КАФЕДРА  ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине финансовая математика

Вариант  № 6

Задание 1.

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

Таблица 1

Требуется:

1.     Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3;α₂=0,6; α₃=0,3.

2.     Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3.     Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

·     случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

·     независимости  уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении  r₁=0,32;

·     нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4.     Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5.     Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1       Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

где k - период упреждения;

Yp(t) - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

a(t), B(t), F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности (для квартальных данных L=4).

Коэффициенты модели a(t), b(t)  и F(t) рассчитываются по формулам:

Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t=1-1=0). Значения a(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные (таб. 1).

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из таблицы. Линейная модель имеет вид:                                                           

Таблица 2

Промежуточные расчеты  для вычисления коэффициентов

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0)  по следующим формулам:

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения a(0), b(0).

a(0) = Y_ср – b(0)*t_ср = 44,9 - 0,845*4,5=41,07.

Тогда линейное уравнение будет иметь вид: Yp(t)=41,07+0,845*t     

Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями.

(таб. 3).

                                                                  Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t)

Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.   Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Yp(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Yp(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.                                                             F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2= 0,8599,

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

F(-2)=[Y(2)/Yp(2)+Y(6)/Yp(6)]/2=1,0797;

F(-1)=[Y(3)/Yp(3)+Y(7)/Yp(7)]/2=1,2797$

F(0)=[Y(4)/Yp(4)+Y(8)/Yp(8)]/2=0,7804;         

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул.

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.                                                          

Полагая что t=0, k=1, находим Yp(1):

Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3)=36,04

Из уравнений, полагая, что t=1, находим:                                 

a(1)=α1*Y(1)/F(-3)+(1-α1)*[a(0)+b(0)]=41,90

b(1)=α3*[a(1)-a(0)]+(1-α3)*b(0)= 0,84  

F(1)=α2*Y(1)/a(1)+(1-α2)*F(-3)=0,8595;

Аналогично рассчитаем значения Yp(T), a(t). B(t) и F(t)  для t=2

Yp(2)=[a(1)+1*b(1)]*F(-2)=46,15

a(2)=α1*Y(2)/F(-2)+(1-α1)*[a(1)+b(1)]=42,70

b(2)=α3*[a(2)-a(1)]+(1-α3)*b(1)=0,83

F(2)=α2*Y(2)/a(2)+(1-α2)*F(-2)=1,0782;

для t=3:              

Yp(3)=[a(2)+1*b(2)]*F(-1)=55,71

a(3)=α1*Y(3)/F(-1)+(1-α1)*[a(2)+b(2)]=43,36

b(3)=α3*[a(3)-a(2)]+(1-α3)*b(2)=0,78

F(3)=α2*Y(3)/a(3)+(1-α2)*F(-1)=1,2729;

для t=4:              

Yp(4)=[a(3)+1*b(3)]*F(0)=35,27

a(4)=α1*Y(4)/F(0)+(1-α1)*[a(3)+b(3)]=44,35

b(4)=α3*[a(4)-a(3)]+(1-α3)*b(3)=0,84

F(4)=α2*Y(4)/a(4)+(1-α2)*F(0)=0,7856

для t=5:              

Yp(5)=[a(4)+1*b(4)]*F(1)=38.84

a(5)=α1*Y(5)/F(1)+(1-α1)*[a(4)+b(4)]=45,25

b(5)=α3*[a(5)-a(4)]+(1-α3)*b(4)=0,86

F(5)=α2*Y(5)/a(5)+(1-α2)*F(1)=0,8609;

Продолжая аналогично для t=6,7,8,…16, строится модель Хольта-Уинтерса. При использовании MS Office Excel составим следующую таблицу с введением соответствующих формул в нужные ячейки, что облегчит процесс вычисления (таб. 4).

Таблица 4

2            Проверка точности модели

Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 8,00, что дает среднюю величину 8,00/16=0,5%. -0,5<5%

Следовательно,  условие точности выполнено.

3       Проверка условия адекватности.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек (табл.5).

Таблица 5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=8

Рассчитаем значение q:

Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p=8, q=6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков.

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

В нашем случае d₂<d<2, 1,37<1,987<2. Уровни ряда остатков являются независимыми.

б) по первому коэффициенту автокорреляции

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения   r(1)<r табл., то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче |r(1)|=0,122<r_таб=0,32 – условие независимости  выполняется.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS –критерию. Рассчитаем значение RS:

RS=(E_max – E_min)/S,

где E_max - максимальное значение уровней ряда остатков E(t),

E_min - минимальное значение уровней ряда остатков E(t),

S - среднее квадратическое отклонение;

E_max=2,121       

E_min=-0,934      

RS= (2,121-(-0,934))/0,92=3,41

Полученное значение попадает в заданный интервал, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4       Построение точечного прогноза

Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20).   

Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16.                       

Рассчитав значения a(16), b(16) можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t).                   

Для t=17 имеем:                          

Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+1*b(16)]*F(16+1-4)=49,7

Yp(18)=Yp(16+2)=[a(16)+2*b(16)]*F(16+2-4)=62,2

Yp(19)=Yp(16+3)=[a(16)+3*b(16)]*F(16+3-4)=74,7

Yp(20)=Yp(16+4)=[a(16)+4*b(16)]*F(16+4-4)= 46,2

Рис. 1

Задание № 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных (таб. 6).

Таблица 6

Решение:

1.     Экспоненциальная скользящая средняя.

EMA_t= C_t*k+EMA_t-1*(1-k)_,

где k=2/(n+1)

C_t – цена закрытия t-го дня

Таблица 7

Расчет 10-дневной ЕМА и ее сравнение с МА

2.     Момент

MOM_t=C_t – C_t-n

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении

3.     Скорость изменения цен

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения.

4.     Индекс относительной силы

,

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

      AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Таблица 8

Расчет МОМ, ROC и RSI

5.     Стохастические линии (таб. 9).

%K_t=100*(C_t – L₅)/(H₅ – L₅);

%R_t=100*(H₅ – C_t)/(H₅ – L₅);

;

где C_t – цена закрытия текущего дня.

L₅ и H₅ – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Таблица 9

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Задание №3