Постановка задачи

При проведении статистического наблюдения за деятельностью предприятий корпорации получены выборочные данные по 32-м предприятиям, выпускающим однородную продукцию  (выборка 10%-ная, механическая), о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и  о выпуске продукции за год.

В проводимом статистическом исследовании обследованные предприятия выступают как единицы выборочной совокупности, а показатели Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Выпуск продукции – как изучаемые признаки единиц.

Для проведения автоматизированного статистического анализа совокупности выборочные данные представлены в формате электронных таблиц процессора Excel в диапазоне ячеек B4:C35. Для демонстрационного примера (ДП) выборочные данные приведены в табл. 1-ДП.

Таблица 1-ДП

В процессе исследования совокупности необходимо решить ряд статистических задач для выборочной и генеральной совокупностей.

Статистический анализ выборочной совокупности

1.    Выявить наличие среди исходных данных резко выделяющихся значений признаков («выбросов» данных) с целью исключения из выборки аномальных единиц наблюдения.

2.    Рассчитать обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам: среднюю арифметическую (), моду (Мо), медиану (Ме), размах вариации (R), дисперсию(), средние отклонения – линейное () и квадратическое (σn), коэффициент вариации (Vσ), структурный коэффициент асимметрии  К.Пирсона (Asп).

3.    На основе рассчитанных показателей в предположении, что распределения единиц по обоим признакам близки к нормальному, оценить:

а) степень колеблемости значений признаков в совокупности;

б) степень однородности совокупности по изучаемым признакам;

в) устойчивость индивидуальных значений признаков;

г) количество попаданий индивидуальных значений признаков в диапазоны (), (), ().

4.    Дать сравнительную характеристику распределений единиц совокупности по двум изучаемым признакам на основе анализа:

а) вариации признаков;

б) количественной однородности единиц;

в) надежности (типичности) средних значений признаков;

г) симметричности распределений в центральной части ряда.

5.    Построить интервальный вариационный ряд и гистограмму распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и установить характер (тип) этого распределения. Рассчитать моду Мо полученного интервального ряда и сравнить ее с показателем Мо несгруппированного ряда данных.

Статистический анализ  генеральной совокупности

1.               Рассчитать генеральную дисперсию , генеральное среднее квадратическое отклонение  и ожидаемый размах вариации признаков R_N. Сопоставить значения этих показателей для генеральной и выборочной дисперсий.

2.               Для изучаемых признаков рассчитать:

а) среднюю ошибку выборки;

б) предельные ошибки выборки для уровней надежности P=0,683, P=0,954, P=0,997 и границы, в которых будут находиться средние значения признака генеральной совокупности при заданных уровнях надежности.

3.               Рассчитать коэффициенты асимметрии As и эксцесса Ek. На основе полученных оценок  сделать вывод о степени близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному распределению.

Таблица 8

Описательные статистики выборочной совокупности

Задача 3.

3а). Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации V_s в соответствии с оценочной шкалой колеблемости признака:

0%<V_s40%     -    колеблемость незначительная;

40%< V_s60% -    колеблемость средняя (умеренная);

V_s>60%             -    колеблемость значительная.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_s =17,01044915. Так как значение показателя лежит в диапазоне …0%<V_s40% оценочной шкалы, следовательно, колеблемость незначительная.

Для признака Выпуск продукции показатель V_s = 21,74952089 . Так как значение показателя лежит в диапазоне 0%<V_s40% оценочной шкалы, следовательно, колеблемость незначительная.

3б). Степень однородности совокупности по изучаемому признаку для нормального и близких к нормальному распределений устанавливается по значению коэффициента вариации V_s. Если V_s33%, то по данному признаку расхождения между значениями признака невелико, единицы наблюдения количественно однородны.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_s 33% , следовательно, по данному признаку выборочная совокупность  однородна.

Для признака Выпуск продукции показатель V_s = 21,74952089 33% , следовательно, по данному признаку выборочная совокупность однородна.

3в). Сопоставление средних отклонений – квадратического s и линейного  –позволяет сделать вывод об устойчивости индивидуальных значений признака, т.е. об отсутствии среди них «аномальных» вариантов значений.

В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределений между показателями s и  имеют место равенства s1,25, 0,8s, поэтому отношение показателей  и s может служить индикатором устойчивости данных.

Если          >0,8, то значения признака неустойчивы, в них имеются «аномальные» выбросы.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель = 0,80,8. Следовательно, значения признака устойчивы.

Для признака Выпуск продукции показатель = 0,770,8 . Следовательно, значения признака устойчивы.

3г). Для оценки количества попаданий индивидуальных значений признаков x_i в тот или иной диапазон отклонения от средней , а также для выявления структуры рассеяния значений x_i по 3-м диапазонам формируется табл.9 (с конкретными числовыми значениями границ диапазонов).

Таблица 9

Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно

На основе данных табл.9 структура рассеяния значений признака по трем диапазонам (графы 5 и 6) сопоставляется со структурой  рассеяния по правилу «трех сигм», справедливому для нормальных и близких к нему распределений:

68,3% значений располагаются в диапазоне (),

95,4% значений располагаются в диапазоне (),

99,7% значений располагаются в диапазоне ().

Вывод:

Сравнение данных графы 5 табл.9 с правилом «3-х сигм» показывает на их незначительное расхождение, следовательно, распределение единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов можно  считать близким к нормальному.

Сравнение данных графы 6 табл.9 с правилом «3-х сигм» показывает на незначительное расхождение, следовательно, распределение единиц совокупности по признаку Выпуск продукции можно считать близким к нормальному.

Задача 4. Для ответа на вопросы 4а) – 4г) необходимо воспользоваться табл.8 и сравнить величины показателей для двух признаков.

4а)-в). Для сравнения степени колеблемости значений изучаемых признаков, степени однородности совокупности по этим признакам, надежности их средних значений используются коэффициенты вариации V_s признаков.

Вывод:

Так как V_s для первого признака больше, чем V_s для второго признака, то колеблемость значений первого признака больше  колеблемости значений второго признака, совокупность более однородна по второму признаку, среднее значение первого признака является менее надежным, чем у второго признака.

4г). Сравнение симметричности распределений в центральной части ряда.

В нормальных и близких к нему распределениях основная масса единиц (63,8%) располагается в центральной части ряда, в диапазоне (). Для оценки асимметрии распределения в этом центральном диапазоне служит коэффициент К.Пирсона Asп.

При правосторонней асимметрии Asп>0, при левосторонней – Asп<0. Если Asп=0, вариационный ряд симметричен.

Вывод:

Асимметрия распределения признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в центральной части ряда является левосторонней, так как Asп=-0,152503649. Асимметрия признака Выпуск продукции является правосторонней, так как Asп=0,043954448. Сравнение абсолютных величин |Аsп| для обоих рядов показывает, что ряд распределения по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов менее асимметричен, чем ряд распределения по признаку Выпуск продукции.

Задача 5. Интервальный вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов представлен в табл.7, а его гистограмма и кумулята – на рис.2.

Вывод:

1. Гистограмма является одновершинной.

2. Распределение приблизительно симметрично, так как As_п=-0,15250364 параметры , Mo, Me  отличаются незначительно:

= 7060,            Mo=7312,5,          Me=7315,75.

3. “Хвосты” распределения не очень длинны, т.к. согласно графе 5 табл. 6,67% вариантов лежат за пределами интервала ().

Следовательно, на основании п.п. 1,2,3, можно сделать заключение о близости изучаемого распределения к нормальному.

II. Статистический анализ  генеральной совокупности

Задача 1. Рассчитанные в табл.3 генеральные показатели представлены в табл.10.

Таблица 10

Описательные статистики генеральной совокупности

Для нормального распределения справедливо равенство R_N=6s_N.

Ожидаемый размах вариации признаков R_N:

- для первого признака R_N = 7328,808,

- для второго признака R_N  = 8742,6384.

Соотношение между генеральной и выборочной дисперсиями:

- для первого признака = 1,0344826, т.е. расхождение между дисперсиями незначительное;

-для второго признака =1,0344826, т.е. расхождение между дисперсиями незначительное.

Задача 2.

Для среднего значения признака средняя ошибка выборки  (ее называют также стандартной ошибкой)  выражает среднее квадратическое отклонение s выборочной средней  от математического ожидания M[] генеральной средней .

Для изучаемых признаков средние ошибки выборки  даны в табл. 3:

- для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов

=223,0085342,

- для признака Выпуск продукции

=266,0300321

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых  лежит генеральная средняя . Эти границы задают так называемый доверительный интервал генеральной средней  – случайную область значений, которая с вероятностью P, близкой к 1,  гарантированно содержит значение генеральной средней.

Для уровней надежности P=0,954; P=0,683, P=0,997 оценки предельных ошибок выборки  даны в табл. 3, табл. 4а и табл. 4б.

Для генеральной средней предельные значения и доверительные интервалы определяются выражениями:

,

Таблица 11

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних

Вывод:

Увеличение уровня надежности ведет к расширению ожидаемых границ для генеральных средних.

Задача 3. Рассчитанные в табл.3 значения коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ek даны в табл.10.

Чем больше величина |As|, тем более асимметрично распределение. Оценочная шкала асимметрии:

|As| 0,25            - асимметрия незначительная;

0,25<|As|0.5     - асимметрия заметная (умеренная);

|As|>0,5               - асимметрия существенная.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов наблюдается незначительная левосторонняя асимметрия. Следовательно, в распределении преобладают более низкие значения признака.

Для признака Выпуск продукции наблюдается незначительная правосторонняя асимметрия. Следовательно, в распределении преобладают более высокие значения признака.

2.Показатель эксцесса Ek характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой.

Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений.

Если Ek>0, то вершина кривой распределения располагается выше  вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине.

Если Ek<0, то вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin.

Для нормального распределения Ek=0. При незначительном отклонении Ek от нуля форма кривой эмпирического распределения незначительно отличается от формы нормального распределения. Чем больше абсолютная величина |Ek|, тем существеннее распределение отличается от нормального.

Вывод:

1. Так как для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов Ek<0, то кривая распределения является более пологовершинной по сравнению с нормальной кривой. При этом Ek незначительно отличается от нуля (Ek=|-0344943844|) .Следовательно, по данному признаку форма кривой эмпирического распределения незначительно отличается от формы нормального распределения.

2.Так как для признака Выпуск продукции Ek<0, то кривая распределения является более пологовершинной по сравнению с нормальной кривой. При этом Ek незначительно отличается от нуля (Ek=|-0,205332365|) .Следовательно, по данному признаку форма кривой эмпирического распределения незначительно отличается от формы нормального распределения.

Экономическая интерпретация

     В сумме по 30 предприятиям среднегодовая стоимость ОПФ составляет 211800 млн. руб., а выпуск продукции  197606,5лн. руб. При этом среднее значение среднегодовой стоимости ОПФ составляет 7060 млн. руб., а среднее значение выпуска продукции- 6586,88 млн. руб. Среднее квадратическое отклонение выборочной средней от математического ожидания генеральной средней по среднегодовой стоимости ОПФ составляет 223,01 млн. руб., по выпуску продукции – 266,03 млн. руб. Среднегодовая стоимость ОПФ, находящаяся в середине ряда составляет 7135,75 млн. руб. Выпуск продукции, находящийся в середине ряда составляет 6539,75 млн. руб. Таким образом, из 30 исследованных предприятий 15 имеют среднегодовую стоимость ОПФ менее 343,75 млн. руб., а 15 других предприятий- более 343,75 млн. руб. и более 323,75 млн. руб. по признакам соответственно. Наиболее часто встречающаяся стоимость ОПФ составляет 7312,5 млн. руб., а выпуск продукции- 6565 млн.руб. Минимальное значение среднегодовой стоимости ОПФ- 4535 млн. руб., максимальное- 9585 млн. руб. Размах вариации 5050 млн. руб. Минимальное значение выпуска продукции- 3535 млн. руб., максимальное- 9595 млн. руб. Размах вариации 6060 млн.руб. В среднем значения среднегодовой стоимости ОПФ для каждого из предприятий в выборке отклоняются от средней стоимости ОПФ по всем изученным предприятиям на 1200,94 млн. руб. Средний квадрат таких отклонений (дисперсия) равен 1442251,38 млн. руб. В среднем выпуск продукции для каждого из предприятий в выборке отклоняется от среднего значения выпуска продукции на 1432,62 млн. руб. Средний квадрат таких отклонений (дисперсия) равен 2052387,361 млн. руб.

1.     В исходных данных, полученных при проведении статистического наблюдения за деятельностью предприятий по 32-м предприятиям, выпускающим однородную продукцию, о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и о выпуске продукции за год из 32-х два предприятия имеют аномальные для выборки значения вариантов. Эти аномальные значения приведены в таблице 2 – для предприятия №12 среднегодовая стоимость ОПФ составляет 3020 млн. руб. при выпуске продукции 7575 млн. руб., для предприятия №31 –9585 млн. руб. и 2525 млн. руб. соответственно. Такие данные нетипичны для всей выборки в целом.

2.     Наиболее характерные для предприятий значения среднегодовой стоимости ОПФ равно 7060 млн. руб. и выпуска продукции 6586,88 млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение выборочной средней от математического ожидания генеральной средней по среднегодовой стоимости ОПФ составляет 223,01 млн. руб., по выпуску продукции – 266,03 млн. руб.