;  .

По таблице «Значения F-критерия Фишера при уровне значимости a = 0,05» определяем табличное значение критерия Фишера  . Поскольку  ( 0,5>0,1, дисперсии не однородны (статистически не равны),т.е. различаются  значительно, и расхождение между ними носит закономерный характер.

Проверяем гипотезу о равенстве средних уровней (отсутствие тренда):    .

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение для всего ряда по формуле:

,    .

Рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:

,     

По таблице «Значения t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05» на основе заданной вероятности 0,95 и числа степеней свободы n-2 (9-2=7) определяем табличное значение t-критерия Стьюдента: . Расчетное значение превышает табличное, следовательно нулевая гипотеза отвергается.

Определение наличия тренда в исходном временном ряду можно осуществить с помощью Пакета анализа данных  в MS Excel

Производим ввод исходных данных. На основании исходных данных строим поле корреляции и добавляем линию тренда (рис.1):

• в главном меню выбираем, Вставка/Диаграмма и строим поле корреляции;
• в области построения диаграммы выделяем график, нажимаем правую кнопку мыши и из контекстного меню выбираем команду Добавить линию тренда;
• в диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип выбираем Линейная, на вкладке Параметры выбираем Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации .

Рис.1. Определение наличия тренда.

Из графика динамического ряда Y(t) видно наличие возрастающей тенденции, что может свидетельствовать о возможности существования линейного тренда.

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяем метод проверки разностей средних уровней, для чего разбиваем динамический ряд Y(t) на две самостоятельно выбранные совокупности (Рис. 2).

С помощью Пакета анализа данных в MS Excel определяем F-критерий Фишера и проводим двухвыборочный  t-тест с одинаковыми дисперсиями.

Для этого:

·         в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/ Двухвыборочный F-тест для дисперсии (рис.2). Щелкаем по кнопке ОК.

·         заполняем формы в диалоговом окне Двухвыборочный F-тест для дисперсии (рис. 3): интервал переменной 1 - $B$3:$В$6 , интервал переменной 2 -$В$7:$В$11; уровень значимости Альфа 0,05. Щелкаем ОК.

Получаем результаты расчета Двухвыборочного  F-теста для дисперсии (табл. 3).

Рис.2. Анализ данных Двухвыборочный F-тест для дисперсии.

Рис. 3. Двухвыборочный F-тест для дисперсии

Таблица 3

Двухвыборочный F-тест для дисперсии

Сравниваем значение F=0,509 c критическим значением F=0,109 т.к. F=0,509  больше, чем F критическая, то дисперсия не однородная.

Аналогично с помощью Пакета анализа данных в MS Excel проводим двухвыборочный

 t-тест с одинаковыми дисперсиями:

·         в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями (рис.4). Щелкаем по кнопке ОК.

Рис.4. Анализ данных Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями.

·         заполняем формы в диалоговом окне Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями (рис.5): интервал переменной 1-$В$3:$В$6, интервал переменной 2 - $В$7:$В$11; уровень значимости Альфа 0,05. Щелкаем по кнопке ОК.

Рис. 5 Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями

Сравниваем средние значения полученные в двух группах.

Таблица 4

             Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями

Вывод: рассчитанное значение t-критерия по модулю приблизительно равно 3, а табличное значение t-критерия Стьюдента равно приблизительно 2,36. Расчетное значение больше табличного, и среднее значение в группах отличается существенно друг от друга, т.е. признается наличие тренда.

2. Построение линейной модели

Линейная модель регрессии описывается уравнением вида:

,

где - постоянная величина (свободный член уравнения);

- коэффициент регрессии.

Построение этой модели сводится к определению параметров  и  по существующим исходным данным.

Классический подход при определении параметров  и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений  от расчетных   была бы минимальной:

,

Таким образом, решается задача оптимизации:

 и .

Исходя из этих двух условий, получается система нормальных уравнений:

.

Откуда

где - средние значения;

 - текущие значения;

  n - число уровней ряда.

Построим линейную модель регрессии .

Получим параметры линейной модели регрессии с помощью инструмента Регрессии Пакета анализа данных в MS Excel.

Для этого:

·         в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/ Регрессия (рис. 6). Щелкаем по кнопке ОК.

·         заполняем формы в диалоговом окне Регрессия (рис.7): входной интервал Y - $C$3$C$11, входной интервал Х - $В$3$В$11; параметры вывода – Новый рабочий лист; в поле Остатки ставим необходимые флажки. Щелкаем по кнопке ОК.

                            Рис.6. Анализ данных.

                                Рис.7. Регрессия

Получаем результаты расчета Регрессии (таблица5).

Таблица 5

                    Вывод: полученная модель имеет вид

3. Оценка адекватности уравнения модели.

Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно  точна. Под адекватностью понимается соответствие модели исследуемому процессу, т.е. наблюдается соответствие значений определенных по кривой роста,   фактическим данным .

Модель является адекватной, если значения остаточной последовательности  удовлетворяют ряду требований:

·         значения остаточной последовательности  должны быть случайными величинами;

·         значения остаточной последовательности должны быть независимыми  случайными величинами, т.е. не должно наблюдаться автокорреляции в остаточной последовательности.

·         значение   должны быть распределены по нормальному закону;

·         Математическое ожидание значений остаточной последовательности должно быть близким к нулю.

а) оценка случайности остаточной компоненты по критерию пиков.

Для оценки случайности остаточной компоненты построенной модели исследуем ряд остатков отклонений расчетных значений  от фактических . Для этого проведем предварительные расчеты, результаты которых приведены в таблице 6.

Таблица 6

Расчет остатков регрессионной модели

Определим количество поворотных точек, т.е. таких точек, значение уровня в которых одновременно больше соседних с ним или наоборот, одновременно меньше предыдущего и последующего за ним уровня.

Введем обозначения: 1 – точка поворота; 0 – отсутствие точки поворота.

Из расчета (таблица 6) и графика остатков (рис.8) видно, что количество поворотных точек р=4.

Рис. 8. График остатков.

Критическое число поворотных точек определяется по формуле:

,

Вывод: т.к. фактическое значение поворотных точек р=4 больше, чем критическое значение  ркрит=2, то значения остаточной последовательности можно считать случайными величинами. Модель по критерию случайности адекватна.

б) оценка независимости уровней ряда остатков по d-критерию.

Процедура представляет проверку отсутствия автокорреляции в остаточной последовательности и осуществляется по  d-критерию Дарбина-Уотсона:

,

По данным таблицы 6:

Вывод: т.к. D>1,08 то можно считать, что модель по данному критерию адекватна.

в) оценка нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию.

Метод проверки нормальности распределения остаточной компоненты основан на R/S-критерии. Значение этого критерия численно равно отношению размаха случайной величины R к стандартному отклонению :

где

                и  -максимальный и минимальный уровни ряда остатков;

               - среднеквадратическое отклонение;

                - среднее значение ряда остатков;

               n - количество уровней ряда.

Берем значения из таблицы 6: =2,23 ,

Тогда

Найдем          R==2,23-(-2,22)=4,45

Так как R/S=3,017[2,7 - 3,7], то модель адекватна по R/S-критерию.

Общие выводы:

- линейная трендовая модель является адекватной фактическому ряду динамики;

- модель может быть использована для построения прогнозных оценок.

4. Оценка точности модели.

                    Точность модели характеризуется величиной отклонения фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем, с использованием трендовой модели.

                    В качестве статистических показателей точности применяются среднеквадратическое отклонение и средняя относительная по модулю ошибка аппроксимации.

Среднеквадратическое отклонение определяется по формуле:

                    Так как , то из таблицы 6 видно, что.

                    Тогда    .

                    Средняя относительная по модулю ошибка аппроксимации определяется по формуле  . Получаем  . Таким образом .

Вывод: модель имеет достаточную точность и может быть использована для оценочных расчетов прогноза.

5. Точечный и интервальный прогнозы

                    Для периода упреждения  на  шаг вперед

Для периода упреждения  на  шага вперед

Подставив найденные значения  в линейную модель , получим точечные прогнозные значения:

                        .

Интервальный прогноз рассчитывается по формуле:

где доверительный интервал

.

Тогда при табличном значении критерия Стьюдента  

для    

для   .

Интервальный прогноз на два шага вперед при уровне вероятности P = 70%

,    

Результаты прогнозных оценок по модели представлены в таблице 7.

Таблица 7

Прогнозные оценки по уравнению регрессии

Результаты прогнозирования с помощью инструмента Регрессии Пакета анализа данных в MS Excel представлены  в табл.8 и на рис.9

Таблица 8

Рис.9. Прогнозирование по линейной модели

Задание II

Таблица 9

1.      Построить матрицу коэффициентов парной корреляции  с  и , выбрать фактор, наиболее тесно связанный с зависимой переменной ;

2.      Построить линейную однопараметрическую модель регрессии ;

3.      Оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;

4.      Для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и  -коэффициент;

5.      Построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности Р=70% использовать коэффициент ). Прогнозные оценки фактора  на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня.

Решение.

1. Матрица коэффициентов парной корреляции  с  и

        На основании анализа матрицу коэффициентов парной корреляции определяют взаимную зависимость переменных.

        Выборочный парный линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

.

Промежуточные результаты расчетов для коэффициентов приведены в таблице 10.

                                                                                                                 Таблица 10

Рабочая таблица для вычисления коэффициентов корреляции

Тогда коэффициенты корреляции

Вычислим коэффициент . Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 11

           Таблица для вычисления коэффициента корреляции

Таким образом

Запишем матрицу коэффициентов парной корреляции:

Таблица 12

матрица коэффициентов парной корреляции

        Построим матрицу коэффициентов парной корреляции с помощью Пакета анализа данных  в MS Excel. Для этого:

·         В главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Корреляция. Щелкаем по кнопке OK.

·         Заполняем формы в диалоговом окне Корреляция: входной интервал - $B$3:$D$11, выходной интервал $A$13. Щелкаем по кнопке OK.

Анализ матрицы парной корреляции показывает, что фактор    наиболее тесно связан с зависимой переменной , так как  (по модулю) ( 0,921>0,856) , т.е.  наиболее близок к 1.

2. Построение линейной однопараметрической модели регрессии

Построим линейной однопараметрической модели регрессии для :

Так как данная модель линейна относительно параметров  и , то для их оценки применим метод наименьших квадратов. Тогда

,  ,  ,  ,   ,  ,

где     , , ,  - средние значения;

            ,    -  текущие значения;

                -  число уровней ряда.

Результаты предварительных расчетов приведены в таблице 13.

Таблица 13

Рабочая таблица для расчета параметров регрессии.

Определим коэффициент регрессии

Определим значение постоянной величины   

Уравнение регрессии имеет вид:   .

                    Получим параметры линейной модели парной регрессии с помощью Пакета Регрессия в MS Excel. Для этого:

·         В главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/ Регрессия. Щелкаем по кнопке OK (рис.10).

Рис.10 Анализ данных

·         Заполняем формы в диалоговом окне Регрессия: входной интервал  - $B$3:$B$11,  - $C$3:$C$11 выходной интервал   $A$63;  в поле Остатки ставим необходимые флажки.  Щелкаем по кнопке OK (рис.11).

Рис. 11 Регрессия

Получаем результата расчета Регрессия (таблица 14).

Таблица 14

Параметры регрессии, полученные в Excel

                    Во втором столбце табл.14 содержатся коэффициенты уравнения регрессии   и . В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, в четвертом столбце – t –статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

                    Уравнение регрессии имеет вид:

3. Оценка адекватности и точности линейной

однопараметрической модели регрессии

                    Для оценки адекватности и точности линейной однофакторной модели регрессии необходимо убедиться в следующем:

·         в адекватности вида уравнения модели;

·         в статистической значимости модели регрессии в целом (F – критерий Фишера);

·         в статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента корреляции;

·         в точности модели (в качестве меры точности используются оценки значения ошибок).

3.1. Оценка адекватности уравнения модели

Уравнение модели является адекватным, если:

                  а) математическое ожидание значений остаточного ряда равно или  близко

                       нулю (t – критерий Стьюдента);

б)  значения остаточного ряда   случайны (критерий пиков);

в)   значения остаточного ряда независимы (d – критерий Дарбина-Уотсона);

г)    значение    распределены по нормальному закону (R/S – критерий).

а)  t – критерий Стьюдента

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки статистической гипотезы . С этой целью находим t – критерий Стьюдента:

где          и  -максимальный и минимальный уровни ряда остатков;

               - среднеквадратическое отклонение;

                - среднее значение ряда остатков;

    - текущие значения уровней ряда остатков;

               n - количество уровней ряда.

                    Промежуточные результаты расчетов, выполненных для  t–критерий Стьюдента, а также для остальных критериев адекватности, приведены в таблице 15.

Среднеквадратическое отклонение: 

                        t – критерий Стьюдента:       

Так как расчетное значение t – критерия Стьюдента    меньше    табличного значения , то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания значений остаточного ряда выполняется. Модель адекватна по t-критерию Стьюдента.

б)  Оценка случайности остаточной компоненты по критерию пиков

                    Из расчетов (табл.15) и графика остатков (рис.12) видно, что количество поворотных точек p = 4.

                                 Рис. 12. График остатков

                                                                                                                                                   Таблица 15

                                               Промежуточные расчеты для статистических критериев

Критическое число поворотных точек определяется по формуле:

,

Так как фактическое значение поворотных точек р=4 больше, чем критическое значение  , то значения остаточной компоненты можно считать случайными величинами. Модель по критерию случайности адекватна.

б) Оценка независимости уровней ряда остатков по d-критерию.

Процедура представляет проверку отсутствия автокорреляции в остаточной последовательности и осуществляется по  d-критерию Дарбина-Уотсона:

,

По данным таблицы 15:

Т.к.   не попадает в промежуток , то можно считать, что в остаточной последовательности  наблюдается автокорреляции и значения  являются зависимыми случайными величинами. Модель не адекватна по d-  критерию Дарбина-Уотсона.

г) Оценка нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию.

Метод проверки нормальности распределения остаточной компоненты основан на R/S-критерии. Значение этого критерия численно равно отношению размаха случайной величины R к стандартному отклонению :

где

               - среднеквадратическое отклонение;

                - среднее значение ряда остатков;

    - текущие значения уровней ряда остатков;

               n - количество уровней ряда.

Берем значения из таблицы 15: =3,723  , -3,347,   80,391

Тогда                        R==7,07

Так как R/S=2,23 [2,7 - 3,7], то модель не адекватна по R/S-критерию.

3.2. Статистическая значимость модели регрессии в целом

(F – критерий Фишера)

                    F – критерий Фишера применяется для установления истинности статистической гипотезы о том, что фактор регрессии  действительно влияет на зависимую переменную  или, точнее, действительно ли часть дисперсии переменной  объясняется влиянием .

                    F – критерий Фишера рассчитывается по формуле:

,

где      - коэффициент детерминации;

             -  число параметров при переменных, включенных в модель;

            -  количество уровней ряда.

Используя введенные ранее обозначения, коэффициент детерминации можно записать в виде:

                    Для однофакторной модели значение R совпадает с  , определенным в пером пункте задания. Тогда, подставив значения , k = 1 (для линейной однофакторной модели) и n = 9, получим:

                    Табличное значение F – критерия при , степенях свободы  и   согласно [2, стр. 111]: .

Так как расчетное значение   ( 39,053 >  5,59), то модель считается статистически значимой. Коэффициент детерминации  показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемого фактора. В задаче  вариации зависимой переменной  учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора .

3.3. Статистическая значимость коэффициентов регрессии и корреляции

                    Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции проводится с помощью t – критерия Стьюдента путем сопоставления значений коэффициентов с величиной случайной ошибки :

,    ,   .

,  ,  .

Промежуточные результаты вычислений приведены в таблице 16.

Таблица 16

Рабочая таблица для определения ошибок коэффициентов модели

Используя данные табл.16  и   при  получаем:

Значения t –статистик (по модулю):

,    ,   .

Табличное значение t – критерия Стьюдента при  и числе степеней свободы  составляет 2,3646. Так как все фактические значения t –статистик превышают табличное значение, то коэффициенты регрессии и корреляции статистически значимы.

3.4. Оценка точности модели

                    В качестве меры точности модели регрессии применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, т.е. части дисперсии фактического явления, «необъясненную» включенными в модель факторами.

Стандартная ошибка оценки определяется по формуле:

где

                        -  число факторов, включенных в модель (данном случае );

                       -  количество уровней ряда.

                    Из таблицы 16 видно, что34,383

                    Тогда    .

                    Средняя относительная ошибка аппроксимации (по модулю) определяется по формуле  .

Промежуточные расчетные данные приведены в таблице 17.

Таблица 17

Рабочие расчеты для оценки точности модели

Получаем  . Таким образом .

Модель имеет достаточную точность и может быть использована для оценочных расчетов прогноза.

4. Коэффициент эластичности и b - коэффициент

                    Коэффициент эластичности (т.е. коэффициент, показывающий на сколько процентов изменится результат, если фактор изменится на 1%) в общем виде определяется как

,

где  - первая производная функции .

Так как для линейной функции коэффициент эластичности зависит от значения фактора , то воспользуемся формулой среднего коэффициента эластичности:

                    Подставив вычисленные ранее значения, получим:

.

Стандартизированный   b-коэффициент  линейной регрессии определяется из общего уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе:

,

где   ,    - стандартизированные переменные;

          - стандартизированные коэффициенты регрессии, определяемые из системы уравнений:

……………………………………..

где  ,  - парные коэффициенты корреляции.

                    Для однопараметрической (однофакторной) линейной модели система уравнений сводится к тождеству:

,

откуда значение  b-коэффициента линейной однофакторной регрессии:

b-коэффициент  можно определить также другим способом. По формуле связи между коэффициентами регрессии в стандартизированной и нормальной формах имеем:

,

где  ,   - среднеквадратические отклонения.

Используя данные таблицы 10:   ,       и известный параметр регрессии    получим:

Тогда                                            

5. Точечный и интервальный прогнозы

Прогнозируемое точечное значение переменной  для периода упреждения на  шагов вперед получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины фактора  при , т.е.

Получим прогнозные оценки фактора  на основе величины его среднего абсолютного прироста (САП):

,

.

Подставив соответствующие значения, получим:

Интервальный прогноз рассчитывается с помощью доверительного интервала по формуле:

,

где   - средняя стандартная ошибка прогноза:

,

где

         - стандартная ошибка оценки;

           - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости a и для числа степеней свободы .

                    Подставив известные (по условию задачи) значения , а также вычисленные ранее значения  (пункт 3.4),    и    (табл.10), получим:

Результаты прогнозных оценок при уровне вероятности P = 70%  по линейной однопараметрической  модели регрессии представлены в таблице 18.

Таблица 18

Прогнозные оценки по линейной модели регрессии

Результаты прогнозирования с помощью инструмента Регрессии Пакета анализа данных в MS Excel представлены  на рис.13

Рис.13. Результаты расчетов и прогнозирования

Список использованной литературы

1.      Эконометрика. Программа. Методические указания по изучению дисциплины для студентов 4-го курса второго высшего образования, обучающихся по специальностям «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет и аудит». –М.:ЗАО «Финстатинформ», 2001. -68с.

2.      Эконометрика. Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной и аудиторной работы на ПЭВМ  для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика труда». –М.: Вузовский учебник, 2005. -122с.

3.      Эконометрика: Учебник/ Про ред. И.И.Елисеевой. –М.: Финансы и статистика, 2005. – 576с.

4.      Практикум по эконометрике: Учеб.пособие под ред. И.И.Елисеевой. –М.: Финансы и статистика, 2006. – 192с