Контрольная работа
По дисциплине «Финансовая математика»
Вариант№1
Преподаватель: А.И. Пилипенко
Задание №1
Ниже приведены поквартальные данные о кредитах от
коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года
(всего 16 кварталов).
Таблица 1.
|
квартал
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
Кредит от коммерческого
банка на жилищное строительство
|
28
|
36
|
43
|
28
|
31
|
40
|
49
|
30
|
34
|
44
|
52
|
33
|
39
|
48
|
58
|
36
|
Требуется:
1)
Построить
адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора,
приняв параметры сглаживания α1=0,3;α2=0,6;
α3=0,3.
2)
Оценить
точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки
аппроксимации.
3)
Оценить
адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности
остаточной компоненты по критерию пиков;
-
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и
по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;
-
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с
критическими значениями от 3 до 4,21.
4) Построить
точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить
на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение:
1.
Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным
ростом имеет следующий вид:
Yp(t+k)=[a(t)
+ k*b(t)] * F( t+k-L),
коэффициенты
модели a(t), b(t) и F(t) рассчитываются по формулам:
a(t)= α1 *Y(t) / F(t-L) + (1- α1 )*[a(t-1)+b(t-1)];
b(t)= α3 * [a(t)-a(t-1)]+(1- α3)*b(t-1);
F(t)= α2 * Y(t)/a(t) + (1- α2)*F(t-L).
Для расчета a(1) и b(1) необходимо
оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени. Для оценки
начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1.
Линейная модель имеет вид:
Yp(t)=a(0) + b(0)*t.
Таблица 2
Промежуточные
расчеты для вычисления коэффициентов
a(0) = Yср – b(0)*tср = 35.625 - 0,869*4,5=31.72
Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:
Yp(t)= 31.72+0.869t
Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и
сопоставляем их с фактическими значениями (табл.3)
Таблица 3
Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных
по линейной модели значений Yp(t)
Оценим приближенные значения
коэффициентов сезонности I-IV кварталов
F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года,
предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл.1. Эти значения
необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других
параметров модели Хольта-Уинтерса.
;
;
.
Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно
перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.
Рассчитаем
значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.
Полагая,
что t=0, k=1, находим Yp(1):
Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*(b)]*F(0+1-4)=28.006
Полагая
что t=1, находим :
a(1)= α1*Y(1)/F(-3)+(1-α1)*[a(0)+b(0)]=32.58
b(1)= α3*[a(1)-a(0)]+(1-α3)*b(0)=0.867
F(1)= α2*Y(1)/a(1)+(1- α2)*F(-3)=0.859
Аналогично рассчитаем для t=1:
Yp(2)=36.11
a(2)= 33.42
b(2)= 0.858
F(2)=1.078
Для t=2:
Yp(3)=43.69
a(3)=34.11
b(3)= 0.809
F(3)= 1.266
Для t=3:
Yp(4)=27.44
a(4)=35.14
b(4)= 0.873
F(4)= 0.792
Для t=4:
Yp(5)=30.95
a(5)= 36.03
b(5)=0.879
F(5)=0.860
Для t=5:
Yp(6)=39.79
a(6)=36.96
b(6)=0.896
F(6)=1.080
Для t=6:
Yp(7)=47.94
a(7)=38.11
b(7)=0.971
F(7)=1.277
Для t=7:
Yp(8)=30.97
a(8)=38.72
b(8)=0.861
F(8)=0.781
Для t=8:
Yp(9)=34.04
a(9)=39.56
b(9)=0.857
F(9)=0.859
Для t=9:
Yp(10)=43.68
a(10)=40.51
b(10)=0.884
F(10)=1.083
Для t=10
Yp(11)=52.90
a(11)=41.18
b(11)=0.821
F(11)=1.269
Для t=11:
Yp(12)=32.84
a(12)=42.07
b(12)= 0.839
F(12)=0.783
Для t=12:
Yp(13)=36.88
a(13)=43.64
b(13)=1.060
F(13)=0.880
Для t=13:
Yp(14)=48.45
a(14)=44.57
b(14)=1.022
F(14)=1.079
Для t=14:
Yp(15)=57.85
a(15)=45.64
b(15)=1.033
F(15)=1.270
Для t=15:
Yp(16)=36.56
a(16)=46.45
b(16)=0.968
F(16)= 0.778
Таблица 4
2.
Проверка точности модели
Условие точности выполняется, если
относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см.табл.4) составляет
21.27, что дает среднюю величину 21.27/16=1.33%.
Следовательно, условие точности выполнено.
3.
Проверка условия адекватности.
Проверка
случайности уровней. Проверку
случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия
поворотных точек. (табл.5)
Таблица 5
Промежуточные расчеты для оценки адекватности
модели
Общее число поворотных точек в нашем
примере равно p=9
Рассчитаем значение q:
Если количество поворотных точек p больше
q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем
случае p=9, q=6, значит
условие случайности уровней ряда выполнено.
Проверка
независимости уровней ряда остатков.
а) по d-критерию Дарбина-Уотсона
В нашем случае имеет место отрицательная
автокорреляция. В таком случае величину d уточняем,
вычитая полученное значение из 4.
d2<1.53<2, уровни ряда остатков независимы.
б) по первому коэффициенту
автокорреляции
Если модуль рассчитанного значения
первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения r(1) < r табл , то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче /r(1)/=0,25<rтаб=0,32 – уровни независимы
Проверка
соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS –критерию. Рассчитаем значение RS:
RS=(Emax – Emin)/S,
RS= (2.12-(-0.97))/0.769=4.02
Так как 3,00<4.02<4,21, полученное
значение RS попало в
заданный интервал, то уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Таким образом, условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об
удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза на 4 квартала вперед.
4.
Построение
точечного прогноза
Для
t=17 имеем:
Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+b(16)]*F(16+1-4)= (46.45+0.969)*0.880=41.73
Аналогично
находим Yp(18), Yp(19),
Yp(20):
Yp(18)=Yp(16+2)=(46.45+2*0.969)*1.079=52.21
Yp(19)=(46.45+3*0.969)*1.270=62.68
Yp(20)=(46.45+4*0.969)*0.778=39.15
5.
Отражение на графике
фактических, расчетных и прогнозных данных
Задание № 2.
Даны цены (открытия, максимальная,
минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти
дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- %R, %K, %D.
Расчеты проводить для всех дней, для
которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
|
дни
|
Макс.
|
Мин.
|
Закр.
|
|
1
|
998
|
970
|
982
|
|
2
|
970
|
922
|
922
|
|
3
|
950
|
884
|
902
|
|
4
|
880
|
823
|
846
|
|
5
|
920
|
842
|
856
|
|
6
|
889
|
840
|
881
|
|
7
|
930
|
865
|
870
|
|
8
|
890
|
847
|
852
|
|
9
|
866
|
800
|
802
|
|
10
|
815
|
680
|
699
|
Решение:
Результаты расчетов см. в таблице 6 и 7.
1.
Экспоненциальная
скользящая средняя.
EMAt=k*Ct+(1-k)*EMAt-1,
где k=2/(n+1)
Ct – цена закрытия t-го дня
2.
Момент
MOMt=Ct
– Ct-n
Положительные значения МОМ свидетельствуют об
относительном росте цен, отрицательные – о снижении
3.
Скорость
изменения цен
ROC является
отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого
изменения.
4.
Индекс
относительной силы
,
где AU –
сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.
5.
Стохастические
линии
%Kt=100*(Ct
– L5)/(H5 – L5);
%Rt=100*(H5
– Ct)/(H5 – L5);
;
где Ct – цена закрытия
текущего дня.
L5 и H5 – минимальная и
максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.
Таблица 6.
Расчет ROC,MOM и RSI
Алгоритм расчета:
1. выберем интервал сглаживания n(в нашем случае n=5)
2. вычислим коэффициент К(К=2/(n+1)=2/6=1/3
3. вычислим MA для
первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней(графа 2). Сумму
разделим на 5 и запишем в графы 3 и 4 за 5-й день.
4. перейдем на одну строку вниз по графе 4. Умножим на
К данные по конечной цене, которую берем
из графы 1 текущей строки.(Для 6-го дня это будет 881*1/3=293.67).
5. данные по ЕМА за предыдущий день берем из предыдущей
строки графы 4 и умножаем на (1 - К).(Для 6-го дня это будет 901.6*2/3=601.07)
6. сложим результаты, полученные на предыдущих двух шагах
(для 6-го дня это будет 293.67+601.07=894.73.Полученное значение записываем в
графу 4 текущей строки.
7. повторяем шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.
RSI рассчитывается следующим образом:
1. начиная со 2-го дня до конца таблицы вычитают из
конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше
нуля, то ее записывают в графу 7. Иначе абсолютное значение разности записывают
в графу 8.
2. с 6-го дня и до конца таблицы заполняют графы 9 и 10.
для этого складывают значения из графы 7 за последние n дней(включая
текущий) и полученную сумму записывают в графу 9(величина AU). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по
данным графы 8 и записывают в графу 10. (величина AD).
3. зная AU и AD, рассчитывают
значение RSI и записывают в графу 11.
Задание №3
Выполнить различные коммерческие
расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения
параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы
необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить
расчеты.
Таблица 8.
|
вариант
|
сумма
|
Дата начальная
|
Дата конечная
|
Время в днях
|
Время в годах
|
ставка
|
Число начислений
|
|
S
|
Тн
|
Тк
|
Тдн
|
Тлет
|
i
|
m
|
|
4
|
500 000
|
21.01.02
|
11.03.02
|
180
|
4
|
10
|
2
|
1.
Банк выдал ссуду,
размером 500 000 руб. Дата выдачи ссуды 21.01.02, возврата – 11.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день.
Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 30 % годовых. Найти:
1.1 точные проценты с точным числом дней ссуды;
1.2 обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
1.3 обыкновенные проценты с приближенным числом дней
ссуды.
Решение:
1.1 По формулам:
S=P+I, где I=Pni
n=t/K
K=365, t=49, I= 500000*0.1*49/365=6712.33руб.
1.2. К=360, t=49, I=500000*0.1*49/360=6805.56 руб
1.3. K=360, t=50, I=500000*0.1*50/360=6944.44 руб.
2. Через Тдн
после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i %
годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение:
Используем формулы:
, i-ставка
простых процентов, n – период
D=S – P
P=500000/(1+0.1*180/360)=476190.47руб.
D=500000 – 476190.47 =23809.53руб.
3.
Через Тдн
дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк
приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i % годовых (год
равен 360 дням). Определить полученную сумму предприятием и дисконт.
Решение:
Используем формулы:
D=Snd, откуда P=S – D=S – Snd=S(1 - nd)
D=Snd=500000*0.1*180/360=25000 руб.
P=500000 –
25000=475000 руб.
4.
В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет, зафиксирована
ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение:
По формуле: S=P(1+i)n = 500 000 *(1+0.1)4=732050руб.
5.
Ссуда, размером S руб.
предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка – i% годовых.
Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение:
S= 500 000*(1+0.1/2)8=738 727.7руб.
6.
Вычислить
эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.
Решение:
iэ=(1+j/m)m – 1 = (1+0.1/2)2 – 1=0.1025 т.е. 10.25 %
7.
Определить, какой
должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз
в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
Решение:
j=m[(1+iэ)1/m – 1] = 2[(1+0.1)1/2 – 1]=0,097 т.е. 9.7 %
8.
Через Тлет
предприятию будет выплачена сумма S руб.
Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная
процентная ставка i% годовых.
Решение:
9.
Через Тлет
по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых.
Определить дисконт.
Решение:
P=S(1 – dсл)n=500000*(1 – 0.1)4=328050руб.
D=S – P=500000 – 328050=171950руб.
10.
В течение Тлет
на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на
которые m раз в году
начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу
указанного срока.
Решение:
S=500000*[(1+0.1/2)(4*2) – 1]/[(1+0.1/2)2
– 1]=2 329 051руб.