КАФЕДРА СТАТИСТИКИ

О Т Ч Е Т

о результатах выполнения

компьютерной лабораторной работы №1

«Автоматизированный априорный анализ статистической совокупности

 в среде MS Excel»

Вариант № 6

Выполнил: ст. III курса гр.________

Ф.И.О.

                                                                                Проверил: преподаватель

Должность         Ф.И.О.

Пенза, 2006 г.

 Постановка задачи

При проведении статистического наблюдения за деятельностью предприятий корпорации получены выборочные данные по 32-м предприятиям, выпускающим однородную продукцию  (выборка 10%-ная, механическая), о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и  о выпуске продукции за год.

В проводимом статистическом исследовании обследованные предприятия выступают как единицы выборочной совокупности, а показатели Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Выпуск продукции – как изучаемые признаки единиц.

Для проведения автоматизированного статистического анализа совокупности выборочные данные представлены в формате электронных таблиц процессора Excel в диапазоне ячеек B4:C35. Выборочные данные приведены в таблице 1.

       Статистический анализ выборочной совокупности.

Задание 1.

Выявить наличие среди исходных данных резко выделяющихся значений признаков («выбросов» данных) с целью исключения из выборки аномальных единиц наблюдения.

Выявление аномальных значений признака наиболее удобно производить графическим методом. Для визуального анализа разброса единиц совокупности  в данной работе использовался точечный график.(Рис1)

Рис 1. Аномальные значения признаков на диаграмме рассеяния.

Любая исследуемая совокупность может содержать единицы наблюдения, значения признаков которых резко выделяются из основной массы значений..

В данной задаче аномальными единицами являются 2 точки с координатами (230; 600) и (750;200) соответственно. Данные точки следует удалить из первичных данных и поместить в таблицу 2, представленную в качестве результативной таблицы.

Таблица 2.

Задание 2.

 Рассчитать обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам: среднюю арифметическую (), моду (Мо), медиану (Ме), размах вариации (R), дисперсию(), средние отклонения – линейное () и квадратическое (σn), коэффициент вариации (Vσ), структурный коэффициент асимметрии  К.Пирсона (Asп).

Расчёт описательных параметров выборочной и генеральной совокупности осуществляется с использованием инструмента Описательная статистика. Рассчитанные таким образом параметры отражены в результативной таблице 3.

Таблица 3

Расчёт описательных параметров выборочной совокупности осуществляется при помощи инструмента Мастер функций. На основе вычисленных параметров формируется таблица 5.

Таблица 5

 На основе таблиц 3 и 5 можно сформировать таблицу 8   «Описательные статистики выборочной совокупности».

Таблица 8. «Описательные статистики выборочной совокупности»

Задание 3.

На основе рассчитанных показателей в предположении, что распределения единиц по обоим признакам близки к нормальному, оценить:

а) степень колеблемости значений признаков в совокупности;

б) степень однородности совокупности по изучаемым признакам;

в) устойчивость индивидуальных значений признаков;

                г) количество попаданий индивидуальных значений признаков в диапазоны (), (), ().

а) Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации V_s., который вычисляется по формуле %  и выражается в процентах.

Для первого признака коэффициент вариации равен 17,29523255. Значит для  первого признака колеблемость незначительная.

Для второго признака V_s=21,74952089. В данном случае так как 0%<V_s40%, колеблемость так же будет незначительной.

б) Для нормальных и близких к нормальному распределений показатель V_s служит индикатором однородности совокупности: принято считать, что при выполнимости неравенства

V_s33%                                                 

совокупность является количественно однородной по данному признаку.

 В данной задаче для первого признака и для второго признаков коэффициент вариации меньше 33% значит совокупность будет являться количественно однородной.

в) Сопоставление средних отклонений - квадратического s и линейного   позволяют сделать вывод об устойчивости индивидуальных значений признака, то есть об отсутствии среди них  “аномальных”  вариантов значений.

В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределений между показателями s и  имеют место равенства

s1,25,       0,8s,        

Отношение показателей  и s может служить  показателем устойчивости данных: если      

>0,8,                                   

то значения признака неустойчивы, в них имеются «аномальные» выбросы.

Для первого признака данное отношение составляет:

==0,8045657

Для второго признака это отношение составляет:

=0,77

Так как у второго признака данное отношение меньше 0.8, то, следовательно исследуемые значения признака устойчивы и в них нет «аномальных выбросов» . У второго же признака данное отношение больше 0,8, следовательно исследуемые значения признака неустойчивы, и в них имеются «аномальные» выбросы.

г)

Распределение значений признака по диапазонам

рассеяния признака относительно

Таблица 9.

На основе данных таблицы определим процентное соотношение рассеяний значения признака по трём диапазонам и сопоставим его с ожидаемым по правилу « трёх сигм» (68,3%; 95,4%;99,7%). Для первого признака процентное соотношение составляет: 66,67%; 93,33%;100%. А для второго - 63,33%;93,33%;100%.

Задание 4.

Дать сравнительную характеристику распределений единиц совокупности по двум изучаемым признакам на основе анализа:

а) вариации признаков;

б) количественной однородности единиц;

в) надежности (типичности) средних значений признаков;

                г) симметричности распределений в центральной части ряда

 а)

       мода Мо - наиболее часто встречающийся вариант значений признака или тот вариант, который соответствует максимальной ординате эмпирической кривой распределения. В данном случае для первого признака она равна 570, а для второго - 520.

       медиана Ме - серединное значение ранжированного ряда вариантов значений признака. Для первого признака в данной задаче медиана равна 556, а для второго 518.

               К показателям размера вариации относятся:

1)  размах вариации R= x_max - x_min, устанавливающий предельное значение амплитуды колебаний признака. Для первого признака данный показатель равен 400, а для второго 428.

2) среднее линейное отклонение , которое вычисляется как среднее арифметическое из абсолютных отклонений |x_i -|,для первого признака равно 76,53333333, а для второго 87,41333333 .

3) дисперсия s², рассчитываемая как среднее арифметическое из квадратов отклонений (x_i -).Дисперсия для первого признака равна 9048,533333, а для второго -12876,46222.

4) Среднее квадратическое отклонение s, показывающее, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения. Этот показатель равен 95,12377901 и 113,4745003для первого и второго признаков соответственно.

б) Однородность совокупности устанавливается по коэффициенту вариации. Для данной задачи совокупность является количественно однородной, так как  коэффициент вариации  для обоих признаков меньше 33%.

в) Для оценки надёжности (типичности) средних значений признаков  можно воспользоваться значением коэффициента вариации, V_s.. Значение коэффициента вариации  не превышают 40 %, поэтому индивидуальные значения признака x_i мало отличаются друг от друга, единицы наблюдения количественно однородны и, следовательно, средняя арифметическая величина  является надежной характеристикой данной совокупности.

г)  Для анализа формы распределения на её близость к нормальной форме используют показатель асимметрии -  коэффициент асимметрии Пирсона As_п,, который оценивает асимметричность распределения в центральном диапазоне.  Коэффициенты асимметрии для первого и второго признака равны -0,21025237 и 0,015275091соответственно.

В симметричном распределении характеристики центра распределения совпадают =Mo=Me. В нашем случае этого не наблюдается ни для одного признака, поэтому вершина кривой находится не в середине, а сдвинута либо влево, либо вправо. Для оценки асимметричности распределения служит коэффициент Пирсона. Для первого признака наблюдается левостороння асимметрия, так как  As<0    , а для второго признака правосторонняя. В нашем примере для обоих признаков асимметрия незначительна, так как  в обоих случаях |As|<0,25.

Задание 5.

 Построить интервальный вариационный ряд и гистограмму распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и установить характер (тип) этого распределения. Рассчитать моду Мо полученного интервального ряда и сравнить ее с показателем Мо несгруппированного ряда данных.

Выполнение задания осуществляется в три этапа:

1.         Построение промежуточной таблицы.

2.         Генерация выходной таблицы и графиков.

3.         Приведение выходной таблицы и диаграммы к виду, принятому в статистике.

Гистограмма и выходная таблица приведены ниже.

Для полученного интервального ряда значение моды рассчитывается по формуле:

,

где: х_Мо – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

 (млрд. руб.)

Мода интервального ряда, равная 598 млрд. рублей  и не сгруппированного - 570 млрд. руб. расходятся, так как  описательные статистики, рассчитанные по несгрупированным данным, реализуют точные функциональные зависимости значений показателей от исходных данных, в отличие от приближённых статистических оценок, выводимых с заданным уровнем надёжности.

 Статистический анализ генеральной совокупности.

Задание 1.

 Рассчитать генеральную дисперсию , генеральное среднее квадратическое отклонение  и ожидаемый размах вариации признаков R_N. Сопоставить значения этих показателей для генеральной и выборочной дисперсий.

Генеральные показатели рассчитываются с помощью инструмента Описательная статистика и их значения приведены в таблице 3.  Сформируем для них отдельную таблицу № 10 .

 Таблица 10.

Величина дисперсии генеральной совокупности σ²_N может быть оценена по выборочной дисперсии σ²_n, Установить степень расхождения между данными признаками можно по формуле (1).

                                             (1)

Вычислим σ²_N для обоих признаков:

₁₎       σ²_N =_{.9683,3293696;}

²⁾       σ²_N =_{.13779,8049931;}

Если сравнить дисперсии генеральной совокупности обоих признаков(σ²_N ) с дисперсиями выборки  ( σ²_n.  )_,  то можно считать что обе дисперсии приближенно равны, а значит степень расхождения признаков не значительна. 

В условиях близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному соотношение R=6s используется для прогнозной оценки размаха вариации признака в генеральной совокупности.

Для  первого признака R_N= 6*96,74994431=580,49966586

                                       R_n=6*95,12377901=681,9663024  

Для второго признака R_N=6*115,4143759=692,4862554

                                      R_n=6*113,4745003=745,5464022

Если сравнивать размах вариации для генеральной совокупности, то можно увидеть, что он немного меньше аналогичного признака для выборочной.

Задание 2.

   Для изучаемых признаков рассчитать:

а) среднюю ошибку выборки;

                           б) предельные ошибки выборки для уровней надежности

                          P=0,683, P=0,954, P=0,997 и границы, в которых будут   

                          находиться средние значения признака генеральной     

                              совокупности при заданных уровнях надежности.

а) Средняя ошибка выборки   выражает среднее квадратическое отклонение s выборочной средней  от математического ожидания M[] генеральной средней. Средняя ошибка выборки рассчитана для обоих признаков и равна  для первого признака соответственно 17,66404231, а для второго-21,07168571.

б)Предельные ошибки выборки при уровнях надежности 68,3 и 99,7 расчитаны а таблице 4а и 4б

Придельные ошибки выборки и ожидаемые границы для средних приведены в таблице 11.

Таблица 11.

Задание 3.

Рассчитать коэффициенты асимметрии As и эксцесса Ek. На основе полученных оценок  сделать вывод о степени близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному распределению

 Значения коэффициентов асимметрии и эксцесса следующие для первого и второго признаков соответственно: -0,175961071 и 0,042954448; -0,344943844 и -0,205332365.

 Для заключения  о степени близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальной форме следует обратиться к графику распределения, проанализировать полученную гистограмму и выяснить, на сколько нарушено предположение о нормальности.

 Гистограмма имеет одновершинную форму, поэтому можно предположить, что выборка является однородной по данному признаку.

As характеризует несимметричность распределения, а Ek характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой. Для первого признака коэффициент эксцесса Ek>0, поэтому вершина кривой распределения располагается выше  вершины нормальной кривой. Для второго признака Ek<0, поэтому вершина кривой распределения находится ниже вершины кривой нормального распределения.

В данном примере наблюдается небольшое нарушение соотношения нормального распределения =Mo=Me As=0 As_п=0 R=6s, поэтому это свидетельствует о наличии небольшой асимметрии. Но в целом можно сказать, что гистограмма приблизительно симметрична  и она представляет распределение близкое к нормальному.

          Таким образом, распределение единиц выборочной совокупности близко к нормальному,  выборка является репрезентативной и при этом коэффициенты As_N, Ek_N  указывают на небольшую или умеренную величину асимметрии и эксцесса соответственно, значит есть основание полагать, что распределение единиц генеральной совокупности по изучаемому признаку будет близко к нормальному.