффективно функционирующими финансовыми рынками. Одним из таких методов является метод, основанный на использовании теории арбитражного ценообразования. Метод арбитражного ценообразования нельзя назвать распространенным методом расчета ставки дисконтирования, но, тем не менее, он имеет ряд преимуществ.

1.Модель оценки стоимости активов (CAPM)

1.1.Линия рынка капитала

В  САРМ  зависимость между риском и ожидаемой доходностью графически можно описать с помощью линии рынка капитала (Capital Market Line - CML), которая представлена на рис. 1.

Рис. 1. Линия рынка капитала

М - это рыночный портфель, rf  - актив без риска; rf L - линия рынка капитала; sm - риск рыночного портфеля; Е(rm) - ожидаемая доходность рыночного портфеля. Все возможные оптимальные (эффективные) портфели, т. е. портфели, которые включают в себя рыночный портфель М, расположены на линии rfL.

Она проходит через две точки - rf и М. Таким образом, линия рынка капитала является касательной к эффективной границе. Все другие портфели, в которые не входит рыночный портфель, располагаются ниже линии rf L. CML поднимается вверх слева направо и говорит о том, что если портфель имеет более высокий риск, то он должен предлагать инвестору и более высокую ожидаемую доходность, и если вкладчик желает получить более высокую ожидаемую доходность, он должен согласиться на более высокий риск.

Наклон СML следует рассматривать как вознаграждение (в единицах ожидаемой доходности) за каждую дополнительную единицу риска, которую берет на себя вкладчик. Когда вкладчик приобретает актив без риска, он обеспечивает себе доходность на уровне ставки без риска rf. Если он стремится получить более высокую ожидаемую доходность, то должен согласиться и на некоторый риск. Ставка без риска является вознаграждением за время, т. е. деньги во времени имеют ценность.

Дополнительная доходность, получаемая инвестором сверх ставки без риска, есть вознаграждение за риск. Таким образом, вознаграждение лица, инвестировавшего свои средства в рыночный портфель, складывается из ставки rf, которая является вознаграждением за время, и премии за риск в размере Е(rf) - rf. Другими словами, на финансовом рынке его участники уторговывают между собой цену времени и цену риска. CML представляет собой прямую линию. Уравнение прямой можно представить следующим образом:

y = a + bx

где: а - значение ординаты в точке пересечения ее линией СML, оно соответствует ставке без риска rf,

b - угол наклона СML.

Угол наклона определяется как отношение изменения значения функции к изменению аргумента. В нашем случае (см. рис. 1) угол наклона равен:

Поскольку ожидаемая доходность (у) есть функция риска (х), то в уже принятых терминах доходности и риска уравнение CML примет вид:

где: si - риск i-го портфеля, для которого определяется уровень ожидаемой доходности,

Е(ri) - ожидаемая доходность i-го портфеля.

Данное уравнение можно записать следующим образом:

Таким образом, ожидаемая доходность портфеля равна ставке без риска плюс произведение отношения риска портфеля к риску рыночного портфеля и разности между ожидаемой доходностью рыночного портфеля и ставкой без риска.

Пример. rf = 10%, Е(rm) = 25%, si = 30%, sm = 15%. Определить ожидаемую доходность портфеля. Она равна:

CML говорит о соотношении риска и ожидаемой доходности только для широко диверсифицированных портфелей, т. е. портфелей, включающих рыночный портфель, но не отвечает на вопрос, какой ожидаемой доходностью должны обладать менее диверсифицированные портфели или отдельные активы.

1.2. Рыночный и нерыночный риски. Эффект диверсификации

Риск, с которым связано владение активом, можно разделить на две части. Первая составляющая - это рыночный риск. Его также именуют системным или недиверсифицируемым, или неспецифическим. Он связан с состоянием конъюнктуры рынка, общезначимыми событиями, например, войной, революцией. Его нельзя исключить, потому что это риск всей системы. Вторая часть - нерыночный, специфический или диверсифицируемый риск.

Он связан с индивидуальными чертами конкретного актива, а не с состоянием рынка в целом. Например, владелец какой-либо акции подвергается риску потерь в связи с забастовкой на предприятии, выпустившем данную бумагу, некомпетентностью его руководства и т. п. Данный риск является диверсифицируемым, поскольку его можно свести практически к нулю с помощью диверсификации портфеля.

Как показали исследования западных ученых, портфель, состоящий из хорошо подобранных 10-20 активов, способен фактически полностью исключить нерыночный риск (см. рис. 2).

Рис. 2. Эффект диверсификации

Широко диверсифицированный портфель заключает в себе практически только рыночный риск. Слабо диверсифицированный портфель обладает как рыночным, так и нерыночным рисками. Таким образом, инвестор может снизить свой риск только до уровня рыночного, если сформирует широко диверсифицированный портфель.

Приобретая актив, вкладчик рассчитывает получить компенсацию за риск, на который он идет. Однако риск состоит из двух частей. Каким образом рынок оценивает компоненты риска с точки зрения ожидаемой доходности? Как было сказано выше, инвестор способен практически полностью исключить специфический риск за счет формирования широко диверсифицированного портфеля. В рамках модели САРМ  предполагается, что вкладчик может свободно покупать и продавать активы без дополнительных издержек.

Поэтому формирование более диверсифицированного портфеля не ведет к увеличению его расходов. Таким образом, без затрат вкладчик может легко исключить специфический риск. Поэтому в теории предполагается, что нерыночный риск не подлежит вознаграждению, поскольку он легко устраняется диверсификацией. В связи с этим, если инвестор не диверсифицирует должным образом свой портфель, он идет на ненужный риск с точки зрения той выгоды, которую он приносит обществу.

Приобретая, например, акцию, инвестор финансирует производство и таким образом приносит обществу пользу. Покупка акции связана с нерыночным риском, который является неустранимым. Поэтому инвестор должен получать вознаграждение адекватное только данному риску. В противном случае он не приобретет эту бумагу, и экономика не получит необходимые финансовые ресурсы. Однако общество (рынок) не будет вознаграждать его за специфический риск, поскольку он легко устраняется диверсификацией. С точки зрения финансирования потребностей экономики, данный риск не имеет смысла. Таким образом, вознаграждению подлежит только системный риск.

Поэтому стоимость активов должна оцениваться относительно величины именно этого риска. Весь риск актива (портфеля) измеряется такими показателями как дисперсия и стандартное отклонение. Для оценки рыночного риска служит другая величина, которую называют бета.

1.3.Бета

Для измерения рыночного риска актива (портфеля) используется величина бета. Она показывает зависимость между доходностью актива (портфеля) и доходностью рынка. Доходность рынка - это доходность рыночного портфеля.

Поскольку невозможно сформировать портфель, в который бы входили все финансовые активы, то в качестве него принимается какой-либо индекс с

широкой базой. Поэтому доходность рынка - это доходность портфеля, представленного выбранным индексом. Бета рассчитывается по формуле:

(*)

или

где: bi - бета i-го актива(портфеля);

Covi, m - ковариация доходности i-го актива (портфеля) с доходностью рыночного портфеля;

Соrri, m - корреляция доходности i-го актива (портфеля) с доходностью рыночного портфеля.

Поскольку величина бета определяется по отношению к рыночному портфелю, то бета самого рыночного портфеля равна единице, так как ковариация доходности рыночного портфеля с самим собой есть его дисперсия, отсюда

где: bm - бета рыночного портфеля.

Бета актива (портфеля) без риска равна нулю, потому что нулю равна ковариация доходности актива (портфеля) без риска с доходностью рыночного портфеля. Величина b актива (портфеля) говорит о том, насколько его риск больше или меньше риска рыночного портфеля. Активы с бетой больше единицы более рискованны, а с бетой меньше единицы - менее рискованны чем рыночной портфель. Относительно величины бета активы делят на агрессивные и защитные.

Бета агрессивных активов больше единицы, а защитных - меньше единицы. Если бета актива равна единице, то его риск равен риску рыночного портфеля. Бета может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Положительное значение беты говорит о том, что доходности актива (портфеля) и рынка при изменении конъюнктуры меняются в одном направлении. Отрицательная бета показывает, что доходности актива (портфеля) и рынка меняются в противоположных направлениях.

Подавляющая часть активов имеет положительную бету. Бета актива (портфеля) показывает, в какой степени доходность актива (и соответственно его цена) будет реагировать на действие рыночных сил. Зная бету конкретного актива (портфеля), можно оценить, насколько должна измениться его ожидаемая доходность при изменении ожидаемой доходности рынка.

Например, бета бумаги равна +2. Это значит, что при увеличении ожидаемой доходности рыночного портфеля на 1% доходность бумаги возрастет на 2%, и наоборот, при уменьшении доходности рыночного портфеля на 1% доходность бумаги снизится на 2%. Поскольку бета бумаги больше единицы, то она рискованнее рыночного портфеля.

Если бета бумаги равна 0,5, то при увеличении ожидаемой доходности рынка на 1% ожидаемая доходность бумаги должна возрасти только на 0,5%. Напротив, при снижении доходности рынка на 1% доходность бумаги уменьшится только на 0,5%. Таким образом, риск данной бумаги меньше риска рынка. Если бета равна -2, то при повышении доходности рыночного портфеля на 1% доходность актива снизится на 2% и, наоборот.

Активы с отрицательной бетой являются ценными инструментами для диверсификации портфеля, поскольку в этом случае можно построить портфель с "нулевой бетой", который не будет нести риска. Здесь, однако, следует помнить, что такой портфель не аналогичен активу без риска, так как при нулевом значении беты он не содержит только системного риска. В то же время данный портфель сохранит риск нерыночный.

Зная величину беты для каждого из активов, вкладчик может легко сформировать портфель требуемого уровня риска и доходности.

Бета портфеля - это средневзвешенное значение величин бета активов, входящих в портфель, где весами выступают их удельные веса в портфеле. Она рассчитывается по формуле:

где: bP - бета портфеля;

bi - бета i-го актива;

qi - уд. вес i-го актива.

Пример.

Инвестор формирует портфель из трех активов:

А, В и С. bA = 0,8; bB = 0,95; bC = 1,3; qA = 0,5; qB = 0,2; qC = 0,3. Бета портфеля равна: 0,5*0,8 + 0,2*0,95 + 0,3*1,3 = 0,98.

Бета каждого актива рассчитывается на основе доходности актива и рынка за предыдущие периоды времени. Информацию о значениях беты можно получить от аналитических компаний, которые занимаются анализом финансового рынка, а также из периодической печати.

1.4.Линия рынка актива SML

CML показывает соотношение риска и доходности для эффективных портфелей, но ничего не говорит о том, как будут оцениваться неэффективные портфели или отдельные активы. На этот вопрос отвечает линия рынка актива (Security Market Line - SML). SML является главным итогом  САРМ . Она говорит о том, что в состоянии равновесия ожидаемая доходность актива равна ставке без риска плюс вознаграждение за рыночный риск, который измеряется величиной бета. SML изображена на рис. 3.

Она представляет собой прямую линию, проходящую через две точки, координаты которых равны (0; rf) и (1; E(rm)). Таким образом, зная ставку без риска и ожидаемую доходность рыночного портфеля, можно построить SML. В состоянии равновесия рынка ожидаемая доходность каждого актива и портфеля, независимо от того, эффективный он или нет, должна располагаться на SML.

Рис. 3. Линия рынка актива

Следует еще раз подчеркнуть, что если на CML находятся только эффективные портфели, то на SML располагаются как широко диверсифицированные, так и неэффективные портфели и отдельные активы. Ожидаемую доходность актива (портфеля) определяют с помощью уравнения SML.

(**)

Пример. rf = 15%, E(rm) = 25%, bi = 1,5. Определить E(ri).

Наклон SML определяется отношением инвесторов к риску в различных условиях рыночной конъюнктуры. Если у вкладчиков оптимистичные прогнозы на будущее, то наклон SML будет менее крутой, так как в условиях хорошей конъюнктуры инвесторы согласны на более высокие риски (поскольку они менее вероятны на их взгляд) при меньших значениях ожидаемой доходности (см. рис. 4 SML1).

Напротив, в преддверии неблагоприятной конъюнктуры SML примет более крутой наклон, так как в этом случае инвесторы в качестве компенсации потребуют более высокую ожидаемую доходность на приобретаемые активы для тех же значений риска (см. рис. 4 SML2). Если у инвесторов меняются ожидания относительно ставки без риска, это приведет к сдвигам SML. При увеличении rf SML сдвинется вверх, при понижении - вниз, как показано на рис. 5.

Рис. 4. Наклон SML в зависимости от ожиданий будущей конъюнктуры

Рис. 5. Наклон SML при изменении ставки без риска

1.5.Вопросы, возникающие при построении SML

На практике возникает ряд проблем, затрудняющих четкий ответ на вопрос, по каким данным следует строить SML. Как уже отмечалось,  САРМ  является  моделью  одного временного периода. Поэтому в теории ставка без риска принимается равной ставке по краткосрочным ценным бумагам. Однако вкладчики строят инвестиционные стратегии, ориентируясь и на долгосрочную перспективу.

Если в качестве ставки без риска принять ставку по долгосрочным ценным бумагам, то, как правило, SML примет более пологий наклон (см. рис. 6 SML2), чем в случае краткосрочных бумаг (см. рис. 6 SML1).

Рис. 6. Наклон SML в зависимости от  ставки без риска по краткосрочным и долгосрочным бумагам

На практике отмеченная проблема возникнет в том случае, когда ставки без риска по долгосрочным и краткосрочным облигациям отличаются в существенной степени и для активов (портфелей) с высокой или низкой бетой, поскольку для активов (портфелей) с бетой близкой к единице разница в доходности для двух случаев не будут большой. Возникает вопрос и относительно точности прогнозирования ожидаемой доходности рынка.

1.6.CML и SML

Чтобы лучше понять CML и SML, сравним их характеристики. В состоянии рыночного равновесия на CML располагаются только эффективные портфели. Другие портфели и отдельные активы находятся под СML. CML учитывает весь риск актива (портфеля), единицей риска выступает стандартное отклонение. В состоянии равновесия на SML расположены все портфели, как эффективные, так и неэффективные и отдельные активы. SML учитывает только системный риск портфеля (актива). Единицей риска является величина бета.

В состоянии равновесия неэффективные портфели и отдельные активы располагаются ниже СML, но лежат на SML, так как рынок оценивает только системный риск данных портфелей (активов)

          Рис. 7а. CML                         Рис. 7b. SML

На рис. 7a представлен эффективный портфель В, который располагается на CML. Риск портфеля равен sB, а ожидаемая доходность - rB.

На этом же рисунке представлена бумага А. Она имеет такую же ожидаемую доходность, что и портфель В, однако ее риск (sA) больше риска портфеля В. Так как бумага А - это отдельный актив, то она лежит ниже линии CML. Бета портфеля В и бета бумаги А равны, поэтому и портфель В и бумага А располагаются на SML в одной точке (см. рис. 7b). Так получается потому, что рынок оценивает портфели (активы) не с точки зрения их общего риска, который измеряется стандартным отклонением, а только на основе рыночного риска, измеряемого бетой. В результате актив А оценивается рынком точно также как и портфель В, хотя общий риск актива А больше, чем риск портфеля В. CML и SML можно сравнить еще следующим образом. Подставим из формулы (*) значение b в формулу SML (**). В результате получим уравнение SML несколько в ином виде:

Формулу для CML также можно записать аналогичным образом:

Однако в случае СML коэффициент корреляции равен +1, что говорит о полной корреляции эффективных портфелей с рынком. Неэффективные портфели и отдельные активы не имеют полной корреляции с рынком, что и нашло отражение в уравнении SML.

 САРМ  ничего не говорит о взаимосвязи ожидаемой доходности отдельного актива и его полного риска, измеряемого стандартным отклонением. SML устанавливает зависимость только между ожидаемой доходностью актива и его систематическим риском.

1.7.Альфа

Согласно  САРМ  цена актива будет изменяться до тех пор, пока он не окажется на SML. На практике можно обнаружить активы, которые неверно оценены рынком относительно уровня его равновесной ожидаемой доходности.

Если эта оценка не соответствует реальному инвестиционному качеству актива, то в следующий момент рынок изменит свое мнение в направлении более объективной оценки. В результате мнение рынка будет стремиться к некоторому равновесному (т. е. верному) уровню оценки. В реальной практике периодически происходит изменение конъюнктуры рынка, что вызывает и изменение оценок в отношении ожидаемой равновесной доходности.

Поэтому если учитывать протяженный период времени, то будет пересматриваться и сам уровень равновесной ожидаемой доходности. Однако в  САРМ  мы рассматриваем только один временной период, поэтому и можем говорить о равновесной доходности, которая в конечном итоге должна возникнуть на рынке для данного актива. Возможные отклонения от равновесного уровня могут наблюдаться в силу каких-либо частных причин в течение коротких промежутков времени.

Однако в следующие моменты должно возникнуть движение доходности актива к точке равновесного уровня. Если актив переоценен рынком, уровень его доходности ниже чем активов с аналогичной характеристикой риска, если недооценен, то выше. Показатель, который говорит о величине переоценки или недооценки актива рынком, называется альфой.

Альфа представляет собой разность между действительной ожидаемой доходностью актива и равновесной ожидаемой доходностью, т. е. доходностью, которую требует рынок для данного уровня риска. Альфа определяется по формуле:

где: ai - альфа i-го актива;

ri - действительная ожидаемая доходность i-го актива;

E(ri) - равновесная ожидаемая доходность.

Доходность актива в этом случае можно записать как

Откуда:

На рис. 8 представлены два актива, которые неверно оценены рынком по отношению к уровню их риска. Актив А недооценен, В - переоценен.

Согласно SML доходность А в условиях равновесия должна составлять 12,5%, фактическая оценка - 13%, т. е. актив предлагает 0,5% дополнительной доходности, поэтому его альфа равна +0,5. Противоположная ситуация представлена для актива В. Его равновесная ожидаемая доходность согласно SML составляет 17,5%, фактически он предлагает 13%, т. е. его альфа равна -4,5. Таким образом, актив недооценен рынком, если его альфа положительна, и переоценен, если отрицательна.

Для равновесной ожидаемой доходности альфа равна нулю. Инвесторы, желающие получить более высокие доходы, должны стремиться приобретать активы с положительной альфой. Через некоторое время рынок заметит недооценку, и их цена повысится. Одновременно инвесторам следует продавать активы с отрицательной альфой, так как в последующем их цена понизиться.

Рис. 8. Альфа активов

Доходность портфеля - это средневзвешенная величина доходностей входящих в него активов, поэтому альфа портфеля также является средневзвешенной величиной и определяется по формуле:

где: aP - альфа портфеля;

qi - уд. вес i-го актива в портфеле;

ai - альфа i-го актива.

Пример.

Портфель состоит из трех бумаг - А, В и С aA = 2; aB = 1,5; aC = -1;

qA = 0,5; qB = 0,2 и qC = 0,3. Альфа такого портфеля равна:

0,5*2 + 0,2*1,5 + 0,3*(-1) = 1.

2. Модификации CAPM

2.1.САРМ для случая, когда ставки по займам и депозитам не равны

Начальная версия  САРМ  предполагает, что ставки по займам и депозитам одинаковы. В реальной жизни они отличаются. Напомним, что в таких условиях эффективная граница не является линейной, а представляет собой несколько отрезков, как показано на рис. 9. Любой рискованный портфель, расположенный на сегменте M1M2 рассматривается в качестве рыночного.

Рис. 9. CAPM при различии в ставках по кредитам и депозитам

Для данного варианта возникают две формулы  САРМ  и SML, которые рассчитываются относительно двух рыночных портфелей в точках M1 и M2.

для случая, когда E(ri) < Е(rm 1) - (кредитный портфель), и

для случая, когда E(ri) > Е(rm 2) - (заемный портфель),

где: bim 1 - бета, рассчитанная относительно портфеля M1

bim 2  - бета, рассчитанная относительно портфеля M2.

2.2.САРМ с нулевой бетой

Вторая модификация  САРМ  возникает для случая, когда имеется актив, который содержит только нерыночный риск. Рыночный риск у него отсутствует, и поэтому его бета равна нулю. Для такой ситуации можно построить SML, которая будет проходить через рыночный портфель и рискованный актив с нулевой бетой. Уравнение  САРМ  в этом случае принимает вид

где: r0 - рискованный актив с нулевой бетой.

В качестве актива с нулевой бетой можно, например, рассматривать облигацию крупной компании. Если инвестор будет держать ее до погашения, то гарантирует себе определенный уровень процента, который не зависит уже от последующих колебаний цены этой бумаги. Единственный риск, которому подвергается вкладчик, это риск банкротства эмитента, поскольку в этом случае предприятие может и не осуществить причитающиеся ему платежи по облигациям.

2.3.Версия  САРМ  для облигаций 

Модель   САРМ  можно построить для облигаций. Она имеет следующий вид:

(***)

где: E(ri) - ожидаемая доходность i-й облигации;

Е(rm) - ожидаемая доходность рыночного портфеля облигаций;

bi - коэффициент бета i-й облигации. Он равен отношению дюрации облигации i (Di) к дюрации рыночного портфеля облигаций (Dm).

Формула (***) говорит: если доходность рыночного портфеля облигаций вырастет на 1%, то доходность i-й облигации возрастет на величину b. На рис. 10 представлена линия рынка облигаций. Как следует из формулы, в данной версии  САРМ  доходность облигации является линейной функцией дюрации облигации.

Рис. 10. Линия рынка облигаций

При использовании данной  модели  следует помнить, что она завышает доходность долгосрочных облигаций при повышении ставок. Так, для облигации с дюрацией 10 лет формула дает результат, который в 10 раз больше, чем для облигации с дюрацией 1 год. На практике данная разница не столь велика.

3. Теоретические и практические аспекты использования модели арбитражного ценообразования (АРТ)

3.1.Общий вид модели арбитражного ценообразования

Теория арбитражного ценообразования (АРТ) была предложена профессором Йельского университета С. Россом в 1976 г. и является альтернативной САРМ моделью общего равновесия на финансовом рынке. Главным предположением теории является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увеличения риска. Механизмом, способствующим реали­зации данной возможности, является арбитражный портфель.

Арбитраж (arbitrage) — это получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковую продукцию или ценные бумаги. Арбитраж, являющийся широко распространенной инвестиционной тактикой, обычно состоит из продажи ценной бумаги по относительно высокой цене и одновременной покупки такой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента) по относительно низкой цене. Арбитражная деятельность является важной составляющей современных эффективных рынков ценных бумаг. Поскольку арбитражные доходы являются безрисковыми по определению, то все инвесторы стремятся получать такие доходы при каждой возможности.

Определить, подходит ли ценная бумага или портфель для арбитражных операций, можно различными способами. Одним из них является анализ общих факторов, которые влияют на курс ценных бумаг. Факторная модель подразумевает, что ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам ведут себя одинаково, за исключением внефакторного риска. Поэтому ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в противном случае имелись бы «почти арбитражные» возможности. Но как только такие возможности появляются, деятельность инвесторов приводит к их исчезновению.

Таким образом, в основе модели арбитражного ценообразования лежит утверждение о том, что фактическая доходность любой акции складывается из двух частей: нормальной, или ожидаемой, доходности и рисковой, или неопределенной доходности. Последний компонент определяется многими экономическими факторами, например, рыночной ситуацией в стране, инфляцией, динамикой процентных ставок и др.

В наиболее общем виде модель арбитражного ценообразования описывается следующей зависимостью:

r = rf + b1k1 + b2k2 + … + bnkn,   где

r - требуемая инвестором ставка дохода;

rf - безрисковая ставка дохода;

b1,…,bn – чувствительность актива к каждому фактору риска в сопоставлении со средней чувствительностью рынка к данному фактору;

k1,…,kn – премия за риск, связанный с фактором k для среднего актива.

Модель АРТ обычно сравнивают с моделью САРМ. С теоретической точки зрения модель АРТ обладает неоспоримыми преимуществами:

- Модель АРТ расщепляет факторы риска на составляющие, приближая их к условиям, в которых действует конкретный бизнес;

- АРТ использует относительно более слабые упрощающие анализ предположения по сравнению с моделью оценки капитальных активов САРМ.

Однако у модели АРТ есть и свои недостатки, а именно:

- АРТ умалчивает о конкретных систематических факторах, влияющих на риск и доходность;

- АРТ требует тщательной подготовки информации и подробного анализа деятельности предприятия-конкурентов, занимаемой рыночной ниши и макроэкономических условий.

Перечисленные недостатки носят скорее практический характер. Таким образом, мы переходим к практическому аспекту использования модели арбитражного ценообразования для расчета ставки дисконта. Здесь возникает два вопроса:

1)                Какие факторы оказывают наибольшее влияние на доходность?

2)                Как рассчитать премии за риск (k1,…,kn) и чувствительности (b1,…,bn) по каждому фактору?

3.2.Выбор факторов, влияющих на доходность

Как уже было отмечено, существенным недостатком теории арбитражного ценообразования является неопределенность факторов, влияющих на доходность. Однако, экономисты, использующие АРТ в своих исследованиях, сами определяют круг показателей, которые, по их мнению, тесно связаны с доходностью того или иного актива.

Набор факторов, используемых в анализе очень широк. Среди них такие показатели, как темп прироста промышленного производства, величина инфляции, разница между долгосрочными и краткосрочными ставками, разница между надежными и ненадежными облигациями, темп роста валового национального продукта, процентная ставка, динамика изменения цен на нефть, темп роста расходов на оборону и др.

Все эти факторы имеют некоторые общие характеристики. Во-первых, они отражают показатели общей экономической активно­сти (промышленное производство, общие продажи и ВНП). Во-вторых, они отражают инфляцию. В-третьих, они содержат разновидности фактора процентной ставки (либо разность, либо саму ставку).

Действие модели арбитражного ценообразования в условиях российского фондового рынка исследовалось в работах Е.А. Дорофеева и М.В. Алексеенковой.

Е.А. Дорофеев, рассматривая вопрос об эффективности российского фондового рынка, при проверке APT в качестве факторов использовал объем ВВП, индекс цен, разницу между ставкой рефинансирования и кредитования у крупнейших банков, валютный курс, котировки рынка ГКО-ОФЗ. Для акций, торгуемых в РТС, проверялась регрессионная зависимость курсовой стоимости акций от перечисленных факторов.

В работе Алексеенковой М.В. исследуется роль отраслевого анализа при изучении ценообразования российских акций. Проверка зависимости фондовых индикаторов каждой отрасли от нескольких факторов осуществлялась при помощи модели APT. Для этого использовались индексы промышленного производства по отраслям промышленности, индексы цен на промышленную продукцию, обменный курс рубля к доллару, индексы цен акций агентства АК&М, ставки рынка ГКО-ОФЗ.

Основываясь на указанных исследованиях можно составить следующий набор факторов, существенно влияющих на доходность российских предприятий (см. табл. 1).

Таблица 1

Фактор

Обозначение

Отрасли промышленности, для которых влияние данного фактора является наибольшим

Индекс российского фондового рынка

RTS, AK&M

Все отрасли промышленности

Котировки государственных ценных бумаг

ОФЗ, ОВВЗ, ГКО

Все отрасли промышленности. Особенно значим для нефтехимической отрасли и машиностроения

Общий и отраслевые индексы промышленного производства

Ip

Большинство отраслей промышленности

Индексы цен на материалы и полуфабрикаты, а также индекс цен на готовую продукцию по отраслям

Ic

Значим для отдельных отраслей, таких как цветная металлургия, нефтехимическая отрасль и машиностроение

Валютный курс

EXR

Большинство отраслей промышленности

Динамика ВВП

GDP

Большинство отраслей промышленности

Представленный в таблице набор факторов включает общеэкономические и отраслевые показатели и может быть расширен на микроуровне. Следует отметить, что выбор факторов для расчета ставки дисконтирования с помощью модели АРТ индивидуален для каждого предприятия. Но, все же, отвечая на вопрос о выборе факторов, можно сказать, что перечисленные показатели влияют на доходность российского фондового рынка и, следовательно, должны учитываться при составлении прогнозов.

3.3.Расчет элементов ставки дисконтирования

Практические возможности использования модели арбитражного ценообразования для расчета ставки дисконта в российских условиях ограничены по нескольким причинам. Во-первых, это недостаток информации. АРТ требует изучения статистических данных по предприятию и конкурентам, а также динамики экономических показателей. С этой точки зрения использовать ее можно только для компаний, акции которых торгуются на фондовом рынке.

Во-вторых, это отсутствие специальных методик расчета отдельных элементов в рамках модели арбитражного ценообразования, вынуждающее использовать проверенные способы расчета ставки дисконтирования для получения более обоснованных и надежных результатов.

И, в-третьих, сложность расчетов. Учитывая первые два момента, сложность расчетов может сделать использование АРТ попросту нецелесообразным исходя из соотношения затрат труда и качества полученных результатов.

Разобраться в целесообразности использования АРТ на практике поможет ответ на вопрос о способах расчета премий за риск (k1…kn) и чувствительностей (b1…bn) по каждому фактору в российских условиях.

В соответствии с теорией арбитражного ценообразования премия за риск, связанный с каждым отдельным фактором, представляет собой разницу между доходностью среднего актива с единичной чувствительностью к данному фактору и нулевой ко всем остальным (рыночной ставкой доходности) и безрисковой нормой доходности:

kj = rmj – rf, где

rmj – рыночная ставка доходности за риск по фактору  j;

rf – безрисковая норма доходности.

На практике не существует активов, чувствительных лишь к одному фактору. Поэтому приходится выделять из средней доходности всего рынка премии за риск, связанные с тем или иным фактором. Среднерыночная доходность российского фондового рынка определяется на основе фондовых индексов.

Одним из вариантов выделения премий за риск является ранжирование факторов по степени влияния на доходность и последующее разделение премии за риск всего рынка на факторные составляющие в соответствии с рангом. В любом случае вопрос расчета премий за риск по различным факторам требует серьезного изучения.

Бета-коэффициенты (b1,…,bn) рассчитываются на основе сопоставления динамики показателей эффективности деятельности компании (объемы продаж, выручка, чистая прибыль, сумма выплаченных дивидендов по акциям и др.), стоимости акций компании на фондовом рынке и аналогичных показателей по экономике или фондовому рынку в целом.

Процедура расчета бета-коэффициентов представляет собой статистическое исследование, исходными данными для которого являются экономические показатели деятельности компании и экономики в целом.

Заключение

Мы рассмотрели  модель  САРМ . Одним из основополагающих моментов в ней выступает актив без риска. Им обычно служит государственная ценная бумага.

В то же время уровень доходности периодически колеблется и по данным активам. Таким образом, получается, что и они подвержены рыночному риску. В рамках же  САРМ  государственная ценная бумага не содержит рыночного риска.  САРМ  не противоречит такому положению вещей. Рассматривая бумагу без риска, необходимо не забывать, что  САРМ  - это  модель  одного временного периода.

Поэтому, если инвестор приобретает бумагу без риска по некоторой цене и держит ее до погашения, то он обеспечивает себе фиксированный процент доходности, соответствующий уплаченной цене. Последующие изменения конъюнктуры уже не влияют на доходность операции. Рыночный риск по данной бумаге возникает для инвестора только в том случае, если он решает продать ее до момента погашения. В заключение следует сказать о результатах проверки  САРМ  на практике.

Они показали, что эмпирическая SML или, как ее еще называют, эмпирическая линия рынка является линейной и более пологой по сравнению с теоретической SML и проходит через рыночный портфель.

Ряд исследователей подвергают  САРМ  сомнению. Одна из критик представлена Р. Роллом.

Она состоит в том, что теоретически рыночный портфель  САРМ  должен включать в себя все существующие активы пропорционально их удельному весу на рынке, в том числе зарубежные активы, недвижимость, предметы искусства, человеческий капитал. Поэтому невозможно создать такой портфель на практике и, в первую очередь, с точки зрения определения веса активов в портфеле и оценки их доходности.

Сложно оценить результаты проверки  САРМ, поскольку нет определенности в отношении того, является ли выбранный для экспериментов портфель рыночным (эффективным) или нет. В целом, проверки  САРМ  скорее говорят о том, представляют портфели (индексы), используемые в тестах, эффективные портфели или нет, чем подтверждают или опровергают саму  модель   САРМ.

Теория арбитражного ценообразования, основные положения которой были также рассмотрены в данной работе, с теоретической точки зрения обладает преимуществами по сравнению с другими моделями. Неопределенность факторов, влияющих на доходность, снижает эффективность использования модели арбитражного ценообразования для расчета ставок дисконта. Поэтому требуется разработка методик определения факторных составляющих ставки дисконтирования, поскольку их отсутствие в совокупности с ограниченностью информации значительно снижают адекватность результатов расчета ставок дисконта в российских условиях.

Несмотря на преимущества модели арбитражного ценообразования, ее использование в российской оценочной практике на сегодняшний день нецелесообразно, поскольку другие более простые модели дают более обоснованные результаты.

 

Список литературы

1.     Алексеенкова  М.В.  Факторы  отраслевого  анализа для российской  переходной экономики - М.: ГУ-ВШЭ, 2005.

2.     Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент. - СПб., 1997.

3.     Бронштейн Е.М. Пособие по финансовой математике Уфа: Изд.УГАТУ, 1999.

4.     Ван Хорн Дж.К. Основы управления финансами. - М.: Финансы и статистика, 1997. - 800 с.

5.     Галиц Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансовым риском. - М.:ТВП, 1998. - 576 с.

6.     Дорофеев Е.А. Влияние колебаний экономических факторов на динамику российского фондового рынка. - М.: РПЭИ, 2000.

7.     Синадский В. Расчет ставки дисконтирования // «Финансовый директор», 2003, № 4.

8.     Устименко В.А. О возможностях использования модели арбитражного ценообразования для расчета ставки дисконтирования в российских условиях //  «Вопросы оценки», № 3, октябрь 2003.

9.     Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бейли Д.В. Инвестиции - М.: ИНФРА-М, 2001.

10.            Шеннон П.Пратт Анализ и оценка закрытых компаний,  Издание 2 -  М., Институт Экономического Развития Всемирного Банка, 1999.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задача № 1

Рассматривается возможность приобретения облигаций внутреннего

валютного займа МФ РФ.

Имеются следующие данные. Дата выпуска - 14.05.1996г.

Дата погашения - 14.05.2011г. Купонная ставка - 3%.

 Число выплат - 1 раза в год. Средняя курсовая цена -93,70.

Требуемая норма доходности (рыночная ставка) - 14% годовых.

провести анализ эффективности операции на 25 сентября 2005 года.

k =

0,03

- годовая ставка купона;

r =

0,14

- рыночная ставка;

K =

93,7

- средняя курсовая стоимость;

n =

15

- срок погашения, лет;

m =

1

- число выплат в году;

D =

?

N=F=

1000

сумма погашеня, номинал

N*k=

30

1+r

1,14

n1=

25.09.2005

14.05.1996

9,36

 

1000

1000

293,19

1,14n1

1,149,36

n

tm

  (1 + r/)t

N*k/(1+r/)t

1

1,00

1,14

26,3157895

26,31578947

2

2,00

1,30

23,0840259

49,39981533

3

3,00

1,48

20,2491455

69,64896081

4

4,00

1,69

17,7624083

87,41136913

5

5,00

1,93

15,5810599

102,9924291

6

6,00

2,19

13,6675964

116,6600255

7

7,00

2,50

11,9891197

128,6491452

8

8,00

2,85

10,5167716

139,1659168

9

9,00

3,25

9,22523829

148,3911551

10

10,00

3,71

8,09231429

156,4834694

11

11,00

4,23

7,0985213

163,5819907

11

11,00

4,23

7,0985213

170,680512

12

12,00

4,82

6,22677307

176,9072851

13

13,00

5,49

5,46208164

182,3693667

14

14,00

6,26

4,79129969

187,1606664

15

15,00

7,14

4,20289446

191,3635609

54,21

191,36

V=

148,3912

+

293,190095

=

441,58

Истинная цена V>P-рыночной цены (100>93,7), облигация торгуется

 с дисконтом, следует принять предложение о покупке

Задача № 6

Обыкновенные акции предприятия "Ф" продаются по 25,00.

Вконце периода t=1 ожидаются выплаты дивидентов в размере 2,00.

Требуемая инвестором доходность составляет 12% годовых.

а) Определите стоимость акции, если ожидается, что в следующие

3 года дивиденты будут расти на 12% в год, на 4 и 5 год - на 11%,

а начиная с 6-го - на 5%.

б) Изменит ли текущую стоимость акции предложение о ее продаже

к концу 5 года? Подкрепите выводы соответствующими расчетами.

 

 

 

 

 

 

P=

25,00

 - стоимость акции

DIV=

2,00

 - дивидент

g1=

12%

 - рост дивидентов 1-3

g2=

11%

 - рост дивидентов 4-5

g3=

5%

 - рост дивидентов c 6

r=

12%

 - доходность

DIV6+t=

DIV*(1+g1)3*(1+g2)2*(1+g3)=

3,635124756

 

t

g

(1+r)t

DIV*(1+g)t/ (1+r)t

V6+t

1

0,12

1,12

2

 

2

0,12

1,25

2

 

3

0,12

1,40

2

 

4

0,11

1,57

1,9295224

 

5

0,11

1,76

1,9122945

 

6

0,05

1,97

 

26,309533

9,8418169

а) V=

36,1514

 - стоимость акции

34,84

стоимость акции при продажи к концу 5-го года

Задача № 12

Рассматривается возможность формирования инвестиционного

портфеля из двух акций А и В в равных долях, характеристики которых

представлены ниже.

Вид актива

Доходность (в %)

Риск (в %)

А

10,00

30,00

 

 

 

В

25,00

60,00

 

 

 

а) Исходя из предположения, что коэффициент корреляции между

ними равен 0,25, определити ожидаемую доходность и риск портфеля.

б) Определите оптимальный портфель для требуемой нормы

доходности 20%.

а) доходность портфеля определяется по формуле:

10%*0,5 + 25%*0,5=

17,50

%

Ri

 - доходность i-го актива в портфеле

Xi

 - доля i-го актива в портфеле

0,5

Риск портфеля находим по формуле:

Pij=0,25

 - коэффициент корреляции

S=

36,74%

б) требуемая норма доходности r =

20,00%

оптимальный портфель для требуемой нормы доходности 20%

определим из уравнения

10 X1+25X2=20

X2=1-X1

10 X1+25(1-X1)=20

10 X1+25-25X1=20

X1=1/3

оптимальный портфель для требуемой нормы доходности 20%

1/3A + 2/3 B

Задача №18

Текущий курс акции равен 80,00 и может в будущем либо увеличится

до 100,00 с вероятностью 0,6, либо понизится до 60,00 с вероятностью

0,4. Цена исполнения опциона "колл" равна 80,00.

Определите ожидаемую стоимость опциона "колл". Определите

коэффициент хеджирования и постройте безрисковый портфель.

S=80,00

uS=100,00

dS=60,00

 

 

 

K=80,00

u=1,25

d=0,75

 

 

 

 

rf=0,05

r=1+rf=

1,05

 

 

 

 

Используем биномиальную модель

Попробуем построить модель цены опционов с одним периодом для случая, когда цена акции в следующем периоде может принимать только два значения. В следующем периоде акция, которая сейчас продается по цене S, будет продаваться либо по цене uS, либо по цене dS, причем, uS >dS. Величины u и d — это коэффициенты изменения цены акции.

Имеется возможность выпустить или купить облигации на сумму В под процент rf, причем r определяется как r = 1 + rf

rf - безрисковая %-я ставка, примем rf =

5,00%

r =

105,00%

 u>r>d, опцион покупателя с ценой исполнения К=80,00, срок которого истекает через один период. Пусть С — стоимость опциона в момент 0.

Сu — стоимость опциона к концу срока, если цена акции  достигнет uS=100,00:

Cu = max(uS – K, 0)

Сd — стоимость опциона к концу срока, если цена снизится до dS=60,00:

Cd = max (dS - К,0).

Доходы от опциона покупателя, за один период до окончания срока, можно в точности промоделировать доходами от соответствующим образом выбранного портфеля акций и облигаций, который называется хеджированным портфелем. Так как опцион покупателя полностью эквивалентен портфелю, их стоимости должны быть одинаковы. Стоимость хеджированного портфеля можно определить, зная рыночные цены акций и облигаций, из которых он составлен.

Формирование хеджированного портфеля

Представим себе инвестора, который в момент 0 хочет сформировать такой хеджированный портфель, чтобы в момент 1 доходы от него были равны доходам от опциона покупателя. Инвестор

1. купит D обыкновенных акций по цене S за каждую;

2. купит облигации на сумму В рублей. Стоимость облигаций через один период будет равна rВ. Ставка процента равна r —1.

Мы хотим найти такие В и D , чтобы доход от портфеля был таким же, как и от опциона покупателя (рис.1). Доходы от опциона зависят от цены акций. Если доходы от хеджированного портфеля и от опциона одинаковы, а цена акции растет, будет выполняться следующее равенство: D uS + rB = Cu (1)

 

Рис. 1. Денежные потоки от инвестиций в акции и облигации и от покупки опциона

Если доходы от хеджированного портфеля и от опциона одинаковы, а цена акции падает, будет выполняться равенство: D dS + rB = Cd (2)

Значения Сu и Cd в момент 1, когда закончится срок опциона, известны, так как известны характеристики опциона и стоимость обыкновенной акции. Таким образом, имеем два уравнения с двумя неизвестными. Вычитая выражение (2) из (1), получим решение относительно D :

D S(u - d) = Cu - Cd

20-0

Преобразуя, получим:

80(1,25-0,75)

D=1/2

Величина D называется коэффициентом хеджирования, она определяет, сколько обыкновенных акций нужно купить, чтобы получить такой же денежный доход, как и от покупки одного опциона.

Решаем уравнения (1) и (2) относительно В:

-0,75*20

(4)

(1,25-0,75)*1,05

B=

-28,57

Портфель, состоящий из одного опциона покупателя, в любом случае принесет такой же доход, что и портфель из В облигаций и D обыкновенных акций. Поэтому в состоянии равновесия первоначальная стоимость обоих портфелей должна быть одинаковой. Для этого должно выполняться равенство:

C = D S + B (5)

 - безрисковый портфель

C =

1/2*80+(-28,57)=

11,429

Задача № 22

На рынке капитала конкурируют три банка и паевой фонд, которые предлагают своим клиентам следующие виды финансовых инструментов.

Банк  Х продает бескупонные облигации по цене 50,00 с выплатой через год 56,00. Банк Y продает депозитные сертификаты по 2,60 с погашением через год по номиналу 3,00. Банк Z реализует годовые векселя номиналом в 275,00 по цене 250,00.

Паевой фонд  Q продает свои паи по 499,99 представляющие портфель, в котором содержится 50 депозитных сертификатов банка  Y, вексель банка  Z  и 3 облигации банка X.

Покажите, что на рынке существует возможности арбитража.

инструмент

X

Y

Z

0 этап

50,00

2,60

250,00

через год

56,00

3,00

275,00

доходность

12,00%

15,38%

10,00%

ПИФ

Q=

499,99

  -рыночная стоимость пая

ПИФ

Q=3X+50Y+Z=

530,00

  -реальная стоимость пая

разность

30,01

Т.е. купив пай ПИФа Q по цене 499,99 и продав его по частям получаем 30,01  прибыли используя арбитраж рынка, которую выгодней всего вложить в депозитные сертификаты банка Y, с доходностью 15,38% годовых.