Профессиональное выполнение дипломных, курсовых работ, рефератов- writer5.ru !

Министерство образования Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово - экономический институт

Кафедра математики и информатики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: «Эконометрика»

Вариант№8

Выполнила: студентка 3курса

Группа:3Фкп-4

№ зачетной книжки:06ФФД10858

ФИО: Гордиенко А.А.

Проверил: Поддубная М.Л.

Барнаул 2009

Задание 1:параметры уравнения линейной регрессии

Построим линейную модель YT = a + b · X. Предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастанию факторной переменной Х (Данные → Сортировка).

х	у
13	3
15	7
19	7
20	14
21	12
22	10
26	17
26	21
27	22
30	20

Используем программу РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели:

Таблица 1:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,92558
R-квадрат	0,856698
Нормированный R-квадрат	0,838785
Стандартная ошибка	2,650206
Наблюдения	10

Таблица 2: Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	335,9112	335,9112	47,82612	0,000123
Остаток	8	56,18875	7,023594
Итого	9	392,1
Таблица 3:
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-11,3613	3,663168	-3,10149	0,014633	-19,8085	-2,91399	-19,8085	-2,91399
х	1,126085	0,162832	6,915643	0,000123	0,750595	1,501576	0,750595	1,501576

Таблица 4:

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение	Предсказанное у	Остатки
1	3,277841	-0,27784
2	5,530011	1,469989
3	10,03435	-3,03435
4	11,16044	2,839562
5	12,28652	-0,28652
6	13,41261	-3,41261
7	17,91695	-0,91695
8	17,91695	3,08305
9	19,04304	2,956965
10	22,42129	-2,42129

Коэффициенты модели содержатся в таблице 4 (столбец Коэффициенты). Уравнение модели имеет вид у= -11,3613 + 1,126085х

Коэффициент регрессии b = 1,126085, следовательно, при увеличении объема капиталовложений (Х), объем выпуска продукции увеличивается на 1,13 млн. руб.

Задание 2:Вычисление остатков, остаточной суммы квадратов, оценка дисперсии остатков, построение графика остатков.

Остатки модели Ei = yi - yTi содержатся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 4).

Программой РЕГРЕССИЯ найдены остаточная сумма квадратов SSост = 56,18875 и дисперсия остатков MSост = 7,023594 (таблица 2).

Для построения графика остатков нужно выполнить:

1) Вызвать Мастер диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками).

2) Для указания данных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд, нажать кнопку Добавить; в качестве значений Х указать исходные данные Х (таблица 1); значения У – остатки (таблица 4).

Задание 3: Проверим выполнение предпосылок МНК.

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

1)Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию поворотных точек.

Количество поворотных точек определим по графику остатков: р = 7.

Вычислим критическое значение по формуле:

При n = 10 найдем ркр = [2,97] = 2.

не вып. вып.

0 ркр р

Сравним р = 7 > ркр = 2, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

2) а)Свойство математического ожидания : М[Е]= о

Для линейной модели построенной МНК выполняется автоматически. Найдем Еср= -1,86517Е-15 (СРЗНАЧ остатков).

б) Свойства постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Голдфельда-Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной Х исходных данных (n = 10) выделим первые 3 и последние 3 уровня.

регрессия 1(без остатков)
ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,755929
R-квадрат	0,571429
Нормированный R-квадрат	0,142857
Стандартная ошибка	2,13809
Наблюдения	3

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	6,095238095	6,095238	1,333333	0,454371
Остаток	1	4,571428571	4,571429
Итого	2	10,66666667

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-3,28571	7,850646665	-0,41853	0,747659	-103,038	96,46621	-103,038	96,46621
Переменная X 1	0,571429	0,494871659	1,154701	0,454371	-5,71651	6,859369	-5,71651	6,859369



регрессия 2 (без дстатков)
ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,720577
R-квадрат	0,519231
Нормированный R-квадрат	0,038462
Стандартная ошибка	0,980581
Наблюдения	3

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1,038461538	1,038462	1,08	0,487754
Остаток	1	0,961538462	0,961538
Итого	2	2

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	30,57692	9,232772219	3,311781	0,186687	-86,7366	147,8904	-86,7366	147,8904
Переменная X 1	-0,34615	0,333086694	-1,03923	0,487754	-4,57842	3,886114	-4,57842	3,886114

По первым трем наблюдениям остаточная сумма квадратов SS₁ =4,5714,а по последним трем наблюдениям SS₂=0,962

Рассчитаем статистику критерия: F = SSmax/SSmin = 4,5714/0,962=4,7543

Критическое значение при уровне значимости α = 5% и числах степеней свободы k1 = k2 = 3-1-1 = 1 составляет Fкр = 215,7 (Приложение 2 или FРАСПОБР). F = 4,7543 < Fкр = 215,7, следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

в) Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарвина-Уотсона

Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим = 128,5615373; используем найденную программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты SSост = = 56,1888. Таким образом, d = 128,5615373/56,1888 = 2,2880276

не вып. вып. перейти к d΄=4- d

0 d1 d2 2 4 d

Полученное значение d = 2,29 попадает в интервал [2; 4],перейдем к d^' =4- d.

d'=4-2,29 = 1,71

d' = 1,71 лежит в интервале (d₂;2), => свойство независимости остатков по критерию Дарбина - Уотсона выполняется.

г) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S – критерия.

С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим Emax = 3,08305, Emin = -3,41261. Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет SE = 2,650206 (таблица 1).

Тогда R/S = 3,08305-(-3,41261)/2,650206 = 2,451001103 Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S и при n = 10 составляет (2,67; 3,57).

не вып. вып. не вып. R/S

2,45 не входит в интервал [2,67; 3,57], значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты не выполняется.

Задание 4 :Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).

t-статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4. Для свободного коэффициента = -11,3613 определена статистика t( ) = -3,101486797. Для коэффициента регрессии b = 1,126085, определена статистика t(b) = 6,915643232.

Критическое значение tкр = 2,31 найдено для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = 10 – 1 – 1 = 8 (Приложение 1 или функция СТЬЮДРАСПОБР).

не знач. знач.

0 tкр |t|

Сравнение показывает:

|t( )| = Ι-3,101486797Ι < tкр = 2,31, следовательно, свободный коэффициент не является значимым, его можно исключить из модели.

|t(b)| = 6,915643232 > tкр = 2,31, значит, коэффициент регрессии b является значимым, его и фактор объем выпуска продукции нужно сохранить в модели.

Задание 5:Вычисление коэффициента детерминации, проверка значимости уравнения регрессии с помощью F- критерия Фишера ,относительная ошибка аппроксимации. Вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ (таблица 1) и составляет R²= 85,7%.

Таким образом, вариация (изменение) суммы объема выпуска продукции Y на 85,7% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений Х.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера. F – статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2) и составляет F = 47,8261213.

Критическое значение Fкр = 5,32 найдено для уровня значимости α = 5% и чисел степеней свободы k1 = 1, k2 = 8.

не знач. знач.

0 Fкр F

Сравнение показывает, что F = 47,8261213 > Fкр = 5,32, следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Наблюдение	Предсказанное у	Остатки	относит. погрешн.
1	3,277841	-0,277840695	8,476333065
2	5,530011	1,469988675	26,58201925
3	10,03435	-3,034352586	30,23964486
4	11,16044	2,839562099	25,44310648
5	12,28652	-0,286523216	2,332012167
6	13,41261	-3,412608532	25,44328736
7	17,91695	-0,916949792	5,117778433
8	17,91695	3,083050208	17,20745017
9	19,04304	2,956964892	15,52780256
10	22,42129	-2,421291053	10,79907061

Для вычисления средней относительной аппроксимации дополним таблицу столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS.

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение Ēотн = 16,7168505 (функция СРЗНАЧ).

точная удовлетв. неудовлетв.

0 5% 15% Ēотн

Ēотн = 16,717% >15%, следовательно, модели неудовлетворительна.

Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать не точной.

Задание 6:Прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,01 при Х=80%

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит x* = (30*80)/100 = 24. Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя Y: у*Т = -11,3613+1,126085*24 = 15,66474

Таким образом, если объем капиталовложений составит 24 млн. руб., то объем выпуска продукции будет около 15,66474 млн. руб.

Зададим доверительную вероятность γ = 1 – α и получим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y. Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования , где

- стандартная ошибка модели SE = 2,650206 (таблица 1).

- по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение = 21,9 (функция СРЗНАЧ) и определим ∑(xi - )² = 264,9 (КВАДРОТКЛ).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет

При tкр (10%,8) = 2,306004 размах доверительного интервала для среднего значения U (у*Т)= tкр · S(у*Т)=2,306004 · 0,341537394= 0,787586597.

Границами прогнозного интервала будут

Uнижн = у*Т - U (у*Т) = 15,66474 –0,787586597 = 14,877154,

Uверх = у*Т +U (у*Т) = 15,66474 + 0,787586597 = 16,452326

Таким образом, 95% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 24 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 14,877154 до 16,45232 млн. руб.

Задание 7:График фактических и модельных значений Y, точки прогноза

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные.

Затем с помощью опции Добавить линию тренда построим линию модели: тип→линейная; параметры→показывать уравнение на диаграмме.

Показать на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:

Имя→прогноз; значения Х→х*; значения У→у*;

Имя→нижняя граница; значения Х→х*; значения У→Uнижн;

Имя→верхняя граница; значения Х→х*; значения У→ Uверх.

Задание 8: Уравнения нелинейной регрессии

Гиперболическая модель ут = а + b/x не является стандартной. Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим = 1/х и получим вспомогательную модель ут = а + b . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец значений yi (остается без изменений) и столбец преобразованных значений i = 1/хi (таблица ниже).

х	у	1/х
13	3	0,076923
15	7	0,066667
19	7	0,052632
20	14	0,05
21	12	0,047619
22	10	0,045455
26	17	0,038462
26	21	0,038462
27	22	0,037037
30	20	0,033333

С помощью программы регрессия получим:

	Коэффициенты
Y-пересечение	34,02304269
Переменная X 1	-425,8844696

Таким образом, а = 34,02304269, b = -425,8844696, следовательно, уравнение гиперболической модели имеет вид: ут =34,02304269+((-425,8844696)/х).

С помощью полученного уравнения рассчитаем теоретические значения

ут i для каждого уровня исходных данных хi.

х	у	1/х	Ут
13	3	0,076923	1,262699
15	7	0,066667	5,630745
19	7	0,052632	11,60807
20	14	0,05	12,72882
21	12	0,047619	13,74283
22	10	0,045455	14,66466
26	17	0,038462	17,64287
26	21	0,038462	17,64287
27	22	0,037037	18,24954
30	20	0,033333	19,82689

Степенная модель ут = а · x является стандартной. Для ее построение используем Мастер диаграмм: исходные данные покажем с помощью точечной диаграммы, затем добавим линию степенного тренда и выведем на диаграмму уравнение модели.

Показательная модель ут = а · b тоже стандартная (экспоненциальная). Построим ее с помощью Мастера диаграмм.

Можно вычислить b=е^0,1067= 1,112600424 (функция EХP), тогда уравнение показательной модели ут = 1,1071 · (1,112600424) .

Задание 9:Сравнение моделей по характеристикам: коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации, сделать вывод.

Заполним для каждой модели расчетную таблицу, в которую занесем теоретические значения yti = f(хi), найденные по соответствующему уравнению для каждого уровня исходных данных хi ошибки модели Ei = yi – yTi и относительные погрешности .

Среднюю относительную погрешность Ēотн найдем по столбцу с помощью функции СРЗНАЧ.

Индекс детерминации вычислим по формуле , где числитель дроби - функция СУММКВ для столбца ошибок и знаменатель - функция КВАДРОТКЛ для столбца У.

Гиперболическая модель:

х	у	1/х	Ут	Е	Еотн
13	3	0,076923	1,262699	1,737301125	57,91003751
15	7	0,066667	5,630745	1,369255283	19,56078976
19	7	0,052632	11,60807	-4,608070606	65,82958008
20	14	0,05	12,72882	1,27118079	9,079862786
21	12	0,047619	13,74283	-1,742829852	14,5235821
22	10	0,045455	14,66466	-4,664657708	46,64657708
26	17	0,038462	17,64287	-0,642870782	3,781592837
26	21	0,038462	17,64287	3,357129218	15,98632961
27	22	0,037037	18,24954	3,750456184	17,04752811
30	20	0,033333	19,82689	0,173106297	0,865531483

Квадроткл (У) = 392,1

Суммкв (Е) = 78,31926477

R – квадрат = 0,800256912

Е _ср.отн.= 25,12314114

Степенная модель:

х	у	Ут	Е	Еотн
13	3	3,828780457	-0,828780457	27,62601522
15	7	5,262479318	1,737520682	24,82172403
19	7	8,899543355	-1,899543355	27,13633365
20	14	9,974226772	4,025773228	28,75552306
21	12	11,11666643	0,883333574	7,361113118
22	10	12,32760244	-2,327602438	23,27602438
26	17	17,87021316	-0,870213158	5,118900928
26	21	17,87021316	3,129786842	14,90374687
27	22	19,43386009	2,566139907	11,6642723
30	20	24,56177057	-4,561770573	22,80885287

Квадроткл (У) =392,1

Е _ср.отн.= 19,34725064

R – квадрат = 0,827425037

Суммкв (Е) = 67,66664292

Показательная модель:

х	у	Ут	Е	Еотн
13	3	4,431969114	-1,431969114	47,73230381
15	7	5,486244613	1,513755387	21,62507696
19	7	8,406825867	-1,406825867	20,09751239
20	14	9,353438024	4,646561976	33,1897284
21	12	10,40663911	1,593360888	13,2780074
22	10	11,57843109	-1,578431088	15,78431088
26	17	17,74216442	-0,74216442	4,36567306
26	21	17,74216442	3,25783558	15,51350276
27	22	19,73993966	2,260060343	10,27300156
30	20	27,18713752	-7,187137525	35,93568762

Квадроткл (У) =392,1

Суммкв (Е) = 100,869051

R – квадрат = 0,742746618

Е _ср.отн.= 21,77948048

Составим сводную таблицу характеристик качества построенных моделей:

Модель	R – квадрат	Е _ср.отн.
линейная	0,856697907	16,7168505
степенная	0,827425037	19,34725064
показательная	0,742746618	0,742746618
гиперболическая	0,080025691	25,12314114

Столбец средних относительных погрешностей показывает, что наиболее точной является показательная модель, ее погрешность – наименьшая. А также 0,74% < 5%, следовательно, модель точная.

По величине индекса детерминации лучшая модель – линейная (индекс детерминации наибольший). R²= 85,7%, таким образом, вариация (изменение) суммы объема выпуска продукции Y на 85,7% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений Х.

Для нелинейной модели уТ = f(х) коэффициенты эластичности определяются соотношением Э(х) = f '(х) · х / f(х), согласно которому:

для степенной модели ут = а · x коэффициент эластичности Э = b и представляет собой постоянную величину;

для показательной модели ут = а · b коэффициент эластичности

Э(х) = хLnb и зависит от значения фактора Х.

Для построения степенной модели ут = 0,0128х^2,2226 получим Э = 2,22. Согласно этой модели увеличение объема капиталовложений на 1% приводит к увеличению среднего объема выпуска продукции (млн. руб.) на 2,22%.

Для показательной и гиперболической модели результаты расчета коэффициентов эластичности приведены в таблице

X	Коэффициенты эластичности
показательная модель	гиперболическая модель
13	1,3871	25,94470026
15	1,6005	5,042369953
19	2,0273	1,930981715
20	2,134	1,672914284
21	2,2407	1,475694093
22	2,3474	1,320070701
26	2,7742	0,928430079
26	2,7742	0,928430079
27	2,8809	0,864322913
30	3,201	0,716004695

Таким образом, согласно показательной модели увеличение объема капиталовложений на 1% приводит к увеличению среднего объема выпуска продукции (млн. руб.) на величину от 1,39% до 3,2%. Согласно гиперболической модели увеличение объема капиталовложений на 1% приводит к увеличению среднего объема выпуска продукции (млн. руб.) в пределах от 25,9% до 0,71%.

Окончательный вывод о качестве модели по коэффициентам эластичности следует делать с учетом экономического смысла задачи.

Логично предположить, что наиболее подходящей является показательная модель, т.к. наблюдаемый рост коэффициента эластичности соответствует реальной ситуации: чем больше объем капиталовложений, тем сильнее это сказывается на объеме выпуска продукции.

Список литературы:

1)Эконометрика, учебник/ И.И. Елисеева, М.: «Финансы и статистика»,2002

2)Практикум по эконометрике, учебник/ И.И. Елисеева, М.: «Финансы и статистика»,2002

3)Эконометрика, методичка, М.: вузовский учебник,2007