1. Общие положения задач с параметрами

Изучение и решение задач с параметрами имеют основной целью следующее:

закрепление навыков и умений, полученных учащимися на уроках математики (и, при необходимости, ликвидацию возможных пробелов), для успешного обучения в профильной школе,

расширение представлений о типах и методах решения математических задач,

выработку умения классифицировать предложенные задачи по методам их решения,

выработку умения  работать с условием задачи, сводя ее к более простой и узнаваемой, а также быть внимательными и аккуратными с отбором найденных решений[2].

Рассмотрим несколько примеров:

1. При каких значениях параметра a сумма log_a (2^x – 1) и log_a (2^x – 7) равна единице ровно при одном значении x?

Решение. Из условия задачи следует, что log_a (2^x – 1) + log_a (2^x – 7) = 1 и это уравнение должно иметь только одно решение.

x > log₂ 7 при a > 0 и a¹1.

Преобразуя уравнение, получим:   (2^x – 1)(2^x – 7) = a,

(2^x)² – 8·2^x + 7 – a = 0.

Пусть 2^x = y, y > 0; тогда имеем квадратное уравнение y² – 8y + 7 – a = 0. D = 36 + 4a. Так как a > 0, то D > 0, то есть квадратное уравнение имеет два корня. Учитывая условие y > 0, из двух корней подойти должен только один, то есть y₁ > 0, y₂£ 0. Таким образом, должно выполняться условие y₁y₂=7–a£0, то есть a³7.

Ответ: при aÎ [7; +¥×).

1.     При каких значениях параметра a сумма  не равна единице ни при каких значениях x?

Решение. Составим сумму и запишем условие:

Это условие равносильно тому, что уравнение не имеет решений при любых значениях x.

x³0 при a > 0 и a¹1.

Преобразуя наше уравнение, получим равносильное уравнение

Пусть Имеем квадратное уравнение

(6 – a)y² + (17 – 2a)y + 12 – a = 0  . (1)

D = (17 – 2a²) – 4(6 – a)(12 – a) = 4a + 1.

Так как a > 0, то D > 0 и квадратное уравнение (1) имеет два корня. Учитывая условие y³0, имеем y₁<0 и y₂<0, то есть y₁y₂>0, y₁+y₂<0. 

Значит,

С учетом условия a>0 и a¹1, имеем aÎ(0; 1)È(1; 6)È(12; +¥).

Рассмотрим отдельно случай a=6. Тогда квадратное уравнение становится линейным: 5y + 6 = 0, то есть что не удовлетворяет условию y³0.

Ответ: при aÎ(0; 1)È(1; 6]È(12; +¥).

3. При каких значениях параметра a сумма  будет больше единицы при всех значениях x?

Решение. 

Получили неравенство, которое должно выполняться при всех значениях x при a>0, a¹1.

Перепишем неравенство в виде

При 0 < a < 1 имеем Так как 1+x²>0 при xÎR, то (8–a)x⁴+(22–2a)x²+(15–a)<0.

Пусть x² = y, y³0. Тогда неравенство (8–a)y²+(22–2a)y+(15–a)<0 должно выполняться при всех yÎ[0;+¥). Это возможно только при 8–a<0, то есть a>8, что не удовлетворяет условию 0<a<1.

При a>1 имеем то есть (8–a)x⁴+(22–2a)x²+(15–a)>0 при всех значениях x.

Пусть x² = y, y³0. Тогда  (8–a)y²+(22–2a)y+(15–a)>0 должно выполняться при всех yÎ[0; +¥). Это возможно только при 8–a>0.

D=(22–2a)²–4(8–a)(15–a)=4a+4.

При a>1 D>0, то есть квадратный трехчлен имеет два корня y₁ и y₂ и при yÎ[y₁; y₂] принимает неположительные значения. Для того, чтобы квадратный трехчлен был положителен для любого yÎ[0; +¥), необходимо, чтобы y₁<0 и y₂<0, то есть y₁y₂>0, y₁+y₂<0.

Таким образом, получим систему неравенств откуда aÎ(1; 8).

При a=8 имеем 6y + 7>0 при всех yÎ [0; +¥).

Ответ: при aÎ(1; 8].

4. При каких значениях параметра a сумма log_a (sin x + 2) и log_a (sin x + 3) будет равна единице хотя бы при одном значении x?

Решение. log_a (sin x + 2) + log_a (sin x + 3) = 1. (1)

Получили уравнение, которое должно иметь хотя бы один корень. a>0, a¹1; xÎR. При этих условиях уравнение (1) равносильно уравнению

(sin x + 2)(sin x + 3) = a,

sin² x + 5sin x + 6 – a = 0.

Пусть sin x = y, | y | £ 1. Тогда

y² + 5y + 6 – a = 0. (2)

D = 25 – 4(6 – a) = 4a + 1.

При a > 0 D > 0, то есть уравнение (2) имеет два корня y₁ и y₂.

Графиком функции f(y) = y² + 5y + (6 – a) является парабола, ветви которой направлены вверх, а абсцисса ее вершины равна –2,5. Следовательно, меньший корень квадратного уравнения не может принадлежать отрезку [–1; 1]. Для того, чтобы больший корень принадлежал отрезку [–1; 1], должны выполняться условия f(–1)£0 и f(1)³ 0, то есть то есть aÎ[2; 12].

Ответ: при aÎ [2; 12].

5. При каких значениях параметра a выражение 3 + cos x (a cos x + 4sin x) не равно нулю ни при каких значениях x?

Решение. Перефразируем данное задание: при каких значениях параметра a уравнение

3 + cos x (a cos x + 4sin x) = 0 не имеет решений ни при каких значениях x?

3sin² x + 4sin x cos x + (a + 3) cos² x = 0.

Так как cos x = 0 не является решением данного уравнения, то 3tg² x + 4tg x + (a + 3) = 0. Это квадратное уравнение не имеет решений только если D < 0, то есть  D = 16 – 12(a + 3) и 16 – 12(a + 3) < 0,

откуда

Ответ: при

6. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?

Решение. Рассмотрим условие:

Решим данное уравнение графически. Рассмотрим графики функций Чтобы исходное уравнение имело единственное решение, графики наших функций должны иметь только одну точку пересечения.

Графиком функции y = 2 + x является прямая, проходящая через точки (0; 2) и (2; 4).

Графиком функции является кривая, полученная из графика функции сдвигом его на | a | единиц вправо вдоль оси Ox, если a > 0; на | a | единиц влево вдоль оси Ox, если a<0. Единственная точка пересечения получается при a³–2.

Ответ: при aÎ [2; +¥).

7. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?

Решение.  . Рассмотрим условие:

Рассмотрим графики функций Графиком функции y = x + a является прямая, параллельная прямой y = x и проходящая через точку (0; a).

Единственная точка пересечения A при D = 0, то есть

При  — две точки пересечения, а при a Î (–¥; 1) — одна точка пересечения.

Ответ: при

8. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно четыре корня?

Решение.  x > 0.

Пусть Тогда уравнение 2y² – y + a = 0 должно иметь два положительных корня, то есть при D>0 y₁>0 и y₂>0. Таким образом

откуда .

Ответ: при