1.         Экономико-математическая модель (ЭММ). Понятие, пример, общая классификация ЭММ.

В основе всех совр.фин.расчетов лежат те или иные мат.модели исследуемых эк.процессов, т.е. основным  методом является метод моделирования. Этот метод основан на принципе аналогии,  т.е. возможности изучения не самого исходного объекта, а некоторого искусственного созданного объекта – модели. Модель вообще это некоторый объект способный заменить исследуемый с целью получения нового знания. Модели подразделяются на физические и абстрактные. Физические это макеты, конструкции и т.д. Абстрактные это словесно-описательные и мат.модели. Словесно-описательные это эк.сценарии, программы, пояснительные записки. ЭММ это мат.образ, мат.описание принципиальных сторон исследуемого эк.процесса, проблемы, задачи. ЭММ средствами экономики и мат-ки отражает существо исследуемой эк.проблемы. ЭММетоды это методы разработки, исследования и принятия решений по ЭММ. ЭММ подразделяют на макро- и микроэкономические, прескриптивные и дескриптивные. К макро относят модели, реализующие народно-хозяйственные пропорции, межотраслевые и межрегиональные пропорции и эк.взаимоотношения. К микро  - модели на уровне взаимоотношений хозяйствующего субъекта, модели внутри фирменного планирования. Прескриптивные (нормативные) это модели отвечают на вопрос: Какой вариант управленческого поведения лучше? (оптимизационные модели). Дескриптивные это модели отвечают на вопрос: А что будет, если? (балансовые модели, производственные функции). Многим задачам в экономике отвечают оптимизационные (экстремальные) ЭММ.


2.         Графический метод решения задачи линейного программирования.

Если в задаче линейного программирования ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, то задача может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из этапов: 1.Стоится многоугольная область допустимых решений ЗЛП. 2.Строится вектор-градиент целевой функции. Начало в т.О(0,0), а вершина в т.(df/dx1; df/dx2)=(C1;C2). 3.Строим линию уровня c1x1+c2x2=a, a=const. Линия уровня это прямая перпендикулярная вектору-градиенту. Передвигаемся в направлении этого вектора. В случае максимизации ЦФ до тех пор, пока не покинет ОДР. Предельная точка ОДР  при этом движении и является точкой max ЦФ. 4.Для нахождения координат указанной предельной точки, достаточно решить 2 уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку max. Значение ЦФ найденное в этой точке является max. При минимизации ЦФ линия уровня перемещается в  направлении противоположном вектору-градиенту.


3.         Основные этапы применения математических методов в финансово-экономических расчетах (иллюстрация на конкретном примере).  

В процессе решения эк.задач с применением мат.методов можно выделить 4 осн.этапа: 1.Постановка эк.задачи, проблемы. Здесь осуществляется описание экономико-организационной задачи. 2.Мат.моделирование. Здесь разрабатывается ЭММ задачи. 3.Получение решения по модели. Здесь осуществляется реализация ЭММ. 4.Внедрение полученного решения. Разработка рекомендаций, предложений в доступном и наглядном виде для работника.      В процессе исследований и принятия решений с помощью ЭММ  приходится возвращаться заново на те или иные этапы.


4.         Общая задача линейного программирования, основные элементы и понятия.

Реализовать на практике принцип оптимальности это значит разработать и получить решение по модели: max(min) максимизировать или минимизировать функцию f(x) при ограничениях, где f(x1,x2,…,xn) – математическая запись критерия оптимальности -ЦФ.    Max(min) f(x)=f(x1,x2,…,xn),x  є D.

Обычно, приведенную модель записывают в виде:

Max(min) f(x1,x2,…,xn)

g1(x1,x2,…xn)   {≤ , = , ≥ } b1           (1)

g2(x1,x2,…xn)   {≤ , = , ≥ } b2          (2)

gn(x1,x2,…xn)   {≤ , = , ≥ } bn

xi  ≥ 0,  i=1,¯ n                                (3)


5.         Теоремы двойственности и их использование для анализа оптимальных решений.

Теорема 1 (основная теорема двойственности)

1 часть: Если одна из двойственных задач разрешима, то разрешима и другая. Причем экстремальное значение ЦФ задач равны  max f(x)=f(x*)=min Ψ(y)= Ψ (y*).    2 часть: Если одна из двойственных задач неразрешима, то неразрешима и другая.

Теорема 2 (о дополняющей не жесткости): Если при подстановке компонент оптимального плана в систему ограничений исходной задачи i-тое ограничение обращается в неравенство, то i-тая компонента оптимального плана двойственной задачи равна 0. Если i-тая компонента оптимального плана двойственной задачи  положительна, то i-тое ограничение  исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое неравенство.  Xi* (∑AijYi*- Ci) = 0       Yi* (∑AijXj*- Bi) = 0


6.         Построение М-задачи .  

Симплекс-метод с искусственным базисом применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный план опорный план КЗЛП. Этот метод заключается в применении правил симплекс-метода к М-задаче. Она получается из исходной добавлением к левой части векторного уравнения таких искусственных единичных векторов с соответствующими неотрицательными искусственными переменными, чтобы вновь полученная матрица содержала систему единичных, линейно-независимых векторов. В линейную форму исходной задачи добавляется в случае ее максимизации слагаемое, представляющее собой произведение числа (-М) на сумму искусственных переменных, где М –достаточно большое число. В полученной задаче первоначальный опорный план очевиден. При применении к этой задаче симплекс-метода оценки ∆j теперь будет зависеть от буквы М. Для сравнения оценок нужно помнить, что М- достаточно большое число. В процессе решения М-задачи следует вычеркивать в симплекс-таблице искусственные векторы по мере их выхода из базиса. Если все искусственные векторы вышли из базиса, то получаем исходную задачу. Если в оптимальном решении М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна (задача неразрешима). В случае неразрешимости М-задачи будет неразрешима и исходная задача.


7.         Свойства двойственных оценок и их использование для анализа оптимальных решений.

1.Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение ЦФ, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу. (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи). Это свойство позволяет выявить основные направления расшивки узких мест в производственной деятельности.   2.Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитны и какие совсем не дефицитны.   3.Двойственные оценки позволяют определять нормы заменяемости ресурсов (предполагается неабсолютная заменяемость, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения критерия оптимальности).  4.Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений. С их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов. ЕСЛИ ∆j = ∑ AijYi*- Cj ≤ 0 то выгодно, ЕСЛИ ∆j   > 0 то невыгодно.


8.         Особые случаи решения ЗЛП графическим методом.

#1 max (3x1+5x2) ограничения: x1+x2 ≥ 2    4x1+2x2 ≤  2 при x1,2 ≥ 0

Задача неразрешима, вследствии противоречивости ограничений

#2 max (3x1+2x2)   x1-x2  ≤ 1   2x1+x2 ≥ 1 при x1,2 ≥ 0

Задача неразрешима вследствие неограниченности ЦФ на ОДР.

#3 Случай не единственности решения max (8x1+10x2)   5x1+x2 ≤ 15   4x1+5x2  ≤ 40  при x2 ≥ 3    x1 ≥ 0

Линия уровня  8x1+10x2 =a параллельна  одной из линий по границе ОДР. Это значит, что задача имеет бесконечное множество оптимальных решений (его задают координаты точек отрезка ВС).


9.         Основные свойства задачи линейного программирования.

В основе математического  метода получения оптимального решения лежат основные свойства ЗЛП: 1.Не существует локального экстремума отличного от глобального. Если экстремум есть, то он единственный.  2.Множество всех планов ЗЛП является выпуклой многогранной областью (многогранником решения).  3.ЦФ в ЗЛП достигает своего max (min) значения в угловой точке многогранника решения (в вершине). Если ЦФ принимает max решение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.  4.Каждой угловой точке отвечает опорный план ЗЛП (не отрицательное базисное решение соответствующей КЗЛП)


10.       Методы выявления тенденций во временных рядах.

Для определения наличия тренда во временном ряду применяется несколько методов.

1.Метод проверки разностей средних уровней. Состоит из 4х этапов:

I: Вр. Ряд разбивается на две примерно равные по числу уровней части (n1+n2=n). 

II: Для каждой из этих частей вычисляются средние значения и дисперсии.

   

 

III: Проверка равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера.

 

Если расчетное значение F меньше табличного Fα, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается и переходят к 4му этапу.

IV: Проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется рассчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

 , где  - среднеквадратичексое отклонение разности средних:

Если расчетное значение t меньше табличного значение статистики Стьюдента tα, тренда нет. Если больше – тренд есть.

2.Метод Фостера-Стьюарта.


11.       Двойственные оценки в ЗЛП, интервалы устойчивости двойственных оценок, определение средствами Excel.

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача , называемая двойственной; первоначальная задача называется исходной или прямой.

Связь исходной и двойственной задачи заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой. Переменные двойственной задачи   называются двойственными оценками.

Модель двойственной задачи имеет вид:

   g()=       

     

     

Теорема об оценках: значения переменных   в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов  b  системы ограничений – неравенств прямой задачи на величину

Экономико- математический анализ оптимальных решений базируется на свойсвах двойственных оценок  (для определения этих границ существует математические соотношения, которые реализованы в «Отчете по устойчивости» Excel. (теневые цены, интервалы устойчивости, допустимое увеличение, допустимое уменьшение)

Интервалы изменения объемов ресурсов ( компонент вектора В) в пределах которых двойственные оценки сохраняют свои значения принято называть интервалами устойчивости двойственных оценок.

Если двойственные оценки попадают в интервал устойчивости, то экономическое поведение не меняется Если выходят за пределы интервалов устойчивости ,то новое экономическое поведение получим в новом решении задачи.

1. те ограничения которые выполнялись как равенства , так и будут выполняться как равенства

2.структура плана останется неизменной

Совмещая  1 и 2  формируем новое поведение объемов ресурсов.

Двойственные оценки связаны с

оптимальным планом простой задачи .Всякое изменение исходных данных прямой задачи может оказать влияние как на ее оптимальный план () так и на систему оптимальных двойственных оценок. Поэтому чтобы проводить экономический анализ с использованием двойственных оценок,нужно знать их интервал устойчивости


12.       Методы механического сглаживания временных рядов.  

Суть методов механического сглаживания заключается в следующем: берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которго должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выравненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженно значение, и т.д.

Самым простым является метод простой скользящей средней.

Метод взвешенной скользящей средней

Метод экспоненциального сглаживания.


13.       Принцип оптимальности в планировании и управлении, его математическая запись.  

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое управленческое решение, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта. Слова «наилучшим образом» в принципе оптимальности на практике означают – выбор некоторого экономического показателя, позволяющего сравнивать, оценивать эффективность управленческих решений Х, т.е. выбрать критерий оптимальности. Критерии оптимальности: минимум себестоимости продукции, максимум прибыли от реализации, максимум рентабельности и др. Слова «учитывало бы внутренние  возможности и внешние условия» на практике означают, что на выбор управленческого решения Х накладывается ряд ограничений, т.е. выбор Х осуществляется из некоторой области допустимых решений D.  Реализовать на практике принцип оптимальности это значит разработать и получить решение по модели: максимизировать или минимизировать 

функцию f(x) при ограничениях, где f(x1,x2,…,xn) – математическая запись критерия оптимальности –ЦФ оптимизационной модели.   

Max(min) f(x1,x2,…,xn)

g1(x1,x2,…xn)   {≤ , = , ≥ } b1

g2(x1,x2,…xn)   {≤ , = , ≥ } b2

gn(x1,x2,…xn)   {≤ , = , ≥ } bn

xi  ≥ 0,  i=1,¯ n


14.       Оценка адекватности модели кривой роста. 

Трендовая модель считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквиваленто требованию, чтобы остаточная компонента  удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда.

1. Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности можно проводить с помощью критерия пиков. Общее число поворотных точек для остаточной последовательности  обозначим через p. В случайно выборке:

- математическое ожидание числа точек поворота

 - дисперсия.

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости является выполнение неравенства:

Если это неравенство не выполняется, трендовая модель считается неадекватной.

2. Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения.

Один из методов основан на RS-критерии. Этот критерий численно равен отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному отклонению S.


Рассчетное значение RS-критерия сравнивается с табличными (критическими) нижней и верхней границами данного отношения, и если это отношение не попадает в интервал между критическими границами, то гипотеза о нормальности распределения отвергается. В противном случае принимается.

Для уровня значимости 0,05: n=10 (2,67;3,685). n=20 (3,18;4,49). n=30 (3,47;4,89).

3. Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю. Осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение задается формулой

, где  - ср. арифм. значение уровней ряда;  - стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности. Если рассчетное значение t меньше табличного значения tα статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости α и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания принимается. Если наоборот – отвергается модель считается неадекватной.

4. Проверка независимости значений уровней случайной компоненты.

Проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной компоненте по критерию Дарбина-Уотсона. Рассчет ное значение этого критерия определяется по формуле

Вывод об адекватности трендовой модели делается, если все указанные выше 4 проверки свойств дают положительный результат.

15.       Постановка и экономико-математическая модель закрытой транспортной задачи.  

Имеется m пунктов производства однородного продукта с объемами производства  A1,A2,…,Am. Имеется n пунктов потребления этого продукта с объемами потребления b1,b2,…,bn. Известны оценки С= (Cij) M*N  транспортных затрат на перевозку единицы груза от i-того поставщика к j-тому потребителю (по коммуникации от i к j). Надо так прикрепить потребителей к поставщикам, чтобы минимизировать суммарные транспортные затраты на перевозку груза.  ЭММ ТЗ:  Обозначим через Xij, i=1,m  j=1,n объемы перевозок по коммуникации  i→j, т.е. в рассмотрение вводится матрица X=(Xij)m*n.


Min ∑ ∑ Cij Xij

∑ Xij = Ai,  i=1,m

∑ Xij = Bj,  j=1,n

 

Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи является наличие баланса между спросом и предложением  ∑Ai = ∑Bj. Если имеется такое равенство, то ТЗ называется закрытой.


16.       Оценка точности модели кривой роста, выбор наилучшей кривой роста.  

Для адекватных моделей имеет смысл ставить задачу оценки точности. Точность модели характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной.

В качестве статистических показателей точности применяются: среднее квадратическое отклонение, средняя относительная ошибка аппроксимации, коэффициент сходимости, коэффициент детермизации. n-количество уровней ряда, k-число определяемых параметров модели, yt-оценка уровней ряда по модели, yср – среднее арифмитическое значение уровней ряда.


17.       Симплекс-метод с естественным базисом, алгоритм метода.  

Для его применения КЗЛП должна содержать единичную подматрицу M*N. В этом случае очевиден начальный опорный план (неотрицательное базисное решение системы ограничений КЗЛП). Проверка на оптимальность опорного плана происходит с помощью признака оптимальности. Переход к другому опорному плану проводится с помощью преобразований Жордана-Гаусса. Полученный новый опорный план проверяется снова на оптимальность и т.д. Процесс заканчивается за конечное число шагов, причем на последнем шаге либо выявляется неразрешимость задачи, либо получается оптимальный опорный план и соответствующее ему оптимальное значение ЦФ. Признак оптимальности состоит из двух теорем: 1.Если для всех векторов А1,А2,…,Аn системы ограничений выполняется условие ∆j = Zj – Cj ≥ 0, где Zj = ∑ Ci Aij, то полученный опорный план является оптимальным.   2.Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется условие ∆j = Zj – Cj < 0, то можно получить новый опорный план, для которого значение ЦФ будет больше исходного, при этом могут быть два случая  а)Если все компоненты вектора, подлежащего вводу в базис, не положительны , то ЗЛП не имеет решения.  б)Если имеется хотя бы одна положительная компонента у вектора, подлежащего вводу в базис, то можно получить новый опорный план.

На основании признака оптимальности в базис вводится вектор Ak , давший минимальную отрицательную величину симплекс-разности: ∆k = min (Zj – Cj), j = 1,‾n.

Чтобы выполнялось условие не отрицательности значений опорного плана, выводится из базиса вектор Ar, который  дает минимальное положительное оценочное отношение:  Q = min Bi / Aik = Br/Ark, Aik >0, i = 1,m. Строка Arназывается направляющей, столбец Ak и элемент Ark направляющими.

Элементы направляющей строки в новой симплекс-таблице вычисляются по формулам:  a’rj = arj / ark, j = 1,n. 

Элементы  i-той строки:  a’ij = (aij ark – arj aik) / ark, i = 1,m, j = 1,n, i ≠ r.

Значения нового опорного плана: b’r = br / ark для i=r; b’i = (bi ark – br aik) / ark для i≠r.   

Процесс решения продолжают либо до получения нового оптимального плана либо до установления неограниченности ЦФ. Если среди оценок оптимального плана нулевые только оценки, соответствующие базисным векторам, то это говорит об единственности оптимального плана. Если же нулевая оценка соответствует вектору, не входящему в базис, то это значит, что оптимальный план не единственный.


18.       Временной ряд, тренд, трендовая модель. Получение трендовой модели средствами Excel.

Временной ряд – это набор чисел, привязанный к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени. Числа, составляющие временной ряд и получающиеся в результате наблюдения за ходом некоторого процесса, называются уровнями временного ряда, или элементами. Интервал между двумя последовательными моментами времени называют тактом (шагом, квантом). Длина временного ряда – количество входящих в него уровней n. Временной ряд обозначают y(t), или yt, где t=1,2,…,n. Структурные компоненты временного ряда: Детерминирующая составляющая (тренд, сезонный эффект, циклическая компонента) и случайная составляющая («белый шум», авторегрессия, скользящее среднее, смешанная).

Тренд, или тенденция f(t) представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течении длительного периода времени. Обычно тренд описывается с помощью той или иной неслучайной функции Fтр(t) (аргументом которой является время), как правило монотонной. Эту функцию называют функцией тренда, или просто трендом.

Под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временных рядов. Экономико-математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд ее основных показателей, называется трендовой моделью. Прогнозирование экономических процессов, представленных одномерными временными рядами, сводится к выполнению следующих основных этапов: 1. Предварительный анализ данных. 2. Построение моделей: формирование набора аппроксимирующих функций (кривых роста) и численное оценивание параметров моделей. 3. Проверка адекватности моделей и оценка их точности. 4. Выбор лучшей модели. 5. Рассчет точечного и интервального прогнозов.


19.       Постановка и экономико-математическая модель открытой транспортной задачи.  

Имеется m пунктов производства однородного продукта с объемами производства  A1,A2,…,Am. Имеется n пунктов потребления этого продукта с объемами потребления b1,b2,…,bn. Известны оценки С= (Cij) M*N  транспортных затрат на перевозку единицы груза от i-того поставщика к j-тому потребителю (по коммуникации от i к j). Надо так прикрепить потребителей к поставщикам, чтобы минимизировать суммарные транспортные затраты на перевозку груза.  ЭММ ТЗ:  Обозначим через Xij, i=1,m  j=1,n объемы перевозок по коммуникации  i→j, т.е. в рассмотрение вводится матрица X=(Xij)m*n.


Min ∑ ∑ Cij Xij

∑ Xij = Ai,  i=1,m

∑ Xij = Bj,  j=1,n

 

Если не выполняются условия баланса между спросом и предложением  ∑Ai = ∑Bj, то ТЗ называется открытой, при этом могут быть 2 случая. 1 случай: ∑Ai > ∑Bj, тогда ограничения имеют вид ∑ Xij ≤  Ai,  i=1,m. 2 случай: ∑Ai < ∑Bj. Тогда ограничения имеют вид ∑ Xij ≤ Bj,  j=1,n


20.       Симплекс-метод с искусственным базисом, алгоритм метода.

Симплекс-метод с искусственным базисом применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный план опорный план КЗЛП. Этот метод заключается в применении правил симплекс-метода к М-задаче. Она получается из исходной добавлением к левой части векторного уравнения таких искусственных единичных векторов с соответствующими неотрицательными искусственными переменными, чтобы вновь полученная матрица содержала систему единичных, линейно-независимых векторов. В линейную форму исходной задачи добавляется в случае ее максимизации слагаемое, представляющее собой произведение числа (-М) на сумму искусственных переменных, где М –достаточно большое число. В полученной задаче первоначальный опорный план очевиден. При применении к этой задаче симплекс-метода оценки ∆j теперь будет зависеть от буквы М. Для сравнения оценок нужно помнить, что М- достаточно большое число. В процессе решения М-задачи следует вычеркивать в симплекс-таблице искусственные векторы по мере их выхода из базиса. Если все искусственные векторы вышли из базиса, то получаем исходную задачу. Если в оптимальном решении М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна (задача неразрешима). В случае неразрешимости М-задачи будет неразрешима и исходная задача.


21.       Общая запись оптимизационной ЭММ (задача оптимального программирования). Основные элементы и понятия.

Реализовать на практике принцип оптимальности это значит разработать и получить решение по модели: max(min) максимизировать или минимизировать функцию f(x) при ограничениях, где f(x1,x2,…,xn) – математическая запись критерия оптимальности -ЦФ.    Max(min) f(x)=f(x1,x2,…,xn),x  є D.

Обычно, приведенную модель записывают в виде:

Max(min) f(x1,x2,…,xn)

g1(x1,x2,…xn)   {≤ , = , ≥ } b1           (1)

g2(x1,x2,…xn)   {≤ , = , ≥ } b2          (2)

gn(x1,x2,…xn)   {≤ , = , ≥ } bn

xi  ≥ 0,  i=1,¯ n                                (3)


22.        Прогнозирование на основе кривой роста.  

Точечный прогоноз – называется единственное значение прогнозируемого показателя. Интервальный прогноз – осуществляется путем рассчета доверительного интервала.

23.       ЭММ нелинейной оптимизации, пример. Трудности, порождаемые нелинейностью [3 стр.39-41].  

24.       Выявление и устранение аномальных наблюдений во временных рядах [1 стр.148-149].


25.       Особые случаи решения ЗЛП симплексным методом.

1ый особый случай решения ЗЛП: решение не единственное (линия уровня параллельна одной из линий на границе области допустимых решений). Это означает, что задача имеет бесконечное множество оптимальных решений. Его задают координаты точек отрезка с угловыми точками.

2ой особый случай решения ЗЛП – задача не имеет решения, т.к. область решений не ограничена сверху.

3ий особый случай решения ЗЛП – задача не имеет решения, т.к множество планов пусто, нет ни одной общей точки.

26.       Статистические показатели динамики экономических процессов [1 стр.157-163].  

27.       Матрица планирования транспортной задачи, учет особых случаев  [1 стр.100-02].


28.       Структура временных рядов экономических показателей.  

Временной ряд экономических показателей можно разложить на 4 структуро-образующих элемента:

1. Тренд (Ut) – устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени.

2. Сезонная компонента (Vt) – колебания, носящие строго периодический или близкий к нему характер и завершающиеся в течении года.

3. Циклическая компонента (Ct) – период колебаний составляет несколько лет.

4. Случайная компонента (εt) – составная часть временного ряда, остающаяся после выделения из него регулярных компонент.

 

29.       Задача о назначениях, постановка и ЭММ.

С ее помощью можно получить ответ на вопрос типа Как распределить рабочих по станкам, чтобы общая выработка была наибольшей? Как наилучшим образом распределить экипажи самолетов? Как назначить людей на разные должности? Исходные данные группируются в таблице, которая называется матрицей оценок, а результаты – в матрице назначений. ЕЕ постановка:  Имеется n –работников, которые могут выполнить n-работ, причем использование i-того работника на j-той работе приносит доход Cij. Требуется  поручить каждому из работников выполнение одной вполне определенной работы, чтобы максимизировать  суммарный доход. Задача в том, чтобы найти распределение X=(Xij) работников по работам, которое максимизирует ЦФ.

F(x)=∑∑Cij Xij → max

∑Xij=1, i=1,n   (1)

∑Xij=1, j=1,n  (2)

причем Xij= либо 0 либо 1  для всех i,j=1,n

Ограничение (1) отражает условие того, что за каждым работником может быть закреплена только одна работа, а ограничение (2) означает, что для выполнения каждой работы может быть выделен только один работник.   При решении таких задач используются алгоритмы и методы решения транспортных задач, в частности метод потенциалов.


30.       Процедура прогнозирования с использованием кривых роста, этапы и  наиболее часто используемые кривые роста.

Этапы: 1. Предварительный анализ данных. 2. Построение моделей: формирование набора аппроксимирующих функций (кривых роста) и численное оценивание параметров моделей. 3. Проверка адекватности моделей и оценка их точности. 4. Выбор лучшей модели. 5. Расчет точечного и интервального прогонозов.

Наиболее часто используемы кривые роста: полиномиальные , экспоненциальные , где a и b – положительные числа, S-образные

31.       Матричная и векторная формы записи ЗЛП [3 стр.17-18].   


32.       Требования, предъявляемые к исходной информации при моделировании экономических процессов на основе временных рядов.  

1. Сопоставимость достигается в результате одинкаовым подходом к наблюдениям на разных этапах формирования ряда динамики. Одни  и те же единицы измерения, одинаковый шаг наблюдений, один и тот же интервал времени, одна и та же методикаодни и те же элементы, относящиесяк неизменной совокупности.

2. Однородность данных – отсутствие сильных изломов тенденций, а также аномальных наблюдений.

3. Представительность данных хар-ся их полнотой. Число наблюдений должно быть достаточным для потсаленной задачи.

4. Устойчивость – преобладание закономерности над случайностью.


33.       Правило построения двойственной задачи, математическая запись.

1. Если исходная задача сформулирована на max, то двойственная д.б. сформулирована на минимум, и наоборот.

2. Матрица А, составленная из коэффициентов неизвестных в системе ограничений двойственной задачи является транспонированной матрице А исходной задачи.

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных переменных исходной задачи, а число ограничений этой задачи равно числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициенты неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободными членами в системе ограничений исходной задачи. А правыми частями в ограничениях двойственной задачи – коэффициенты при неихвестных в целевой функции исходной задачи.

5. Если в исходной задаче, сформулированной на максимум, все функциональные ограничения будут иметь знак < или =, то в двойственной задаче все неизвестные неотрицательны. Если в исходной задаче, сформулированной на максимум, присутствуют уравнения или ограничений тип > или =, то соответствующие двойственные оценки будут отрицательными. 

Математическая запись:

34.       Экономико-математическая модель межотраслевого стоимостного баланса (модель Леонтьева). 

ЭММ межотраслевого баланса представляет собой систему уравнений, отражающих функциональную зависимость включенных в его систему элементов:

Х1=Х1,1 + Х1,2 +……+ Х1n + Y1

X2=X2,1 + X2,2 +…….+ X2,n + Y2

Xn = Xn,1 + Xn,2 +……+Xn + Yn

Где Х =(Х1, Х2,…, Хn) – вектор валовой продукции, Y =(Y1, Y2,…,Yn) – вектор конечной продукции (конечное потребление и накопление), Хij – производственные материальные затраты j-й отрасли, с учетом обозначений: Aij = Xij / Xj,   Xij =AijXj.

Система уравнений перепишется в виде:

 Х1=А1,1*Х1,1 + А1,2*Х1,2 +…..+ А1,n*X1,n + Y1

X2=A2,1*X2,1 + A2,2*X2,2+…..+A2,n*X2,n + Y2

Xn=An,1*Xn,1 + An,2*Xn,2 +…..+An,n*Xn,n +Yn

Или в более компактном виде: Xi = ∑Aij*Xj + Yi, где i=от 1, до n.

Запись в матричной форме: Х = АХ + Y, где А=(Аij) размерностью n*n

Продукция

Сырье

Норма расходов, кг/ед.

Объемы запасов сырья, кг.

P1

P2

S1

a11=1

a12=3

300

S2

a21=1

a22=1

150

Продажные цены у.е./ед

C1=2

C2=3

-

Именно в этих двух формах записи и используется ЭММ межотраслевого баланса, которую называют моделью Леонтьева. Элементы Аij матрицы А называют коэффициентами прямых (материальных) затрат. Это – затраты i-й отрасли на единицу (рубль) валовой продукции j-й отрасли. В матричной форме модель Леонтьева записывается Х-АХ=Y или (Е-А)Х=Y. 

 

35.       Общая классификация задач оптимального программирования.

1.По характеру взаимосвязи между переменными: а) линейные, т.е. все функциональные связи в системе ограничений и функции цели – это линейные функции, б) нелинейные, т.е. наличие нелинейности в хотя бы одном из упомянутых элементов.

2.По характеру изменения переменных: а) непрерывные, т.е. значения каждой из управляющих переменных могут заполнять сплошь некоторую область, б) дискретные, т.е. все или хотя бы одна переменная могут принимать некоторые целочисленные значения.

3.По учету факторов времени: а) статистические. Моделирование и принятие решений осуществляются в предположении о независимости от времени элементов модели в течении периода времени, на который принимается управленческое решение, б) динамические. Такое предположение принято не может быть.

4.По наличию информации о переменных: а) задачи в условиях полной определенности (детерминированные), задачи в условиях неполной информации (случай риска). Отдельные элементы являются вероятностными величинами, однако  дополнительными статистическими исследованиями могут быть установлены их законы распределения вероятностей, в) задачи в условиях неопределенности. Можно сделать предположение о возможных исходах случайных элементов, но нет возможности сделать вывод о вероятности исходов.

5.По числу критериев оценки альтернатив: а) простые (однокритериальные), где экономически приемлемо использование одного критерия оптимальности или удается специальными процедурами свести многокритериальный поиск к однокритериальному, б) сложные (многокритериальные), т.е. выбор управленческого решения по нескольким показателям.


36.       Матрица прямых материальных затрат, ее продуктивность. Признаки продуктивности.  

По ЭММ Леонтьева (Е-А)X=Y можно определить объемы валовой продукции отрасли Х1, Х2, …, Хn по заданным объемам конечной продукции: Х = (Е-А)‾¹ Y;  X=BY,  B=(E-A)‾¹.   Элементы Bij обратной матрицы B = (E-A)‾¹   называются коэффициентами полных (материальных) затрат, т.е. это затраты i-й  отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j. Соответственно матрицу В  называют матрицей коэффициентов полных затрат, а матрицу А – матрицей коэффициентов прямых затрат. Неотрицательную матрицу А (А≥0) называют продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный вектор Х>0, что каждый объект может произвести некоторое количество конечной продукции. Для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно, что бы выполнялось одно из перспективных условий: 1) матрица (Е-А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е-А)‾¹  и все ее элементы неотрицательны, 2) положительны все главные миноры матрицы (Е – А), 3) матричный ряд

 Е + А + А² + … + =∑А® сходятся, причем ∑А®=(Е-А)‾¹.  4) максимальное собственное число матрицы А меньше 1, т.е. Λ(А) < 1.  Собственными значениями (числами) квадратной матрицы А называются корни (решения) характеристического уравнения | А-λЕ |=0.


37.       Экономическая интерпретация ЗЛП, пример постановки задачи и ЭММ.  

Постановка: на некоторый временной период, например месяц, осуществляется формирование производственной программы выпуска двух изделий Р1 и Р2. Для их производства используется два основных вида ресурсов S1 и S2. Экономические  оценки ожидаемых месячных объемов этих ресурсов составляют В1 и В2. На предприятии имеются утвержденные нормы расходов производственных ресурсов Аij,  i =1,2; j= 1,2.  Имеется возможность сбыта любых объемов производственной продукции по приемлемым продажным ценам С1 и С2. Необходимо выбрать такой вариант месячной производственной программы, который позволяет максимизировать выручку от продаж. Численное значение величин приведем в таблице:

ЭММ задачи: введем обозначения: обозначим через Х1 – объем продукции первого вида Р1, через Х2 – второго вида Р2. С учетом этих обозначений , математически задача записывается:

Max f (x) = f(x1, x2)=C1x1+C2x2                                                        

 max f(X1,X2)= 2X1+3X2

A1,1X1 + A1,2X2≤B1                                        

  или 

 1X1+3X2≤300                                                                              

A2,1X1+A2,2X2≤B2                                                                                    1X1+1X2≤150

X1,2≥0         X1,2≥0

Эта модель 1а, 2а, 3а, 4а, 5а, т.е. задача линейного программирования. Реализация этой модели может быть осуществлена симплекс-методом.

1) Х* = 75, Х2*=75, т.е. следует производить 75 единиц продукции первого вида и 75 единиц – второго вида. Ожидаемая выручка составит f(X*)=f(X1*,X2*)=2*75+3*75=375 у. Е.


38.       Определение объемов валовой и конечной продукции по модели Леонтьева.  

Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Yi):  Y=(E-A)X

Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi) можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):  X=(E-A)ˉ¹  Y


39.       Матрица коэффициентов полных материальных затрат, способы ее определения.  

Матричная форма модели Леонтьева (E-A)X=Y. По ней можно определить объемы валовой продукции отраслей  X1,X2,…,Xn  по заданным объемам конечной продукции: X=(E-A)ˉ¹  Y      X=BY     B=(E-A)ˉ¹. Элементы bij  обратной матрицы B=(E-A)ˉ¹ называются коэффициентами полных (материальных)  затрат. Это затраты  i-той отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j. Матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат.


40.       Расчет параметров кривой роста методом наименьших квадратов [1 стр.195-198].  

Суть метода в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда отсоответствующих выравненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения параметров отобранных кривых.


41.       Задача дискретной оптимизации, пример (постановка задачи и ее ЭММ).  

Целочисленное программирование изучает задачи, в которых на искомые переменные накладываются условия целочисленности, а ОДР конечна.

Задача о ранце.

Постановка:  Организация арендует баржу грузоподъемностью 83т на которой предполагает перевозить груз, состоящий из предметов 4 типов. Веса и стоимости предметов равны соответственно 24т,22т,16т,10т  и 96у.е.,85у.е.,50у.е.,20у.е.  Требуется погрузить на баржу груз максимальной стоимости.   ЭММ: Введем обозначения. Пусть Xj, j=1,4 число предметов j-того типа, которое следует погрузить на баржу. С учетом этих обозначений ЭММ задача о подборе для баржи допустимого груза максимальной ценности записывается:

Max f(x1,x2,x3,x4)=96x1+85x2+50x3+20x4

24x1+22x2+16x3+10x4 ≤ 83

xj, j=1,2,3,4 – неотрицательное целое число.

Это модель типа 1а2б3а4а5а – т.е. модель целочисленного (дискретного) линейного программирования. Реализация этой модели средствами  EXCEL позволяет получить решение:  1. X1*=3   x2*=0  x3*=0   x4*=1   2.maxf(x)=308y.e.


42.       Коэффициенты прямых и полных материальных затрат, связь между ними, методы расчета.   

max f(x)=∑CjXj.       При ограничениях: ∑АijXj=Bi,     i= от 1 до m,   Xi≥ 0,   Bi≥0,  i= от 1 до m,    j= от1 до n. Приведение ЗЛП к каноническому виду осуществляется введением в левую часть соответствующего ограничения вида k-й дополнительной переменной Xn+k ≥ 0  со знаком (– )в случае ограничения типа ≥  и знаком  (+) в случае ограничения типа ≤. Если  на некоторую переменную Xr не накладывается условие неотрицательности, то делают замену переменных:  Xr=Xr' – Xr",  Xr'≥0 и Xr"≥0.

43.       Каноническая форма записи ЗЛП. Способы приведения ЗЛП к каноническому виду.


44.       Базисные и опорные решения системы линейных уравнений, переход от одного базисного решения к другому.

В процессе решения системы уравнений на некотором этапе получилась расширенная матрица вида:

( 10…0А'1r+1…А'1n  | B'1)

А'=   (  01…0A'2r+1…A'2n |  B'2 )

(………………………|……)

(00….1A'rr+1…A'r n |  B'r )

Система совместна и имеет бесчисленное множество решений. Общее решение системы записывают:

Х1= В'1-А'1r+1*Xr+1 ------A'1n*Xn

X2=B'2- A'2r+1*Xr+1-------A'2n*Xn

----------------------------------------------

Xr=  B'r - A'rr+1*Xr+1--------A'r n*Xn

Придавая каждой из стоящих в правых частях равенств переменных Xr+1, Xr+2,……, Xn; произвольные значения, получаем частные решения системы. Неизвестные Х1, Х2,…., Хr; называют базисными или основными, они соответствуют линейно-независимым векторам А1, …, Аr. Любые r – переменных называют базисными, если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля, а остальные (n-r) переменных называют свободными или не основными. Базисным решением системы уравнений называют частное решение, в котором не основные переменные имеют нулевые значения. Каждому разбиению на основные и не основные переменные соответствует одно базисное решение, а количество способов разбиения не превышает величины   Сⁿⁿn=n! /m!*(n-m)!

Если все компоненты базисного решения не отрицательны, то такое решение называют опорным. Любое частное решение получается из общего путем придания конкретных значений свободным переменным.

45.       Классическая задача оптимизации, метод получения решения [3 стр.13-14].