В современных экономических исследованиях среди различных форм моделирования преобладает математическое моделирование. С развитием компьютерной математики и технологий появляются новые математические методы и технологии, позволяющие строить математические модели более адекватно и эффективно.

Модель – некоторая вспомогательная, о.т. которая заменяет в процессе исследования о.т. оригинал.

Моделирование – изучение объектов с помощью их моделей.

Модель является способом отражения изучаемого процесса  и служит инструментом для его познания.

Процесс построения математических моделей начинается с определения искомых неизвестных величин, с помощью которых можно охарактеризовать поведение изучаемого объекта. В качестве неизвестного могут выступать отдельные числовые переменные, векторы, матрицы, формулы[1].

После описания этих неизвестных описываются связи между ними, которые ограничивают свободу выбора этих неизвестных величин, т.е. зависимости определяют ОДР. Если ОДР содержит единственное решение, то задача состоит в том, чтобы найти это решение и проанализировать его.

Если ОДР – множество решений, то осуществляется поиск среди них нужных решений путём введения дополнительных ограничений и критериев выбора.

Математическое моделирование в экономике имеет свое особенности. Многие экономические системы – сложные, они состоят из отдельных более простых элементов. Каждый элемент в отдельности может и не обладать интересующим нас свойством, а система в целом – обладать эмерджентность. При моделировании таких систем нельзя изучать их с помощью отдельных моделей, построенных для элементов этой системы. Нужно дополнительно строить модели взаимодействия составляющих элементов системы.

В результате получается система моделей для изучения сложной системы.

Ещё одна особенность экономических систем, вызывающая трудности в процессе математического исследования – фактор неопределённости.

Неопределённость может быть разного рода. Она может присутствовать при описании внешней среды объекта (например, политическая обстановка в стране, экономические явления, внешние поставки продуктов). Неопределённость может быть вызвана внутренними целями функционирования объекта: технологический прогресс в изготовлении продукции, изменение структуры управления предприятий, новые формы стимулирования труда.

Эти внешние и внутренние цели описываются с помощью нескольких параметров, числовые значения которых находятся в некоторой зоне неопределённости[2].

Для изучения таких систем требуется сложные математический инструментарий, математическая модель, в которой не всё может быть отображено в количественной форме. Здесь нужно сочетать количественные методы исследования с качественными (интуиция, опыт исследования).

Процесс моделирования имеет несколько этапов.

Содержательная постановка задачи – формулируются вопросы, на которые надо получить ответы. Делаются всевозможные гипотезы, выявляются факторы, определяющие поведение объекта, устанавливаются взаимосвязи. Правильно поставленные задачи и цели облегчают построение моделей и являются существенным шагом на пути исследования изучаемого процесса.

Построение математической модели – формулирование задачи.

Математический анализ и численные расчёты модели требуют привлечение специалистов, математиков, программистов. Сначала делается попытка выявить аналитическим способом свойства изучаемого объекта. Если это удаётся, то такие свойства могут быть распространены на все другие модели, схожими с изучаемым объектом. Если аналитический анализ не даёт желательных результатов ввиду сложности модели, то производится их численный расчёт с помощью вычислительной техники. Численные результаты имеют частичный характер, т.е. применим только к исследуемому объекту. В результате анализа и расчёта делаются выводы для лиц, принимающих решения.

2. Доверительные интервалы

При составлении прогнозов оперируют не точечной, а интервальной оценкой, определяя так называемые доверительные интервалы прогноза. Величина доверительного интервала определяется в общем виде следующим образом[3]:

где  - среднее квадратическое отклонение от тренда;

ta - табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости a. Зависит от уровня значимости a (%) и числа степеней свободы k=n-m.

Величина  определяется по формуле

где: yi и - соответственно фактические и расчетные значения уровней динамического ряда;

n - число уровней ряда;

m - количество параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой m=2, для уравнения параболы 2-го порядка m=3).

После проведения необходимых расчетов определяется интервал, в котором с определенной вероятностью будет находиться прогнозируемая величина.

Задача

Зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего y (т) и мощностью пласта х (м) по следующим данным в таблице, характеризующим процесс добычи угля в n = 10 шахтах. Оценить сменную среднюю добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 метров.

Решение:

Предполагая линейную зависимость между переменными, составим уравнение линейной регрессии в виде y = ax + b.

Решение задачи нахождения оценок а и b основывается на применении метода наименьших квадратов (сокращенно - МНК), суть которой в следующем: нахождение оценок а и b неизвестных параметров α и β сводится к следующей экстремальной задаче функции двух переменных  F(a,b):

 ,

которая в свою очередь сводится к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными а и b:

Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:

;

Обозначим через  ;  выборочные средние наблюдаемых значений переменных х и у. Таким образом, оценки а и b можно искать по следующим формулам:

;  .

Для этого организуем вычисления во вспомогательной табл. 2.

                                                                          Таблица 2

Вспомогательная таблица для определения параметров уравнения линейной регрессии

Тогда

.

Значит, уравнение линейной регрессии имеет вид:

Тогда средняя сменная добыча угля на одного рабочего (y) с мощностью пласта 8 м (x) равна:

y = 1.016 * 8 – 2.75 = 5.378 т, что больше сменной добычи угля на 0,378 т

Список литературы

1. Справочник по математике для экономистов. – М., Высшая шко­ла,1987.

2. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М., Нау­ка,1987.

3. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономи­ческая теория. – М., Прогресс,2001.

4. Кубонива Р. Математическая экономика на персональном компьюте­ре. – М., Финансы и статистика,2002.

5. Бахтин А.Е. Математическое моделирование в экономике. Часть 1,2. – Новосибирск, 2003

[1] Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М., Нау­ка,1987.

[2] Бахтин А.Е. Математическое моделирование в экономике. Часть 1,2. – Новосибирск, 2003

[3] Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономи­ческая теория. – М., Прогресс,2001.