1. Теоретическая часть

1.1  Метод выборочных наблюдений

1.1.1  Выборочное  исследование

     При индивидуальном отборе в выборку отбираются отдельные единицы совокупности. Отбор повторяется столько раз, сколько необходимо отобрать единиц.

     Групповой (серийный) отбор заключается в отборе серий (например, отбор изделий для проверки их целыми партиями). Если обследованию подвергаются все единицы отобранных серий, отбор называется серийным, а если обследуется только часть единиц каждой серии, отбираемых в индивидуальным порядке из серии, то – комбинированным.

     Если в процессе отбора отобранная единица не исключается из совокупности, т.е. возвращается в совокупность, и может быть повторно отобранной, то такой отбор называется повторным или возвратным, в противном случае – бесповторным или безвозвратным. Серийный отбор, как правило, безвозвратный.

      При повторном отборе вероятность попадания в выборочную совокупность всех единиц генеральной совокупности остается одинаковой. При бесповторном - для оставшихся единиц совокупности вероятность попадания в выборку увеличивается.

     При одноступенчатом отбираются единицы совокупности (или серии) непосредственно для наблюдения. При многоступенчатом отбираются сначала крупные серии единиц (первая ступень отбора), наблюдению они не подвергаются. Затем из них отбираются серии, меньшие по численности единиц (вторая ступень), наблюдению не подвергаются, и так до тех пор, пока не будут отобраны те единицы совокупности (серии), которые будут подвергнуты наблюдению.

     Собственно–случайный отбор состоит в отборе единиц (серий) из всей генеральной совокупности в целом посредством жеребьевки или на основании таблиц случайных чисел.

     Жеребьевка состоит в том, что на каждую единицу отбора составляется карточка, которой присуждается порядковый номер. После тщательного перемешивания по очереди извлекаются карточки, пока не будет отобрано требуемое число единиц.

     Случайными числами называются ряды чисел, являющихся реализациями последовательности взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин. Эти последовательности чисел получаются либо с помощью физических генераторов (подбрасывание кубиков с нанесенными на их сторонами цифрами; вытягиванием из урны карточек с написанными на них цифрами, преобразование случайных сигналов и др. физико–технические процессы), либо с помощью программных генераторов (аналитическим методом с помощью программ для ЭВМ). Числа, являющиеся результатами соответствующей вычислительной процедуры, называются псевдослучайными числами. Последовательность псевдослучайных чисел носит детерминированный характер, но в определенных границах она удовлетворяет свойствам равномерного распределения и свойству случайности.

        Случайные числа могут быть выбраны по таблице случайных чисел (приложение 1), которая содержит 2000 случайных чисел, объединенных для удобства пользования таблицей в 500 блоков по 4 значения) Например,

5489, 5583, 3156, 0835, 1988, 3912.

        Применение комбинаций этих цифр зависит от размера совокупности: если в генеральной совокупности 1000 единиц, то порядковый номер каждой единицы должен состоять из двух цифр от 000 до 999. В этом случае первые 8 номеров единиц выборочной совокупности следующие:

548, 955, 833, 156, 083, 519, 883, 912.

        При произвольном объеме генеральной совокупности, отличающегося от 100, 1000, 10000 могут использоваться псевдослучайные числа, сформированные на ЭВМ, или из таблицы случайных чисел формируется последовательность случайных величин, распределенных в интервале от 0 до 1. Например, в приведенном выше примере

0,5489; 0,5583; 0,3156; 0,0835; 0,1988; 0,3912 и т.д.

        Если генеральная совокупность состоит из 2000 единиц, то в выборочную совокупность должны войти единицы с номерами:

2000 × 0,5489 = 1097,8 или 1099;

2000 × 0,5583 = 1116,6 или 1117;

2000 × 0,3156 =   631,2 или   631;

2000 × 0,0835 =   167,0 или   167;

2000 × 0,1988 =   397,6 или   398;

2000 × 0,3912 =   782,4 или   782.

        Процесс формирования случайных чисел и определения номера отбираемой единицы продолжается до тех пор, пока не будет получен заданный объем выборочной совокупности.

        Можно предложить другой способ случайного отбора единиц в выборку. Допустим, что  выборка состоит из 75 единиц, а генеральная совокупность - из 780. Из таблицы случайных чисел выбираются, например, следующие

5489, 5583, 3156, 0835, 1988, 3912.

        В выборку могут войти только единицы, порядковые номера которых равны трехзначным числам меньше 780. Поэтому, используя только три последние цифры каждого числа, отбирается необходимые 75 номеров: 489, 583, 156 и т.д. Можно использовать и первые три цифры каждого числа, тогда отобранные номера: 548, 558, 315, 83, 198, 391. Можно разбить случайные четырехзначные случайные числа на ряд, состоящий из трехзначных чисел:

548, 955, 833, 156, 083, 519, 883, 912

и отобрать из них номера, которые меньше 780, а именно: 548, 156, 83, 519.

     Механический отбор заключается в том, что составляется список единиц генеральной совокупности и в зависимости от числа отбираемых единиц (серий) устанавливается шаг отбора, т.е. через какой интервал следует брать для наблюдения единицы (серии). Например, в простейшем случае, при    10%–м отборе, отбирается каждая десятая единица по этому списку, т.е. если первой взята единица за № 1, то следующими отбираются 11–я, 21–я и т.д. В такой последовательности производится отбор, если единицы совокупности расположены в списке без учета их “рангов”, т.е. значимости по изучаемым признакам. Начало отбора в этом случае не имеет значения, его можно начать в приведенном примере от любой единицы из первого десятка. При расположении единиц совокупности в ранжированном порядке за начало отбора должна быть принята середина интервала (шага отбора) во избежание систематической ошибки выборки.

      При достаточно большой совокупности этот способ отбора близок к собственно случайному, при условии, что применяемый список не составлен таким образом, чтобы какие-то единицы совокупности имели больше шансов попасть в выборку.

     При типическом отборе генеральная совокупность разбивается на типические группы единиц по какому–либо признаку (формируются однородные совокупности), а затем из каждой из них производится механический или собственно–случайный отбор. Отбор единиц из типов производится тремя методами: пропорционально численности единиц типических групп, непропорционально численности единиц типических групп и пропорционально колеблемости признака в группах.

        В целях экономии средств данные по некоторым интересующим исследователя признакам можно анализировать на основании изучения всех единиц выборочной совокупности, а по другим признакам - на основании части единиц выборочной совокупности, которые представляют подвыборку из единиц первоначальной выборки. Этот метод называется двухфазным отбором. При наличии нескольких подвыборок - метод многофазного отбора.

        Многофазный отбор по своей структуре отличается от многоступенчатого отбора, так при многофазном отборе используются на каждой фазе одни и те же отобранные единицы, при многоступенчатом отборе на разных ступенях применяются единицы отбора разных порядков. Многофазным отбором чаще всего пользуются в тех случаях, когда различно число единиц, необходимых для определения отдельных показателей с заданной точностью. Это связано как с различиями в степени колеблемости признаков, так и с разной точностью, требуемой для расчетов. Ошибки при многофазной выборке рассчитываются на каждой фазе отдельно.

1.1.2.  Ошибка  выборочной  средней

     Ошибка выборочной средней  представляет собой расхождение (разность) между выборочной средней   и генеральной средней  , возникающее вследствие несплошного выборочного характера наблюдения. Величина ошибки выборочной средней определяется как предел отклонения  от  , гарантируемый с заданной вероятностью:

где       –   гарантийный коэффициент, зависящий от вероятности      , с которой гарантируется невыход разности    за пределы  ;   – средняя ошибка выборочной средней.

        Значения гарантийного коэффициента   и соответствующие им вероятности  приведены в табл.4.1. Обычно вероятность принимается равной 0,9545 или 0,9973, а    при этом равно соответственно 2 и 3.

Таблица 1.1

Значения гарантийного коэффициента 

     Источник: Н.В.Смирнов, И.В.Дунин-Барковский. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. - М.: Наука, 1965. 512 с.

     Стр.173

     Средняя ошибка определяется как среднее квадратическое отклонение средней величины в генеральной совокупности (средней генеральной)

        В математической статистике доказывается, что величина средней квадратической стандартной ошибки простой случайной повторной выборки может быть определена по формуле

где   - дисперсия признака в генеральной совокупности.

      Дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых

      Если все величины  X_i  имеют одинаковую дисперсию, то

      Тогда дисперсия средней

       Тогда средняя ошибка при определении средней

        Между дисперсиями в генеральной и выборочной совокупностях существует следующее соотношение:

где  – дисперсия признака в выборке.

        Если  n  достаточно велико, то   близко к единице и дисперсию в генеральной совокупности можно заменить на дисперсию в выборке.

       Тогда средняя ошибка средней в генеральной совокупности может быть как среднее квадратическое отклонение средней величины в выборочной совокупности (средней выборочной)

      Средняя ошибка выборочной средней

     Значения средней ошибки выборки определяются по формуле

где    – дисперсия в генеральной совокупности.

        Между дисперсиями в генеральной и выборочной совокупностях существует следующее соотношение:

где  – дисперсия в выборке.

        Если  n  достаточно велико, то   близко к единице и дисперсию в генеральной совокупности можно заменить на дисперсию в выборке.

     При повторном отборе средняя ошибка определяется следующим образом:

где   – средняя величина дисперсии количественного признака  , которая рассчитывается по формуле средней арифметической невзвешенной

или средней арифметической взвешенной

где     f_i     – статистический вес.

        Формулы расчета средней ошибки выборочной средней для различных, наиболее часто используемых способов отбора выборочной совокупности приведены в табл.2.1

Таблица 2.1

Формулы расчета средних ошибок выборочной доли

 и выборочной средней

где            N     – численность генеральной совокупности;

                   – межсерийная дисперсия выборочной доли;

            r      – число отобранных серий;

                 R     – число серий в генеральной совокупности;

                 – средняя из групповых дисперсий выборочной доли;

                  – дисперсия признака  x  в выборке;

                   – межсерийная дисперсия выборочных средних;

                  – средняя из групповых дисперсий выборочной средней.

        При  бесповторном оборе с каждой отобранной единицей или серией вероятность отбора оставшихся единиц или серий повышается, при этом средняя ошибка выборочной средней уменьшается по сравнению с повторным отбором и имеет следующий вид:

для механического или собственно случайного бесповторного отбора

        При достаточно большом объеме совокупности   N     можно воспользоваться формулой

для серийного бесповторного отбора равновеликих  серий

        При достаточно большом  числе серий в генеральной совокупности   R   можно воспользоваться формулой

для типического отбора с бесповторным случайном отборе внутри групп, пропорциональном объему групп

.

     Межсерийная дисперсия выборочных средних   и средняя из выборочных дисперсий типических групп  вычисляются следующим образом:

где   – среднее значение показателя    в  j – й серии;

       – дисперсия признака   x   в   j – й типической группе;

       n_j    – число единиц в   j  –й  типической группе.

1.1.3  Ошибка  выборочной  доли

    Выборочная доля представляет собой отношение числа единиц, обладающих данным признаком или данным его значением  ( m ) к общему числу единиц выборочной совокупности  ( n )

(Эту статистическую характеристику не следует путать с долей выборки, являющейся отношением числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности).

     Ошибка выборочной доли представляет собой расхождение (разность) между долей в выборочной совокупности  ( w ) и долей в генеральной совокупности  ( p ), возникающее вследствие несплошного характера наблюдения. Величина ошибки выборочной доли определяется как предел отклонения w от  p , гарантируемый с заданной вероятностью:

где        –   гарантийный коэффициент, зависящий от вероятности      , с которой гарантируется невыход разности    w –p  за пределы  ;   – средняя ошибка выборочной доли.

Средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле

    Или, как было доказано выше,

где      –  дисперсия доли в генеральной совокупности (дисперсия генеральной доли);     

         – дисперсия доли в выборке (дисперсия выборочной доли).

        Приведенная формула средней ошибки выборочной доли применяется при повторном отборе.

       Для определения дисперсии альтернативного признака допустим, что общее число единиц совокупности равно  n    . Число единиц, обладающих данным признаком  -  f  , тогда   число единиц, не обладающих данным признаком, равно   n-f  . Ряд распределения качественного (альтернативного) признака

Средняя арифметическая такого ряда равна:

то есть равна относительной частоте (частости) появления данного признака, которую можно обозначить через    p  , тогда  

         Таким образом, доля единиц, обладающих данным признаком равна p ; соответственно доля единиц, не обладающих данным признаком, равна     q   ;       p+q =1.  Тогда дисперсия альтернативного признака определяется по формуле

     Для показателя доли альтернативного признака в выборке (выборочной доли) дисперсия определяется по формуле

При бесповторном отборе численность генеральной совокупности сокращается, поэтому дисперсия умножается на коэффициент   Формулы расчета средних ошибок выборочной доли для различных способов отбора единиц из генеральной совокупности приведены в табл. 1,2;1,3 и 4

     Дисперсии в формулах расчета средних ошибок выборочной доли в табл.4.2. рассчитываются следующим образом:

      – межсерийная дисперсия выборочной доли

где    w_j  –  выборочная доля в   j  –й серии;

          –  средняя величина доли во всех сериях;

     – средняя из групповых дисперсий

где      w_j     –  выборочная доля в  j  –й  типической группе;

         n_j   –  число единиц  в  j  –й  типической группе;

            k      – число типических групп.

        Для случая, когда доля (частость) даже приблизительно неизвестна, можно произвести "грубый" расчет средней ошибки выборки для доли, используя в расчете максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25. Тогда для повторного отбора

бесповторного отбора

     Предельное значение ошибки выборочной доли определяется по следующей формуле:

        Величина средней ошибки выборочной доли  зависит от доли изучаемого признака в генеральной совокупности, числа наблюдений и способа отбора единиц из генеральной совокупности для наблюдения, а величина предельной ошибки    зависит еще и от величины вероятности  , с которой гарантируются результаты выборочного наблюдения.

     Распространение выборочных данных на генеральную совокупность производится с учетом доверительных интервалов. Доля альтернативного признака в генеральной совокупности равна

2. Практическая часть

1.                     Определить рентабельность продукции и сделать группировку по признаку. Число групп пять.

Таблица 1.

№ п/п	Выручка от продажи продукции	Затраты на производство и реализацию  продукции, Х	Рентабельность продукции, У
1	36,45	30,255	20,4760
2	23,4	20,124	16,2791
3	46,54	38,163	21,9506
4	59,752	47,204	26,5825
5	41,415	33,546	23,4573
6	26,86	22,831	17,6471
7	79,2	60,984	29,8701
8	54,72	43,776	25,0000
9	40,424	33,148	21,9500
10	30,21	25,376	19,0495
11	42,418	34,359	23,4553
12	64,575	51,014	26,5829
13	51,612	41,806	23,4560
14	35,42	29,753	19,0468
15	14,4	12,528	14,9425
16	36,936	31,026	19,0485
17	53,392	42,714	24,9988
18	41	33,62	21,9512
19	55,68	43,987	26,5829
20	18,2	15,652	16,2791
21	31,8	26,394	20,4819
22	39,204	32,539	20,4831
23	57,128	45,702	25,0011
24	28,44	23,89	19,0456
25	43,344	35,542	21,9515
26	70,72	54,454	29,8711
27	41,832	34,302	21,9521
28	69,345	54,089	28,2054
29	35,903	30,159	19,0457
30	50,22	40,678	23,4574
Σ		1069,615	668,101067
В среднем		35,6538	22,27

Интервал между группами

Где  l-интервал  между группами,

Y min-минимальное значение,

Y max-максимальное значение

n-число групп

число предприятий	число предприятий f	Середина интервала Х	xf
от 14,9425-17,92822	4	16,43	65,72
от 17,92822-20,91394	6	19,41	116,46
от 20,91394-23,89966	8	22,4	179,2
от 23,89966-26,88538	6	25,38	152,28
от 26,88538-29,8711	6	28,37	170,22
Итого	30		683,88
Х сред			22,94

Мода М0 – значение случайной величины, встречающейся с наибольшей вероятностью в вариационном ряду.

В интервальных рядах распределения с равным интервалом мода вычисляется по формуле:

 в нашем случае, это:

Итак, модальным значением рентабельности предприятий является рентабельность равная 21, 91 %

Медиана Ме- это вариант, который находиться в середине вариационного ряда. Вычисляется по формуле:

Прежде всего найдем медианный интервал, таким интервалом, очевидно будет рентабельность продукции (23,91 -23,89), поскольку его кумулятивная частота равна 18 (8=6+4), что превышает половину суммы всех частот (30:2=15). Нижняя граница интервала 20,91, его частота 8; частота, накопленная до него равна 6.

Подставив данные в формулу, найдем значение медиан, %.

Полученный результат говорит о том, что из 30 предприятий региона  24 имеют рентабельность продукции менее 25,4%, а 6 более 25,4%

Средняя арифметическая. После того, как найдены середины интервалов, вычисления делают также, как и в дискретном ряду, - варианты умножают на частоты и сумму произведений делят на сумму частот, %.

Итак, средний процент рентабельности продукции 22,79 %.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение  среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Покажем это на нашем примере. Для этого составим таблицу с необходимыми вычислениями

число предприятий	число предприятий f	Середина интервала  Х	xf	(х-х)	(х-х)2	(х-х)2f
от 14,9425-17,92822	4	16,43	65,72	- 6,37	40,57	162,28
от 17,92822-20,91394	6	19,41	116,46	- 3, 37	11,35	68,1
от 20,91394-23,89966	8	22,4	179,2	- 0,4	0,16	1,28
от 23,89966-26,88538	6	25,38	152,28	2,58	6,65	39,9
от 26,88538-29,8711	6	28,37	170,22	5,57	31,02	33,42
Итого	30		683,88			304,98
Х сред			22,94

Найдем среднюю рентабельности

рассчитаем дисперсию

Найдем среднее квадратическое отклонение

Определим коэффициент вариации, %

Таким образом рентабельность довольна однородна, т.к. не превышает 33%

2.                     Определить связь между признаками

Для определения связи между признаками используем коэффициент корреляции, применяемого для определения взаимосвязи между двумя количественными переменными. Этот коэффициент определяется по формуле:

r =

 =

=

Для расчета этих показателей составим сначала таблицу следующего вида, где осуществим предварительные расчеты необходимых величин:

Таблица 3.

№ п/п	Выручка от продажи продукции	Затраты на производство и реализацию продукции, Х	Рентабельность продукции, У	У²	X²	У · X
1	36,45	30,255	20,4760	419,26	915,37	619,5
2	23,4	20,124	16,2791	265,01	404,98	327,6
3	46,54	38,163	21,9506	481,83	1456,4	837,7
4	59,752	47,204	26,5825	706,63	2228,2	1254,8
5	41,415	33,546	23,4573	550,25	1125,3	786,9
6	26,86	22,831	17,6471	311,42	521,25	402,9
7	79,2	60,984	29,8701	892,22	3719	1821,6
8	54,72	43,776	25,0000	625	1916,3	1094,4
9	40,424	33,148	21,9500	481,8	1098,8	727,6
10	30,21	25,376	19,0495	362,88	643,94	483,4
11	42,418	34,359	23,4553	550,15	1180,5	805,9
12	64,575	51,014	26,5829	706,65	2602,4	1356,1
13	51,612	41,806	23,4560	550,18	1747,7	980,6
14	35,42	29,753	19,0468	362,78	885,24	566,7
15	14,4	12,528	14,9425	223,28	156,95	187,2
16	36,936	31,026	19,0485	362,85	962,61	591
17	53,392	42,714	24,9988	624,94	1824,5	1067,8
18	41	33,62	21,9512	481,86	1130,3	738
19	55,68	43,987	26,5829	706,65	1934,9	1169,3
20	18,2	15,652	16,2791	265,01	244,99	254,8
21	31,8	26,394	20,4819	419,51	696,64	540,6
22	39,204	32,539	20,4831	419,56	1058,8	666,5
23	57,128	45,702	25,0011	625,05	2088,7	1142,6
24	28,44	23,89	19,0456	362,74	570,73	455
25	43,344	35,542	21,9515	481,87	1263,2	780,2
26	70,72	54,454	29,8711	892,28	2965,2	1626,6
27	41,832	34,302	21,9521	481,89	1176,6	753
28	69,345	54,089	28,2054	795,54	2925,6	1525,6
29	35,903	30,159	19,0457	362,74	909,57	574,4
30	50,22	40,678	23,4574	550,25	1654,7	954,2
Σ		1069,615	668,101067	15322	42010	25092,5
В среднем		35,6538	22,27			836,42

 = =11,36335

=  = 3,8447

r =  = 0,9706

 По таблице 4 определяем, что взаимосвязь между рассматриваемыми признаками  является сильной.

Таблица  4 - Сила связи в зависимости от величины коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции	Сила связи
От + 0,81 до ± 1,00	Сильная
От + 0,61 до ± 0,80	Умеренная
От ± 0,41 до ± 0,60	Слабая
От ± 0,21 до ± 0,40	Очень слабая
От + 0,00 до ± 0,20	Отсутствует

Оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции проводится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемых явлениях. В этой связи возникает вопрос, насколько правомерно заключение о наличии корреляционной связи в той генеральной совокупности, из которой была произведена выборка. Для ответа на него необходимо оценить существенность линейного коэффициента корреляции, дающую возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность.

Для малого объема выборочной совокупности используется критерий Стьюдента:

                                                         t расч  =  ,                                      

где п — объем выборки.

Произведем оценку существенности коэффициента корреляции между относительным объемом продаж и относительным уровнем затрат на рекламу. Поскольку объем выборки в нашем случае незначительный, то для расчета используем критерий Стьюдента:

         tрасч  =  = 17,108

Полученную величину tрасч  сравнивают с табличным значением t-критерия Стьюдента (число степеней свободы равно n — 2). Если расчетная величина превосходит табличное значение, то связь между признаками подтверждается.

Из таблицы распределения Стьюдента находим tα = 2,878 (для чиcла степеней свободы n– 2=18   и уровня значимости  0,01).

Величина tрасч превышает табличное значение tα, следовательно коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.

Обычно корреляционный анализ всегда дополняется регрессионным, а именно построением уравнения зависимости между двумя переменными.

Зависимость может быть либо линейной, либо нелинейной. В обоих случаях знание количественной характеристики независимой переменной автоматически предопределяет знание величины зависимой переменной. Определим линейную зависимость с помощью   следующего уравнения:

                                                                     Y = а + b · X,                                    

где Y –  оцениваемая (или прогнозируемая) зависимая переменная;

       а – свободный член уравнения;

       b – коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины;

        Х – независимая переменная (или факторный признак), используемая для опре­деления зависимой переменной.

Коэффициенты а и b рассчитываются на основе наблюдения величин X и Y с помощью метода наименьших квадратов.

ΣУ= n · a + bΣХ;

 

При этом строится следующая система уравнений:

        

ΣХУ = aΣХ + bΣХ2

                                                                                                                       

 

По данным таблицы 38 составим систему уравнений:

     668,101067= 30*а + 1069,615*b;

     25092,5 = 1069,615*а + 42010*b.

Отсюда  а=10,5625; b = 0,328367;   Y= 10,5625 + 0,328367*Х

Уравнение регрессии позволяет определить, как изменится результативный показатель при изменении факторного, т.е. при увеличении относительного уровня затрат на 1% рентабельность увеличится на 0,328 %.

Задание 3.

По результатам задания 1 с вероятностью 0,997 определите: Ошибку выборки среднего уровня рентабельности организации, в которых будет находиться средний уровень рентабельности в генеральной совокупности;

2) Для расчета границ изменения средней характеристики генеральной совокупности по материалам выборки воспользуемся формулами:

Х=Х+-∆                                                                                      (1)                                                        

  (2)                                                                                                                                                                                                     (3)

 

Х – средняя генеральной совокупности;

Х – средняя выборочной совокупности;

Таблица 5

число предприятий	число предприятий f	Середина интервала Х	xf
от 14,9425-17,92822	4	16,43	65,72
от 17,92822-20,91394	6	19,41	116,46
от 20,91394-23,89966	8	22,4	179,2
от 23,89966-26,88538	6	25,38	152,28
от 26,88538-29,8711	6	28,37	170,22
Итого	30		683,88
Х сред			22,94

Средняя выборочной совокупности равна х

t   -    коэффициент доверия = 0,997 (по условию);т.е =3

М –   средняя ошибки выборки

G² –  дисперсия исследуемого показателя = 10,2

n –    объем выборочной совокупности;=30

N –    объем генеральной совокупности;=1500

n/N – доля выборочной совокупности в объеме генеральной (или %   отбора, выраженный в коэффициенте)=0,02, которое дано по условию

 Решение:

Средняя выборочной совокупности равна х=

М рассчитываем по формуле 3.

 

Рассчитаем предельную ошибку и определим границы изменения средней по ф. (2)

-         предельная ошибка выборки;

Рассчитываем по формуле 2,

22,06-1,2<Х<22,06+1,2

20,86<Х<23,26

Т.о с вероятностью 0,997 можно утверждать, что рентабельность предприятия в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 20, 86 до 23,26 включая в себя среднюю по выборочной совокупности.

2. Ошибку выборки доли организаций с уровнем рентабельности 23,9% и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля

Ошибка выборки доли определяется по формуле

, где t=2, ;

где m- число предприятий, в нашем случае число предприятий с уровнем рентабельности 23,9 % и более, т.е. 12 предприятий.

Ошибка выборки доли по нашему примеру:

границы , или в нашем случае 0,6-0,075 ≤ р ≤ 0,6+0,075, т.е. 0,5≤ р≤ 0,6;

Задание 4.

Выпуск продукции и удельный расход стали по региону в текущем периоде характеризуется следующими данными:

Вид продукции	Фактический выпуск продукции	Расходы стали на единицу продукции по   норме            фактически
А	320	36	38
Б	250	15	12
В	400	10	9

Определите:

1. Индивидуальные индексы выполнения норм расхода стали.

2. Общий индекс выполнения норм расхода стали на весь выпуск продукции.

3. Абсолютную экономию (перерасход) стали.

Решение:

 

Индекс – это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления  (простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов); включает 2 вида:

     Отчетные, оцениваемые данные ("1")

     Базисные, используемые в качестве базы сравнения ("0")

 

1)     Найдем индивидуальные индекс по формуле: 

    (где:   q – расходы,  q₁, q₂ -   по норме и фактически)

38>36 больше 1

12<15  больше 1

9<10 больше 1

2)     Найдем общие индексы по формулам:

=

Общий индекс выполнения норм расхода равен 97,3 %.

3) Абсолютная экономия стали

Вид продукции	Факт выпуск продукции, ро	Расход стали на ед. продукции
А	320	36	38	1,05
Б	250	15	12	0,8
В	400	10	9	0,9

Абсолютная экономия составляет:

3.Аналитическая часть

3.1 Постановка задачи

     Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности называется ошибкой выборки. Ошибки выборки подразделяются на ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

     Ошибки регистрации возникают из-за неправильных или неточных сведений. Источниками таких ошибок могут быть непонимание существа вопроса, невнимательность регистратора, пропуск или повторный счет некоторых единиц совокупности, описки при заполнении формуляров и т.д.

      Среди ошибок регистрации выделяются систематические, обусловленные причинами, действующими  в каком-то одном направлении и искажающими результаты работы (например, округление цифр, тяготение к полным пятеркам, десяткам и т.д.), и случайные, проявляющиеся в различных направлениях, уравновешивающие друг друга и лишь изредка дающие заметный суммарный итог.

        Расхождение между значениями изучаемого признака выборочной и генеральных совокупностей является ошибкой  репрезентативности (представи-тельности). Она может быть случайной и систематической. Случайная возникает в силу того, что выборочное статистическое наблюдение является несплошным наблюдением, и выборка недостаточно точно воспроизводит (репрезентирует) генеральную совокупность.

        Систематические ошибка репрезентативности возникают из-за неправильного, тенденциозного отбора единиц, при котором нарушается основной принцип научно организованной выборки - принцип случайности.

 

      При определении величины репрезентативной ошибки предполагается, что ошибка регистрации равна нулю. Определение ошибки производится по формулам ошибки выборочной доли и ошибки выборочной средней. Систематическая ошибка репрезентативности возникает вследствие нарушения правил отбора единиц генеральной совокупности, в частности принципа беспристрастного, непреднамеренного отбора. Систематическая ошибка может привести к полной непригодности результатов наблюдений.

        По данным таблицы, нужно определить насколько отличаются выборочные и генеральные показатели по данным об успеваемости студентов (две 10%-е выборки):

Оценка	Число студентов, чел
	Генеральная совокупность	Первая выборка	Вторая выборка
2 3 4 5	100   300   520     80	9   27   54   10	12   29   52     7
Итого	1000	100	100

     3.1.2.Методика решения задачи

   Средний балл для генеральной совокупности

по первой выборке

по второй выборке

         Доля студентов, получивших оценки "4" и "5":

по генеральной совокупности

по первой выборке

по второй выборке

       

3.1.3.Технология выполнения компьютерных расчетов

Некоторые расчеты выполнены с применением пакета программ обработки электронных таблиц

Табл. 2.

        

Результаты расчетов, приведенных в табл.2

3.1.4. Анализ статистических расчетов.

Результаты позволяют сделать следующие выводы:

Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности является случайной ошибкой репрезентативности (ошибкой выборки).

        Ошибки репрезентативности:

        Как видно из расчетов, выборочная средняя и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку.

Заключение

Мы выяснили, что выборочное наблюдение – это такое несплошное наблюдение, при котором отбор подлежащих обследованию единиц осуществляется в случайном порядке, отобранная часть изучается, а результаты распространяются на всю исходную совокупность. Наблюдение организуется таким образом, что эта часть отобранных единиц в уменьшенном масштабе репрезинтирует (представляет) всю совокупность.

Совокупность из которой производится отбор, называется генеральной, а все ее обобщающие показатели – генеральными.

Совокупность отобранных единиц именуют выборочной совокупностью, и все ее обобщающие показатели – выборочными.

В нашей практической части мы сделали группировку по признаку уровень рентабельности продукции, выбрали пять групп с равными интервалами, определили связь между признаками и рассчитали ошибку выборки среднего уровня, в частности: рентабельность предприятия в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 20, 86 до 23,26 включая в себя среднюю по выборочной совокупности.

И рассчитали ошибку выборки доли организаций с уровнем рентабельности продукции 23,9% и более, и границы, в которых будет находиться генеральная доля, в частности, генеральная доля находиться по нашему примеру с вероятностью 0, 997 в пределах 0,6-0,075 ≤ р ≤ 0,6+0,075, т.е. 0,5≤ р≤ 0,6;

В аналитической части мы привели пример расчета ошибки выборки по данным таблицы 2 ошибку выборочной доли и ошибку выборочной средней и выяснили, что выборочная средняя и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку.

Выборочный метод широко используется  в статистической практике для получения экономической информации.

Большую актуальность приобретает выборочный метод в современных условиях перехода к рынку. Вместе с тем, возрастающие требования к менеджменту усиливают потребность в обеспечении надежной информацией, дальнейшего повышения ее оперативности. Все это обуславливает более широкое применение выборочного метода в экономике.

Потребность в использовании выборочного метода, выработке вероятных суждений в современной отечественной статистике непрерывно расширяется.

 

Литература

1.   Богородская Н.А. Статистика. Методы анализа статистической

      информации: Текст лекций. СПб.: СПГААП. -  1997. - 80 с.

2.   Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики:

      Учебник. М.: ИНФРА-М, 1998. -  416 с.

3.   Статистика: Курс лекций /Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. и  др.; Под ред. В.Г.Ионина. - Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ, 1996. - 310 с.

4.  Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении

     коммерческой деятельности. Учебник /А.И.Харламов, О.Э.Башина,

      В.Т.Бабурин и др.; Под ред.А.А.Спирина, О.Э.Башиной. М.: Финансы

      статистика, 1994. - 296 с.

5.   Гусаров В.М. Теория статистики. - М.: Аудит, 1998. - 247 с.

6.   Елисеева И.И., М.М.Юзбашев. Общая теория статистики. - М.: Финансы и       статистика, 1998. - 367 с.

7.   Теория статистики. Учебник/Под ред.Р.А.Шмойловой. - М.: Финансы и  статистика, 1998. - 576 с.

8.   Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для студентов экономич.       спец. вузов.  -4-е изд., перераб. и дополн. М.: Финансы и статистика, 1984. - 343 с.

9.   Общая теория статистики / Под ред.Гольберга А.М., Козлова В.С. - М.: Финансы и статистика, 1986. - 367 с.

10. Общая теория статистики / Под ред.Боярского А.Я., Громыко Г.Л.. М.:  Изд-во МГУ, 1985. - 326 с.

11. Практикум по теории статистики: Учебное пособие./ Под ред.

      Р.А.Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 1998. 416 с.

12. Сборник задач по общей теории статистики: Учебное пособие для

      студентов вузов, обучающихся по специальности “Статистика” /

      Овсиенко В.Е., Голованова Н.В., Королев Ю.Г. и др., -2-е изд., перераб. и   дополн. М.: Финансы и статистика, 1986. - 191 с.

13. Практикум по общей теории статистики /Под ред. Ряузова Н.Н. - 2-е изд.,     перераб.и дополн. М.: Финансы и статистика, 1981. - 278 с.

Приложение 1

Таблица случайных чисел

5489	5583	3156	0835	1988	3912	0938	7460	0869	4420
3522	0935	7877	5665	7020	9555	7375	7124	7878	5544
7555	7579	2550	2487	9477	0864	2349	1012	8250	2633
5759	3554	5080	9074	7001	6249	3224	6368	9102	2672
6303	6895	3371	3196	7231	2918	7380	0438	7547	2644
7351	5634	5323	2623	7803	8374	2191	0464	0696	9529
7068	7803	8832	5119	6350	0120	5026	3684	5657	0304
3613	1428	1796	8447	0503	5654	3254	7336	9536	19441
5143	4534	2105	0368	7890	2473	4240	8652	9435	. 1422
9815	5144	7649	8638	6137	8070	5345	4865	2456	5708
5780	1277	6816	1013	2867	9938	3930	3203	5696	1769
1187"	0951	5991	5245	5700	5564	7352	0891	6249	6568;
4184	2179	4554	9083	2254	2435	2965	5154	1209	7069
2916	2972	9885	0275	0144	8034	8122	3213	7666	0230
5524	1341	9860	6565	6981	9842	0171	2284	2707	3008
0146	5291	2354	5694	0377	5336	6460	9585	3415	2358
4920	2826	5238	5402	7937	1993	4332	2327	6875	5230
7978	1947	, 6380	3425	7267	7285	1130	7722	0164	8573
7453	0653	3645	7497	5969	8682	4191	2976	0361	9334
1473	6938	4899	5348	1641	3652	0852	5296	4538	4456
8162	8797	8000	4707	1880	9660	8446	1883	9768	0881
5645	4219	0807	3301	4279	4168	4305	9937	3120	5547
2042	1192	1175	8851	6432	4635	5757	6656	1660	5389
5470	7702	6958	9080	5925	8519	0127	9233	2452	7341
4045	1730	6005	1704	0345	3275	4738	4862	2556	8333
5880	1257	6163	4439	7276	6353	6912	0731	9033	5294
9083	4260	5277	4998	4298	5204	3965,	4028	8936	5148
1762	8713	1189	1090	8989	7273	3213	1935	9321	4820
2023	2589	1740	0424	8924	0005	1969	1636	7237	1227
7965	3855	4765	0703	1678	0841	7543	0308	9732	1289
7690	0480	8098	9629	4819	7219	7241	5128	3853	1921
9292	0426	9573	4903	5916	6576	8368	3270	6641	0033
0867	1656	7016	4220	2533	6345	8227	1904	5138	2537
0505	2127	8255	5276	2233	3956	4118	8199	6380	6340
6295	9795	1112	5761	2575	6837	3336	9322	7403	8345
6323	2615	3410	3365'	1117	2417	3176	2434	5240	5455
8672	8536	2966	5773	5412	8114	0930	4697	6919	4569
1422	5507	7596	0670	3013	1351	3886	3268	9469	2584
2653	1472	5113	5735	1469	9545	9331	5303	9914	6394
0438	4376	3328	8649	8327	0110	4549	7955	5275	2890
2851	2157	0047	7085	1129	0460	6821	8323	2572	8962
7962	2753	3077	8718	7418	8004	1425	3706	8822	1494
3837	4098	0220	1217	4732	0150	1637	1097	1040	7372
8542	4126	9274	2251	0607	4301	8730	7690	6235	3477
0139	0765	8039	9484	2577	7859	1976	0623	1418	6685
6687	1943	4307	0579	8171	8224	8641	7034	3595	3875
6242	5582	5872	3197	4919	2792	5991	4058	9769	1918
6859	9606	0522	4993	0345	8958	1289	8825	6941	7685
6590	1932	6043	3623	1973	4112	1795	8465	2110	8045
3482	0478	0221	6738	7323	5643	4767	0106	2272	9862