Задача 1.

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 час работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении Фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,1 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,3 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производит ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной работы?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение

Введем следующие обозначения:

х1 – количество первого напитка («Лимонад»)

х2 – количество второго напитка («Тоник»)

Цена 1 л «Лимонада» таким образом составляет 0,1 х1 (ден. ед.), а цена 1 л «Тоника» составляет 0,3 х2 (ден. ед.). Т.к. нам необходимо максимизировать прибыль, получаем целевую функцию:

max f(х1,х2) = 0,1 х1 + 0,3 х2.

Ограничения задачи имеют вид:

0,02х1 + 0,04 х2  24;

0,01х1 + 0,04 х2  16;

х1,2  0.

Построим прямые, соответствующие ограничениям задачи: первая прямая имеет вид 0,02х1 + 0,04 х2 = 24, решением ее служат точки (1200;0) и (0;400); вторая прямая имеет вид 0,01х1 + 0,04 х2 = 16, решением ее служат точки (1600;0) и (0;600).

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.

рис. 1 Область допустимых решений

На рисунке 1 заштрихована область допустимых значений. Для определения движения к оптимуму построим вектор-градиент. При максимизации функции движемся вдоль вектора-градиента.

Решая систему уравнений

0,02х1 + 0,04 х2 = 24;

0,01х1 + 0,04 х2 = 16.

Находим, что х1 = 800, х2 = 200.

max f(х1,х2) = 0,1 800 + 0,3 200 = 140 (ден. ед.)

Ответ: Прибыль будет максимальной, если производить 800 л. «Лимонада» и 200 л. «Тоника» ежедневно (х1 = 800, х2 = 200). При решении задачи на минимум решения не будет, так как целевая функция не ограничена снизу (особый случай ЗЛП).

Задача 2.

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Вид ресурсов

Нормы расхода ресурсов на ед. продукции

Запасы

ресурсов

I

вид

II

вид

III

вид

Труд

Сырье 1

Сырье 2

Оборудование

3

20

10

0

6

15

15

3

4

20

20

5

2000

15000

7400

1500

Цена изделия

6

10

9

Требуется:

1)    Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2)    Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3)    Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4)    На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

-         проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

-         определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;

-         оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

Решение

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем условные обозначения:

х1 – норма расхода ресурсов на одно изделие I вида

х2 – норма расхода ресурсов на одно изделие II вида

х3 – норма расхода ресурсов на одно изделие III вида

Целевая функция имеет вид:

max f(x) = 6 х1 + 10 х2 + 9 х3

Ограничения задачи имеют вид:

3 х1 + 6 х2 + 4 х32000

20 х1 + 15 х2 + 20 х315000

10 х1 + 15 х2 + 20 х37400

3 х2 +5 х31500

х1,2,30

Оптимальный план найдем через поиск решения в надстройках Microsoft Excel (рис. 2 и рис. 3)

рис. 2 Поиск оптимального плана

рис. 3 Добавление ограничения задачи

Таблица 1

Результаты поиска решения

 

х1

х2

х3

 

 

 

 

значение

520

0

110

 

ЦФ

4110

 

коэф. в ЦФ

6

10

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ограничения

 

 

 

 

Тип ресурсов

 

 

 

 

Левая часть

Знак

Правая часть

Труд

3

6

4

 

2000

<=

2000

Сырье 1

20

15

20

 

12600

<=

15000

Сырье 2

10

15

20

 

7400

<=

7400

Оборудование

0

3

5

 

550

<=

1500

Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4110 ед.) предприятие может получить при выпуске 520 единиц продукции I вида и 110 единиц продукции II вида. При этом трудовые ресурсы и сырье второго вида будут использованы полностью, тогда как из 15 000 единиц сырья первого вида будет использовано только 12 600 единиц, а из 1500 единиц оборудования будет задействовано только 550 единиц.

Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета (рис. 4):

рис. 4 Содержание отчета по результатам

В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных х1, х 2, х 3, которые равны 520;0;110 соответственно; значение целевой функции (4110 ед.), а также левые части ограничений.

()* = (520;0;110)

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 4 функциональных ограничения: труд, сырье 1, сырье 2, оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 4 неизвестных:

y1 – двойственная оценка ресурса «Труд»

y2 – двойственная оценка ресурса «Сырье 1»

y3 – двойственная оценка ресурса «Сырье 2»

y4 – двойственная оценка ресурса «Оборудования»

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

min g(y) = 2000 y1+15000 y2+7400 y3+1500 y4

Необходимо найти такие «цены» на типы ресурсов (yi), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче будет 3 ограничения.

В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции.

Каждое ограничение соответствует определенной норме использования ресурса на единицу продукции:

3 y1 + 20 y2 +10 y3 6;

6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y410;

4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y49.

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности

 = 0, тогда

y1(3 х1+ 6 х2+4 х3 – 2000) = 0;

y2(20 х1 + 15 х2 + 20 х3 – 15000) = 0;

y3(10 х1 + 15 х2 + 20 х3 – 7400) = 0;

y4(3 х2 + 5 х3 – 1500) = 0.

()* = (520;0;110)

Подставим оптимальные значения вектора  в полученное выражение

y1(3*520+ 6*0+4*110 – 2000) = 0;

y2(20*520 + 15*0 + 20*110 – 15000) = 0;

y3(10*520 + 15*0 + 20 *110 – 7400) = 0;

y4(3 *0 + 5*110 – 1500) = 0.

Отсюда получим

y1(2 000- 2 000) = 0;

y2 (12 600 – 15 000) = 0, т.к. 12 600 < 15 000, то y2 = 0;

y3 (7400-7400) = 0;

y4 (550-1500) = 0, т.к. 550 < 1500, то y4 = 0.

Далее воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности

, если >0, то

В нашей задаче х1=520 > 0 и х3 = 110 > 0, поэтому первое и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

х1(3 y1 + 20 y2 +10 y3 – 6) = 0;

х2(6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y4 -10) = 0;

х3 (4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y4 –9) = 0.

Решая систему уравнений

3*у1 + 20*у2+10у3-6=0

у2 = 0

4*у1 + 20*у2 + 20 у3 + 5*у4-9=0

у4 = 0,

получим у1 = 1,5, у2 = 0, у3 = 0,15, у4 = 0.

Необходимо проверить выполнение первой теоремы двойственности

 

g(y) = 2000 y1+15000 y2+7400 y3+1500 y4 = 2 000*1,5 + 7400 *0,15 = 4 110

f(x) = 6 х1 + 10 х2 + 9 х3 = 6*520+9*110 = 4 110.

Это означает, что оптимальный план двойственности определен верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решения – Отчет по устойчивости в Excel (рис. 5).

рис. 5. Отчет по устойчивости

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора : ()* = (1,5;0;0,15;0)

3 y1 + 20 y2 +10 y36                3*1,5 + 20*0+10*0,156                 6=6;

6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y410   6*1,5 + 15*0 + 15*0,15 + 3*010   11,25>10;

4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y49     4*1,5 + 20*0 + 20*0,15 + 5*09     9=9.

Затраты на 2 вид продукции превышает цену (11,25>10). Это же видно и в отчете по устойчивости (рис. 5), значение х2  (нормир. стоимость) равно -1,25. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу продукции больше, чем цена изделия. Эта продукция не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

¡    проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

¡    определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;

¡    оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:

20002000                 74007400

1260015000             5501500

Запасы по первому и третьему виду ресурсов были использованы полностью, а по второму и четвертому виду недоиспользованы на 2400 и 950 единиц соответственно.

Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины  приводит к увеличению или уменьшению f(). Оно определяется:

f() =

=24                                =24*1,5=36

f(x)*= 4110 + 36 = 4146 (ед.)

Из расчетов видно, что если мы увеличим запасы ресурса первого вида на 24 единицы, то выручка возрастет на 36 единицы, т.е. общая выручка составит после изменения ресурсов 4146 единиц.

При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на них не изменились.

y1 = 1,5                                      3 х1  + 6 х2 + 4 х32000 + 24

у2=0                                           20 х1 + 15 х2 +20 х3 ≤15000

y3 = 0,15                                    10 х1 + 15 х2 + 20 х37400

y4 = 0                                         0 х1 + 3 х2 + 5 х31500

Решим систему уравнений:

3 х1  + 4 х3 = 2024

10 х1 + 20 х3 = 7400,

откуда х1 = 544,

            х3 = .

Таким образом, новый оптимальный план () = (544; 0; 98).

= 24 * 6 = 144, т.е. при увеличении запаса ресурса первого вида выручка увеличится на 144 ед.

Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

8 y1 + 4 y2 + 20 y3 + 6 y4=11

подставим у1 = 1,5, у2 = 0, у3 = 0,15, у4 = 0

8*1,5 + 4*0 + 20*0,15 + 6*0 = 11

12+3=11

15=11. Т.к. 15>11, то включение в план изделия четвертого вида нецелесообразно.

Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий[i].

Задачи 3.1-3.10. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу)  производства и распределения продукции предприятий холдинга.

В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 1 выберите числовые значения для таблицы 2.

 

Таблица 1

Вариант

Для первой строки

Для второй строки

Для третьей строки

10

0,1

0,1

0,2

160

0,1

0,2

0,3

180

0,1

0,2

0,3

170

Таблица 2

Предприятия

(виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат аi j

   Конечный продукт Y

 1

2

3

1

2

3

1А

1Б

1В

2А

2Б

2В

3А

3Б

3В

4А

4Б

4В

РЕШЕНИЕ:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

1.1. Заполним таблицу 2 данными:

Таблица 2

Исходные данные

Предприятия

(виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат аi j

   Конечный продукт Y

 1

2

3

1

2

3

0,1

0,1

0,1

0,1

0,2

0,2

0,2

0,3

0,3

160

180

170

1.2. Для решения данной экономической задачи будет выбрана среда табличного процессора MS Excel. (таблицы 3)

Таблица 3

Предприятия (виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат aij

Конечный продукт Y

1

2

3

1

0,1

0,1

0,2

160

2

0,1

0,2

0,3

180

3

0,1

0,2

0,3

170

0,1

0,1

0,2

A =

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

1.3. Найдем разность между единичной матрицей Е и матрицей А.

Для этого воспользуемся правилом вычитания матриц одинаковой размерности.  (таблица 4)

Таблица 4

Разница между единичной матрицей Е и матрицей А

Предприятия (виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат aij

Конечный продукт Y

1

2

3

1

0,1

0,1

0,2

160

2

0,1

0,2

0,3

180

3

0,1

0,2

0,3

170

0,1

0,1

0,2

A =

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

0,9

-0,1

-0,2

Е-А =

-0,1

0,8

-0,3

-0,1

-0,2

0,7

1.4. Найдем обратную матрицу . Воспользуемся встроенными функциями MS Excel (математические, обратная матрица) (рис. 6).

рис. 6 Обратная матрица

1.5. Чтобы определить Валовую продукцию  (матрицу), надо матрицу = умножить на Конечный продукт (матрицу ). Воспользуемся опять встроенными функциями MS Excel (математические, умножение матриц) (рис. 7).

Рис. 7 Определение валовой продукции (матрица Х)

1.6. Матрица  (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор .

2) Построить баланс (заполнить таблицу)  производства и распределения продукции предприятий холдинга.

2.1. Для распределения продукции предприятий холдинга необходимо найти                        (табл. 5)

Таблица 5

Распределение продукции предприятий холдинга

Предприятия (виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат aij

Конечный продукт Y

1

2

3

1

0,1

0,1

0,2

160

2

0,1

0,2

0,3

180

3

0,1

0,2

0,3

170

0,1

0,1

0,2

A =

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

0,9

-0,1

-0,2

Е-А =

-0,1

0,8

-0,3

-0,1

-0,2

0,7

1,190476

0,261905

0,452381

В =

0,238095

1,452381

0,690476

0,238095

0,452381

1,690476

314,5238

Х =

416,9048

406,9048

31,45

41,69

81,38

распределение

31,45

83,38

122,07

31,45

83,38

122,07

2.2. Построим межотраслевой баланс производства (таблица 6)

Таблица  6

Межотраслевой баланс производства

Предприятия (виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат aij

Конечный продукт Y

Валовый продукт Х

1

2

3

1

0,1

0,1

0,2

160

314,52

2

0,1

0,2

0,3

180

416,91

3

0,1

0,2

0,3

170

406,91

0,1

0,1

0,2

A =

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

0,9

-0,1

-0,2

Е-А =

-0,1

0,8

-0,3

-0,1

-0,2

0,7

1,190476

0,261905

0,452381

В =

0,238095

1,452381

0,690476

0,238095

0,452381

1,690476

314,5238

Х =

416,9048

406,9048

31,45

41,69

81,38

распределение

31,45

83,38

122,07

31,45

83,38

122,07

Межотраслевой баланс

Производящие предприятия

Потребляющие предприятия

Конечный продукт Y

Валовый продукт Х

1

2

3

1

31,45

41,69

81,38

160

314,52

2

31,45

83,38

122,07

180

416,91

3

31,45

83,38

122,07

170

406,91

Условно чистая продукция

220,17

208,46

81,39

510

 

Валовый продукт

314,52

416,91

406,91

 

1138,34

 

Условно чистая продукция – это разность между валовым продуктом и суммой продуктов, которые потребляет каждая отрасль.

Ответ:

1) Матрица  (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор .

2)

Межотраслевой баланс

Производящие предприятия

Потребляющие предприятия

Конечный продукт Y

Валовый продукт Х

1

2

3

1

31,45

41,69

81,38

160

314,52

2

31,45

83,38

122,07

180

416,91

3

31,45

83,38

122,07

170

406,91

Условно чистая продукция

220,17

208,46

81,39

510

Валовый продукт

314,52

416,91

406,91

1138,34

Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда[ii].

Задачи 4.1-4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

Номер варианта

Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

33

35

40

41

45

47

45

51

53

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

4) Построить адаптивную модель Брауна[iii]  с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение  параметра сглаживания α.

5) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

6) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

7) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

8) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

 Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

РЕШЕНИЕ:

1). Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число () (таблица 4.1).

  ;     ,    

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.[iv]

Таблица 7

Расчетная таблица для применения метода Ирвина

t

Y

 

1

33

-4

16

-10,33

106,78

-

 

 

2

35

-3

9

-8,33

69,44

2

0,04

 

3

40

-2

4

-3,33

11,11

5

0,11

 

4

41

-1

1

-2,33

5,44

1

0,02

 

5

45

0

0

1,67

2,78

4

0,09

 

6

47

1

1

3,67

13,44

2

0,04

 

7

45

2

4

1,67

2,78

2

0,04

 

8

51

3

9

7,67

58,78

6

0,13

 

9

53

4

16

9,67

93,44

2

0,04

сумма

45

390

0

60

0,00

364,00

 

 

среднее

5

43,33

 

 

 

 

 

 

 

Все полученные данные сравнили с табличными значениями,  не превышает их, т.е. аномальных наблюдений нет.

2) Построить линейную модель   , параметры которой оценить МНК (- расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel (рис. 8).

Рис. 8  Регрессионный анализ данных

Результат регрессионного анализа содержится в таблицах 8 и 9.

Таблица 8

Результаты регрессионного анализа

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Y-пересечение

31,33

1,18

26,60

t

2,40

0,21

11,47

Во втором столбце таблицы 8 содержатся коэффициенты уравнения регрессии a0, a1, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости (спрос на кредитные ресурсы) от tt (время) имеет вид Yt = 31,33+2,40t (рис. 9).

Таблица 9

Вывод остатков

Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

1

33,73

-0,73

2

36,13

-1,13

3

38,53

1,47

4

40,93

0,07

5

43,33

1,67

6

45,73

1,27

7

48,13

-3,13

8

50,53

0,47

9

52,93

0,07

рис. 9 График подбора

 

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.[v]

3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:

, используются данные табл. 9.

Таблица 10

Расчетная таблица для применения d-критерия Дарбина-Уотсона

Наблюдение

1

-0,73

0,538

-

-

-

2

-1,13

1,284

-0,40

-0,73

0,54

3

1,47

2,151

2,60

-1,13

1,28

4

0,07

0,004

-1,40

1,47

2,15

5

1,67

2,778

1,60

0,07

0,00

6

1,27

1,604

-0,40

1,67

2,78

7

-3,13

9,818

-4,40

1,27

1,60

8

0,47

0,218

3,60

-3,13

9,82

9

0,07

0,004

-0,40

0,47

0,22

Сумма

0

18,40

18,40

Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от 0 до d1 (рис. 10). Свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.

Рис. 10 Анализ независимости с помощью критерия Дарбина – Уотсона

3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 – (16n-29)/90]

 Количество поворотных точек равно 6 (рис.11).

Рис. 11 График остатков

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:

, где

 - максимальный уровень ряда остатков,

  - минимальный уровень ряда остатков,

     - среднеквадратическое отклонение,

,  

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

4) Построить адаптивную модель Брауна  с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение  параметра сглаживания α.

Yp (t) = а0 (t -1) + а1(t -1) * к, где к - количество шагов прогнозирования.

a1(t) = а1 (t -1) + а2 * E(t),    E(t) = Y(t0 - Yp(t),  

 а0(t) = a0 (t -1) + а1 (t - 1) + (1 - β2) *E(t).

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи

 метода наименьших квадратов:

                                                                                                                                    Таблица 11

                   Расчетная таблица для получения оценок параметров                                       

t

Y(t)

t²

Y(t)*t

1

3

1

3

2

33

4

66

3

35

9

105

4

40

16

160

5

41

25

205

Итого:

15

152

55

539

Среднее значение:

3

30.4

11

107.8

a1(0) =3,0;  a0(0) = 38,8 – 3,0 * 3 = 29,8.

При α = 0,4; k = 1; β =1 – 0,4 = 0,6.

Получим:

                                                         

                            

Расчетная таблица для  построения модели Брауна с параметром

сглаживания α = 0,4

Таблица 12

t

Y(t)

a0(t)

a1(t)

Yp(t)

E(t)

E²(t)

ТП

(E(t)-E(t-1))2

E(t)/Y(t)

щ

 

29.80

3.00

 

 

 

-

-

-

    1

33

32.83

3.03

32.80

0.20

0.04

-

0.01

    2

35

35.73

2.89

35.86

-0.86

0.75

1

1.132

0.02

3

40

38.84

3.11

38.62

1.38

1.91

0

5.038

0.03

4

41

41.80

2.96

41.96

-0.96

0.91

1

5.455

0.02

5

45

44.80

3.00

44.76

0.24

0.06

1

1.418

0.01

6

47

47.67

2.87

47.80

-0.80

0.64

1

1.076

0.02

7

45

49.66

1.98

50.54

-5.54

30.74

0

22.497

0.12

8

51

51.54

1.88

51.64

-0.64

0.41

1

24.038

0.01

9

53

53.35

1.81

53.42

-0.42

0.18

-

0.049

0.01

Итого:

35,63

5

60.703

0.25

При α = 0,7;   k = 1,   β = 1 - 0,7 = 0,3 получаем:          

  Таблица 13

Расчетная таблица для  построения модели Брауна с параметром

сглаживания α = 0,4

                                                                    

t

Y(t)

a0(t)

a1(t)

Yp (t)

E{t)

E2(t)

ТП

(E(t)-E(t -1))2

│E(t)/Y(t)│

 

29.80

3.00

 

 

 

-

-

 

1

33

32.90

3.10

32.80

0.20

0.04

-

 

0.01

2

35

35.51

2.61

36.00

-1.00

0.99

1

0.906

0.03

    3

40

39.04

3.53

38.12

1.88

3.54

0

6.504

0.05

4

41

41.80

2.76

42.57

-1.57

2.47

1

1.145

0.04

    5

45

44.78

2.98

44.56

0.44

0.19

1

5.206

0.01

6

47

47.38

2.61

47.75

-0.75

0.57

1

0.142

0.02

7

45

47.55

0.16

49.99

-4.99

24.91

1

592.403

0.11

      8

 

8

51

49.32

1.78

47.71

3.29

10.85

0

197.643

0.06

9

53

52.03

2.71

51.10

1.90

3.63

-

52.128

0.04

Итого:

47.19

5

856.077

0.36

Лучшее значение параметра сглаживания α = 0,4, так как меньше Eотн

Eотн = 0,25/9• 100% = 3%  при  α = 0,4

Eотн = 0,36/9• 100% = 4% при  α = 0,7.

5) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

          модель Брауна с параметром сглаживания α = 0,4

            а)

                 2 ( 9 – 2)                 16*9 - 29  

                 ──────   - 1,96√  ─────── =             2,45            = 2.

                       3                                   90

        Т.к.   6>2,   то   проверка  случайности   ряда  остатков   по критерию пиков  дает положительный результат.

           б) d1 = 1,08 ;  d2 = 1,36 ;

        60,70

d = ───── = 1,70.

        35,63

Т. к. 1,08<1,70, то с вероятностью 95% гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается.

     R     E max – E min                                35,63

в)  ─ = ────── ;   S v = √  ─────  = 2,11.

     S           S v                                                     8

 R     1,38+5,54

─ = ──────── = 3, 28.

 S         2,11

Т.к. 3,38  принадлежит      2, 7; 3, 7       гипотеза о нормальном распределении ряда остатков верна.

6) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:

, где

Таблица 14

Расчет относительной ошибки аппроксимации

t

Y

Предсказанное Y

 

1

33

33,73

-0,73

0,02

 

2

35

36,13

-1,13

0,03

 

3

40

38,53

1,47

0,04

 

4

41

40,93

0,07

0,00

 

5

45

43,33

1,67

0,04

 

6

47

45,73

1,27

0,03

 

7

45

48,13

-3,13

0,07

 

8

51

50,53

0,47

0,01

 

9

53

52,93

0,07

0,00

Сумма

45

390

0,23

Среднее

5

43,33

Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.

           По модели Брауна с параметром сглаживания  α = 0,4 относительная ошибка аппроксимации равна 9%.

 Eотн = 0,83/9• 100% = 9%

                                                                                                                                      7) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

                                                                                       

Линейная модель

Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 12)

 t = 1,12

Рис. 12 Распределение Стьюдента в Excel

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости , следовательно, доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при  равен 1,12.

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

, где

 

,

.

Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (табл. 15).

Таблица 15

Таблица прогноза по линейной модели

n +k

U (k)

Прогноз

Формула

Верхняя граница

Нижняя граница

10

U(1) =2,24

55,53

Прогноз + U(1)

57,58

53,09

11

U(2) =2,37

57,73

Прогноз - U(2)

60,11

55,36

Модель Брауна с параметром α=0,4.:

  Yp (10) = 53,35+1,81=55,17; Yp (11) = 53,35+1,81 * 2 = 56,98.

u(1) = 3,12; u(2) = 3,3.

                                                                                      Таблица 16

Таблица прогноза по модели Брауна

n +k

U (k)

Прогноз

Формула

Верхняя граница

Нижняя граница

10

U(1) =7,04

55,17

Прогноз + U(1)

58,29

52,05

11

U(2) =7,45

56,98

Прогноз - U(2)

60,28

53,68

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.                                                     График по линейной модели

                        Рис.13 График по линейной модели.

График для модели Брауна с параметром сглаживания α=0,4

                           

Рис.14 График для модели Брауна с параметром сглаживания α=0,4

Литература

 

1.     Гармаш А.Н., Гусарова О.М., Орлова И.В., Якушев А.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: Компьютерный практикум и руководство к выполнению лабораторной работы по теме "Оптимизационные экономико-математические модели. Методы получения оптимальных решений" -М.: ВЗФЭИ, 2002.

2.     Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel. Практикум. - М.: Финстатинформ, 2000.

3.     Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004. 

4.     Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели. 2-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.

5.     Половников В.А., Орлова И.В., Гармаш А.Н. Экономико-математические методы и прикладные модели: Методические указания по выполнению контрольной работы, темы и задачи. - М.: ВЗФЭИ, 2002.

6.     Копр 3 по ЭММ. (для студентов 3 курса))