Численные методы

Контрольная работа

Приближённые числа и действия над ними

Задание 1.

1. Определить какое равенство точнее.

2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле.


1)  = 6,63; 19 / 41 = 0,463.

2) а) 22,553 (0,016); б) 2,8546;  = 0,3%.

3) а) 0,2387; б) 42,884.


Решение.

1. = 6,6332495

= 0,0032495

= 0,00041463

 = 0,0005

 = 0,0009

19 / 41 = 0,46341463

, тем не менее точнее первое равенство, ведь


2. Решение.

а) 22, 553 + = 22,553 + 0,016 = 22,569;

22,553 - = 22,537.

Значит, 22,553 22,5.

б)  * 100% = 0,3%

 = 0,003

= 2,8546 *  = 0,0086

2,8546 ≈ 2,8.


3. Решение.

а)  = 0,000099…

б)  = R * 10-5;

% = 20 * 10-3 % = 0,002%.


Задание 2.

Вычислить и определить погрешности результата.

 где а = 3,85 (0,01), b = 2,0435 (0,0004), с = (0,1).

Решение.

Х = 0,7968.

Значит, Х ≈ 0,797.

Х = 0,797 ( 0,002).

Приближённые решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Отделить корни уравнения аналитически или графически и уточнить один из них с точностью до 0,001:

а) методом половинного деления;

б) методом хорд и методом касательных;

в) комбинированным методом;

г) методом итераций.

а) 3х4 + 4х3 – 12х2 – 5 =0

б) х – sin х = 0,25

в) 2х3 – 3х2 – 12х – 5 = 0

г) ln х + (х + 1)3 = 0.

Решение.

 

а) графический способ трудоёмкий, отделяем корни аналитически:

Следовательно,


б) х – sin х = 0,25.

 




















При методе хорд:

хn+1 =

х0 = b -

Уже видно, что х* = 1,171.


Метод касательных:

Видно, что х* = 1,171.

в) 2х3 – 3х2 – 12х – 5 = 0.

При переборе х для отделения корней получаем, что х* = - 0,5 – точный корень.

При этом уравнение принимает вид (х + ½) (2х2 – 4х + 10) = 0.

Выясняется, что х* = -0,5 – единственный корень. Комбинированный метод теряет смысл, т.к. можно взять х0 = -0,5 и процесс итераций тут же заканчивается.




г) ln х + (х + 1)3 = 0

ln х = - (х + 1)3

х =

х

 
 
















Есть единственный корень х*, 0 < х* <0,25.

Интерационный процесс:

хn+1 =

Уже видно, что х* = 0,187.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом простой итерации и методом Зейделя.


Решение.

Матрица системы имеет вид

А =

Диагонального преобладания элементов матрицы А нет. Значит, процессы итерации будут расходиться

А = D + В для матриц

D =

 В =

D-1 =

Метод простой итерации

х(к + 1) = D-1 ,

=D-1 *


Обычно берут х(0) = 0.

Затем вычисляют приближения

Уже видна расходимость, так как для данной системы

х* ≈ (0,1; 0,3; 0,7).


Проверим метод Зейделя

А = L + D + C, где:

L =

Итерации имеют вид

+D) (

Нулевое приближение берём нулевым.

Вычисляется

Процесс явно расходящийся.


Интерполирование и экстраполирование функции.

Задание 1.

Найти приближённое значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.

х

у

1,375

5,04192

1,380

5,17744

1,385

5,32016

1,390

5,47069

1,395

5,62968

1,400

5,79788


х = 1,3832.


Решение.

Р5 (х) = 5,04192 *

+

+

Знаменатели полученных дробей равны (по абсолютной величине):

15*25*1012

25*15*1010

3*25*1011

25*30*1010

15*25*1010

15*25*1011

При подстановке вместо х = 1,3832 получилось значение 6,28.

Интерполяция не состоялась. Видимо, не следует вычислять значения знаменателей, а оставить как есть, зато потом сокращать с множителями в числителе.

При втором способе вычислений получается F = (1,3832) = 5,26887.

Сказывается погрешность при использовании калькулятора.


Задание2.

Используя первую или вторую интерполяционные формулы Ньютона, вычислить значения функции при данных значениях аргумента. При составлении таблицы разностей контролировать вычисления.

х

у

1,415

0,888551

1,420

0,889599

1,425

0,890637

1,430

0,891667

1,435

0,892687

1,440

0,893698

1,445

0,894700

1,450

0,895693

1,455

0,896677

1,460

0,897653

1,465

0,898619

Значение аргумента

Х1

Х2

Х3

Х4

1,4161

1,4625

1,4135

1,470


Решение.

Вычисляем конечные разности.


0,001048




0,001038

-0,000010



0,001038

-0,000008

0,000002


0,001030

-0,000008

0

-0,000002

0,001011

-0,000019

-0,000011

-0,000011

0,001002

-0,000009

0,000010

0,000021

0,000993

-0,000009

0

-0,000010

0,000984

-0,000009

0

0

0,000976

-0,000008

0,000001

0,000001

0,000966

-0,000010

-0,000002

-0,000003

-0,00009




0,000032

0,000041



-0,000031

-0,000063

-0,000104


0,000010

0,000041

0,000104

0,000208

0,000001

-0,000009

-0,000050

-0,000150

-0,000004

-0,000005

0,000004

0,000054

-0,000358




0,000204

0,000562




Рассматриваем переменную:

t = x – 1,415 / 0,005.


Для значения х1 = 1,4161 будет t = 0,22.

В результате получается:

F101) = 0, 888551 + 0,00023056 + 0,0000010296 + … = 0,888782.

Для значения х2 = 1,4625 будет t = 0,95

F102) = 0,898136.

Для значения х3 = 1,4135 будет

t = -0,3;

F10 3) = 0,888227.

Для значения х4 = 1,47 будет

t = 11;

F104) = 0,899585.

Видимо, по значениям F101), F102) проверяется правильность записи F10 (х), а остальные значения уже решают задачу интерполяции.


Численное интегрирование.

1. Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками;

2. Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n = 8; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей;

3. Вычислить интеграл по формуле Гаусса.

1.

2. ;

3.


1. Решение.

а = 0,8

в = 1,6

в – а = 0,8

n = 10

h = 0,08.

у0 = 0,0662

у1 = 0,627

у2 = 0,593

у3 = 0,562

у4 = 0,534

у5 = 0,508

у6 = 0,484

у7 = 0,461

у8 = 0,441

у9 = 0,422

у10 = 0,404.

В результате


2. Решение.

а = 1,2

в = 2

в – а = 0,8

h = 0,8 / 8 = 0,1.

у0 = 0,421

у1 = 0,399

у2 = 0,379

у3 = 0,363

у4 = 0,348

у5 = 0,334

у6 = 0,322

у7 = 0,311

у8 = 0,301.

Погрешность определяется по формуле

Производная четвёртого порядка имеет сложный вид. Погрешность оценить невозможно.

Учебник рекомендует взять шаг h / 2. Про использование конечных разностей в учебнике не написано.


3. Решение.

а = -0,5; в = 1,3.

х =

dx = 0,9t

t =

t1 = -1

t2 = 1.

Про оценку погрешности в учебнике не сказано. Можно увеличивать число узлов, например, взять n = 5.


Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Используя метод Эйлера с уточнением, составить таблицу приближённых значений интеграла дифференциального уравнения у/ = f (х,у), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0 на отрезке [a,b]; шаг h = 0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.


Решение.

В этом случае теория гарантирует хорошую сходимость.


х

у

1,8

2,6

1,9

2,8197

2,0

3,0402

2,1

3,2230

2,2

3,4460

2,3

3,6690

2,4

3,8920

2,5

4,1151

2,6

4,3385

2,7

4,5624

2,8

4,7871



Учебная литература


1.  Гладких Л.С. Курс вычислительной математики. Art – Avenue. –Новосибирск, 2004.

2.  Ращиков В.И., Рошаль А.С. Численные методы решения физических задач. – М.: Лань, 2005.