Задание 1

Приведите примеры порядковых шкал

В соответствии с РТИ при математическом моделировании реального явления или процесса следует, прежде всего, установить, в каких типах шкал измерены те или иные переменные. Тип шкалы задает группу допустимых преобразований.

Укажем основные виды шкал измерения и соответствующие группы допустимых преобразований.

В шкале наименований (другое название - номинальной) допустимыми являются все взаимно-однозначные преобразования (т.е. числа используются лишь как метки, например, номера телефонов), в порядковой - все строго возрастающие преобразования, в шкале интервалов - линейные возрастающие преобразования, в шкале отношений - подобные (изменяющие только масштаб) преобразования, а для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.

Оценки экспертов, как уже отмечалось, часто следует считать измеренными в порядковой шкале. Типичным примером являются задачи ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию. Почему мнения экспертов естественно выражать именно в порядковой шкале? Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного, например, сравнительного, характера, чем количественного. Так, ему легче сказать, какая из двух гирь тяжелее, чем указать их примерный вес в граммах. Другими известными примерами порядковых шкал являются: в медицине - шкала стадий гипертонической болезни по Мясникову, шкала степеней сердечной недостаточности по Стражеско-Василенко-Лангу, шкала степени выраженности коронарной недостаточности по Фогельсону; в минералогии - шкала Мооса (тальк - 1, гипс - 2, кальций - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8, корунд - 9, алмаз - 10), по которому минералы классифицируются согласно критерию твердости; в географии - бофортова шкала ветров ("штиль", "слабый ветер", "умеренный ветер" и т.д.). При оценке качества продукции и услуг, в квалиметрии популярны порядковые шкалы (годен - не годен, есть значительные дефекты - только незначительные дефекты - нет дефектов). Порядковая шкала используется и в иных областях.

Порядковая шкала и шкала наименований - шкалы качественных признаков. Поэтому во многих конкретных областях результаты качественного анализа можно рассматривать как измеренные по этим шкалам.[1]

Задание 2

Приведите примеры распределения дискретных величин

При рассмотрении сложных систем нет возможности описать с помощью математических соотношений все обстоятельства, которые влияют на характеристики системы. Это слишком усложнило бы систему. Поэтому влияние факторов внешней среды заменяют случайными величинами.

Реализация случайных величин - наблюдаемое конкретное значение случайной величины. Случайные величины могут образовывать последовательности или совокупности.

Примеры:

1) количество фраз входной информации, поступающей ежеминутно на вход ЭВМ (последовательность случайных величин)

2) поступление различных видов груза, подлежащих отправке с ж/д станции за один и тот же промежуток времени (совокупность случайных величин).[2]

Наиболее распространёнными типами распределений дискретных случайных величин являются следующие:

1.     Равномерное P_K=1/n при k=1, 2,…n; P_K=0 при k>n.

2.     Распределение Бернулли (для двоичных случайных величин). P₀=1-P; P₁=P, P_K=0 при k>1.

3.     Распределение Пуассона

P_K= l^ke^-l/k!, 0< l <+ ¥, k=0, 1, 2, 3,…

4.     биномиальное

P_K=С^K_nP^K(1-P)^n-k-1 при k=0,1,…n

P_K=0 при k>n, 0<p<1, n – целое.

5.     геометрическое

P_K=P(1-P)^K, k=0, 1, 2,… , 0<p<1[3]

Задание 3

Приведена таблица данных:

Таблица 1.

Исходные данные

А) проранжировать данные по возрастанию.

Б) распределить по частотам,

В) сгруппировать по частотам,

Г) интерпретировать полученные результаты целиком или в выбранной Вами группе,

Д) определить 25 процентиль данного распределения,

Е) построить гистограмму распределения.

Решение:

А) проранжированный ряд представлен в таблице 2.

Б) Распределение по частотам представлено в таблице 2.

Таблица 2.

Проранжированный ряд

В) Если группировать полученные данные по частотам, то получается 5 групп.

Оформим группировку в таблицу 3.

Таблица 3.

Группировка по частотам

Г) По группировке получилось пять групп. Частоте, равное 1, соответствует один член распределения, частоте, равной 2 – четыре члена распределения, частоте, равной 3 – шесть членов распределения, частоте, равной 4 – четыре члена и, наконец, последняя группа, соответствующая частоте 5, состоит из пяти членов распределения.

Д) 25-я процентиль (также называемая квантилью 25 или нижней квартилью) переменной - это такое значение (x_p), что 25% (p) значений переменной попадают ниже этого значения.

25 процентиль считается по формуле:

 [4]

Е) Гистограмма распределения показана на рис. 1.

Задание 4

Вычислить для Вашего распределения (таблица 1) моду, среднее, медиану. Интерпретировать результаты вычислений для данного распределения.

Решение:

Для данной задачи:

Мода – наиболее чаще встречающееся число:

Составим ряд: 8, 6, 6, 5, 7, 4, 9, 7, 6, 3, 9, 8, 5, 7, 4, 7, 8, 6, 7, 5.

Как видно из этого ряда мода равна 7.

Медиана высчитывается следующим образом:

Ранжированный ряд: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.

Для расчета медианы нужно взять два значения, обведенные кружком.

Ме = (6 + 7) / 2 = 6,5.

Среднее: (3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9)/20 = 127/20 = 6,35.

Так как в данном примере разбирается дискретный ряд, то мода высчитывается простейшим методом. Медиана была высчитана для ряда, содержащего четкое количество членов. Среднее значение распределения было рассчитано как среднее арифметическое простое и получилось немного меньше, чем медиана.

Задание 5

Вычислить коэффициент корреляции Пирсона, написать уравнение регрессии Y на Х и Х на Y, построить линии регрессии, используя данные таблицы 2:

Таблица 4.

Исходные данные

Коэффициент корреляции Пирсона высчитывается по формуле:

 где r – парный коэффициент корреляции,

 - среднее произведение факторного и результативного признаков,

 -произведение средних размеров факторного и результативного признаков,

,  - среднее квадратическое отклонение факторного и результативного признаков. Причем

        [5]

Для нахождения параметров уравнения связи и расчета коэффициента корреляции используется вспомогательная таблица 4.

Таблица 5.

Исходные данные для решения уравнения связи

 = -135/5 = 27,  = 25/5 = 5,  = -17/5 = 3,4,  = 5*3,4 = 17,  = 171/5 = 34,2,  = 117/5 = 23,4,  = 5² = 25,  = 3,4² = 11,56, , ,

Коэффициент корреляции отрицательный, значит связь обратная.

Нахождение корреляционного уравнения связи и выявление зависимости между признаками.

Связь между результативным и факторным признаками может носить линейный и криволинейный характер. При линейной форме связи используется уравнение прямой Y = A + Bx, где у – теоретический уровень результативного признака (окупаемости затрат), а – начало отсчета, х – факторный признак (производительность труда), в – коэффициент регрессии, показывающий среднее изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу.

1.     При линейной форме связи эта система имеет вид:

 где n – численность совокупности (в данном случае n = 5).

-17 = 5а + 25b,

-135 = 25a + 171b.

Решим эту систему:

a = (-17 – 25b)/5, 5*(-17 – 25b) + 171b = -135, -85 – 125b + 171b = -135,

46b = -50, b = -1,1/

A = (-17 + 25*1,1)/5 = 2,1/

Тогда уравнение регрессии Y на Х будет равно Y = 2,1 – 1,1х.

2.     При уравнении регрессии Х на Y система выглядит следующим образом:

 где n – численность совокупности (в данном случае n = 5).

25 = 5а – 17b,

-135 = -17a + 117b.

Решим теперь эту систему:

А = (25 + 17b)/5, - 135 = -17 (25 + 17b)/5 + 117b = - 85 – 57,8b + 117b = 59,2b- 85.

B = (-135 + 85)/59,2 = – 50/59,2 = – 0,8.

A = (25 + 17*(-0,8))/5 = (25 – 13,6)/5 = 2,28.

Уравнение выглядит следующим образом:

Х = 2,28 – 0,8y.

Графики линий регрессий показаны на рис. 2 и 3.

Задание 6

Сделать два измерения величины по Вашему выбору (не менее 10 замеров каждое). Выполнить все возможные вычисления и построения. Дать сравнительный анализ полученных измерений.

Для данного решения были сделаны два вида замеров.

Первый замер – десятикратное измерение обычного ластика с помощью различных линеек. Результаты занесены в таблицу 5.

Второй замер – десятикратное измерение пульса при помощи секундомера. Результаты также занесены в таблицу 5.

Таблица 5.

Результаты первого и второго измерений

Для каждого из этих измерений найдем моду, среднее, медиану и построим гистограммы измерений.

Для первого измерения:

Дискретный ряд = 3,0; 3,1; 3,0; 3,2; 3,4; 3,0; 3,2; 3,1; 3,3; 3,0.

Мода = 3,0.

Среднее арифметическое = (3 + 3,1 + 3 + 3,2 + 3,4 + 3 + 3,2 + 3,1 + 3,3 + 3)/10 = 3,13.

Ранжированный ряд: 3, 3, 3 , 3, 3,1, 3,1, 3,2, 3,2, 3,3, 3,4.

Медиана = (3,1 + 3,1)/2 = 3,1.

Построим гистограмму.

Для второго измерения:

Дискретный ряд = 78, 82, 89, 79, 85, 83, 80, 85, 79, 75.

Отсюда видно, что мода = 85 и 79.

Среднее арифметическое ряда = (78 + 82 + 89 + 79 + 85 + 83 + 80 + 85 + 79 + 75)/10 = 81,5.

Ранжированный ряд для нахождения медианы: 75, 78, 79, 79, 80, 82, 83, 85, 85, 89.

Медиана = (80 + 82)/2 = 81.

Построим гистограмму:

Из расчетов видно, что если измерения зависят от инструмента, то результаты более или менее стабильны, а если измерения зависят от человеческих факторов, то здесь разброс значений довольно велик и зависит от ситуации.