Задача 2

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

1.                Сформулируем прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Пусть xi , i = {1, .. 4} – количество соответственно ресурсов «А», «Б», «В», «Г».

Max f(x) = 9 ∙ x₁ + 6 ∙ x₂ + 4 ∙ x₃ + 7 ∙ x₄ 

1 ∙ x₁ + 0 ∙ x₂ + 2 ∙ x₃ + 1 ∙ x₄  ≤ 180

0 ∙ x₁ + 1 ∙ x₂ + 3 ∙ x₃ + 2 ∙ x₄  ≤ 210

4 ∙ x₁ + 2 ∙ x₂ + 0 ∙ x₃ + 4 ∙ x₄  ≤ 800

xi ≥0 , i = {1, .. 4}

Решим задачу, используя пакет анализа «Поиск решения»

Таким образом, функция достигает максимального значения при

x₁ =95

x₂ = 210

x₃ = 0

x₄ = 0

max f(x) = 2115

2.       Сформулируйте двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Двойственная задача имеет вид:

Min f(y) = 180 ∙ y₁ + 210 ∙ y₂ + 800 ∙ y₃

1 ∙ y₁ + 0 ∙ y₂ + 4 ∙ y₃ ≥ 9

0 ∙ y₁ + 1 ∙ y₂ + 2 ∙ y₃ ≥ 6

2 ∙ y₁ + 3 ∙ y₂ + 0 ∙ y₃ ≥ 4

1 ∙ y₁ + 2 ∙ y₂ + 4 ∙ y₃ ≥ 7

y_i ≥0 , i = {1, .. 3}

Найдем значения двойственных переменных, используя теоремы двойственности.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом:

Так как первое ограничение выполняется как строгое неравенство, то

у₁ = 0.

Учитывая, что x₁ ≥ 0 ;  x₂ ≥ 0, то значения остальных двойственных переменных найдем из 1 и 2-го уравнений системы неравенств. То есть

у₁ = 0;

у₃ = 9 / 4 = 2,25;

у₂ = 6 – 2 ∙ 2,25 = 1,5.

Рассчитаем значение целевой функции двойственной задачи

Min f(y) = 180 ∙ 0 + 210 ∙ 1,5 + 800 ∙ 2,25 = 2115.

3.     Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности. В нашей задаче это изделие В и Г. Подтвердим этот факт, подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y.

1 ∙ 0 + 0 ∙ 1,5 + 4 ∙ 2,25 = 9

0 ∙ 0 + 1 ∙ 1,5 + 2 ∙ 2,25 = 6

2 ∙ 0 + 3 ∙ 1,5 + 0 ∙ 2,25 =4,5 ≥ 4

1 ∙ 0 + 2 ∙ 1,5 + 4 ∙ 2,25 =12 ≥ 7

4.     На основе двойственных оценок и теорем двойственности:

а)       Поясним использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.

В оптимальном плане не полностью используется сырье 1, т.к. у₁ = 0

Сырье 2 и 3 – дефицитное, т.к. их двойственные оценки отличны от нуля.

б)       При увеличении сырья 2 на 120 ед, сырья 3 – на 160 ед, и уменьшении сырья 1 на 60 ед. произойдут следующие изменения:

Увеличение сырья 2 на 120 ед. приведет к увеличению выручки на

120 ∙ у₂ = 120 ∙ 1,5 = 180 ед.

Увеличение сырья 3 на 160 ед. приведет к увеличению выручки на

160 ∙ у₃ = 160 ∙ 2,25 = 360 ед.

Увеличение сырья 1 на 60 ед. не повлияет на оптимальный план, так как

у₁ = 0

Таким образом, общее изменение выручки составит:

∆ = 180 + 360 + 0 = 540 ед.

в) оценим целесообразность внедрения изделия ∆ ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого сырья.

2 ∙ 0 + 2 ∙ 1,5 + 2 ∙ 2,25 – 12 = -4,5 < 0 à целесообразно.

Задача 3

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.

Построим линейную модель Y_r(t) = a₀ + a₁ ∙ t, параметры которой оценим с помощью МНК.

a₁ = ∑ (x_i – x_cr) ∙ (y_i – y_cr) / ∑ (x_i – x_cr)²

a₀ = y_cr – a₁ ∙  x_cr

Составим разработочную таблицу:

Отсюда

a₁ = 155 / 60 = 2,583

a₀ = 53,778 – 2,583 ∙ 5 = 40,861

Таким образом, линейная модель имеет вид:

Y_r(t) = 40,861 + 2,583  ∙ t

1.     Построим адаптивную модель Брауна

По первым пяти точкам ряда оцениваем значения а₁ и а₀ параметров модели с помощью МНК

Получаем

a₁ = 23 / 10 = 2,3

a₀ = 48,4 - 2,3 ∙ 3 = 41,5

которые соответствуют моменту времени t=0

Прогноз на первый шаг у_1расч = а₀₍₀₎ + а₁₍₀₎ = 2,3 + 41,5 = 43,8

Величина отклонения: е = 43 – 43, 8 = -0, 8

Корректируем параметры (α = 0,4; β = 0,6)

a_0(t) = a_0(t-1) + a_1(t-1) + (1 – β²) ε _(t) = 41,5 + 2,3 + (1 – 0,6²) ∙ (-0, 8) = 43,288

a_1(t) = a_1(t-1) + (1 – β) ² ε _(t) = 2,3 + (1 – 0,6) ² ∙ (-0, 8) = 2,172

Далее расчеты производятся аналогично (см. таблицу)

Аналогичные расчеты для α = 0,7; β = 0,3

Графики построенных моделей представлены на рисунке:

Рисунок 1 Временной ряд и построенные модели